O0O Phƣơng pháp 1: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN a f ( x) = b ⇔ f (x) = loga b ; loga f (x) = b ⇔ f (x) = ab Ví dụ Giải phƣơng trình: a) 3x −5x+4 b) log2 (3x − 4) = ; = 81 Giải: a) x2 −5x+4 = 81 ⇔ x 2 − 5x + = log3 81 ⇔ − 5x + = log3 x x=0 2 ⇔ x − 5x + = ⇔ x − 5x = ⇔ x(x − 5) = ⇔  x=5 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = b) log2 (3x − 4) = ĐK: 3x − > ⇔ x > 3 log2 (3x − 4) = ⇔ l3x − = ⇔ 3x − = ⇔ 3x =12 ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Page Phƣơng pháp 2: ĐƢA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1) Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình dạng a f ( x) = ag ( x) Nếu số a số dương khác a f ( x) = ag ( x) ⇔ f (x) = g(x) a > - Nếu số a thay đổi a f ( x) = a g ( x) ⇔  (a −1)[ f (x) − g(x) ] = 2) Đối với phương trình logarit: biến đổi phương trình dạng   f (x) = g(x)  Ví dụ Giải phƣơng trình: a) 3x −5x+4 b) log2 (3x − 4) = ; = 81 Giải: x2 −5x+4 a) = 81 ⇔ x2 −5x+4 =3 ⇔ x − 5x + = x=0 ⇔ x − 5x = ⇔ x(x − 5) = ⇔  x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = b) ĐK: 3x − > ⇔ x > log2 (3x − 4) = ⇔ log2 (3x − 4) = log32 ⇔ 3x − 3= ⇔ 3x − = ⇔ 3x =12 ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phƣơng trình: x2 −x+8 1−3x x+1 = a) ; b) 2 x −3 x = 5.2 c) 2.5 −3 ; x−1 +2 x + d) 2x −1 3x 3x − = = 28 −1 −2 Giải: a) x2 −x+8 x2 −x+8 1−3x =9 ⇔3 = 2(1−3x) ⇔ x − x + = 2(1− 3x)  x = −2 ⇔ x + 5x + = ⇔   x = −3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = - x+1 b) x−1 x +2 x−1 ⇔2 + = 28 ⇔ 2 x−1 =4⇔2 x−1 +2 x−1 + 2.2 x−1 x−1 = ⇔ x −1 = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = c) 2.5 x2 −3 x2 −3 = 5.2 ⇔5 x −3 2 x −3 x2 −3 5 =5⇔  2 =   2 ⇔ x − =1 ⇔ x = ⇔ x = ±2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = x2 −1 x2 x−1 −3 =3 d) x −1 x −1 − x2 +2 x −1 x−1 ⇔2 3.3 x −1 − x−1 x −1 x2 −1 =3 3 x2 −1 − 2 x −1 ⇔ 2 + 2 = + 3.3 ⇔ 2 (1+ ) = 32 (1+ 3) ⇔2 x −1 x −1 = ⇔   2 = 28 ⇔ (2 +1+ 2) = 28 x +2 Ví dụ Giải phƣơng trình: x2 −1  =  3 ⇔ 2 x2 −1    3   ⇔ x2 −1 = =   3 ⇔ x = ⇔ x = ± Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = Ví dụ Giải phƣơng trình: a) lg x + lg x = lg 4x ; b) log x + log x + log x = log x Giải: b) ĐK: x > lg x + lg x = lg 4x ⇔ lg x + 2lg x = lg + lg x ⇔ 2lg = lg x x = x =2⇔  x = −2 ⇔ 2lg x = lg 22 ⇔ lg = lg x ⇔ Do x > nên nghiệm phương trình x = b) ĐK: x > log2 x + log3 x + log4 x = log5 x ⇔ log2 x + log3 2.log2 x + log4 2.log2 x = log5 2.log2 x ⇔ log2 x.