Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Tập hợp Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với kiến thức liên quan đến lý thuyết tập hợp (bao gồm tập hợp toán tử tập hợp) Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Những phát biểu bên hay sai a) ∈ ∅ b) {∅ ∈ {{∅}}} c) {∅} ⊂ {∅, {∅}} Lời giải a) Sai b) Sai c) Đúng ✷ Câu Vẽ giản đồ Venn cho biểu diễn tập hợp S = A ∩ (B ∪ C) Lời giải U B A C ✷ Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 1/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập cần giải Câu Cho A = {a, b, c}, B = {x, y}, C = {0, 1} Tìm a) A × B b) B × A c) A × B × C d) C × B × A e) C × A × B f) B × B × B Câu Xác định tập hợp A B biết rằng: • A − B = {1, 5, 7, 8}, • B − A = {2, 10}, • A ∩ B = {3, 6, 9} Câu Sử dụng sơ đồ Venn để minh họa cho quan hệ sau a) A ⊆ B B ⊆ C b) A ⊂ B B ⊂ C c) A ⊂ B A ⊂ C Câu Một bàn cờ vua 64 ô gồm hàng (đánh nhãn đến 8) cột (đánh nhãn từ a đến h) Mỗi ô bàn cờ biểu diễn cặp số (cột, hàng) a) Quân mã vị trí (d, 3) Hãy liệt kê vị trí di chuyển quân hợp lệ (chỉ nước cờ) b) Gọi R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tập hợp hàng bàn cờ, C = {a, b, c, d, e, f, g, h} tập hợp cột bàn cờ Hãy xác định tập P biểu diễn cho tất vị trí bàn cờ c) Quân xe vị trí (g, 2) Gọi T = {2} G = {g}, xác định tập hợp vị trí di chuyển quân hợp lệ (chỉ nước cờ) Câu Vẽ giản đồ Venn cho trường hợp sau a) A ∩ B ∩ C b) (A − B) ∪ (A − C) ∪ (B − C) c) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 2/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu Cho giản đồ Venn hai tập hợp A, B sau, biểu diễn dạng ký hiệu tập hợp dùng ∪, ∩ phần bù U A U B A a) B b) U A U B c) A B d) Câu Cho A, B C tập hợp Chứng minh rằng: a) (A ∪ B) ⊆ (A ∪ B ∪ C) b) A ∩ B ∩ C ⊆ (A ∩ B) c) (B − A) ∪ (C − A) = (B ∪ C) − A d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A Câu 10 Xét A = {1, {1}, {2}} Hãy khẳng định số khẳng định đây: a) ∈ A b) {1} ⊂ A c) {1} ∈ A d) {{1}} ⊂ A e) {{2}} ∈ A f) {2} ⊂ A Câu 11 Xét tập hợp Z: • A = {2n|n ∈ Z} Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 3/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính • B = {3n|n ∈ Z} • C = {4n|n ∈ Z} • D = {6n|n ∈ Z} • E = {8n|n ∈ Z} Hãy khẳng định khẳng định đây: a) E ⊂ C ⊂ A, b) A ⊂ C ⊂ E, c) D ⊂ B, d) D ⊂ A, e) B ⊂ D, f) D ⊂ A Câu 12 Đơn giản biểu thức đây: a) A ∩ (B ∩ A) b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ (A ∩ B) c) A ∪ B ∪ (A ∩ B ∩ C) Câu 13 Liêt kê phần tử tập sau a) {x|x số thực cho x2 = 1} b) {x|x số nguyên dương bé 12} c) {x|x số phương x < 100} d) {x|x số nguyên cho x2 = 2} Câu 14 Xác định xem tập sau, tập tập lũy thừa (power set) tập hợp đó, a b hai phần tử riêng biệt a) ∅ b) {∅, {a}} c) {∅, {a}, {∅, a}} d) {∅, {a}, {b}, {a, b}} Câu 15 Sử dụng sơ đồ Venn để trường hợp thấy phát biểu sau SAI Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 4/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Với A, B C, A B B C A C b) Với tập hợp A, B C, (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C) c) Với tập hợp A, B C, (A − B) ∩ (C − B) = A − (B ∪ C) Câu 16 Chứng minh với tập hợp A, B C, (A − B) ∩ (C − B) = (A ∩ C) − B Câu 17 Trong số tập hợp đây, tập khác ∅? a) {x ∈ N|2x + = 3} b) {x ∈ Z|3x + = 9} c) {x ∈ Q|x2 + = 6} d) {x ∈ R|x2 + = 6} e) {x ∈ R|x2 + = 4} f) {x ∈ R|x2 + 3x + = 0} Câu 18 Xác định xem phát biểu sau hay sai? a) {1, 2} ∈ {{1, 2}, {3, 4}} b) {2} ∈ {1, 2, 3, 4} c) {3} ∈ {1, {2}, {3}} d) {1, 2} ⊆ {1, 2, {1, 2}, {3, 4}} Câu 19 Vẽ sơ đồ Venn cho câu sau a) A ⊆ B, C ⊆ B, A ∩ C = ∅ b) A ⊇ C, B ∩ C = ∅ Câu 20 Hãy dùng giản đồ Venn để chứng minh lại định luật De Morgan: “Nếu A B hai tập hợp A ∪ B = A ∩ B.” Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 5/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập nâng cao Câu 21 Các phát biểu sau hay sai a) x ∈ {x} b) {x} ⊆ {x} c) {x} ∈ {x} d) {x} ∈ {{x}} e) ∅ ⊆ {x} f) ∅ ∈ {x} Câu 22 Chứng minh phát biểu sau phương pháp “chọn phần tử” (phương pháp A ⊆ B B ⊆ A) a) Nếu A, B C tập U , A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) b) Nếu A, B C tập U , A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) Câu 23 Cho A, B C tập hợp Chứng minh a) (A ∪ B) ⊆ (A ∪ B ∪ C) b) (A ∩ B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) c) (A − B) − C ⊆ A − C d) (A − C) ∩ (C − B) = ∅ Câu 24 Hiệu đối xứng hai tập A B, ký hiệu A ⊕ B, tập chứa phần tử thuộc A B, không vừa nằm A vừa nằm B Hãy chứng minh: a) A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B) b) A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A) c) A ⊕ B = B ⊕ A Câu 25 Chứng minh: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| Câu 26 Cho hai tập hợp A B, chứng minh A ∪ (B \ A) = A ∪ B Từ đó, đơn giản tập hợp C ∪ (A \ (B ∪ C)) ∪ (B \ C) ∪ (D \ (A ∪ B ∪ C)) Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 6/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 27 Các tập hợp sau có tập con? {x ∈ Z : x2014 − 4x2012 + 2x2 − < 0} Z ∩ {x ∈ R : x2013 − 5x2012 + 20x2 + 2012 = 0} Câu 28 Hãy so sánh cặp tập hợp sau để xác định: • Chúng hay không? • Có tập tập tập không? • Chúng có số không? a) P (A ∪ B) P (A) ∪ P (B) b) P (A ∩ B) P (A) ∩ P (B) c) P (A × B) P (A) × P (B) Tổng kết Thông qua tập phần này, hiểu rõ làm quen với lý thuyết tập hợp chi tiết liên quan trình bày slide chương Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 7/14