Chương MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG I - Phân phối nhị thức a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối nhị thức ª Tiến hành n phép thử độc lập ª P(A) = p phép thử ª X số lần A xảy n phép thử, X đ.l.n.n rời rạc nhận giá trị: 0, 1, , n X có phân phối nhị thức với tham số : n, p Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với tham số n p ký hiệu là: X ∼ B(n, p) Thí dụ 1: Xác suất để máy sản xuất sản phẩm loại I 0,8 Cho máy sản xuất sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại I có sản phẩm máy sản xuất X ∼ B(5; 0,8) Thí dụ 2: Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia lần bắn 0,9 Xạ thủ bắn 10 viên Gọi X số viên trúng bia xạ thủ X ∼ B(10; 0,9) Thí dụ 3: Có cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi người ném quả) Xác suất ném trúng rổ cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6 Gọi X số lần ném trúng rổ cầu thủ X có phân phối nhị thức hay không? Khái niệm phép thử độc lập τ τ hai phép thử độc lập xác suất xảy biến cố phép thử τ không phụ thuộc vào kết phép thử τ ngược lại b- Công thức tính xác suất Neáu X ∼ B(n, p) Px = P( X = x ) = C p q x n x n− x (∀x = 0,1,2, , n ) (3.1) Thí dụ: X ∼ B(5; 0,8) P( X = 0) = (0,2) = 0,00032 P( X = 1) = C (0,8)(0,2) = 0,0064 P( X = 2) = C (0,8) (0,2) = 0,0512 P( X = 3) = C (0,8) (0,2) = 0,2048 P( X = 4) = C (0,8) (0,2) = 0,4096 P( X = 5) = (0,8) = 0,32768 Neáu X ∼ B(n, p), thì: P(x ≤ X ≤ x+h) = P(X = x) + P(X = x+ 1) + + P(X = x+h) Trong đó: (3.2) P(X = x), P(X = x+1), , P(X = x+h) tính theo công thức (3.1) Giải: Gọi X chiều cao sinh viên trường Theo giả thiết thì: X ∼ N(160; 52) Tỷ lệ sinh viên có chiều cao từ 155 đến 165 cm là: P(155 ≤ X ≤ 165) Tức tỷ lệ s/v có chiều cao từ 155 cm đến 165 cm 68,26% Minh họa hình học: 68,26% e- Sự hội tụ phân phối nhị thức phân phối chuẩn X ~ B(n, p) n lớn, p không gần không gần coi X ~ N(np, npq) Các công thức xấp xỉ: P(X = x) =C x x n-x p q ≈ n f(z) npq (công thức địa phương Laplace) Trong đó: z= x − np npq ; f(z) = 2π exp(− z / 2) Khi n lớn, xác suất p không gần không gần ta dùng công thức xấp xỉ: P(x ≤ X ≤ x+h) ≈ Φ (x2) − Φ (x1) (Công thức tích phân Laplace) Φ (x) = 2π X exp( − z / ) dz ∫ (Haøm Laplace) x1 = x − np npq ; x2 = x + h − np npq Thí dụ: Xác suất để máy sản xuất sản phẩm loại A 0,8 Tìm xác suất để 400 sản phẩm máy sản xuất có:   a) 336 sản phẩm loại A b) Số sản phẩm loại A khoảng (304; 328) Giải: Gọi X số sản phẩm loại A có 400 sản phẩm máy sản xuất X ∼ B(400, 0,8) Vì n = 400 lớn, p = 0,8 không gần không gần 1, nên áp dụng công thức địa phương Laplace a) P( X = 336) ≈ f (z ) 400 × 0,8 × 0,2 336 − 400 × 0,8 z= =2 400 × 0,8 × 0,2 f ( z ) = f ( 2) = 0,054 f ( z ) 0,054 P( X = 336) ≈ = = 0,00675 8 b) Ta cần tính P(304 ≤ X ≤ 328) Áp dụng công thức tích phân Laplace, ta coù: P(304 ≤ X ≤ 328) ≈ Φ (x2) - Φ (x1) Trong đó: 328 − 400 × 0,8 x2 = =1 400 × 0,8 × 0,2 304 − 400 × 0,8 x1 = = −2 400 × 0,8 × 0,2 P(304 ≤ X ≤ 328) ≈ Φ (1) - Φ (-2) = Φ (1) + Φ (2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185 pp nhị thức TỔNG KẾT CHƯƠNG pp Poisson pp siêu bội Bài toán tổng quát • • pp chuẩn ĐN, đồ thị Công thức tính xác suất Các tham số đặc trưng Bài tập chương 3.9; 3.22; 3.23; 3.24; 3.25; 3.26; 3.29; 3.30; 3.31; 3.32; 3.38; 3.40 Hết chương ... + p II- Phân phối Poisson a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối Poisson X ∼ B(n, p) n lớn, p nhỏ (p < 0,1), np = λ không đổi ta coi X có phân phối Poisson với tham số λ X có phân phối Poisson... Hãy tính xác suất công thức phân phối siêu bội IV- Phân phối Chuẩn a- Định nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị khoảng (−∞,+∞) gọi có phân phối chuẩn hàm mật độ xác suất có dạng:... X có phân phối siêu bội với giá trị nhận là: 2, 3, 4, b- Công thức tính xác suất Nếu X ∼ H(N, M, n) x M n−x N−M n N C C P(X = x) = C (3. 12) Max{ 0, M+n-N} ≤ x ≤ Min { n, M} 3- Các tham số đặc