Phương pháp nghiên cứu khoa học BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT BẮC BÌNH TỖ: TOÁN PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO-FX 570ES PLUS TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bắc bình,ngày tháng 12 năm 2014 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học I      Lí chọn đề tài: Toán học môn khoa học mang tính trừu tượng cao lại có ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội Đây môn học khó khô khan đòi hỏi phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức Dạy học sinh học toán không cung cấp kiến thức bản, giải tập sách giáo khoa, sách tập mà phải biết hướng dẫn cho học sinh phương pháp chung để giải dạng toán, giúp học sinh sáng tạo phát triển tư Một dạng toán khó thường gặp bậc phổ thông kì thi đại học giải phương trình vô tỷ Dạng toán đòi hỏi phải có tầm nhìn bao quát, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác tìm hướng giải nhanh chóng xác Một công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình máy tính bỏ túi Tuy nhiên nhiều học sinh chưa khai thác chức máy tính Một loại máy tính thông dụng CASIO FX-570ES PLUS Theo công văn 3125/BGDĐT-CNTT Bộ Giáo Dục loại máy tính sử dụng tất kì thi Máy tính CASIO FX-570ES PLUS có chức trội so với loại máy tính khác là:  Giải phương trình bậc cho kết nghiệm dạng thức  Đạo hàm tích phân, thức, lũy thừa máy tính CASIO FX-570ES PLUS ghi giống sách giáo khoa  Tốc độ giải toán nhanh II  Mục đích nghiên cứu Đưa phơng pháp, cách giải phương trình vô tỉ nhanh chóng, xác dễ áp dụng nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực máy tính bỏ túi  Qua giải khái quát cụ thể giúp học sinh tư tốt hơn, có tầm nhìn bao quát có tay nhiều cách giải khác nhau, từ hoàn thành tốt toán giải phương trình vô tỷ nhiều toán khác III Phạm vi nghiên cứu Trong đề tài nghiên cứu dạng phương trình vô tỷ thường gặp cấp bậc phổ thông, kì thi tốt nghiệp đại học IV Định nghĩa phương trình vô tỷ Trong chương trình toán phổ thông, phương trình vô tỷ không đưa vào sách giáo khoa cách thức, nhiên hầu hết đề thi đại học- cao đẳng thi Olympic toán Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học phương trình vô tỷ dạng toán thường xuất Trong sách giáo khoa toán định nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, qua toán số tài liệu tham khảo khác phương trình vô tỷ phương trình chứa thức V Kiến thức cần nắm Ngoài kiến thức giải phương trình đại số bậc 1, bậc phổ thông, học sinh cần nắm số kĩ thuật giải phương trình vô tỷ thông dụng (đã học bậc THPT luyện thi đại học) sau: - - Đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng đơn giản đưa hệ phương trình đối xứng, đẳng cấp loại 1, Các biến đổi đại số thường dùng nâng lũy thừa, phép tính khai triển đẳng thức Kĩ thuật khảo sát hàm số sử dụng bất đẳng thức AM-GM, Cauchy Schwarz Kĩ thuật nhân lượng liên hợp, tách ghép hạng tử Các kiến thức hàm liên tục, hệ thức Viete VI Chức máy tính Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích tìm cách giải logic để tìm tất nghiệm phương trình tìm nghiệm, máy tính sử dụng công cụ hỗ trợ tính toán phức tạp dự đoán máy tính thực giải toán đưa Tuy nhiên biết khai thác triệt để tính máy tính ta không tìm lời giải cho toán mà tìm nhiều cách giải khác nhau, đồng thời mở rộng làm toán Một số tính máy tính: Phím CALC: Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC hỏi giá trị biến tính giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức cho phép ta tính biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác với lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi SOLVE: Nguyên tắc hoạt động chức ta nhập giá trị hình hiển thị ”X=?” xử lý quay hình tròn có tâm điểm ta vừa nhập trục hoành, với bán kính lớn dần Khi gặp giá trị gần thỏa mãn máy dừng lại hiển thị giá trị dạng phân số tối giản số thập phân Nếu thời gian định mà máy chưa tìm nghiệm máy hiển thị giá trị gần máy tìm thỏa mãn phương trình với Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học sai số hai vế thấp L-R hàng thứ hai hình sai số hai vế (thông thường sai số bé khoảng 106 trở xuống) Chức TABLE: (MODE 7) Chức cho phép hiển thị đồng thời kết biểu thức giá trị biến ta gán cấp số cộng Chức cho phép ta nhìn tổng thể giá trị biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục dấu biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm cách tiết kiệm thời gian VII CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO FX-570ES PLUS DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ: Dạng: ax  bx  c  (dx  e) Ax  Bx  C(*) ( a, b, c, d , e, A, B C số biết ) Cơ sở toán học: Đặt điều kiện cho phương trình (*) xác định Với điều kiện trên, bình phương vế (*) ta được: (ax  bx  c)   (dx  e) Ax  Bx  C   0(**)   Giả sử: phương trình (**) có nghiệm x1, x2 x1.x2 = P1, x1 + x2 = S1 theo định lý Viete ta có x1 x2 nghiệm phương trình X2 – S1X +P1 =0 Vế trái (**) đa thức bậc nên phân tích thành tích tam thức bậc nên (**) trở thành: (X2 –S1X +P1 )( X2 - S2X +P2) =0 Khi việc giải phương trình (*) đưa giải hai phương trình bậc Tìm nghiệm hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta nghiệm phương trình (*) Máy tính CASIO giúp ta dễ dàng tìm nghiệm x1, x2 hệ số tam thức bậc giải phương trình bậc nói Ví dụ áp dụng: Giải phương trình sau: 10x  3x   2(3x  1) 2x   0(1) Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học 2x    3  249      Điều kiện phương trình: 10x  3x   x ; ;    20   0    3x   Ta chia cho 3x  x  1 không nghiệm phương trình ban đầu Phần 1: Tìm nghiệm Bước 1: Đoán khoảng nghiệm Với điều kiện (1) tương đương với (10x  3x  6)2  [2(3x  1) 2x  1]2  0(1') Bấm MODE (chọn TABLE) Màn hình hiển thị f(X)= ta nhập biểu thức Vào nhấn dấu = Chú ý chữ x biểu thức f(x) nhập tổ hợp phím ALPHA X Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Nhấn Tiếp theo nhấn = = hình chữ End? Nhấn - 1 0 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS = việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học Tiếp theo nhấn hình chữ Step? Nhấn nhấn Khi máy bảng gồm giá trị x từ -10 đến 10 Cần ý tới hai giá trị x liên tiếp giả sử x1 x2 (giả sử x1< x2) mà ứng với hai giá trị x ta hai giá trị f(x1) f(x2) trái dấu Khi đó, phương trình có nghiệm khoảng (x1; x 2) Cơ sở toán học: Hệ định lý giá trị trung gian: Cho f hàm số liên tục đoạn [a; b] Nếu f(a) f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm x  (a; b) Giáo trình giải tích hàm biến - TS Nguyễn Cam – trang 53 Trong ví dụ ta nghiệm khoảng (1;2), (-1;1) (-2;-1) Chú ý: Khi cho bước nhảy (Step?) nhỏ tức thu hẹp khoảng nghiệm, cách nhấn tiếp AC = =1 = = = Ta bảng giá trị f(x) từ tới Như khoảng nghiệm hẹp (1.3; 1.4) Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học Tương tự cho khoảng nghiệm lại - Khoảng nghiệm (-1; 1) có khoảng nghiệm hẹp (-0.9; -0.8) (-0.8; 0.8) Khoảng nghiệm (-2; -1) có khoảng nghiệm hẹp (-1.8; -1.7) Bước 2: Tìm nghiệm Trở lại hình soạn thảo nhập