I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM HONG VN THI NH CH NH H NH CHU N TC V M T S NH C I N C THU T HM UN VN THC S TO N HC THI NGUYấN - 2015 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM HONG VN THI NH CH NH H NH CHU N TC V M T S NH C I N C THU T HM Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s: 60.46.01.02 UN VN THC S TO N HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS PHM VIT C THI NGUYấN - 2015 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i I C M O N Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi Hong Vn Thi S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii I CM N Lun c thc hin v hon thnh ti khoa Toỏn, trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc n thy giỏo PGS.TS PHM VIT C, ngi hng dn khoa hc, ngi ó gi ý ti, nh hng nghiờn cu v tn tỡnh hng dn tỏc gi sut quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun Tỏc gi xin gi li cm n sõu sc ti cỏc thy cụ giỏo cụng tỏc ti Vin Toỏn hc Vit Nam; khoa Toỏn, Phũng o to (B phn qun lý Sau i hc) Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, cỏc thy cụ ó to mi iu kin trang b cho tỏc gi v kin thc, v hc liu v kinh nghim nghiờn cu cng nh mi th tc hnh chớnh tỏc gi hon thnh bn lun ny Tỏc gi cng gi li cm n chõn thnh n gia ỡnh, cỏc bn bố, ng nghip ó luụn ng viờn, giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu hon thnh lun Do thi gian nghiờn cu v nng lc bn thõn cũn nhiu hn ch, bn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp quý bỏu, s ch bo tn tỡnh ca cỏc thy cụ v bn bố ng nghip Thỏi Nguyờn, thỏng 04 nm 2015 Tỏc gi Hong Vn Thi S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MC C LI CAM OAN i LI CM N ii MC LC iii M U Chng M T S KI N THC CHU N B 1.1 a phc 1.2 Gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian phc 1.3 Metric vi phõn Kobayashi 1.4 Khụng gian phc Hyperbolic 1.5 Khụng gian phc nhỳng Hyperbolic 1.6 nh lý Picard ln v m rng gii tớch hyperbolic 1.7 Cỏc hm c trng Nevanlinna 10 1.8 Cỏc nh lý c bn v phõn b giỏ tr hm phõn hỡnh 12 Chng NH C NH CH NH H NH CHU N TC V M T S I N C THU T HM 13 2.1 nh x chnh hỡnh chu n tc 13 2.2 Mt s vớ d v ỏnh x chnh hỡnh chu n tc 15 2.3 c lng ca cỏc hm c trng 17 2.4 Tng quỏt húa nh lý Picard ln 21 2.5 Cỏc giỏ tr tim cn 23 2.6 Tng quỏt húa nh lý Lindel f gii tớch hyperbolic 29 K T UN 31 TI IU TH M KHO 32 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn M U Lý thuyt v khụng gian phc hyperbolic ó c a b i S.Kobayashi vo nhng nm 1966 - 1970 v cú nh h ng khụng nh n vic nghiờn cu v phỏt trin ca ngnh gii tớch phc Khụng nhng vy, rt nhiu nh toỏn hc quan tõm v ó cú nhng thnh tu ỏng k nh Kiernan, Kwack, Joseph v Noguchi Cng thờm vic Montel a khỏi nim h chu n tc cỏc ỏnh x chnh hỡnh ó lm cho gii tớch phc hyperbolic cú mi liờn h mt thit vi lý thuyt h ỏnh x chu n tc Nhng c trng ca tớnh nhỳng hyperbolic ca cỏc khụng gian phc cú th c nghiờn cu t cỏch nhỡn ca ỏnh x chnh hỡnh chu n tc, tng quỏt húa mt s nh lý v m nhng hng i mi ngnh gii tớch phc cng nh ngnh toỏn hc hin i Trong lun ny, chỳng tụi trỡnh by chi tit kt qu ca Ken-Ichi unahashi nm 1984 v ỏnh x chnh hỡnh chu n tc cỏc khụng gian phc mi liờn h vi lý thuyt cỏc a hyperbolic v lý thuyt Nevanlinna Lun gm cú hai chng Chng 1, chỳng tụi trỡnh by nhng c bn v gii tớch hyperbolic v lý thuyt Nevanlinna Chng l ni dung chớnh ca lun Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s kt qu v cỏc ỏnh x chnh hỡnh chu n tc v cỏc m rng mt s nh lý c in ca lý thuyt hm nh nh lý Picard ln v nh lý Lindelửf S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chng M TS KI N THC CHU N B 1.1 a phc 1.1.1 nh ngha Cho X l mt khụng gian tụpụ Hausdorff (1) C p (U, j ) c gi l mt bn a phng ca X ú U l mt m X , j : U đ Ê n nu cỏc iu kin sau tha (i) j (U ) l mt m Ê n (ii) j : U đ j (U ) l mt ng phụi (2) H A = {(Ui , j i )}iẻ I cỏc bn a phng ca X c gi l mt bn gii tớch (atlas gii tớch) ca X nu cỏc iu kin sau tha : (i) {Ui }iẻ I l mt ph m ca X (ii) Vi mi Ui ,U j m Ui ầ U j ặ thỡ ỏnh x j j oj - i : j i (Ui ầ U j ) đ j j (Ui ầ U j ) l ỏnh x chnh hỡnh Xột h cỏc atlas gii tớch trờn X Hai atlas gii tớch c gi l tng ng nu hp ca chỳng l mt atlas gii tớch õy l quan h tng ng trờn cỏc atlas gii tớch Mi lp tng ng xỏc nh mt cu trỳc kh vi phc trờn X , v X vi cu trỳc kh vi phc trờn nú c gi l mt a phc n chiu 1.1.2 Vớ d D l Ê n , ú D l mt a phc n chiu vi bn a phng {( D, IdD )} S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1.1.3 nh x chnh hỡnh gia cỏc a phc (1) Cho M, N l hai a phc nh x liờn tc f : M đ N gi l chnh hỡnh trờn M nu vi mi bn a phng (U, j ) ca M v bn a phng ( V, y ) ca N cho f (U ) è V thỡ ỏnh x y o f oj - : j (U ) đ y ( V) l chnh hỡnh Ta kớ hiu H( M, N ) l cỏc ỏnh x chnh hỡnh t a phc M n a phc N (2) Cho M, N l hai a phc v f : M đ N l mt song ỏnh Nu f , f - l cỏc ỏnh x chnh hỡnh thỡ f c gi l song chnh hỡnh gia M v N 1.1.4 nh ngha (1) Cho M l a phc, mt khụng gian phc úng X l mt úng ca M m v m t a phng c xỏc nh b i hu hn cỏc phng trỡnh gii tớch Tc l, vi x0 ẻ X tn ti mt lõn cn m V ca x0 M v hu hn cỏc hm chnh hỡnh j 1, , j m trờn V cho X ầ V = {x ẻ V j i ( x) = 0,i = 1, , m} (2) Cho M l a phc, khụng gian phc úng A ca M c gi l mt divisor trờn M nu v m t a phng ti mi im cú th xỏc nh b i mt phng trỡnh gii tớch, tc l ti mi im cú lõn cn V ca x M cho A ầ V c xỏc nh b i phng trỡnh j = , vi j l mt hm chnh hỡnh no ú trờn V 1.2 Gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian phc 1.2.1 Khong cỏch Bergman - Poincare trờn a n v Gi s D = {z ẻ Ê , z < 1} l a n v m Ê S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Xột ỏnh x r D : D D đ Ă + xỏc nh b i: a- b 1- ba r D (a, b) = ln ; " a, b ẻ D a- b 11- ba 1+ Ta cú r D l mt khong cỏch trờn D v gi ú l khong cỏch Bergman - Poincare trờn a n v 1.2.2 Gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian phc 1.2.2.1 nh ngha Gi s X l mt khụng gian phc, x v y l hai im tựy ý ca X H( D, X) l tt c cỏc ỏnh x chnh hỡnh t a n v D vo khụng gian phc X c trang b tụpụ compact m Xột dóy cỏc im p0 = x, p1, , pk = y ca X , dóy cỏc im a1, a2 , , ak ca D v dóy cỏc ỏnh x f1, f2 , , fk H( D, X) tha fi (0) = pi- 1, fi (ai ) = pi , " i = 1,2, , k Ta gi mt dõy chuyn chnh hỡnh g ni x vi y l hp : g = {p0 , , pk , a1, , ak , f1, , fk } tha cỏc iu kin trờn k Ta t Lg = r D (0, ) v nh ngha dX ( x, y) = inf Lg ú infimum i= ly theo tt c cỏc dõy chuyn chnh hỡnh g ni x vi y D thy dX tha cỏc tiờn v gi khong cỏch, tc l: i) dX ( x, y) 0, " x, y ẻ X ii) dX ( x, y) = dX ( y, x), " x, y ẻ X iii) dX ( x, z) Ê dX ( x, y) + dX ( y, z), " x, y, z ẻ X S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Núi cỏch khỏc dX l mt gi khong cỏch trờn X Gi khong cỏch