BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN LỜI NĨI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn Tốn trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Cơng Nghệ Thơng Tin TPHCM tổ chức biên soạn ấn hành TỐN CAO CẤP A2 dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật Cuốn sách giảng viên thuộc mơn Tốn biên soạn, sở đề cương mơn học theo tín Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt Nội dung sách phần Đại số tuyến tính Tính gần đúng, giải hầu hết vấn đề trọng yếu mơn học, giúp sinh viên có tảng tốn để tiếp cận mơn học khác chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế Phần lý thuyết trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng Ngồi ra, có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau chương có tập để sinh viên rèn luyện Đây tài liệu sử dụng thức trường giúp sinh viên học tập thi kết thúc học phần có hiệu tốt theo chương trình đào tạo tín Trong q trình giảng dạy, giáo trình cập nhật, chỉnh lý để ngày hồn thiện đầy đủ Do khả có hạn, thời gian ngắn lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín nên giáo trình khơng tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên mơn Tốn mong nhận ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc ngồi trường Các ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc xin gửi chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng mơn TỐN Trường Cao đẳng Cơng nghệ Thơng tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN MỤC LỤC PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 2 2 3.1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I SỐ PHỨC TẬP HỢP ANH XẠ TẬP HỢP SỐ THỰC SỐ PHỨC BÀI TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I Định nghĩa ma trận II Phân loại ma trận III Các phép tốn ma trận IV Các phép biến đổi sơ cấp ma trận ĐỊNH THỨC I Định nghĩa định thức ma trận vng II Tính chất định thức III Khai triển định thức theo hàng cột IV Cách tính định thức phép biến đổi sơ cấp MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I Định nghĩa II Các định lý III Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo HẠNG CỦA MA TRẬN I Định nghĩa II Phương pháp tìm hạng ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Trang 7 12 14 16 22 23 23 30 37 42 45 49 49 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 BỘ MÔN TOÁN II Định lí tồn nghiệm Kronecker-Capelli CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I Phương pháp Cramer II Phuơng pháp Gauss-Jordan III Hệ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV MỘT SỐ THUẬT TỐN TÍNH GẦN ĐÚNG LÝ THUYẾT SAI SỐ I Số gần sai số II.Sai số tính tốn TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN SỐ I.Nghiệm khoảng phân ly nghiệm II.Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I.Phương pháp hình thang II Phương pháp Simpson BÀI TẬP CHƯƠNG IV ĐỀ THI THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 61 65 68 68 75 84 89 92 93 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN CHƯƠNG I SỐ PHỨC Tập R phong phú Nhưng phương trình x2 + = khơng có nghiệm số thực Vì vậy, người ta xây dựng thêm số ,gọi số phức 1.1 TẬP HỢP I Khái niệm tập hợp Khái niệm Tập hợp khái niệm ngun thủy tốn học, người ta khơng định nghĩa khái niệm tập hợp qua khái niệm khác đơn giản Để kí hiệu tập hợp người ta dùng chữ in: A,B… Một vật, đối tượng nằm tập hợp gọi phần tử tập hợp, thường ký hiệu chữ thường: a,b,c,… Để x phần tử tập hợp E, ta viết x ∈ E Để x phần tử khơng thuộc tập hợp E, ta viết x ∉E x ∉ E Tập hợp khơng chứa phần tử gọi tập hợp trống ( rỗng) kí hiệu ∅ Các phương pháp biểu diễn tập hợp : a Biểu diễn theo kiểu liệt kê: Liệt kê tất phần tử tập hợp dấu ngoặc nhọn, phần tử viết lần BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Ví dụ : {2,3, 4,7} b Biểu diễn theo thuộc tính đặc trưng : Chỉ đặc tính tập hợp Ví dụ : Tập hợp { } A A = x x + 2.x + = Hình 1-1 c Biểu diễn theo giản đồ VENN: Minh họa tập hợp miền phẳng giới hạn đường cong hay đường gấp khúc kín Xem hình 1-1 Quan hệ tập hợp a) Tập : Cho tập hợp E, F Nếu phần tử E phần tử F ta nói E bao hàm F hay E tập F F E Hình 1-2 Kí hiệu E ⊂ F Minh họa hình học xem hình 1-2 b) Tập hợp nhau: Hai tập E F gọi phần tử E phần tử F ngược lại.Kí hiệu : E = F Một số tập hợp thường gặp N : tập hợp số tự nhiên BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Z : tập hợp số ngun Q : tập hợp số hữu tỉ R : tập hợp số thực II Các phép tốn tập hợp Phép hợp : B Hợp tập hợp A B tập hợp phần tử thuộc A thuộc B, A kí hiệu: A ∪ B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B} Hình 1-3 Minh họa hình học xem hình 1-3 Phép giao Giao hai tập hợp A B tập hợp tất phần tử thuộc phần tử chung A B, A B Kíhiệu: A ∩ B= { x x ∈ A ∧ x ∈ B} Minh họa hình học xem hình 1-4 Các tính chất bản: - Tính chất : Tính giao hốn : A∪ B = B∪ A ; - A ∩ B= B ∩ A Tính chất : Tính kết hợp : A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C); A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM - Tính chất : Tính phân bố : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Phép hiệu hai tập hợp Cho tập A B Tập hợp gồm phần tử A khơng thuộc B gọi hiệu tập A với tập B Ký hiệu A\B= { x : x ∈ A x ∉ B} Minh họa hình học xem hình 1-5 Phần bù Tập hợp A ⊂ B, ta gọi tập B\A tập bù tập A tập B A B Hình 1-5 Ký hiệu CBA Hay A Minh họa hình học xem hình 1-6 B A Hình 1-6 10 A BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM α − xn = ϕ(α) −ϕ(xn−1 ) = ϕ/ (c) α − xn−1 ≤ q α − xn−1 ≤ ≤ qn α − x0 , c ∈(a; b) Vậy lim xn = α n →∞ Mặt khác : α − xn ≤ q α − xn−1 ≤ q (α − xn ) + ( xn − xn−1 ) ≤ q α − xn + q xn − xn−1 Hay α − xn ≤ Chọn sai số q x − xn −1 1− q n q Δxn = x − xn −1 1− q n Chú ý VÍ Phương trình f(x) = ⇔ x = x + λf(x) Đặt ϕ(x) = x + λf(x), sau chọn λ cho a ≤ ϕ ( x) | ≤ b , ∀x∈[a;b] v | ϕ '( x) | ≤ q < 1, ∀x ∈ (a; b) Người ta thường chọn x0 = a + b DỤ Tìm nghiệm xấp xỉ phương trình f ( x) = x − − ln x = khoảng phân li (1;2) BÀI GIẢI Phương trình cho tương đương với phương trình : x = + ln x Đặt ϕ( x ) = + ln x , ta có ϕ/ ( x ) = > 0, ∀x ∈ (1,2) x + ln x Suy ra: ϕ( x ) ∈ ( ϕ(1), ϕ(2) ) = 2, + ln ⊂ (1,2) ( ϕ/ ( x ) ≤ 2 ) ≈ 0,3536 := q 79 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Chọn