NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ Dự với thày trị 10Tốn Ơn tập tổng hợp: Định lý Cosin Bài toán giải tam giác Trả lời câu hỏi A Hai câu hỏi mở đầu: A.Một tam giác coi xác định dài hai cạnh I Biết độ trường hợp nào? xen góc B.Tam giácdài ba cạnh II Biết độ xác định tìm yếu tố cịn III Biết hai góc lại ? (bài toán giải tam giác) cạnh Ba trường hợp kể tương ứng với ba trường hợp tam giác Ta khẳng định ba trường hợp tương đương: Bài giảng: Định lý Cosin tam giác Và ứng dụng α b c =a a ? − 2abcosα +b Ví dụ toán thực tế Bài toán Người ta muốn đo khoảng cách hai điểm A,B mà đến trực tiếp hai bên đầm lầy ( hình vẽ) A Câu hỏi: Người ta phải làm để thực ý đồ? *C α b a ? Đây toán thực tế Để giải người ta chọn điểm C cho tam giác ABC xác định Cụ thể là: +) Xác định: AC=b; BC=a số đo góc ACB? +) Áp dụng Định lý Cosin cho tam giác ABC ta có AB=? B Định lý cơsin Bài tốn 2: Hai tàu thuỷ xuất phát từ vị trí với vận tốc v1=30km/h,v2=50km/h theo hai hướng hợp với góc 450 (như hình vẽ) Hỏi sau hai tàu cách bao xa? B Km 30 ? /o 45h 0Km 53 Km /h A 50K m C B Km 30 ? o h Km/ 530 m 0K /h A 45 50K m C Trả Lời: Áp dụng Định lý Cosin cho tam giác ABC ta có: BC = AB + AC − AB AC.cosA 2 2 ⇔ BC = 30 + 50 − 2.30.50 ≈ 1278,67( Km) ⇒ BC ≈ 35,76km 2 Định Lý Cosin Trong tam giác ABC với BC=a, AB=c, CA=b Ta có: a = b + c − 2bcCosA 2 b = a + c − 2acCosB 2 c = a + b − 2abCosC •Từ ta thấy tam giác biết hai cạnh góc xen ta tính cạnh cịn lại nội dung định lý cosin •Như (I) (II) tương đương Trở lại toán thực tế ban đầu ……………………………………………………………………………… Hãy sử dụng định lý vừa tìm để tìm lời giải tốn đo khoảng cách điểm mà khơng đến trực tiếp (hình vẽ) B A 20m o 75 23m Hướng dẫn: C Ta chọn điểm C cho từ nhìn thấy điểm A,B đo độ dài AC, BC góc ACB Giả sử số liệu đo hình vẽ AB = AC + BC − AC BC.Cos75o ≈ 690,9(m) ⇒ AB ≈ 26,3m Ứng dụng khác………………………………… Tính góc tam giác biết độ dài ba cạnh : a = b + c − 2bcCosA b2 + c2 − a cosA= 2bc Từ đẳng thức Ta có: A Tương tự: c a +c −b 2ac cosB= a + b2 − c2 cosC= 2ab ? B a b C Và xây dựng hệ thức khác Ví dụ: Cho tam giác ABC chứng minh cosA cosB cosC a + b + c + + = a b c 2abc Trả lời: Từ hệ ta có cosA b + c − a = a 2abc cosC a + b − c = c 2abc cosB a + c − b = b 2abc 2 2 2 Suy ra: 2 cosA cosB cosC a + b + c + + = a b c 2abc Liên hệ với kết biết…? • Với tam giác ABC; với số thực x,y,z ta có: x + y + z ≥ xycosA+2yzcosB+2zxcosC •Đặc biệt: xyz>0: x + y + z cosA cosB cosC ≥ + + xyz x y z Dấu có x:y:z = a:b:c Mở rộng định lý cosin • Trong tam giác ta có: b2 + c − a2 cot A = 4S a2 + c − b2 cot B = 4S a +b −c cot C = 4S 2 a2 + b2 + c2 •Vậy tam giác ABC: cot A + cot B + cot C = ≥ 4S Dấu có khi tam giác Chúng ta câu hỏi: (I) tương đương với (III)? Định lý Sin tam giác: • Trong tam giác ta có: a b c = = = 2R sinA sin B sin C Do tam giác ABC ta biết độ dài cạnh hai góc, chẳng hạn biết: BC=a Và góc: BAC= α ;Góc ABC= β •Khi ta hồn tồn tính cạnh yếu tố cịn lại tam giác! •Mặt khác ta có hệ quả: a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC •Hệ giúp ta lượng giác hoá yếu tố độ dài CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC ……………………………………………………………………………… Bài tốn: Cho tam giác có cạnh BC=a, CA=b, AB= c Gọi