dX c gi l gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian phc X 1.2.2.2 Tớnh cht Ta d dng chng minh cỏc tớnh cht sau ca dX : i) dD = r D v dDn (( zi ),(wj )) = max r ( zi , wj ) vi mi ( zi ),(wj ) ẻ Dn j = 1,n ii) Nu f : X đ Y l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng gian phc X v Y thỡ dX ( p, q) dY ( f ( p), f (q)), " p, q ẻ X T ú suy rng nu f : X đ Y l song chnh hỡnh thỡ: dX ( p, q) = dY ( f ( p), f (q)), " p, q ẻ X iii) i vi mt khụng gian phc X tựy ý , hm khong cỏch dX l liờn tc trờn X X iv) Nu X v Y l cỏc khụng gian phc thỡ vi mi x1, x2 ẻ X v y1, y2 ẻ Y thỡ ta cú: max {dX ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 )}= dX Y (( x1, y1 ),( x2 , y2 )) 1.3 Metric vi phõn Kobayashi Gi s M l a phc Khi ú ta nh ngha K M l vi phõn Kobayashi trờn M c xỏc nh b i : KM ( p, v) = inf {r > 0: j (0) = p, dj (0, re) = v; j ẻ H( D, M)}trong ú p ẻ M, v ẻ Tp M ; dj l ỏnh x tip xỳc ca j v e l vộc t n v ti 0ẻ D 1.4 Khụng gian phc Hyperbolic 1.4.1 nh ngha S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 19 B (t ) B n n n! n 2 n n1 (1 u ) u du (1 u ) n (n 1)! t t u n1 u n1 n du (n 1). du (1 u ) (1 u ) n t S dng cỏc c lng t u n1 udu n2 du t (1 u )2 (1 u )2 , t t du u n1 n du t u u t v ta thy n n B ( t ) B n t 2n (n 1) n t n1[log log(1 t )] t t Do ú dt n n n t n1 B(t ) B r tdt du n 1 t2 r log log t t dt r 1 log n C1 , r2 ú 1 C1 log log t dt 2log t B c chng minh 2.3.3 nh ngha Cho B n , ( N , dsN2 ) c nh ngha nh trờn v f : B n N l mt ỏnh x chnh hỡnh Ta nh ngha hm c trng f b i S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 20 T r, f dt n f * n B ( t ) B t n r n 2.3.4 Mnh Cho F l h cỏc ỏnh x chun t c Aut B n - b t bin t B n n N , dsN2 Khi ú s tn ti mt h ng s C (r ) ch ph thuc vo r cho T r , f C (r ), r vi mi f F Chng minh Vỡ tn ti mt hng s C cho f *dsN2 C.dsB2 n vi mi f F theo nh lý 2.1.4 ta cú th chn C r C log n C1.C r2 Theo b 2.3.2 ta suy mnh c chng minh 2.3.5 H qu Nu mt ỏnh x chnh h nh f : B n N l chun t c th ta cú T r , f g O log r r vi mi g Aut B n 2.3.6 Nhn xột (i) Tớnh cht ca hm c trng i vi ỏnh x chnh hỡnh chu n tc l mnh hn T r , f O log r S húa bi Trung tõm Hc liu HTN r http://www.lrc.tnu.edu.vn 21 (ii) Nu N l khụng gian x nh P n , thỡ chiu ngc li ca mnh trờn l ỳng iu ny c suy t nh lý 5.1 H ujimoto [3], B n l thun nht 2.4 Tng quỏt húa nh l Picard ln t {w , w 1} v * {w ,0 w 1} Cho : * l ph ph dng vi ( w) e( w1)/( w1) 2.4.1 nh ngha Mt ỏnh x chnh hỡnh f t * ti mt khụng gian gii tớch phc N c gi l chu n tc nu f : N l ỏnh x chnh hỡnh chu n tc 2.4.2 nh l Cho N l a phc paracompact Nu f : * N l ỏnh x chnh h nh chun t c, thỡ f cú th thỏc trin thnh ỏnh x chnh h nh t ti N Chng minh Trc ht, ta chng t rng tn ti dóy {zn }n1 * hi t ti cho {f (zn )}n1 hi t ti im p0 N Ly dóy {zn }n1 * hi t n v cỏc im {wn } cho (wn ) zn , v ly gn Aut tha gn (0) wn Xột h F {f gn }n1 Theo gi thit ta cú F l chu n tc Ta cú th ly mt dóy {f gnk }n1 ca {f gn }n1 cho {f gnk }k hi t n h Hol (, N ) c bit f gnk (0) h(0) p0 Ta t gnk (0) zk Khi ú f ( zk ) p0 N Tip theo, ta ly metric Hermit dsN2 ca N T f : N l chu n tc, nờn theo nh lý 2.1.4 ta cú ( f ) * dsN2 C.ds2 (1) Vi C l hng s v ds2 dzd z / (1 z )2 (1) kộo theo S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 22 f * dsN2 C.ds2* (2) dzd z Vi ds2* z (log1 / z ) Ta t rk zk Ta cú th