x0 = 1,5 ; BỘ MÔN TOÁN q ≈ 0,547 1− q xn = ϕ( xn −1 ) = + ln xn −1 α − xn ≤ Δxn = q x − xn −1 = 0,547 xn − xn −1 1− q n Lập bảng : STT xn 1,50000 1,55096 1,56169 1,5639 1,56435 1,56444 1,56446 Δxn 0,50000 0,02788 0,00587 0,00121 0,00025 0,00005 0,00001 Nghiệm xấp xỉ : x = 1,56446 ; sai số Δx = 10-5 Phương pháp dây cung a Mơ tả phương pháp Giả sử phương trình f(x) = có nghiệm α khoảng phân li (a;b) Giả sử : f(x), f’(x), f’’(x) liên tục [a,b] f’(x), f’’(x) khơng đổi dấu (a,b) Điểm β ∈ [a, b] gọi thoả điều kiện Fourier : f ( β ) f / / ( β ) > , ta thường chọn β = a β = b Khơng tính chất tổng qt, giả sử β = a thoả điều kiện Fourier Đặt A(a,f(a)), x0 = b, B0(x0,f(x0)) Dây cung AB0 cắt O0x x1, ta có điểm B1(x1,f(x1)); dây cung AB1 cắt Ox x2, Giả sử có điểm Bn-1(xn-1,f(xn-1)) Khi dây cung ABn-1 có phương trình : y − f (a) x−a = xn −1 − a f ( xn −1 ) − f (a ) ABn-1 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ xn : 80 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM y A y= f(x) a α x3 x2 B1 xn = a − x1 x0 =b x B0 f (a).( xn −1 − a) f ( xn −1 ) − f (a ) Tương tự, b điểm Fourie ta có cơng thức xấp xỉ f (b).( xn −1 − b) xn = b − f ( xn −1 ) − f (b) b Sự hội tụ phương pháp Nếu giả thiết mục a) thoả mãn dãy xấp xỉ {xn} cho cơng thức hội tụ α f ( xn ) := Δxn , < m ≤ f / ( x ) , ∀x ∈ [a, b] Hay α − xn ≤ m VÍ DỤ Tìm nghiệm xấp xỉ pt: f ( x) = x − 32 x + = ; f (3) < 0, f (4) > 0, f / ( x) = 4( x3 − 8) ≥ 76, f // ( x) = 12 x > b = thoả điều kiện Fourier Do x0 = a = 3, cơng thức 131( xn −1 − ) xấp xỉ x0 = 3, xn = − f ( xn −1 ) − 131 STT xn 3,00000 3,08392 3,11912 3,13341 3,13913 3,14141 3,14232 3.14268 Δxn 0,15790 0,06888 0,02843 0,01146 0,00458 0,00183 0,00072 0.00029 Nghiệm xấp xỉ : x = 3,1426 ; Δx = 0,29.10-3 81 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton) a Mơ tả phương pháp Cũng với giả thiết phương pháp dây cung Xuất phát từ điểm A0(x0,f(x0)) có hồnh độ x0 thoả mãn điều kiện Fourier, vẽ tiếp tuyến với đồ thị, tiếp tuyến cắt trục hồnh x1 Vẽ tiếp tuyến với đồ thị A1(x1,f(x1)) cắt trục hồnh x2 , Giả sử ta tìm xn-1 Phương trình tiếp tuyến An-1(xn-1,f(xn-1)) : y – f(xn-1) = f’(xn-1) (x – xn-1) Cho y = 0, ta tìm xn : y A A1 a x1 x2 α xn = xn −1 − b y= f(x) x f ( xn −1 ) f / ( xn −1 ) b Sự hội tụ phương pháp Nếu giả thiết mục 3a) thoả mãn dãy xấp xỉ {xn} hội tụ α Hơn nữa, ta có đánh giá sai số: α − xn ≤ 82 M x − x n −1 2m n := Δx n TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN < m ≤ f / ( x ) , f // ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] VÍ DỤ Tìm nghiệm xấp xỉ pt: f ( x) = x − 32 x + = BÀI GIẢI f (3) < 0, f (4) > 0; f / (x) = 4(x3 −8) ≥ 76;0 < f // (x) =12x2 ≤12.16 =192 x0 = thoả điều kiện Fourier Ta có cơng thức xấp xỉ là: x0 = 4, xn = xn −1 − Δx n = f ( xn −1 ) xn −1 − 32 xn −1 + = x − n −1 f / ( xn −1 ) xn3−1 − 2 M 192 24 x n − x n −1 = x n − x n −1 = x n − x n −1 2m 2.76 19 STT 4 3,41518 3,18153 3,14384 3,14292 xn Δxn 0,43202 0,06896 0,00179 0,1086.10-6 Nghiệm xấp xỉ : x = 3,14292 ; Δx = 0,1086.10-6 83 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 