biểu thức “ (10x  3x  6)2  [2(3x  1) 2x  1]2  0(1') ” Rồi nhấn SHIFT CALC ( SOLVE) Màn hình máy tính “Solve for X” Nhập x khoảng (1.3; 1.4) chẳng hạn “1.35” Màn hình kết X= 1.392280956 Gán kết vào phím A cách nhấn SHIFT STO A Bước 3: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học Quay lại bước 2, nhập vào giá trị x khoảng (-0.9, -0.8) , chẳng hạn “-0.85” Màn hình kết X= -0.820852384 Gán kết vào phím B : SHIFT STO B Tiếp tục thực lại bước với khoảng nghiệm lại Nhập x khoảng (-0.8; 0.8) chẳng hạn “ 0.75” Màn hình kết X=0.7247448714 Gán kết vào phím C: SHIFT STO C Nhập x khoảng (-1.8; -1.7) chẳng hạn “-1.75” Màn hình kết X=-1.7247448714 Nhập k ết vào phím D: SHIFT STO D Phần 2: Tìm tam thức bậc Bây ta thử tìm tam thức bậc tạo từ nghiệm Nghĩa ta cần tính tồng tích nghiệm Chú ý nghiệm có phần thập phân giống Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học Ở ví dụ này, tính A+B AB Thu A+B = , AB = 8 Vậy A B nghiệm phương trình  2(1  15)  A  X2  X     7  B  2(1  15)  ( A nhập phím ALPHA A B nhập ALPHA B ) Tương tự, tính C+D C.D Thu C+D = -1, C.D= -5/4 Vậy C D nghiệm phương trình  1  C   X2  X     C  1   ( C nhập phím ALPHA C D nhập ALPHA D ) Vậy: Với điều kiện (1) trở thành (10X  3X-6)  (2(3X+1) 2X  1)   5    X2  X    X2  X    7  4   X  X    X2  X    Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học  x    x    x    x   2(1  15) 2(1  15) So điều kiện ta loại nghiệm x  1  1  1  Kết luận Nghiệm phương trình là:  2(1  15) x    2(1  15) x    1  x   Chú ý: Để rút ngắn thời gian nhập lại nhiều lần biểu thức f(x) bước 3, sau nhập biểu thức f(x) bước 2, ta nhấn sau thành nhấn = tiếp tục nhấn tổ hợp phím thay lần nhập biểu thức ∆ Ở mà cách đoán nghiệm, ta tìm đủ nghiệm sử dụng phương pháp , sau biết tam thức bậc thứ nhất, ta tìm tam thức lại cách chia đa thức DẠNG 2: DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP Biến đổi phương trình dang: A (x –x0)g(x)=0 với x0 nghiệm phương trình Cơ sở lý luận x  D Mà theo định lý Bơzu x = a f (x )  Ta biết x=x0 nghiệm phương trình f(x)   nghiệm đa thức P (x) P(x) = ( x - a)P1(x) Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 10 Phương pháp nghiên cứu khoa học Bước 1: Đặt điều kiện phương trình: 3x   1  x 5x   3x  x    Bước 2: Đoán nghiệm phương trình Nhấn MODE chọn TABLE) Màn hình hiển thị “f(X)=” nhập biểu thức “ 3x  x   3x   5x  ”vào nhấn dấu Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Tiếp theo nhấn “ = 1 ” Tiếp theo nhấn “=” hình chữ End?, nhấn “10” Tiếp theo nhấn “=” hình chữ Step?, nhấn “ ” Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 13 Phương pháp nghiên cứu khoa học Tiếp theo nhấn “=” Vậy ta bảng gồm giá trị x từ 1 tới 10 Nhìn vào bảng giá trị ta thấy x=0 x=1 ta nhận giá trị Vậy x=0 x=1 hai nghiệm phương trình Bước 3: Tách ghép nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung x(x-1) Ta thấy phương trình có sẵn 3x2 nên cần thêm -3x Vậy ta 3(x  x)  2x   3x   5x   tiếp tục muốn sau nhân lượng liên hợp để số 1và số hai thức tách 2x+3=(x+1)+(x+2) Vậy ta được: 3x  x   3x   5x    3(x  x)   (x  1)  3x    (x  2)  5x     3(x  x)  x2  x x2  x  0 (x  1)  3x  (x  2)  5x    1  (x  x) 3   0  (x  1)  3x  (x  2)  5x   x2  x    1 3   0(vô nghiêm)  (x  1)  3x  (x  2)  5x  x   ( nhân) x  x  Vậy phương trình có nghiệm là:  x  Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 14 Phương pháp nghiên cứu khoa học DẠNG 3: DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐOÁN NGHIỆM VÀ BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỀ DẠNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI VD: Giải phương trình x  2x  2x  (dạng ax  bx  c  k dx  e )(1) (a=1, b=-2, c=0, k=2, d=2, e=-1) Bây công việc đặt ần phụ y theo x cho đưa phương trình (1) dạng phương trình đối xứng loại Ta cần xác định hệ số m, n hữu tỉ cho cách đặt: my  n  2x  (*) đưa phương trình (1) dạng hệ phương trình đối xứng Nhận xét hệ số a=1  m=1 Vậy việc lại ta cần xác định n xong Bây ta cần xác định lại mục đích ta đưa phương trình (1) dạng hệ phương trình đối xứng x, y hệ phải có nghiệm x=y Điều giúp ta xác định n cách dễ dàng Ta tìm n dựa vào hệ thức (*) nhận xét x=y  n  2x   y  2x   x (với x nghiệm phương trình (1)) Nếu tìm nghiệm x cho n số hữu tỉ toán coi giải xong  x  Bước 1: Đặt điều kiện phương trình  x2  x  2x  Bước 2: Viết lại phương trình dạng x  2x  2x   0(1') Bước 3: Nhập vế trái (1’) vào hình máy tính Bước 4: Dùng chức có sẵn máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm gần Nhấn SHIFT thể chọn số khác CALC máy “Solve for X” nhấn = (vì D) có Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 15 Phương pháp nghiên cứu khoa học Màn hình kết X=3.414213562 Gán kết vào phím A cách nhấn Tính SHIFT STO A 2A   A Ta nhập “ 2A   A ” vào hình máy tính nhấn dấu “=” Màn hình “-1” Vậy ta n=-1 Đặt y   2x  1(**)  y  2y   2x  x  2x  2(y  1)   y  2y  2(x  1)  x  y  2(x  y)  2(y  x)  (x  y)(x  y  4)   x  y  0(2)   x  y   0(3) Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 16 Phương pháp nghiên cứu khoa học Thế (2) vào (**) ta x   2x 1  x   2  x  4x    x   x     x  2 Thế (3) vào (**) ta x   2x   x  3   x  4x  10  0(vô nghiêm) So điều kiện ban đầu x  ta nghiệm phương trình x   Vậy nghiệm phương trình x   DẠNG 4: DÙNG MÁY TÍNH ĐOÁN NGHIỆM VÀ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ Kế đến tìm hiểu phương pháp sử dụng công cụ hỗ trợ mạnh học sinh trung học phổ thông – khảo sát hàm số Cơ sở toán học: Dựa sở tính đơn điệu hàm số ta tìm nghiệm phương trình vô tỷ Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm phương trình D: f(x) = k không nhiều f(x) = f(y) x = y với x,y thuộc D Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức f(a) = k Do f(x) đồng biến nên * x > a suy f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 17 Phương pháp nghiên cứu khoa học Vậy pt f(x) = k có nhiều nghiệm Chú ý: * Từ định lí trên, ta áp dụng vào giải phương trình sau: Bài toán yêu cầu giảiphương trình: F(x) = Ta thực phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng f(x) = k f(u) = f(v) ( u = u(x), v = v(x)) ta chứng minh f(x) hàm đồng biến (nghịch biến) Nếu phương trình: f(x) = k ta tìm nghiệm, chứng minh nghiệm Nếu phương trình: f(u) = f(v) ta có u = v giải phương trình ta tìm nghiệm * Ta áp dụng định lí cho toán chứng minh phương trình có nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y = g(x) nghịch biến (hoặc đồng biến ) liên tục D số nghiệm D phương trình: f(x) = g(x) không nhiều Chứng minh: Giả sử x = a nghiệm pt: f(x) = g(x), tức f(a) g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến g(x) nghịch biến *Nếu x > a suy f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm x > a *Nếu x < a suy f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm x < a Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nghiệm Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 ta biến đổi dạng f(x)=g(x), f(x) g(x) khác tính đơn điệu Khi ta tìm