(1+ log3 + log4 − log5 2) = ⇔ log2 x = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phƣơng pháp 3: BIẾN ĐỔI ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ Giải phƣơng trình: x x x+1 a) 12.3 + 3.15 − = 20 b) log (3x − 4).log x = log x ; 2 Giải: x x a) 12.3 + 3.15 − x x x+1 x x x x = 20 ⇔12.3 + 3.3 − 5.5 − 20 = x x x ⇔ 3.3 (4 + ) − 5(5 + 4) = ⇔ (5 + 4)(3.3 − 5) = x x ⇔ 5 + = ⇔ = ⇔ x = log      x 3 3 3.3 − = Vậy phương trình cho có nghiệm 5   3  x = log 3x − > b) ĐK:  ⇔x> x > log (3x − 4).log x = log x ⇔ log x [log (3x − 4) −1] = ⇔ log2 x = ⇔ log2 x = ⇔ x =    log2 (3x − 4) −1 = log2 (3x − 4) = 3x − = Do x > nên nghiệm phương trình x = ⇔ x =  x = Phƣơng pháp 4: LÔGARIT HÓA, MŨ HÓA Ví dụ Giải phƣơng trình: x x2 a) =1 ; b) log2 x +x=2 Giải: a) Lấy lô garit hai vế với số 2, ta ( log )3 x x x x2 = log2 ⇔ log2 + log2 = ⇔ x.log2 + log2 = x x = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ x.log x x log x ( ) ⇔ x =   2 log + x = x = −log   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = −log2 b) ĐK: x > Đặt log x = t ⇒ x = ta thu phương trình mũ theo biến t : t t t +2 = (*) Vế trái (*) hàm số đồng biến, vế phải hàm nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà t = nghiệm (*) nên nghiệm (*) ⇒ log2 x = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phƣơng Phƣơng 2pháp 5: DÙNG ẨN PHỤ 2x 2 trình: 9.2x x 22x Giải: Chia vế phương trình cho 22x 2x 9.2x 2 2x 2.22x 2x Đặt t 2t 2 2x 9t x 9.2x 2x 2 x 22x 2 ta được: 2x 2x x 0 điều kiện t > Khi phương trình tương đương với : t t 2x 2x x x 22 x x 22 x x Vậy phương trình có nghiệm x = - 1, x = 2 x x Ví dụ Giải phƣơng trình: x 2 Giải: Nhận xét rằng: Do đặt t điều kiện t > 0, thì: 2 ;2 x x 3 x t x t2 Khi phương trình tương đương với: t 2 t t3 t 2t 3 x t t2 t x t t2 t Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phƣơng trình: Giải: Đặt t t2 3x 2x 2x t 2x 9.2x 4.9.2x 2x t t 2x Khi : + Với t 3x , điều kiện t > Khi phương trình tương đương với: 2x + Với t 9.2x x 3x x x x x x Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x = Ví dụ Giải phƣơng trình: 22x 66 x Giải: Đặt u 2x , điều kiện u > Khi phương trình thành: u uđiều kiện v Đặt v v2 u u 6 6 Khi phương trình chuyển thành hệ: , u2 v v2 u u2 v2 + Với u = v ta được: u2 u u v u v u u u v u u u 2x v v x log2 + Với u + v + = ta : u u u 21 u u 2 21 Vậy phương trình có nghiệm x log2 21 21 2x x 21 x = log2 Phƣơng pháp 6: DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ Giải phƣơng trình: log7 x = log3 ( + 2) 21 log 2 x Giải: ĐK : x > Đặt t = log x ⇒ x = t Khi phương trình trở thành : t = log (   t  t +2⇔ + 2.  = (*)       t + 2) ⇔ 3t = t Vế trái (*) hàm số nghịch biến, vế phải hàm nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà t = nghiệm (*) nên nghiệm (*) ⇒ log7 x = ⇒ x = 49 Vậy phương trình có nghiệm x = 49 x−1 Ví dụ Giải phƣơng trình: Giải: ĐK : 6x − > ⇔ x > = 6log7 (6x − 5) +1 Đặt y −1 = log (6x − 5) Khi đó, ta có hệ phương trình 7 = ( y −1) +1   y −1 = ( 6x − 5) log x −1 x −1 x −1 7 = y − 7 − y = x−1 y−1 ⇒ + 6x = + y −5 ⇔ ⇔ y −1 y −1 7 = 6x − 7 − 6x = −5 Xét hàm số f (t ) = 7t + 6t − f ' ( t ) = 7t 1.ln + > 0,∀t > nên f (t hàm số − ) đồng biến 5 ; +∞ Mà  6    − g '( x ) = 7x ln g ''( x ) = x ( ln 7) > Suy ra, −6 5  trình ;+∞ , phương hàm số đồng biến D = hàm số g(x) = 7x − 6x + − g '( x) f ( x) f ( y ) ⇒ x = y Khi đó: x − 6x + = Xét = Sài Gòn, 10/2013 − − Page g '( x) = 0có     nhiều nghiệm Suy ra, phương trình g ( x) = có nghiệm có nhiều hai nghiệm Nhẩm nghiệm ta nghiệm phương trình là: x = 1, x = Sài Gòn, 10/2013 Page 10 x x Ví dụ Giải phƣơng trình: + = − 7x (*) Giải: Vế trái (*) hàm số đồng biến, vế phải (*) hàm số nghịch biến nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà x = nghiệm (*) nên nghiệm (*) Phƣơng pháp 7: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Ví dụ Giải phƣơng trình: 2x +1 =2− x Giải: ĐK : x ≥ x +1 +1 Ta có VT = 2 ≥2 =2 VP = − ≤ − = Suy VT ≥ VP , dấu x xảy x = Vậy x = nghiệm phương trình cho x x+1 Ví dụ Giải phƣơng trình: 1− + x −x =2 +2 Giải: + −x ⇔ − (4x − 2.2x +1) = 2x + −x Ta có 1− 4x + 2x = 2x + ⇔ − (2x −1)2 = 2x + x −x VT = − (2 −1) ≤ − =  2 x −1=0 Page 10 − x x −x VP = + ≥ xảy  x = 2− x = Suy VT ⇔x=0 ≤ VP , dấu Page 11 Vậy x = nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phƣơng trình: ( ) = log ( x − 2x + 5) log3 − x − Giải: x ≥ x ≥1 x −1 ≥ 0   ĐK : 9 − x −1 > ⇔ 9 > x −1 ⇔ x ⇔ x ∈[1;82 )   2  ( x −1) + > ( x −1) + > 0    Ta có : ( ) VT = log3 − VP = log xảy  ( x ≤ log3 = − x − 2x +15 ) = log ( x −1) x−1=  + 4 ≥ log = Suy VT ≤ VP , dấu  ⇔ x =   ( x − ) = Vậy x = nghiệm phương trình cho Phƣơng pháp 8: PHƢƠNG PHÁP QUAN NIỆM HẰNG SỐ LÀ ẨN Ví dụ Giải phƣơng trình: 16x − 4x−1 + 2x+2 =16 Giải: Ta có 16x − 4x−1 + 2x+2 =16 ⇔ 42 − 2x.4 + 4x−1 −16x = (*) Xét phương trình ẩn t sau t2 − 2xt + 4x−1 −16x = (**) Giả sử (*) với giá trị x0 phương trình ẩn t sau có nghiệm t = 4: t − 2x0 t + 4x0 −16x0 = −1 Biệt thức Suy TH1: ( ∆ = −2 x0 ) ( −4 2x0 + t=4= 2 ; −16 x0 ) = 4.16 t=4= 4.16x0 2x0 + ⇔ 4.16x0 x 24 = x0 −1 >0 2x0 − 4.1 6x0 )2 + =8⇔ x 2 x + 2.4 x0 ( −8=0⇔ x 0  x −1 + 2 = 65 (n)   x −1 − 65 (l) 2 =  x = log  −1 65  + 2    TH2: 4= 2x0 − x x x x −2 +8= x0 ⇔ − 2.4 = ⇔ 2 4.16 ( ) Vậy phương trình cho có nghiệm (pt vô nghiệm) x = log 2 −1 + 65      Phƣơng pháp 9: SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE x x x Ví dụ Giải phƣơng trình: + = + x Giải: Giả sử x0 nghiệm (1), hay ta có: (1) x Xét hàm số x x x x x = + ⇔ − = − (*) f (t) = ( t + 3) x0 − t đoạn [2; 4] f (t) hàm số liên tục có x0 đạo hàm đoạn [2;4] Áp dụng định lí lagrange có số k ∈( 2;4 ) cho