4.3 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I Bài tốn Xét hàm số y = f(x) khả tích [a,b] Nếu tìm ngun hàm F(x) f(x) (a;b) theo cơng thức Newton – Leibnit ta có : b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a Song nhiều trường hợp ta khơng tìm ngun hàm F(x) tìm khó khăn, phức tạp Mặt khác thực tế thường phải tính tích phân xác định hàm số f(x) cho dạng bảng, khái niệm ngun hàm khơng có ý nghĩa Bài trình bày số phương pháp tính tích phân xác định Phương pháp tổng qt thay hàm f(x) gần đa thức Pn(x) Khi : b b a a ∫ f ( x)dx ≈ ∫ Pn ( x)dx II Phương pháp hình thang Nội dung phương pháp yi+ yi y y = f(x) a 84 Si xi xi+1 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM b Xét tích phân : I = ∫ f ( x) dx a Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ điểm chia : xi = a + ih, i = 0, n , h = b − a n Xét hình thứ i (i = 0,n − 1) , có diện tích : y + yi +1 h Si = i Khi đó: b n −1 I = ∫ f ( x ) dx ≈ I n = ∑Si = h ⎡⎣( y0 + yn ) + 2( y1 + + yn −1 )⎤⎦ i =0 a Cơng thức gọi cơng thức hình thang Thực chất phương pháp hình thang thay cung đường cong y = f(x) đoạn nhỏ đoạn thẳng Vì phương pháp gọi phương pháp nội suy tuyến tính 2.Sai số phương pháp Sai số xấp xỉ thứ n cho cơng thức : M (b − a ) f // ( x) ∫a f ( x) dx − In ≤ 12n2 = b12− a M.h := ΔI, M = xmax ∈[ a ,b ] b VÍ DỤ Tính gần tích phân I = ∫ dx cơng thức x +1 hình thang với số đoạn chia n = đánh giá sai số BÀI GIẢI Ta có bước h = b − a = − = 0,5 y = f ( x) = x +1 n Bảng giá trị : 85 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM xi 0,5 yi Vậy: 1 1,5 2,5 ( ) ( 3,5 ) 0,5 ⎡ 1+ + 2 + + + + + + ⎤ = 821 ≈ 1,62897 ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 504 Sai số : I ≈ I8 = M(b − a) 2.43 = ≈ 0,1667 f ( x) = ,M = 2, ΔI = = ( x + 1) 12n2 12.82 // Mặt khác ta có: I = ∫ dx = ln5 , : ln5 ≈ 1,62897 x +1 Chú ý Giá trị ln5 1.6094379124341004 III Phương pháp parabol(Simpson) Nội dung phương pháp y y2i y2i-1 y2i-2 C Parabol B A y= f(x) Si a x2i-2 x2i-1 x2i b Chia đoạn [a,b] thành 2n đoạn nhỏ điểm chia : 86 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN xi = a + ih, i = 0,2n , h = b − a 2n Trên đoạn [x2i-2;x2i], thay cung y = f(x) parabol qua điểm A, B, C (hình vẽ) Theo cơng thức Newton tiến, ta tìm phương trình parabol : x − x2 i − ⇒ dx = h dt h t t(t − 1) Δ y0 P2 ( x ) = y2i −2 + Δy0 + 1! 2! t= Do đó, diện tích hình thang parabol : Si = x2 i ⎛ ∫ P ( x)dx = h∫⎜⎝ y 2i −2 x2 i −2 t (t − 1) ⎞ + t Δy0 + Δ y0 ⎟ dt 1! 2! ⎠ t =2 ⎡ ⎤ = h ⎢ y2i − 2t + t Δy0 + ⎛⎜ t − t ⎞⎟ Δ y0 ⎥ 2⎝ ⎠ ⎣ ⎦ t =0 = h y2i − + 2Δy0 + Δ y0 = h ( y2i − + y2i −1 + y2i ) 3 ) ( b n a i =1 Khi : I = ∫ f ( x) dx ≈ I n = ∑Si Vậy I ≈ In = h ⎡⎣( y0 + y2n ) + 4( y1 + y3 + + y2n−1 ) + 2( y2 + y4 + + y2n−2 )⎤⎦ Cơng thức gọi cơng thức Simpson Sai số phương pháp Sai số xấp xỉ thứ n cho cơng thức : M (b − a ) − a M.h := ΔI, M = max f (4) ( x) ∫a f ( x) dx − In ≤ 180(2n)4 = b180 x∈[ a ,b ] b 87 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM VÍ DỤ Tính gần tích phân I = dx ∫ x + cơng thức simpson với số đoạn chia 2n = đánh giá sai số BÀI GIẢI Ta có