nghiệm phương trình chứng minh nghiệm Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) đồng biến ( nghịch biến) liên tục D f(x) > f(y) x > y (hoặc x < y ) Ví dụ: Giải phương trình: x  3x    3x (1) Bước 1: Đặt điều kiện phương trình 2 6 x 3 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 18 Phương pháp nghiên cứu khoa học Bước 2: Viết lại phương trình dạng x  3x    3x  (1’) Bước 3: Nhập vế trái (1’) vào hình máy tính Bước 4: Dùng chức có sẵn máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm gần Nhấn SHIFT CALC hình máy tính “Solve for X”, nhấn “ ” ( chọn số khác ), nhấn “=” Màn hình kết X1 = 1.618033989 Gán kết vào phím A cách nhấn SHIFT STO Rồi tiếp tục nhập vế trái (1’) vào hình máy tính, nhấn hình “solve for X”, nhấn “ A SHIFT CALC 3 ” ( chọn số khác ) , nhấn “=” Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 19 Phương pháp nghiên cứu khoa học Màn hình thị kết X2 = -0.618033988 Gán kết vào phím B cách nhấn SHIFT STO B Bây ta thử tìm tam thức bậc tạo từ hai nghiệm Nghĩa ta cần tính A+B AB Thu A+B=1, AB= -1 Điều chứng tỏ A, B hai nghiệm phương trình X2 – X- 1=0 Ta viết phương trình cho lại thành x  3x    3x   x  3x   (px  q)  (px  q)   3x   x  3x   (px  q)   x  (3  p)x   q  (px  q)2  (8  3x ) px  q   3x 0 (p  3)x  2pqx  q  px  q   3x 0 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 20 Phương pháp nghiên cứu khoa học Đến để xuất nhân tử (x2 – x -1) (p  3)x  2pqx  q   a(x  x  1) với a hệ số Chọn a=4 ta cặp (p,q) thỏa mãn (p,q)=(-1,2) Lời giải: x  3x   x2  x  0  x   x2 4(x  x  1)  (x  x  1)(x  1)  0  x   x2  (x  x  1)(x   )0  x   x2 x  x     (I) 0 x   2x  8x  Xét f (x)   x   3x Ta có: f '(x)  1  3x  3x 3x f '(x)   1     3x  3x  3x  2 6 x  8  3x      3x   x  x 8  3x  9x   x    Ta có bảng biến thiên sau (để đơn giản ta dùng chức phím CALC tính giá trị bảng này): x f’(x) 2 +  + 6 - - Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 21 Phương pháp nghiên cứu khoa học f(x) 64 62 62 Suy  f (x)  64 Như vậy: x 1  x   3x  x 1 2 12  1 0 f (x) 64 Vậy x  x     I    0(vô nghiêm) x    x   x2   x2  x 1  x 1 (nhân) Kết luận nghiệm phương trình x  1 Nhận xét: Phương pháp khảo sát hàm số cho phép đánh giá tập giá trị biểu thức cách chặt chẽ Tuy nhiên phương pháp đòi hỏi tính toán cồng kềnh số vô tỷ chứa mà máy tính khó mà tính toán dễ dàng Như với tổ hợp phím SHIFT CALC phím CALC máy tính giúp đỡ nhiều trình tìm nghiệm, tính giá trị bảng biến thiên cách xác nhanh DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Lượng giác hóa phương trình theo số dấu hiệu chủ yếu sau Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 22 Phương pháp nghiên cứu khoa học  x  asint  y =acost Nếu phương trình xuất x2+ y2=a đặt  Đặt ẩn phụ lượng giác tùy theo điều kiện phương trình đặc thù phương trình (đặc ẩn phụ để áp dụng công thức lượng giác)   Nếu x  a đặt x=asint, t   ;  x=acost, t   0;    2 Nếu x  a đặt x    a a  , t   ;  , t  x  , t  0;  , t  sin t cost  2 Ta xét ví dụ sau: x  3x  x  Lời giải Điều kiện: x  2 +Nếu x  x  3x  x  x  3  x  2x  x  x  x  Vậy x  không thỏa mãn phương trình Do để giải ta cần xét 2  x  Sử dụng chức TABLE SHIFT SLOVE máy ta thu nghiệm x=2 ta hai nghiệm vô tỷ khác x=-1,618033989 x= -0,445041867 Sử dụng chức SHIFT STO để gán nghiệm phương trình vào A,B tính A+B, AB ta thu hai số vô tỷ Như ý định dùng phương pháp tách không khả quan Ta tìm phương pháp khác Để ý x   2,2  lấy x chia ta nghĩ đến lượng giác Khi đó, ta đặt x  2cos t , điều kiện