gi s dóy {rk }k l dóy gim Kớ hiu d N l khong cỏch ca N c nh ngha b i dsN2 Khi ú: d N ( f ( z), p0 ) d N ( f ( z), f ( zk )) d N ( f ( zk ), p0 ) (3) Khi z rk , (2) kộo theo d N ( f ( z ), f ( zk )) V bờn phi hi t v C z zk dz C dz log1 / z log1 / rk (4) k T (3) v (4) ta thy vi mi lõn cn W ca p0 , k0 ln, f ({ z rk }) b cha W vi k k0 Vi cỏch chng minh ca nh lý 3.1 S Kobayashi [8], chng VI, ta thy rng, mi lõn cn U ca p0 , nu nh thỡ f ({z *, z }) b cha U, vỡ vy ta cú th xỏc nh thỏc trin chnh hỡnh ca f ti b i f (0) p0 nh lý c chng minh 2.4.3 Nhn xột (i) nh lý trờn ỳng nu N l khụng gian gii tớch phc liờn thụng paracompact B i vỡ N cú mt metric hermit h theo ngha thỏc trin m sinh cỏc tụpụ ban u ca N p dng chng minh trờn i vi ( N , h) [7] Ta cú iu phi chng minh (ii) Cho N l khụng gian gii tớch phc liờn thụng paracompact, v M l khụng gian nhỳng hyperbolic ca N Khi ú ỏnh x chnh hỡnh f : * N S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 23 vi f (*) M l chu n tc Do ú, nh lý 2.4.2 l tng quỏt húa nh lý Picard ln trỡnh by S Kobayashi [8], chng V, nh lý 6.1 Cỏc giỏ tr ti m cn Trong phn ny, ta xem xột tng quỏt húa nh lý Lindel f v cỏc giỏ tr tim cn ca cỏc hm chnh hỡnh b ch n 2.5.1 nh ngha Cho f l ỏnh x chnh hỡnh t liờn thụng n G ti khụng gian gii tớch phc N Ta nh ngha mt gúc vi nh ti z0 G l mt A c xỏc nh nh sau: ly mt im biờn z1 ( z0 ) ca G v mt hng s dng , ta t: A {z; w( z) } , vi w( z ) l o iu hũa ca cung ni gia z0 v z1 ng vi G Ta núi f cú gii hn gúc p0 ti z0 G nu vi mi lõn cn U ca p0 v mi gúc A cú nh ti z0 , thỡ tn ti mt lõn cn V ca z0 cho f (V A) U nh lý sau l mt tng quỏt ca nh lý ca Lehto - Virtanen [9] 2.5.2 nh l Cho f l ỏnh x chnh h nh t a n v ti khụng gian gii tớch phc N Gi s f cú mt giỏ tr tim cn p0 N ti mt im z0 G dc theo mt ng cong Jordan n m v f khụng cú gii hn gúc p0 ti z0 Khi ú tn ti mt lõn cn nh tựy ý U ca p0 cho vi cú mt cung Jordan L cú im cui l z0 vi f ( z ) dn ti p0 v cú dóy {zn }n1 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 24 hi t n z0 tha iu kin f ( zn ) U v d ( z, L) vi d l khong cỏch hyperbolic trờn chng minh nh lý ny, ta cn b sau: 2.5.3 B (M rng nh lý Lindel f) Cho r0 ln hn ho c b ng v D {z; z r0 , arg z } Gi s f ( z ) l hm chnh h nh b ch n trờn D, liờn tc trờn D {r , r r0} v limsup f (r ) Khi ú vi mi ta cú r lim sup{ f ( z ) ; arg z , z } Chng minh Chng minh sau c a b i H ujimoto Ta s dng lý thuyt ca o iu hũa ([10], III, Đ2) Ly Trng hp r0 l tm thng Ta cú th ly r0 ln hn , ú t ' / Cho ( z ) l o iu hũa ca { z r0 ,Im z 0} i vi D {z; Imz 0, z >r0} Theo nh lý v nghim ca bi toỏn Dirichlet ([10], II, Đ1, trang 22-23) tn ti r1 cho: ( z) ' trờn D ' {z; z D, z r1} Ta nh ngha cỏc hm iu hũa , , vi r2 ln hn r1 , r0 nh sau: ( z ) l o iu hũa ca {z , z r2} i vi D, ( z ) l o iu hũa ca {z , z r2} i vi {Im z 0} Ta thy ( z) arg( z r2 ) / Khi ú: ' ( z ) , z r2 { '. arg z 0, z r2} S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 25 Ngoi ( z ) ( z ) ( z ) trờn D theo nguyờn lý cc i Vỡ ( z ) ( z ) ( z ) , nờn ' ' ( z ) , z r2 {1 (z)> } trờn D Do ú ' { arg z 0, z r2} ( z ) trờn D Ta nh ngha m(r2 ) , m *(r2 ) nh sau: m(r2 ) sup{ f (r ) ; r l thực, r r2} m *(r2 ) sup{ f (r ) ; arg z 0, z r2} Nu f ( z ) M , theo nh lý hai hng s ([10], III, Đ2, trang 41-42) ta cú m *(r2 ) m(r2 ) '/4 M '/4 Khi r2 , thỡ t gi thit m(r2 ) ta