f '(k) = f (4) − f (2) = (7 x0 −4 x0 4−2 ) − (5 x0 −2 x0 ) = (do (*)) mà f '(t) = x0 ( t + 3) x0 −1 − − x 0t x 4−2 x −1 x −1 = x ( t + ) − t    Suy x − ( k + 3) x0  −k  x0 −1  x = =0⇔ ( k + )  x0 −1 −k x0 −1 x0 = = ⇔ x0 =  ⇔ x ⇔  k + x −1    = x0 −1 =  x =  k  Thay x = 0; x =1 vào (1) ta thấy chúng thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0; x =1 x = ⇔ = ( k + 3)  x0 −1 =k x0 −1 [...]... nhất của phương trình đã cho Ví dụ 3 Giải phƣơng trình: ( ) = log ( x − 2x + 5) log3 9 − 2 x 2 − 1 Giải: x ≥ 1 x ≥1 x −1 ≥ 0   ĐK : 9 − x −1 > 0 ⇔ 9 > x −1 ⇔ x ⇔ x ∈[1;82 )   2 2  ( x −1) + 4 > ( x −1) + 4 > 0 0 0    Ta có : ( ) VT = log3 9 − VP = log 2 xảy  ra khi ( x ≤ log3 9 = 2 và − x − 2x +15 2 ) = log ( x −1) 2 x−1= 0  2 + 4 ≥ log 4 = 2 Suy ra VT ≤ VP... nghịch biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình (*) nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm Mà t = 2 là một nghiệm của (*) nên đó là nghiệm duy nhất của (*) ⇒ log7 x = 2 ⇒ x = 49 Vậy phương trình có nghiệm x = 49 x−1 Ví dụ 2 Giải phƣơng trình: 7 Giải: ĐK : 6x − 5 > 0 ⇔ x > 5 6 = 6log7 (6x − 5) +1 Đặt y −1 = log (6x − 5) Khi đó, ta có hệ phương trình 7 7 = 6 ( y −1) +1   y −1 = ( 6x − 5)... 7) > 0 Suy ra, −6 5  trình ;+∞ , do đó phương là hàm số đồng biến trên D = hàm số g(x) = 7x 1 − 6x + 5 − g '( x) f ( x) f ( y ) ⇒ x = y Khi đó: 7 x 1 − 6x + 5 = 0 Xét = Sài Gòn, 10/2013 − − 2 Page 9 g '( x) = 0có   6   nhiều nhất một nghiệm Suy ra, phương trình g ( x) = nếu có nghiệm thì có nhiều 0 nhất là hai nghiệm Nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2 Sài Gòn, 10/2013... = log  −1 65  + 0 2  4   TH2: 4= 0 2x0 − 2 x x x x −2 0 +8= x0 ⇔ 2 0 − 2.4 0 = 8 ⇔ 2 2 0 2 4.16 ( ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm (pt vô nghiệm) x = log 2 −1 + 65    4   Phƣơng pháp 9: SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE x x x Ví dụ 1 Giải phƣơng trình: 5 + 4 = 2 + x 7 Giải: Giả sử x0 là một nghiệm của (1), hay ta có: (1) x Xét hàm số x x x x x = 2 0 + 7 0 ⇔ 5 0 − 2 0 = 7 0 − 4 0 (*) 5 f (t) ... Giải phƣơng Phƣơng 2pháp 5: DÙNG ẨN PHỤ 2x 2 trình: 9. 2x x 22x Giải: Chia vế phương trình cho 22x 2x 9. 2x 2 2x 2.22x 2x Đặt t 2t 2 2x 9t x 9. 2x 2x 2 x 22x 2 ta được: 2x 2x x 0 điều kiện t > Khi... Giải phƣơng trình: Giải: Đặt t t2 3x 2x 2x t 2x 9. 2x 4 .9. 2x 2x t t 2x Khi : + Với t 3x , điều kiện t > Khi phương trình tương đương với: 2x + Với t 9. 2x x 3x x x x x x Vậy phương trình có nghiệm... (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà t = nghiệm (*) nên nghiệm (*) ⇒ log7 x = ⇒ x = 49 Vậy phương trình có nghiệm x = 49 x−1 Ví dụ Giải phƣơng trình: Giải: ĐK : 6x − > ⇔ x > = 6log7 (6x − 5) +1 Đặt