bước h = b − a = − = 0,5 ; y = f ( x) = 2n x +1 0,5 I ≈ I4 = ⎡ 1+ + + + + + + + ⎤ = 6089 ≈ 1,61085 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ 3780 ( ) ( ) ( ) Sai số M(b − a) : f (x) = 24 ,M = 24, ΔI = = 24.4 = ≈ 0,0333 (x +1) 180(2n) 180.8 30 (4) Do : ln5 = 1,61085 ± 0,0333 88 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN BÀI TẬP CHƯƠNG IV 4.1 Cho số gần : a = 3,51472 , Δa = 0,37.10-3 ; b = 0,73561 , Δb = 0,0005 ;c = 12,98753 , Δc = 0,00071 Quy tròn số a, b, c đến chữ số sau dấu phẩy Xác định số chữ số có nghĩa số a, b, c Xác định chữ số đáng tin số a, b, c 4.2 Cho số e = 2.718281828459045… Hãy quy tròn số e đến chữ số có nghĩa thứ 7, 8, Xác định sai số quy tròn tương ứng 4.3 Cho số gần : x = 73,61453 với δ x = 0,2% Hãy xác định chữ số đáng tin x f ( x ) = 0,54 x − 0,23 3x + Tính f ( x ), Δf , δf x = 2,25 với Δx = 0,013 4.4 Cho hàm số 4.5 Cho hàm số u = ln( x + + y ) Tính giá trị u x = 0,351 ; y = 1,29 ; sai số Δu, δu biết Δx = 0,012 ; Δy = 0,05 Mọi chữ số có nghĩa x, y chữ số đáng tin 4.6 Tìm sai số Δa , δ a số chữ số đáng tin cạnh a hình vng, biết diện tích hình vng S = 16,45cm2 với ΔS = 0,01 cm2 89 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 4.7 BỘ MÔN TOÁN ∞ xác k = k! đến chữ số sau dấu phẩy thập phân đánh giá sai số Tính gần số e theo cơng thức e = ∑ 4.8 Cho phương trình x3 + 3x2 – = (1) Chứng minh phương trình (1) có khoảng phân li (-2,75;-2,5) Tìm khoảng phân li lại Tìm nghiệm gần (1) khoảng phân li (-2,75;-2,5) với độ xác 10-3 phương pháp chia đơi phương pháp lặp đơn 4.9 Tìm nghiệm gần phương trình x3 − x − = với độ xác 10-3 phương pháp chia đơi phương pháp lặp đơn 4.10 Tìm nghiệm gần phương trình x5 − x + = khoảng phân li (1;2) với độ xác 10-4 phương pháp lặp đơn 4.11 Cho phương trình x3 – 2x2 – 4x – = (1) Chứng tỏ phương trình (1) có khoảng phân li (3;4) Tìm khoảng phân li lại Tìm nghiệm gần phương trình (1) khoảng phân li (3;4) với độ xác 10-4 phương pháp dây cung phương pháp tiếp tuyến 4.12 Chứng minh phương trình 3x – cos2πx = có nghiệm Tìm gần nghiệm với độ xác 10-4 phương pháp dây cung tiếp tuyến 90 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 4.13 e x dx = I Cho ∫0 x + a) Nếu tính I theo cơng thức hình thang cần chia đoạn [0,1] thành đoạn nhỏ (n=?) để sai số ΔI ≤ 10−4 ? b) Tính I theo cơng thức hình thang với sai số khơng q -3 10 Tính sai số tương ứng x 4.14 Cho I = ∫ x + dx a) Tính I theo cơng thức hình thang với n = 12 đánh giá sai số b) Tính I theo cơng thức Simpson với n = đánh giá sai số 4.15 Tính tích phân sau cơng thức hình thang : 2 a) I = ∫ e − x dx với n = 8; b) I = ∫ cos( x ) dx với n = 10; c) I = ∫ dx với n = 1+ x 4.16 Tính tích phân sau cơng thức Parabol: a) I = ∫ e dx với n = 5; x x π dx với n = 4; x x cos + b) I = ∫ c) I = ∫ e x cos x dx với n = 91 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN A2 Mơn thi: Thời gian: Tốn Cao Cấp khối kỹ thuật 60 phút (Sinh viên khơng sử dụng tài liệu) Câu Tính bậc ba số phức z= − − i Câu Tìm hạng ma trận sau ⎛0 ⎜ A=⎜ ⎜3 ⎜ ⎝4 −3 −5 ⎞ ⎟ −2 −4 ⎟ −5 12 ⎟ ⎟ 5⎠ Câu Giải phương trình ma trận ⎛2⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ X = ⎜ −2 −1 ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Câu Tính tích phân sau cơng thức hình thang : 2 I = ∫ e − x dx với n = 8; 92 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Đại số tuyến tính dùng kinh tế GS TS Trần Văn Hạo Tốn cao cấp Chủ biên PGS TS Lê Văn Hốt Trường đại học Kinh tế TP HCM Phương pháp tính Tạ Văn Đĩnh Tốn cao cấp Chủ biên Nguyễn Đình Trí Bài tập tốn cao cấp Chủ biên Nguyễn Đình Trí 93 [...]... = ( −5) ⇒ det A = −5 b) Định thức cấp 2: ⎛a A = ⎜ 11 ⎝ a21 VÍ DỤ 2 a12 ⎞ ⎟ ⇒ det A = a1 1a22 − a21 a12 a22 ⎠ ⎛1 2⎞ A=⎜ ⎟ ⇒ det A = 1.4 − 2.3 = −2 ⎝3 4⎠ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ c) Định thức cấp 3: Cho A = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ thì ⎜ ⎟ ⎜a a ⎟ a 33 ⎠ ⎝ 31 32 det A = a1 1a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a3 1a22 a13 − a21 a12 a33 − a23 a32 a11 30 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM VÍ DỤ 3 3 4 −6 det A = −2 2 3 = 0... a1 + i b1 ; Z2 = a2 + i b2 thì Z1.Z2 = (a1 .a2 – b1.b2) +(b1 .a2+ a1.b2).i Đặc biệt : ( a+ i.b ).(a-i.b) = a2+ b2 VÍ DỤ: (3 +2.i) (5 – 4.i) = (3.5-2(-4) )+ (2.5+3.(-4)).i=23-2i VÍ DỤ: (3 +2.i) (3 – 2.i) = 9+ 4=13 3 Phép chia số phức Z1 a1 + i.b1 ( a1 + i.b1 ) ( a2 − i.b2 ) a1 .a2 − b1.b2 a2 b1 + a1.b2 = = = + i Z 2 a2 + i.b2 a22 + b22 a22 + b22 a22 + b22 2 + 3.i (2 + 3.i )(4 + 5.i) 7 22 VÍ DỤ: = = = − +... a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a21 a22 a23 = − a11 a12 a33 a31 a32 a23 a11 a13 ; ka11 a33 a31 a12 ka12 a32 a13 ka13 = 0 a33 6 Tính chất 6: Định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì bằng khơng a11 ka11 − ta31 a31 a12 ka12 − ta32 a32 a13 ka13 − ta33 = 0 a33 7 Tính chất 7: Khi nhân tất cả các phần tử của 1 hàng với số k thì định thức đó được nhân lên k lần a11 a12 a13 ka21 ka22 ka23 a31... một số k khác khơng rồi cộng vào hàng khác thì định thức khơng thay đổi a11 a12 a13 a11 a21 a22 a23 = a21 + ka11 a31 a32 a33 a12 a13 a22 + ka12 a23 + ka13 a32 a33 a31 10 Tính chất 10: Ma trận có dạng tam giác thì định thức bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính a11 … a1n a11 … 0 = a1 1a22 ann ; 0 ann = a1 1a22 ann am1 amn III Khai triển định thức theo hàng hoặc theo cột 1 Khai triển định thức... được nhân lên k lần a11 a12 a13 ka21 ka22 ka23 a31 a32 a33 a11 = k a21 a12 a22 a13 a23 a31 a32 a33 31 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 8 Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của 1 hàng của 1 định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì có thể phân tích thành 2 định thức a11 a21 a '12 + a ''12 a11 = a '22 + a ''22 a21 a '12 a11 + a '22 a21 a ''12 a ''22 9 Tính chất 9: Khi ta nhân một hàng với một số... (còn gọi là véctơ cột) 23 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM ⎛ a11 ⎞ ⎜ ⎟ a A = ⎜ 21 ⎟ = ( aij )m×1 ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ am1 ⎠ 4 Ma trận vng cấp n là ma trận cấp n có số dòng bằng số cột ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜… A=⎜ ⎜ ai1 ⎜ ⎜… ⎜a ⎝ n1 a11 … a1 j … a1n ⎞ ⎟ a22 … a2 j … a2 n ⎟ … … … … …⎟ ⎟ = ( aij ) n×n ai 2 … aij … ain ⎟ ⎟ … … … … …⎟ an 2 … anj … ann ⎟⎠ Các phần tử a11, a22 , a33, ….aii,… ann được gọi là các phần... ∀i > j; i, j = 1, n ⎛ a11 a11 ⎜ ⎜ 0 a22 ⎜… … A=⎜ 0 ⎜0 ⎜ ⎜… … ⎜0 0 ⎝ … a1 j … a1n ⎞ ⎟ … a2 j … a2 n ⎟ … … … …⎟ ⎟ … aii … ain ⎟ ⎟ … … … …⎟ … 0 … ann ⎟⎠ b) Ma trận tam giác dưới là ma trận vng, trong đó aij = 0 ∀i < j; i, j = 1, n ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜… A=⎜ ⎜ ai1 ⎜… ⎜⎜ ⎝ an1 0 a22 … ai 2 … … … … … … an 2 … 0 0 … aii … 0⎞ ⎟ … 0⎟ … …⎟ ⎟ … 0⎟ … … …⎟ ⎟ anj … ann ⎟⎠ 25 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 8... 16 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Cho Z1 = a1 + i b1 ; Z2 = a2 + i b2 thì Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) +i ( b1 + b2 ) Z1-Z2 = (a1- a2) + (b1-b2) i Đặc biệt ( a + i.b ) +(a-i.b) = 2.a VÍ DỤ: (3 +2.i) +(5 – 4.i) = (3+5) + (2-4).i=8-2i VÍ DỤ: (3 +2.i) -(5 – 4.i) = (3-5) + (2+4).i.=-2+6i VÍ DỤ: (3 +2.i) +(3 -2.i) = 2.3=6 2 Phép nhân số phức: Cho Z1 = a1 + i b1 ; Z2 = a2 + i b2 thì Z1.Z2 = (a1 .a2 – b1.b2)... 6.x3 + 9.x2 + 100 = 0 b) z2 – (1 + i 3 ).z -1+i 3 = 0 22 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM CHƯƠNG II MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 2.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I Định nghĩa về ma trận Ma trận cấp m × n là một bảng số hình chữ nhật có m hàng n cột Ký hiệu: A, B, C, ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜… A=⎜ ⎜ ai1 ⎜ ⎜… ⎜a ⎝ m1 a11 … a1 j … a1n ⎞ ⎟ a22 … a2 j … a2 n ⎟ … … … … …⎟ ⎟ ai 2 … aij … ain ⎟ ⎟ … … … … …⎟ am 2 … amj … amn ⎟⎠ aij... ⎞ ⎜ 4 5 6 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 1 2 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VÍ DỤ 12 ⎛ 1 2 3 ⎞ −4 h1 +h2 ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎜ 4 5 6 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −3 −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 29 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 2.2 ĐỊNH THỨC I Định nghĩa định thức của ma trận vng 1 Ma trận con của ma trận vng ⎛ a11 a11 … a1 j … a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 … a2 j … a2 n ⎟ ⎜… … … … … … ⎟ Cho ma trận ⎟ = aij A=⎜ ⎜ ai1 ai 2 … aij … ain ⎟ ⎜ ⎟ ⎜… … … … … … ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n1 an 2 … anj … ann ⎠ ... a21 VÍ DỤ a12 ⎞ ⎟ ⇒ det A = a1 1a22 − a21 a12 a22 ⎠ ⎛1 2⎞ A=⎜ ⎟ ⇒ det A = 1.4 − 2.3 = −2 ⎝3 4⎠ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ c) Định thức cấp 3: Cho A = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a a ⎟ a 33 ⎠ ⎝ 31 32 det A = a1 1a22 ... 9+ 4=13 Phép chia số phức Z1 a1 + i.b1 ( a1 + i.b1 ) ( a2 − i.b2 ) a1 .a2 − b1.b2 a2 b1 + a1.b2 = = = + i Z a2 + i.b2 a22 + b22 a22 + b22 a22 + b22 + 3.i (2 + 3.i )(4 + 5.i) 22 VÍ DỤ: = = = − +... a23 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a a ⎟ a 33 ⎠ ⎝ 31 32 det A = a1 1a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a3 1a22 a13 − a21 a12 a33 − a23 a32 a11 30 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM VÍ DỤ 3 −6 det A = −2 = − 12 + 60