cú m *(r2 ) B c chng minh Chng minh nh l .2 Ta cú th gi s G {z;0 arg z / 2} v z0 , b i vỡ khong cỏch hyperbolic l bt bin bo giỏc Gi s bt u t z v chia G thnh hai phn G1 v G2 Phn G1 c gii hn b i v trc o Theo gi thit ta cú f khụng hi t u n p0 trờn gúc A : arg z / ( 0) iu ny cng ỳng i vi ớt nht mt cỏc G1 A v G2 A Ta gi s nú ỳng trờn G1 A Ly U l mt lõn cn nh ca p0 , m song chnh hỡnh vi mt a V b ch n W bin p0 thnh m m b i ỏnh x v Ta xột ỏnh x G1 lờn gúc phi ca arg w / v lờn trc thc dng , gi 0, c nh nh ca S húa bi Trung tõm Hc liu HTN G1 A nm gúc http://www.lrc.tnu.edu.vn 26 arg w / , vỡ bng cỏch ỏp dng nguyờn lý cc i i vi cỏc o iu hũa ca trc thc v ng vi G v G1 Xột f (U ) v thnh phn liờn thụng U ca f (U ) m l mt lõn cn ca { z R} vi R ln v t U l nh ca G1 U ' nh x f cú th vit di dng f (w) ( f1 (w), , f m (w)) trờn f (U ) , vi mi fi ( w) (i 1, , m) tha fi ( w) M vi M l hng s Vi U no ú, phn trờn ca biờn ca U { z R} khụng th nm phớa trờn ng {arg w / , w R} vi R , b i vỡ nu khụng nh vy thỡ G1 A { z R} nm f (U ) vi R ln v f cú gii hn u ti p0 G1 A theo b trờn thỡ iu ny l mõu thun Ta cú th a mt h m c cỏc tam giỏc ng dng {T } c nh ngha nh sau: ỏy ca T nm trờn trc thc dng, hai cnh cũn li bng v gúc nh l / , vi ' thỡ cỏc nh ca T ( ') nm {0 arg w / } U'' v D T l n liờn cha U t T Cho (w, D) l o iu hũa ng vi D m bng trờn trc thc v bng trờn phn cũn li ca biờn Vỡ f ( z ) dn n gii hn p0 dc theo , nờn fi ( w) dn ti dc theo trc thc dng Xột cỏc ng L : (w, D) (0 1) Theo b trờn, fi ( w) dn n dc theo L, tc l f ( w) dn n p0 dc theo L w T vic xõy dng trờn ta cú th ly dóy {zn }n1 D v mt tam giỏc Tn {T } vi nh l zn cho f ( zn ) U Cho ( w,Tn ) l o iu hũa i vi Tn cho nú bng trờn trc thc v bng trờn phn cũn li ca biờn Vỡ Tn nm D, nờn (w, D) (w,Tn ) trờn Tn b i nguyờn lý cc i ca o iu hũa iu ny chng t cỏc ng (w, D) l nm trờn cỏc ng (w,Tn ) trờn Tn t zn u i.v Ly Q1 (u i.v1 ) v Q2 (u i.v2 ) l giao S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 im tng ng ca ng thng Re w u vi ng cong (w, D) v (w,Tn ) Khi ú v2 v1 Vỡ G1 G , ta thy dG dG vi dG , dG tng 1 ng l cỏc khong cỏch hyperbolic ca G, G1 v dG ( zn , Q1 ) dG1 ( zn , Q1 ) zn Q1 u v2 1 dw u 2v 2 sin zn Q1 dv v 1 v 1 v log log sin v1 sin v2 ú v / v2 k ( ) khụng ph thuc vo zn Vỡ k ( ) , nờn {zn } , L cú th chn cho d ( zn , L) vi bt kỡ nh lý c chng minh nh lý sau l m rng mt kt qu ca Lehto Virtanen [9] 2.5.4 nh l Cho f : N l ỏnh x chnh h nh chun t c v f l mt giỏ tr tim cn p0 N ti im z0 dc theo ng cong Jordan J n m Khi ú f cú gii hn gúc p0 ti im z0 Chng minh Gi s f khụng cú gii hn gúc p0 ti z0 Theo nh lý 2.5.3 vi mi lõn cn U ca p0 , tn ti ng cong Jordan L cú im cui l z0 v f ( z ) dn ti p0 trờn L, v mt dóy {zn }n1 hi t v z0 , f ( zn ) U v d ( zn , L) M Do tớnh compact ca U , ta cú th ly {zn }n1 cho f ( zn ) p ' U Kớ hiu z ' Sn ( z ) l ỏnh x t bo giỏc trờn U tha iu kin Sn (0) zn t K l ng trũn hyperbolic vi tõm ti z vi bỏn kớnh hyperbolic l M T d l bt bin qua S n , Sn1 m ỏnh x cỏc cung no ú ca L ti K Kớ hiu Cn hp ca cỏc cung nh vy ca L vi s th t n T { f Sn } l h chu n tc, nờn dóy { f Snk }k hi t n mt ỏnh x S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 chnh hỡnh : N Ta cú f (Sn (0)) f ( zn ) pn hi t n p ( p0 ) , (0) p ' Trong ú C m1 n m Sn1 (Cn ) K l liờn tc vi ( z ) p0 v ú ( z ) p0 Dn n mõu thun, vy nh lý c chng