M trung điểm BC Hãy tính MA2 A c Trả lời: a B ma b M Áp dụng định lý Côsin cho tam giác AMB ta có MA = Mà c 2  a  2c a cosB c + a − acCosB = + ÷ − 2 a + c2 − b2 cosB= 2ac MA = C Thay vào đẳng thức ta có a a +c −b c + − ac 2ac 2 2 = ( b2 + c2 ) − a = ma Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có cạnh BC=a, AC=b,AB=c Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A,B,C tam giác Ta có: 2 ( b + c2 ) − a2 ma = mb 2 = mc = ( a + c2 ) − b2 ( ) a +b −c Bằng cách tương tự ta thực việc xây dựng công thức đường phân giác tam giác: 2b2 c bcp( p − a) la = + cosA ) = ( (b + c) ( b + c )2 2a2 c2 acp( p − b) lb = + cosB ) = ( (a + c) ( a + c )2 2b2 a2 4bap( p − c) lc = + cosC ) = 2( ( b + a) ( b + a )2 Và bạn Long chứng minh kết quả: la + lb + lc ≤ p < p Dấu có khi tam giác đều! Bài tốn giải tam giác Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có a=3, b=5, c=7 Hãy tính độ dài đường trung tuyến m m = ( a ) +7 −3 2 a ≈ 34, 75 ⇒ ma ≈ 5,89 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC chứng minh ma + mb + mc = ( a + b + c ) 2 Trả lời: Áp dụng cơng thức tính đường trung tuyến ta có ma 2 + mb + mc = ( ) b2 + c − a + = a + b2 + c2 ( ) ( ) a + c2 − b2 + ( ) a + b2 − c2 Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1: Cho tam giác ABC có A = 60o , AC=1cm, AB=2cm, Độ dài cạnh BC (A) 3cm (B) 3 cm (C) 3cm (D) cm Câu 2: Cho tam giác ABC có AB=7 cm, BC=5cm, AC= 6cm Giá trị CosC bằng: (A): (B): − (C): (D): Câu hỏi trắc nghiệm Câu 3: Cho tam giác ABC có AB=2cm,BC=6cm,AC=5cm.Khi độ dài đường phân giác góc A tam giác có độ dài là: 22 (A): cm (B): cm 49 (C): cm 130 (D): cm Câu 4: Cho tam giác ABC có AB=7cm, BC=6cm, AC=3cm khẳng định sau đúng: (A): Tam giác ABC nhọn (B): Tam giác ABC tù (C): Tam giác ABC vuông Bài tập nhà: Cho tam giác ABC hình vẽ sau Em cho biết: 1) Độ dài AB=? 2) Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A? 3) Độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh B? 4) Diện tích tam giác ABC? 5) Độ dài loại bán kính: r;R; ; rb ; rc A ? B 600 C Chứng minh hệ thức (b+c)cosA+(c+a)cosB+(a+b)cosC=2p R(acosA+bcosB+ccosC)=2S a cot A + b cot B + c cot C = S 2 asinA+bsinB+csinC = cot A + cot B + cot C acosA+bcosB+ccosC acosA+bcosB+ccosC p = asinB+bsinC+csinA 9R Tæng kÕt a,b,C Hãy làm rõ sơ đồ trên! Sau có tích vơ hướng Ta có kết gì? Định lý Cosin tam giác Định lý sin tam giác Công thức độ dài đường trung tuyến Công thức độ dài đường phân giác Các cơng thức tính diện tích Sơ đồ tốn giải tam giác Cần Về vấn đề giải nhìn lại kết sau: tam giác?! Xin cảm ơn thầy cô! Giờ học kết thúc ... lại tam giác! •Mặt khác ta có hệ quả: a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? ?Hệ giúp ta lượng giác hoá yếu tố độ dài CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC ……………………………………………………………………………… Bài. .. Cosin tam giác Định lý sin tam giác Công thức độ dài đường trung tuyến Công thức độ dài đường phân giác Các cơng thức tính diện tích Sơ đồ tốn giải tam giác Cần Về vấn đề giải nhìn lại kết sau: tam. .. đầu: A.Một tam giác coi xác định dài hai cạnh I Biết độ trường hợp nào? xen góc B .Tam giácdài ba cạnh II Biết độ xác định tìm yếu tố cịn III Biết hai góc lại ? (bài toán giải tam giác) cạnh Ba