404001 - Tín hiệu hệ thống Lecture-20 Lấy mẫu (Sampling) Lý thuyế thuyết lấy mẫu Biế Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Biế Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) f (t ) = 2π ∞ ∫−∞ F (ω )e jωt d ω F (ω ) = ∫ −∞ fk = N0 f (t )e − jωt dt N0 mẫu N0 mẫu Ω0 = 2π / N N = T0 / T f k = Tf (kT ) ∞ N −1 ∑ r =0 Fr e jrΩ0 k Fr = N −1 ∑ f k e − jrΩ0k k =0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Đưa Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải lũy thừa Giảm khối lượng tính toán: N 02 → N log N N −1 N −1 fk = jrΩ0 k F e F = ∑ r ∑ fk e− jrΩ0k r N r =0 k =0 Nhân: N0 Cộng: N0-1 Tổng cộng cho hệ số: N0N0 phép nhân N0(N0-1) phép cộng − j 2π / N ) Đặt: WN = e ( = e − jΩ0 Các biểu thức DFT viết lại: N −1 Fr = ∑ N −1 fk = FrWN−0kr ∑ N r =0 f kWNkr0 k =0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Chia fk thành chuỗi: chẵn lẻ theo số thứ tự: f , f , f , , f N −2 f1 , f , f5 , , f N −1 sequence g k sequence h k Biểu thức DFT viết lại: N0 Fr = −1 ∑ f kWN20kr + k =0 N0 −1 ∑ f k +1WN(2 k +1) r k =0 Ta có: W N0 = WN2 ⇒ Fr = N0 −1 ∑ k =0 kr f kW N + WNr N0 −1 ∑ k =0 f k +1W Nkr0 = G + W r H r N0 r Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) ⇒ Fr = N0 −1 ∑ kr f kW N + WNr k =0 N0 −1 ∑ f k +1W Nkr0 ⇒ Fr = Gr + WNr H r k =0 (0 ≤ r ≤ N − 1) Do Gr Hr DFT N0/2 điểm nên có tính tuần hoàn: Gr + N20 = Gr & H r + N20 = H r N0 N0 Mặt khác: W r + = W WNr = e − jπ WNr = −WNr N0 N0 0 N0 ⇒ Fr + N0 = Gr + N0 + WNr + H r + N0 ⇒ Fr + N0 = Gr − WNr H r 2 0 Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ Gr −1 N0 Fr ⇔ −1 Hr − W Nr W Nr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ Gr −1 N0 Fr ⇔ −1 Hr − W Nr W Nr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ Gr −1 N0 Fr ⇔ −1 Hr − W Nr W Nr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ Gr −1 N0 Fr ⇔ −1 Hr − W Nr W Nr Fr + N20 Số phép toán nhân cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT: Số phép toán nhân: N log N Số phép toán cộng: N log N Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bài tập Bài Tín hiệu f(t)=sinc(200πt) lấy mẫu chuỗi xung đơn vị tuần hoàn với tốc độ sau: (a) 150Hz, (b) 200Hz, (c) 300Hz Vẽ phổ tín hiệu lấy mẫu tương ứng với trường hợp trên? Có thể khôi phục lại tín hiệu gốc f(t) từ tín hiệu lấy mẫu không, giải thích? Cho tín hiệu lấy mẫu qua lọc thông thấp lý tưởng có băng thông 100Hz, vẽ phổ tín hiệu ngõ lọc? Bài Tín hiệu f(t)=sinc(200πt) lấy mẫu tín hiệu xung tuần hoàn pT(t) hình vẽ Hãy tìm vẽ phổ tín hiệu lấy mẫu? Cho tín hiệu lấy mẫu qua lọc thông thấp lý tưởng có băng thông 100Hz, xác định tín hiệu ngõ lọc? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bài tập Bài Tín hiệu f(t)=5sinc2(5πt) lấy mẫu (tốc độ lớn tốc độ Nyquist) hình vẽ: T/4 T Hãy xác định vẽ phổ tín hiệu lấy mẫu? Từ giải thích khôi phục tín hiệu gốc từ tín hiệu hay không? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 ... N −1 fk = jrΩ0 k F e F = ∑ r ∑ fk e− jrΩ0k r N r =0 k =0 Nhân: N0 Cộng: N 0-1 Tổng cộng cho hệ số: N0N0 phép nhân N0(N 0-1 ) phép cộng − j 2π / N ) Đặt: WN = e ( = e − jΩ0 Các biểu thức DFT viết... N −1 Fr = ∑ N −1 fk = FrWN−0kr ∑ N r =0 f kWNkr0 k =0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/0 9-1 0 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Chia fk thành chuỗi: chẵn lẻ theo số thứ... kW N + WNr N0 −1 ∑ k =0 f k +1W Nkr0 = G + W r H r N0 r Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/0 9-1 0 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) ⇒ Fr = N0 −1 ∑ kr f kW N + WNr k =0 N0