minh 2.5.5 H qu Cho N l khụng gian gii tớch phc liờn thụng paracompact v l t ỏnh x chnh h nh f : N khụng gian nh ng hyperbolic N vi f () M Nu f l mt giỏ tr tim cn p0 N ti z0 dc theo cung Jordan J n m , th f cú gii hn gúc p0 ti z0 T h qu trờn ta thy nh lý Lindelửf ỳng vi cỏc ỏnh x sau: 2.5.6 Vớ d (i) f : P n l ỏnh x chnh hỡnh b qua D {H i }i2n11 l siờu phng n1 i H i , ú v trớ tng quỏt (ii) f : T n / L l ỏnh x chnh hỡnh b qua D T ú D l siờu m t ca T khụng cha xuyn phc thc s 2.5.7 Vớ d Cho (w0 , w1, w2 ) l h ta thun nht ca P Ta xỏc nh mt ỏnh x (2, z 1, (1 z)e(1 z )/(1 z ) ) , chnh hỡnh f : P b i: z v bn ng thng phc , , , P v trớ tng quỏt nh sau: : w0 0, : w1 0, : w1 w2 0, : w0 w1 w2 Cú th d dng thy f b qua D i i Nhn xột rng Re (1 z) / (1 z) trờn {z ; z 1/ 1/ 2} v lim (1 r )e(1r )/(1r ) Do ú ta thy f cú giỏ r 10 tr tim cn (1,1,0)P ti z dc theo cung {z ; z 1/ 1/ 2} , f cú gii hn bỏn kớnh (0,0,1)P ti z Vỡ th f khụng l ỏnh x S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 chnh hỡnh chu n tc theo nh lý 2.5.4 Nhng ỏnh x f l mt kiu b ch n (tc l limsup T ( f , r ) ) r Tht vy, gi s f * dsP22 ( f ( z ))2 dzd z , vi dsP22 l metric ubini-Study trờn P , thỡ ( f ( z )) / z z log f ( z ) vi f ( z ) fi , f ( f0 , f1, f ) 2 2 i V ta cú: T ( f , r) r dt ( t ) ( f ( z )) dxdy t r log f (rei ) d log f (0) S dng cụng thc r2 rei d (0 r 1) ta nhn c T ( f , r ) C vi C l hng s hu hn 2.6 Tng quỏt húa nh l indelửf gii t ch hyperbolic Cho M l khụng gian gii tớch phc liờn thụng, d M l gi khong cỏch Kobayashi trờn M v A( M ) l cỏc im khụng hyperbolic tc l A(M ) { p M ; q M , q p, d M ( p, q) 0} Ta cú d M ( p, q) l liờn tc i vi p v q 2.6.1 Mnh Cho l a phc liờn thụng compact v ỏnh x chnh h nh f : M Ta nh ngha chựm ton cc ca f nh sau: C ( f ) { p M ; dóy {zn}n1 , zn 1, f ( zn ) p} S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 Nu C ( f ) A(M ) , th f l ỏnh x chnh h nh chun t c Chng minh Gi s f khụng chu n tc Ly dsM2 l metric hermit ca M Thỡ tn ti dóy {Gn }n1 Aut cho: ( f Gn ) * dsM2 / ds2 (0, ) z (n ) (1) v Gn (0) n t gn f Gn v p M l mt im t ca {gn (0)}n1 M T (1) ta cú: g n* ( vi M ) z z , (2) M l di sinh b i dsM2 Gi s U l mt lõn cn nh ca p S dng ỏnh giỏ Cauchy ta thy rng cú mt s nguyờn dng n v s m ln : g n (( )) U , m vi (1/ m) l a bỏn kớnh / m Do vy tn ti mt dóy {xm}m1 U cho xm gn ((1/ m)) Ta thy: d M ( g n (0), xm ) d (0, ) (m ) m B i tớnh liờn tc ca d M ( p, q) , tn ti mt im q U cho d M ( p, q) , nh vy p A(M ) Mõu thun, vy mnh c chng minh Tip theo ta trỡnh by mt dng m rng khỏc ca nh lý Lindelửf 2.6.2 nh l Cho f l ỏnh x chnh h nh t ti khụng gian gii tớch phc liờn thụng Gi s f cú giỏ tr tim cn p0 M ti z0 dc theo cung Jordan v f khụng cú gii hn gúc p0 ti z0 Khi ú p0 A(M ) S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Chng minh Theo nh lý Barth ta thy rng d M sinh tụpụ trờn M A(M ) Gi s p0 A(M ) Ly lõn cn U ng vi d M nm M A(M ) Theo nh lý 2.5.2, tn ti cung Jordan L vi im cui z0 v mt dóy zn n1 hi t n z0 cho f cú mt giỏ tr tim cn p0 dc theo L tha iu kin f zn U v d zn , L Cho un l cỏc im ca L tha d zn , un Khi ú dM f ( zn ), p0 d M f ( zn ), f (un ) d M f (un ), p0 Vi n ln ta cú d M f (un ), p0 M t khỏc dM f ( zn ), f (un ) d zn , un Do ú d M f ( zn ), p0 vi n ln M d M f ( zn ), p0 , nờn ta cú mõu thun, ú nh lý c chng minh 2.6.3 H qu Cho