t  0,   Thay vào phương trình cho ta 8cos3 t  6cos t  1  cos t   cos t  3cos t  cos t Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 23 Phương pháp nghiên cứu khoa học t   t  3t   k2  t  cos3t  cos    3t   t  k2 t    k4  k4  Do t  0,   nên lấy nghiệm t  0, t  (k  ) 4 4 ,t  Phương trình cho có ba nghiệm x  2, x  cos 4 4 , x  cos Ví dụ 2: Giải phương trình sau 1 x2  x 16x  12x  Lời giải Từ điều kiện x  16x  12x   sử dụng chức giải phương trình máy tính bỏ túi ta suy x  x   3 Ta đặt x  cos t, t  0;  , x   3 Thay vào phương trình cho ta  cos t  cos t 16cos t  12 cos2 t   sin t 16cos4 t  12cos2 t   cos t  sin t 16 1  sin t   12 1  sin t   1  cos t    16sin5 t  20sin t  5sin t  cos t  sin 5t  cos t    sin5t  sin   t  2  Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 24 Phương pháp nghiên cứu khoa học  k   t  12   k   t    k   Do t  0,   nên lấy nghiệm Vậy x  cos   5 3 5 , x  cos , x  cos , x  cos , x  cos 12 12 Nhận xét: Tuy máy tính bỏ túi không áp dụng phần lớn phương pháp trên, đóng vai trò quan trọng việc đoán nghiệm, xử lý nghiệm thử lại Phương pháp lượng giác hóa cho ta biến đổiàiđơn giản đồng thời toán giải phương pháp khó giải phương pháp khác (do đặc thù hàm số lượng giác) Bài tập áp dụng Giải phương trình sau 3x+1   x  3x  14x-8=0 4x+1  3x-2  x3 x  x   3x    x  x   x  x  (x  3) 2x   x  x  x   x  5 2x (x  3) x  x   x  3x+4 x    x  (x  1)2  2x 2x(1-x ) Tài liệu tham khảo: Sách hướng dẫn sử dụng máy tính Casio FX-570ES Plus Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 25 Phương pháp nghiên cứu khoa học Chuyên đề phương trình – hệ phương trình – Diễn đàn Mathscope.org Tài liệu phương trình vô tỷ thầy Trần Phương Tài liệu phương trình vô tỷ thầy Trần Xuân Bang- THPT Chuyên Quảng Bình Giáo trình giải tích hàm biến TS Nguyễn Cam Chú ý: Các phương pháp áp dụng cho loại máy tính CASIO FX-570ES, CASIO FX-570MS… Tuy nhiên bước giải phương trình bậc ta phải giải tay loại máy tính hiển thị kết dạng thức Mục lục: I Lí chọn đề tài: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 26 Phương pháp nghiên cứu khoa học II Mục đích nghiên cứu III Phạm vi nghiên cứu IV Định nghĩa phương trình vô tỷ V Kiến thức cần nắm VI Chức máy tính Phím CALC: Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi SOLVE: 3 Chức TABLE: (MODE 7) VII CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO FX-570ES PLUS DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ: DẠNG 2: DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP 10 DẠNG 3: DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐOÁN NGHIỆM VÀ BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỀ DẠNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 15 DẠNG 4: DÙNG MÁY TÍNH ĐOÁN NGHIỆM VÀ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ .17 DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 22 Bài tập áp dụng 25 Tài liệu tham khảo: .25 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 27 ...Phương pháp nghiên cứu khoa học I      Lí chọn đề tài: Toán học môn khoa học mang tính trừu tượng cao lại có ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội Đây môn học khó khô khan đòi... hướng dẫn sử dụng máy tính Casio FX-570ES Plus Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 25 Phương pháp nghiên cứu khoa học Chuyên đề phương trình – hệ phương... toán Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa học phương trình vô tỷ dạng toán thường xuất Trong sách giáo khoa toán định