l khụng gian phc hyperbolic v f : M l ỏnh x chnh h nh Nu f cú mt giỏ tr tim cn p0 M ti im z0 dc theo cung Jordan n m , ú f cú gii hn gúc p0 ti z0 K T UN S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 Ni dung ca lun l trỡnh by v cỏc ỏnh x chnh hỡnh chu n tc v cỏc m rng mt s nh lý c in ca lý thuyt hm Cỏc kt qu t c ca lun bao gm: Trỡnh by mt s kin thc chu n b v cỏc khụng gian phc hyperbolic v lý thuyt Nevanlinna Trỡnh by mt s kt qu v ỏnh x chnh hỡnh chu n tc Trỡnh by mt ỏnh giỏ ca hm c trng lý thuyt Nevanlinna Trỡnh by mt kt qu v tng quỏt húa nh lý Picard ln v thỏc trin ỏnh x chnh hỡnh Trỡnh by v mt s kt qu v tng quỏt húa nh lý Lindel f v cỏc giỏ tr tim cn ca cỏc hm chnh hỡnh b ch n v lý thuyt hyperbolic TI IU TH M KHO TI NG VIT S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 Phm Vi t c (2005), u v lý thuyt cỏc khụng gian phc hyperbolic, Nh xut bn i hc s phm TI NG NH T J Barth (1972), The Kobayashi distance induces the standard topology, Proc, Amer Math Soc., 35, 439-411 H Fujimoto (1974), On families of meromorphic maps into the complex projective space, Nagoya Math J., 54, 21-25 K Funahashi (1984), Normal holomorphic mappings and classical theorems of function theory, Nagoya Math J 94, 89-104 M L Green (1977), Holomorphic maps to complex tori, Amer J Math, 100, 615-620 M L Green (1977), The hyperbolicity of the complement of 2n+1 hyperplanes in general position in Pn and related result, Proc Amer Math Soc., 16, 109-113 P Kiernan (1973), Hyperbolically imbedded space and the big Picard theorem, Math Ann., 204, 203-209 S Kobayashi (1970) Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings, Marcel Dekker, Inc., New York O Lehto and K I Virtanen (1957), Boundary behaviour and normal meromorphic funtions, Acta Math., 97, 47-65 10 R Nevanlinna (1970), Analytic functions, Springer-Verlag, New YorkHeidelberg-Berlin 11 K Noshiro (1960), Cluster sets, Ergerbniss der Math., Heft 28, Springer-Verlag, Berlin -Gửttinggen-Heidelberg S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn [...]... rng nh lý Picard ln nh l Picard l n i ỏnh x chnh h nh f t a thng D * vo P1 (C) \{3 im} u thỏc trin c thnh mt ỏnh x chnh h nh t D vo P1 (C) Tc l tn ti ỏnh x chnh h nh F : D P1 (C) tha món F D* f m rng nh lý Picard ln, Kobayashi ó a ra khỏi nim nhỳng hyperbolic ca cỏc khụng gian phc v chng minh c P1 (C) 3 im l nhỳng hyperbolic trong P1 (C) M.Kwack v Kobayashi ó m rng c nh lý Picard ln b i nh lý sau:... N Khi ú ỏnh x chnh hỡnh f : * N S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 23 vi f (*) M l chu n tc Do ú, nh lý 2.4.2 l tng quỏt húa nh lý Picard ln trỡnh by trong S Kobayashi [8], chng V, nh lý 6.1 2 Cỏc giỏ tr ti m cn Trong phn ny, ta xem xột tng quỏt húa nh lý Lindel f v cỏc giỏ tr tim cn ca cỏc hm chnh hỡnh b ch n 2.5.1 nh ngha Cho f l ỏnh x chnh hỡnh t min liờn thụng n G ti khụng... lõn cn W ca p0 , khi k0 ln, f ({ z rk }) b cha trong W vi k k0 Vi cỏch chng minh ca nh lý 3.1 trong S Kobayashi [8], chng VI, ta thy rng, mi lõn cn U ca p0 , nu 0 nh thỡ f ({z *, z }) b cha trong U, vỡ vy ta cú th xỏc nh thỏc trin chnh hỡnh ca f ti b i f (0) p0 nh lý c chng minh 2.4.3 Nhn xột (i) nh lý trờn vn ỳng nu N l khụng gian gii tớch phc liờn thụng paracompact B i vỡ N cú mt metric... khong cỏch hyperbolic trờn chng minh nh lý ny, ta cn b sau: 2.5.3 B (M rng nh lý Lindel f) Cho r0 ln hn ho c b ng 0 v D {z; z r0 , 0 arg z } Gi s f ( z ) l hm chnh h nh b ch n trờn D, liờn tc trờn D {r , r r0} v limsup f (r ) 0 Khi ú vi mi 0 ta cú r lim sup{ f ( z ) ; 0 arg z , z } 0 Chng minh Chng minh sau c a ra b i H ujimoto Ta s dng lý thuyt ca o iu hũa ([10], III, Đ2) Ly... nờn {zn } , L cú th chn sao cho d ( zn , L) vi bt kỡ 0 nh lý c chng minh nh lý sau l m rng mt kt qu ca Lehto Virtanen [9] 2.5.4 nh l Cho f : N l ỏnh x chnh h nh chun t c v f l mt giỏ tr tim cn p0 N ti im z0 dc theo ng cong Jordan J n m trong Khi ú f cú gii hn gúc p0 ti im z0 Chng minh Gi s f khụng cú gii hn gúc p0 ti z0 Theo nh lý 2.5.3 vi mi lõn cn bộ U ca p0 , tn ti ng cong Jordan L trong... gian phc Khi ú, nu l nh ng hyperbolic trong th mi ỏnh x chnh h nh f : D* X u thỏc trin c thnh ỏnh x chnh h nh F : D Y Vi cỏc kt qu ca Kwack v Kobayashi, Kiernan ó m rng nh lý Picard ln lờn trng hp nhiu chiu b i K 3 -nh lý nh l ( K 3 -nh l ) S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 Gi s l divisor cú giao chun t c trong a tp phc Gi s l khụng gian con phc compact tng i, nh ng... http://www.lrc.tnu.edu.vn 25 Ngoi ra 2 ( z ) 1 ( z ) ( z ) trờn D theo nguyờn lý cc i Vỡ 1 ( z ) 2 ( z ) ( z ) , nờn ' ' 2 ( z ) , z r2 {1 (z)> } trờn D 2 4 Do ú ' { arg z 0, z r2} 1 ( z ) 4 trờn D Ta nh ngha m(r2 ) , m *(r2 ) nh sau: m(r2 ) sup{ f (r ) ; r l thực, r r2} m *(r2 ) sup{ f (r ) ; arg z 0, z r2} Nu f ( z ) M , theo nh lý hai hng s ([10], III, Đ2, trang 41-42) ta cú m *(r2 )... vi w( z ) l o iu hũa ca cung ni gia z0 v z1 ng vi G Ta núi f cú gii hn gúc p0 ti z0 G nu vi mi lõn cn U ca p0 v mi gúc A cú nh ti z0 , thỡ tn ti mt lõn cn V ca z0 sao cho f (V A) U nh lý sau l mt tng quỏt ca nh lý 1 ca Lehto - Virtanen trong [9] 2.5.2 nh l Cho f l ỏnh x chnh h nh t a n v ti khụng gian gii tớch phc N Gi s f cú mt giỏ tr tim cn p0 N ti mt im z0 G dc theo mt ng cong Jordan n m trong... tc vi ( z ) p0 v do ú ( z ) p0 Dn n mõu thun, vy nh lý c chng minh 2.5.5 H qu Cho N l khụng gian gii tớch phc liờn thụng paracompact v l t ỏnh x chnh h nh f : N khụng gian con nh ng hyperbolic trong N vi f () M Nu f l mt giỏ tr tim cn p0 N ti z0 dc theo cung Jordan J n m trong , th f cú gii hn gúc p0 ti z0 T h qu trờn ta thy nh lý Lindelửf ỳng vi cỏc ỏnh x sau: 2.5.6 Vớ d (i) f : P n... mnh c chng minh Tip theo ta trỡnh by mt dng m rng khỏc ca nh lý Lindelửf 2.6.2 nh l Cho f l ỏnh x chnh h nh t ti khụng gian gii tớch phc liờn thụng Gi s f cú giỏ tr tim cn p0 M ti z0 dc theo cung Jordan trong v f khụng cú gii hn gúc p0 ti z0 Khi ú p0 A(M ) S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Chng minh Theo nh lý Barth ta thy rng d M sinh ra tụpụ trờn M A(M ) Gi s p0 ... tụi trỡnh by mt s kt qu v cỏc ỏnh x chnh hỡnh chu n tc v cỏc m rng mt s nh lý c in ca lý thuyt hm nh nh lý Picard ln v nh lý Lindelửf S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chng... M l chu n tc Do ú, nh lý 2.4.2 l tng quỏt húa nh lý Picard ln trỡnh by S Kobayashi [8], chng V, nh lý 6.1 Cỏc giỏ tr ti m cn Trong phn ny, ta xem xột tng quỏt húa nh lý Lindel f v cỏc giỏ tr... rng nh lý Picard ln, Kobayashi ó a khỏi nim nhỳng hyperbolic ca cỏc khụng gian phc v chng minh c P1 (C) im l nhỳng hyperbolic P1 (C) M.Kwack v Kobayashi ó m rng c nh lý Picard ln b i nh lý sau: