HƯỚNG DẪN HỌC – NGHIÊN CỨU MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP Môn Đại số Sơ cấp Nghiên cứu dựa Tài liệu là: THỰC HÀNH GIẢI TOÁN SƠ CẤP Tập I – Sách Đại học Sư phạm tác giả E.E.Veresova – N.S.Denisova – T.N.Poliakova (tài liệu dịch từ nguyên tiếng Nga) Ngoài tài liệu nêu sinh viên (SV) cần tham khảo thêm tài liệu khác liên quan đến chủ đề kiến thức sau: • Biến đổi đồng biểu thức tập • Phương trình hệ phương trình (Đại số Siêu việt) • Bất đẳng thức bất phương trình Các yêu cầu cụ thể chủ đề kiến thức Biến đổi đồng biểu thức tập - Phép biến đổi đồng biểu thức hữu tỷ nguyên, hữu tỷ phân - Phép biến đổi đồng biểu thức vô tỉ - Phép biến đổi đồng biểu thức mũ lôgarit - Phép biến đổi đồng biểu thức lượng giác Phương trình hệ phương trình - Phương trình bậc ba phương trình bậc bốn C - Các dạng phương trình thường gặp R: Phương trình chứa dấu giá trị tuyết đối – Phương trình chứa thức – Phương trình mũ lôgarit – Phương trình lượng giác - Hệ phương trình R C Bất đẳng thức bất phương trình - Chứng minh bất đẳng thức Côsi – Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi - Ứng dụng Bất đẳng thức Côsi để tìm GTLN – GTNN biểu thức - Các bất phương trình thường gặp Chú ý Định lý đảo dấu tam thức bậc hai chương trình phổ thông Ngoài tập Tài liệu SV phải Sưu tầm giải toán liên quan đến chủ đề kiến thức Chẳng hạn với nội dung: Phương trình lượng giác SV cần Sưu tầm giải tất phương trình lượng giác đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2011 Mỗi năm có ba đề (Khối A – B – D) Như SV cần quan sát kỹ 30 Phương trình lượng giác Từ nhìn yêu cầu kỹ kiến thức cho chủ đề Đối với chủ đề kiến thức khác SV tìm hiểu cách tương tự Tài liệu chuyển thành file Word nhiều lỗi tả SV sử dụng file để chỉnh sữa thành tài liệu học tập cho riêng Mỗi nội dung chủ đề kiến thức Đề tài Tiểu luận Tốt nghiệp Thực hành GIẢI TOÁN SƠ CẤP Tập I (Đại số Lượng giác) MỞ ĐẦU I HÀM TRÊN MỘT TẬP BIỂU THỨC VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP Giả sử f quan hệ hai xác định tập A, B, nghĩa f⊂A×B Quan hệ hai f gọi hàm ( ánh xạ từ tập A vào tập B), f cặp phần tử thứ giống phần tử thứ hai khác kí hiệu f:A→B Tập A gọi tập nguồn, tập B gọi tập đích hàm f Tập {a∈A|(∃b∈B), (a,b)∈f} gọi miền xác định hàm f kí hiệu D( f ) Ta có D(f)={a∈A|(∃b∈B), (a,b)∈f} Tập {b∈B|(∃a∈A), (a,b)∈f} gọi miền giá trị hàm f kí hiệu E( f ) Ta có: E(f)= {b∈B|(∃a∈A), (a,b)∈f} Nếu (a,b)∈f, b gọi ảnh phần tử a ( giá trị hàm f điểm a ) kí hiệu f(a); a gọi tạo ảnh phần tử b a  b ⇔ (a,b)∈f Nếu (a’,b’)∉f ∈A×B ta nói f không xác định điểm a’ (f nghĩa a’) Quan hệ hai f⊂A×B gọi ánh xạ từ tập A vào tập B, phần tử A có ảnh B, kí hiệu f:A → B Giả sử A tập Ánh xạ f từ A n vào A ( f: An→A ) gọi hàm tập A với n biến hay gọi tắt hàm A Ví dụ f: R2→R, ( x, y )  x−y f hàm R với hai biến ( hàm biến R), D(f)={(x,y))∈R2|x≠y} , E(f)=R\{0} Giả sử A cho hàm n biến : f1, f2, …, fs g hàm s biến Hàm n biến h A gọi hàm hợp A f1, f2, …, fs g, h(x1,x2,…,xn)=g(f1(x1,x2,…,xn), …,fs(x1,x2,…,xn)) Ta có: D(h)={(x1,x2,…,xn) | f1(x1,x2,…,xn) ,…,fs(x1,x2,…,xn) ∈D(g) } Giả sử A tập số, x1, x2 , … , xn biến số, f hàm A có miền xác định D(f) miền giá trị E(f) f: An → A (x1, x2 , … , xn)  f((x1, x2 , … , xn) Khi kí hiệu f(x1, x2 , … , xn) gọi biểu thức với biến x 1, x2 , … , xn hàm f Có thể có nhiều biểu thức khác hàm A Chẳng hạn: 1) f: R→ R g: R→ R x  lgx2 , x  2lg|x| 2) f: R→ R g: R→ R x  cos2x , x  1-sin2x Ngươc lại, biểu thức với biến xác định nhiều hàm khác A Chẳng hạn: π π f: R→ R g :  ,  2 2 x  sinx , x  sinx Hàm n biến A xác định ra: 1) Miền xác định ⊂An 2) Biểu thức với biến Vì mối quan hệ người ta đồng nhẩt hàm A biểu thức với biến, miền xác định hàm Bởi vậy, đôi khị miền xác định miền giá trị hàm A gọi miền xác định miền giá trị biểu thức với biến số Giả sử A tập số, f , f2 , … , fs hàm A với n biến, g hàm A với s biến Giả sử f1(x1,x2,…,xn), …, fs(x1,x2,…,xn) , g(y1,y2,…,ys) (1) tương ứng biểu thức với biến hàm f1 , f2 , … , fs g Khi kí hiệu g(f1(x1,x2,…,xn), …, fs(x1,x2, …,xn)) gọi hợp thành biểu thức với biến (1) Lớp hàm xét A ứng với biểu thức với biến giới hạn qui ước sau: Dưới đây: A C, R, Q (0) – (7); A=R (8) – (21) Những biểu thức sau gọi biểu thức sơ cấp A (0) Hằng số (a,b,c,…,3, ,…∈A) (1) Biến (x,y,x1,x2, …) (1) (D(1) = A) (2) x+y (D(2)=A2); (3) x-y (D(3)= A2) (4) xy (D(4)=A2) (5) xm m∈N (D(5)=A) x ( D(6) = { ( x, y ) | x ∈ A, y ∈ A \ { 0} } ); y (6) (7) x m m ∈ Z , m ≤ D(7) = A \ { 0} ) (8) m x x m m ∈ N , m > 1, (D(8)= [ 0, ∞ ) ; (9) x D (9) = R, E (9) = [ 0, ∞ ) ) , (10) xα α ∈ R \ Q(d (10) = [ 0, ∞ ) (11) aα a>0,a ≠ 1(D(11)=R); (12) log a x a>0,a ≠ 1( D (12) = [ 0, ∞ ) (13) x y ( D(13) = { ( x, y ) | x, y ∈ R, x > 0} ); (14) sinx (D(14)=R); (15) cosx (D(15)=R); (16) tgx (17) ctgx π  (D(16)= R \  + kπ \ k ∈ Z ); 2  (D(17)= R \ { kπ \ k ∈ Z } ); (18)  π π arcsinx (D(18)= [ −1,1] , E (18) =  − ,  );  2 (19) arccosx (D(19)= [ −1,1] , E (19) = [ 0, π ] ); (20)  π π arctgx (D(20)= , E (20) =  − ,  );  2 (21) arcctgx (D(21) =R,E(21)= [ 0, π ] ); Giả sử M tập hợp biểu thức sơ cấp A, M = M giả sử với số tự nhiên n>1, M n kí hiệu tập hợp tất hợp thành biểu thức tuỳ ý với biến hợp M ∪ M ∪ ∪ M n −1 tập M , M M n −1 Chúng ta nói biểu thức với biến Ω biểu thị dạng hữu hạn biểu thức sơ cấp M Ω ∈ M n với số tự nhiên n Đặc biệt, M tập hợp tất biểu thức A, biểu thức với biến biểu thị dạng hữu hạn biểu thức sơ cấp M, gọi biểu thức biến A gọi tắt biểu thức A Nói cách khác, biểu thức với biến A biến sơ cấp A biểu thức thu nhờ phép hợp thành số hữu hạn biểu thức sơ cấp A Sự phân lớp biểu thức với biến tập Biểu thức với biến R(C,Q), gọi biểu thức hữu tỉ nguyên (đa thức) R( C,Q), biểu thị dạng hữu hạn biểu thức sơ cấp từ ( 0) đến (5) R (C,Q) Biểu thức với biến R(C,Q), gọi biểu thức hữu tỉ phân R( C,Q), lập nên số hữu hạn biểu thức sơ cấp từ ( 0) đến (7) R (C,Q), chúng có (6), (7) Biểu thức hữu tỉ nguyên hữu tỉ phân R(C,Q) gọi biểu thức hữu tỉ R(C,Q) Biểu thức với biến R gọi vô tỉ ( R) lập nên số hữu hạn từ ( 0) đến (9) R (C,Q), chúng có (8), (9) Biểu thức hữu tỉ R ( C,Q) biểu thức vô tỉ R gọi biểu thức đại số Biểu thức với biến R không đại số gọi biểu thức siêu việt ( R), nghĩa biểu thức với biến R gọi siêu việt, lập nên số hữu hạn biểu thức sơ cấp từ (0) đến (21), chúng có nhẩt (10) –(21) Từ định nghĩa nêu ta suy phân lớp biểu thức A dựa vào dạng bên biểu thức với biến, (điều thực tế tiện lợi, khộng đòi hỏi nghiên cứu bổ sung khác) II MỆNH ĐỀ VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP Giả sử A1 , A2 , , An tập cho, x1 , x2 , , xn biến Chúng ta hiểu mệnh đề với biến x1 , x2 , , xn tập A1 XA2 X XAn biểu thức (một dãy dấu kí hiệu) có tính chất: cho biến x1 , x2 , , xn giá trị tương ứng ( x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , xn ∈ An ) ta mệnh đề Tập hợp gồm gồm phần tử (điểm) ( a1 , a2 , , an ) A1 XA2 X XAn mà chúng, mệnh đề V( a1 , a2 , , an ) đúng, gọi miền mệnh đề V( x1 , x2 , , xn ) với biến x1 , x2 , , xn tập A1 XA2 X XAn kí hiệu MĐv Giả sử V W hai mệnh đề với biến x1 ,x , ,x n A1 × A2 × × An Khi theo định nghĩa ta có: 1) ¬V phủ định V, tức mệnh đề với biến cho: MĐ ¬V = ( A1 × A2 × × An ) \MĐV 2) V ∧ W hội V V, nghĩa với mệnh đề với biến, cho: MĐ V ∧ W= MĐV ∩ MĐw 3) 2) V ∨ W tuyển V V, nghĩa với mệnh đề với biến, cho: MĐ V ∨ W= MĐV ∪ MĐw 4) V ⇒ W (W hệ V) MĐV ⊂ MĐw 5) V ⇔ W (V ~ W) ( V tương đương với W) MĐV=MĐw Nếu f ( x1 , x2 , , xn ) g ( x1 , x2 , , xn ) hai biểu thức với biến x1 , x2 , , xn A thì: a) f ( x1 , x2 , , xn ) = g ( x1 , x2 , , xn ) An b) f ( x1 , x2 , , xn ) < g ( x1 , x2 , , xn ) An c) f ( x1 , x2 , , xn ) > g ( x1 , x2 , , xn ) An gọi mệnh đề (MĐCB) với biến x1 , x2 , , xn A Biểu thức f ( x1 , x2 , , xn ) g ( x1 , x2 , , xn ) theo thứ tự vế trái vế phải MĐCB A Trong MĐCB A a) gọi đẳng thức, b), c) bất đẳng thức với biến x1 , x2 , , xn A Giả sử f ( x1 , x2 , , xn ) g ( x1 , x2 , , xn ) hai biểu thức với biến A theo định nghĩa: f ≤ g ~ f < g ∨ f = g, f ≥ g ~ f > g ∨ f = g, ¬( f < g ) ~ f ≥ g , ¬( f > g ) ~ f ≤ g , ¬( f ≤ g ) ~ f > g , ¬( f ≥ g ) ~ f < g , ¬( f = g ) ~ f < g ∨ f > g Một mệnh đề với biến A(*) xác định bởi: mệnh đề với biến x1, x2,… xn A mệnh đề với biến x1, x2,… xn A Nếu V(x1, x2,… xn) W(x1, x2,… xn) hai mệnh đề với biến A V(x1, x2,… xn)^W(x1, x2,… xn); V(x1, x2,… xn)vW(x1, x2,… xn) mệnh đề với biến x1, x2,… xn A Bởi vậy, mệnh đề với biến thu nhờ phép hội phép tuyển mệnh đề với biến x1, x2,… xn A lại mệnh đề với biến x1, x2,… xn A Người ta gọi phép hội mệnh đề với biến A hệ mệnh đề với biến A V V  V  Người ta viết phép hội (hệ) V^W theo cách khác:  ;  ;   , W W  W  V V  V  phép tuyển VvW viết sau:  ;  ;   W W  W Giả sử ký hiệu =, Ta gọi miền xác định mệnh đề với biến x1, x2,… xn (*) f(x1, x2,… xn) ∆ g(x1, x2,… xn) A giao miền xác định biểu thức f(x1, x2,… xn) g(x1, x2,… xn) A ký hiệu D(*) : D(*) = D( f ) ∩ D( g ) df Giả sử (1) (2) mẹnh đề với biến x1, x2,… xn A Ta gọi miền xác định hội mệnh đề với biến (1) (2) giao miền xác định chúng (*) Từ “với biến x1, x2,… xn” bỏ rõ rang mệnh đề với biến đó, từ “trên A” bỏ biết trước tập hớp A đượ rõ D((1) ∧(2)) = D(1) ∩ D(2) df Ta gọi miến xác định tuyển mệnh đề với biến (1) (2) hợp miền xác định chúng D((1)∨ (2)) = D(1) ∪ D(2) df Giả sử (1) mệnh đề với biến x1, x2,… xn tập A Đối với mệnh đề với biến (1) thiết lập hai toán sau: I Chứng minh rằng, tập T cho tập miền mệnh đề (1) A, nghĩa chứng minh T ⊂ MĐ(1) nói cách khác chứng minh mệnh đề với biến (1) A tập T II Tìm miền mệnh đề với biến cho (1) A, nghĩa tìm MĐ(1) Thông thường ta biểu thị viết điều là: giải mệnh đề với biến (1) A Thay cho “giải đẳng thức” người ta nói “giải phương trình” Mỗi phần tử (mỗi điểm) miền gọi lời giải mệnh đề với miền (1) Nếu n=1, lời giải cảu phương trình gọi nghiệm phương rrình Đôi ta có toán: Tìm giao miền mệnh đề với biến (1) A với tập Bn ⊂ An cho Điều diễn tả bởi: Giải mệnh đề với biến (1) với điều kiện x1, x2,… xn ∈ B Trong trường hợp mà B N, (Z, Q, R, C) ta nói tìm số tự nhiên, (nguyên, hữu tỉ, thực, phức) nghiệm mệnh đề với biến (1) Phân loại mệnh đề với biến tập Giả sử (1) mệnh đề với biến x1, x2,… xn tập A Mệnh đề với biến (1) A gọi hữu tỉ nguyên hai vế trái phải biểu thưc hữu tỉ nguyên A Mệnh đề với biến (1) A gọi hữu tỉ phân hai vế biểu thức hữu tỉ có hai vế hữu tỉ phân Các mệnh đề với biến hữu tỉ nguyên phân gọi chung mệnh đề hữu tỉ Mệnh đề với biến (1) A=R gọi vô tỉ, hai vế phải trái 10 { ( x, 0, ) x ∈ ¡ } ∪ { ( 0, y, ) y ∈ ¡ } ∪ { ( 0, 0, z ) z ∈ ¡ } ∪  1   1 1, , ÷; 1, − , − ÷;     ∪  −1, , −  ;  −1, − , −  ÷ ÷  3  3 Lập luận đưa điểm a) biểu diễn lược đồ sau:  (1) (4)  yz = (4) (5)  (1) (7) − (4) = (8)   2.(2)   ( I ) = (2) ⇒  = (5) ⇒ (6) ⇒ (7) − (5) = (9) (3)  xz  (7) − (6) = (10)   (3)  (4) + (5) + (6) = (7)    xy = (6)   (11)  (8) = (12) (8)  (9)  (11)  = (13)  ⇒ (10) ⇒  (9) ⇒ (15) ⇒ (16) ⇒ (17) ⇒ (18)   (11)  (8).(9).(10) = (11)  = (14)   (10) 216 (11)  Ví dụ 59: Giải tuyển phương trình: x + = x −1∨ − x + = x = Giải: x −1 ≥ x ≥ x ≥ x ≥ x +1 = x −1 :  :  :  ∨ : x=3 ( x + 1) = ( x − 1)  x ( x − 3) =  x =  x = 1) 2) x −1 ≤ x ≤ − x +1 = x −1 :  :  : x=0 ( x + 1) = ( x − 1)  x = ∨ x = Trả lời: { , } Ví dụ 60: Giải tuyển phương trình: x2 + x = x ∨ − − x2 − 6x = x Giải: 83 1)  x + x ≥  x ≤ −6 ∨ x ≥ x2 + x = x :  :  : x = 0∨ x = 3  x + x = x  x = ∨ x = −2 ∨ x = 2 −6 ≤ x ≤ − x − x ≥ − x − x ≥ :  :  2) − − x − x = x :  − x − x = x  x( x − x − 6) =  x = ∨ x = −2 ∨ x = 3 : x = ∨ x = −2 Trả lời: { -2 , , } Giải hệ phương trình ¡ ( 659 – 661):  x − x + = 659   x − x − = x − y = 660  x + y = x − y =  661  xy = log x = −1  a Giải tuyển phương trình ¡ ( 662 – 670): 662 664  x2 − 5x + =  x − x − = x − y =  xy =  log a x = −1 666 x +3 = 3− x ∨ − x +3 = 3+ x 667 − x x2 = − x ∨ − − x x2 = − x 668  x2 + − x2 + = x   − x + − x + = x 669 670  x2 + x − = x −1   − − x − x + = x − 663 665 x − x2 = x ∨ − x − x2 = x 84 x − y = x + y =   x2 + 5x + = x −1   − x + x + = x − Giải hệ phương trình phương pháp khử liên tiếp ẩn (các 671 – 676): 671 x + y + z = x + y − 2z =    x + y − z = −1  x + y − z = −1 C 672 x + 3y + z =   x + y + z = −1 2 x + y + z =  Q 673 x + y + z + u =   y + z + 6u = 23 3 x + y + z − 3u = −2  R 674  x − y + 3z − u =  3 x − y + z − 3u =  x + y + z − 2u =  R 675 x + y + z =  x + y − z = −1   3 x − y + z = −1  x − y − z = −8 Q 676  x − y + z + 4u =  x + y + 3u =    y − z − u = −3  −7 y + 3z − u = −3 Q Giải hệ phương trình (các 677 – 683): 677  x + y =   x + y − = R 678  x + y =  2  2( x − 1) + ( y − 2) = R 85  x + y = 20 679  C  x + y = 20  xy + yz =  680  yz + xz = C  zx + xy =   x+ y+z =2  2 681  x + y + z = C  x3 + y + z =   x+ y+z =3  2 682  x + y + z = C  x + y + z = 17   xy + xz = x +  683  xy + yz = y + R  xz + yz = z +   ( x + y )( x + z ) = x  684 ( y + z )( y + x) = y R  ( z + x)( z + y ) = z  (x + y)(x + z) = x  684 Giải hệ phương trình (y + z)(y + x) = 2y (z + x)(z + y) = 3z  6(x + y)(x + z) = 6x  Ta có hệ tương đương 3(y + z)(y + x) = 6y 2(z + x)(z + y) = 6z  (1) (2) (3) Từ (1), (2) suy ra: ( x + y ) [ 6(x + z) + 3(y + z)] = 6(x + y) (4) Từ (2), (3) suy ra: ( y + z ) [ 3(x + y ) + 2(x + z)] = 6(y + z ) (5) Từ (3), (1) suy ra: ( x + z ) [ 6(x + y) + 2(y + z)] = 6(x + y) (6) Nếu x+y=0, từ (1) suy x=0 y=0 z = Thay x=y=0 vào (3) có:z2=3z ⇔  Như có: (0,0,0) (0,0,3) z = Nếu y+z=0, từ (2) suy y=0 z=0 x = Thay y=z=0 vào (1) có: x2=x ⇔  Như có: (0,0,0) (1,0,0) x = Nếu x+z=0, từ (3) suy z=0 x=0 86 y = Thay x=z=0 vào (2) có y2=2y ⇔  Như có: (0,0,0) (0,2,0) y = Nếu (x+y)≠0 , (y+z)≠0 , (z+x)≠0 6(x + y) + 2(y + z) =  Từ (4), (5), (6) suy ra: 3(y + z) + 6(x + z) = 3(x + y) + 2(x + z ) =   X =   ⇔ Y =   Z =   x + y =   ⇔ y + z =   z + x =  35  x = 24   ⇔ y = 24   z = − 24  6X + 2Y =  ⇔ 3Y + Z = 3X + 2Z =  Thử lại nghiệm… x+ y+z =0   2 685  3x + 3z − xyz = R  x + y + 3xyz =  3x + 3(x + y) + 5xy(x + y) = Từ (1) suy ra: z = – (x+y) thay vào (2), (3) có:  2(x + y ) − 3xy(x + y) =  x+y=0:  y = 2x  2(x2 –xy +y2)-3xy=0 ⇔ 2x2 –5xy +2y2 =0 ⇔ (x -2y)(y-2x) =0 ⇔   x = 2y  13  x+ y+z =  xyz = 686  R  1 13  + + =  x y z  x + yz = y + z  687  y + zx = z + x R  z + xy = x + y  688 y + z − x z + x − y x + y − z xyz = = = R 11 689 Chứng minh (0, 0, 0) nghiệm phương trình: 87  2x + y + z =   yz + zx + xy − y = R  xy + z =  690 Chứng ming nếu:  x1 + x2 + x3 =  x +x +x =0   x1 = x2 = … = x99 = x100 = x + x + x =  99 100  x100 + x1 + x2 = Giải hệ phương trình có chứa tham số (Từ 691 – 702)  ax+y=2 691  R  x+y=2a  ax+y=1 692  C  x+ay=a  x+ay=1 693  C ax-3ay=2a+3  ax-y=b 694  R  bx+y=a  bx-ay=0 695  R  x-y=a-b  ax+y+z=1  696  x+ay+z=1 R  x+y+az=1  ax+ay+(a+1)z=a  697  ax+ay+(a-1)z=a R  x+(a+2)z=1-a   x + y = x − y + a 698  R  x − y = x + y + a x − y = a 699  R  x + y = 4a xy  x+ y =a 700  7 C x + y = a ( ) x − y = a 699  ⇔  x + y = 4a xy ( ) x − y = a  2  x − y + 4x y = 4a xy ( ) ( x − y = a a2 1± 2 2 ⇔ Giải: 4x y – 4a xy – a =0 ⇔ xy = a + 4x y = 4a xy x − y = a   a2 1± xy =  ( ) x − y = a  ⇒ a 1± xy =  ( ) 88 )  y + z + yz = a  701  z + x + zx = b R, (a+1)(b+1)(c+1) >  x + y + xy = c  ( y + z ) − x = a  2 702  ( z + x ) − y = b R, a, b, c ≠ 0, a+b+c >  ( x + y)2 − z = c  703 Khử x, y hệ:  x+ y =a  2  x + y = b C  x3 + y = c  704 Khử a, b, c hệ:  x y z  a=b =c  2 a + b + c = R, a, b, c ≠  a + b + c =1   705 Khử x, y, z hệ:  x2 ( y + z) = a2  2  y ( x + z ) = b R, a, b, c ≠  z ( y + x) = c  706 Khử x, y, z hệ:  y + z − 2ayz =  2 z + x − 2bzx = R x + y − 2cxy =  Giải hệ phương trình R (Các 707 – 722)  x+ y + x− y =2  707   y + x − y − x =  x − y = x − y 708   x + y = x + y −   x+ + x+ y −3 = y  709   2x + y + =  y  x y − =  x 710  y  x + xy + y =  89   x − y = ( x y − xy ) 711   x−3 y =3   y +1 x− y +2 =3  y +1 712  x − y  x + xy + y =  ( x + xy + y ) x + y = 135 713  2 2  ( x − xy + y ) x + y = 65 ( x + y + xy ) = 14 714  2  x + xy + y = 84  x y −+ = 1+  x xy 715  y  3  x y + xy = 78  x  ( x − y) y = 716  ( x + y ) x = y   x + x − y x − x − y 17 + =  2 2 x − x − y x + x − y 717    x ( x + y ) + x + xy + = 52 718 7x − 11y = x + y = x + 9y 718 Giải hệ 7x − 11y = x + y = x + 9y  x + y xy = 420 719   y + x xy = 280  x x + y y = 341 720   x y + y x = 330  x+ y + y+z =3  721  y + z + z + x =   z + x + x + y =  x+ y+ z =6  722  x + y + z = 14  x + y + z = 98  Giải hệ phương trình có chứa tham số R (các 723 – 726)  x+ y − x− y =a 723  (a > 0) 2 2  x + y + x − y = a  x x + y = a a ≠ 0, b ≠ 724   y x + y = b  x + y + x − y = 2y 725  726 Giải hệ x − y = a x = a x + y + z  y = b x + y + z  z = c x + y + z Giải hệ phương trình R ( Các 727 – 737)  x y + y x = 727   4 + x − xy + y = 90  4x − y = 728  log (2 x + y ) + log (2 x − y ) =  log y x − log x y = 729  x  = 16 y   x log y.log = y y (1 − log x 2)  x 730   log y3 2.log x =    xy log y x = x x 731  log y.log ( y − x) = y   x x + y = y12 732  x + y y =x  x x + y = y y 733   y x + y = x log y log y x = log x log x y 734  lg x + lg y =   11xz − 2.5 y = 71  y  z 735  11 + 2.5 = 21  y 11( x −1) z + = 16   log x + log y + log z =  736  log y + log z + log x = log z + log x + log y = 16 16   zx = x  y 737  z = y yy = x  2 2 x + y = 737 Bis:  log y x = log x xy Giải hệ phương trình có chứa tham số R (Các 738 – 743)  xa = yb  738  x log c x a,b ≠ 0, a ≠ b, c > 0, c ≠ log c y = log y c   xy = yx p,q > 740  x y p = q log a x log a ( xyz ) = 48  741  log a y log a ( xyz ) = 12 a > 0, a ≠  log z log ( xyz ) = 84 a  a log 2p ( yz ) − log 2p x = a  2 742  log p ( zx ) − log p y = b p > 0, p ≠ 1, a+b+c >  log ( xy ) − log z = c p  p 91 xy = yx p,q > 739  p q x = y log 2p ( yz ) − log 2p x = a  2 742  log p ( zx ) − log p y = b p > 0, p ≠ 1, a+b+c >  log ( xy ) − log z = c p  p  log y x + log x y = 743  x + y = a + a  BÀI 14 HỆ (Hội) VÀ TUYỂN BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU BIẾN Vì bất đẳng thức xét tập R số thực, nên từ “trên R” ta bỏ Ví dụ 61 Giải hệ bất phương trình:  x− y >0  (1)  x + y − <  x − y −1 <  Giải:   y x −  2 Ta vẽ đường thẳng cho phương trình y=x, y=4-x, y = 1 x − đánh 2 dấu nửa mặt phẳng biểu diễn tập hợp tất nghiệm bất phương trình y0 a0  a x +1 x +5  −3< 745   x − x − >  −3 x − < −2  746  x −  x − x + ≤ 747 x − x + 12 ≤ x ≤ x + x − 12  4x − < x +1 748   x + + − x > lg x + > lg( x − 4) − lg  749  x2 + >0  x − 18 x + 81  94  x lg + lg(2 x + + 1) < lg(7.2 x +1 + 12)  750  lg( x + 3) >2  lg( x + 1)  Giải tuyển bất phương trình (Các 751 – 755)  2x +1 − x − >1  751   −4 x − > x +1 x +5  −3 = 752   x − x − >  −3 x − < −2  753  x −  x − x + > x + < x + 1∨ − x + < x + 754 755 x2 − x > − x ∨ − − x2 + 2x > − x Giải hệ bất phương trình có chứa tham số (Các 756 - 761) axx (a+3)(x-3)>3(x-4) 758   (a+2)x>(a+1)x+5 1 3  x + > a a≠0 759   x- x >  a a  2a  x+a> 760  x  x < 2ax+3a   x − ax0   x − 2a Chỉ hệ bất phương trình tuyển hệ bất phương trình với biến x, y, mà tập hợp tất nghiệm biểu diễn miền cho (với biên) mặt phẳng XOY (Các 762 – 764) 762 Xem hình 13 763 Xem hình 14 764 Xem hình 15 95 Hình 13 Hình 14 Hình 15 Hãy mặt phẳng XOY, hình ảnh tập hợp tất nghiệm hệ bất phương trình cho (Các 765 – 769)  x ≥0  765  y ≥ x + y ≤  x ≥0 y ≥0   766 y ≤   y ≤  x   y ≤ x2 767   y ≥ x −1  y ≤ log x 768   y ≥ −1 96  y≤ x  769  y ≥ y ≤ 2− x  Giải hệ bất phương trình có hai ẩn số đồ thị phương pháp giải tích (Các 770 – 782) x − y + < 770  x − y − > x − y + < 771  x − y − < x − y + > 772  x − 2y − < x + y − > 773   x− y >0 774 776 779 x+y–2>0 x+y–4>0 x–y>0 x–y–4 x>0 777 y > x2 y>0 y y2 x–20 y< 781 775 y ≥ x2 y ≤ – x2 x | x + 2y | ≤ 782 | x - 2y | ≤ |y| ≤ 4x + 3y ≥ 2x + y ≥ |x| ≤ 97 [...]... tham số và tham số có nghĩa là với mỗi giá trị đã chọn của các tham số xác định miền đúng (tập nghiệm) của mệnh đề thu được với các biến (không có tham số) Hai mệnh đề với các biền x1, ….,xn, và các tham số a1, a2,…, ak được gọi là tương ứng nếu: 1) Đối với cả hai mệnh đề, tập hợp các cách chọn thích hợp các giá trị của các tham số là như nhau 2) Với mỗi cách chọn thích hợp các giá trị của tham số, ... 83 3 5 2 +7 − 5 2 −7 = 4 3 với b ≥0 , a ≥ b 20 − 14 2 = 4 Số a’ được gọi là giá trị gần đúng của số a ( a ∈ R ) với độ chính xác đến ε nếu | a – a’ | < ε Số a’ được gọi là giá trị gần đúng thiếu của số a ( a ∈ R ) Với độ chính xác đến ε , nếu a’ ≤ a < a’ + Tìm độ chính xác thiếu đến chính xác đến ε là tìm giá trị gần đúng thiếu số của số đã cho với độ ε ( các bài 84 – 92 ) ε Tính độ chính xác thiếu... VỚI CÁC BIẾN VÀ THAM SỐ Giả sử V ( x1 , x2 , , xn , a1 , a2 , , ak ) trên A là một mệnh đề với các biến x1, x2, …, xn và các tham số a1, a2, …, ak (a1, a2, …, ak xem như dã biết) Với những cách chọn các giá trị thích hợp các giá trị a1 , , ak của các tham số a1, a2, …, an, V(x1, …, xn; a1, …, ak) trở thành mệnh đề V (x1,…, xn; a1 , , ak ) với các biến số trên A không chứa tham số Mệnh đề nhận được... TẬP Ta nhớ rằng (xem phần mở đầu I,(8)) biểu thức (1) R(**) có D(1)= [ 0, +∞ ] và E(1)= ( x ≥ 0, m [ 0, +∞ ] , m nghĩa là ta chỉ xét căn số học (***) ) x ≥ 0, ( m x ) m = x Định lí ∀x ∈ [ 0, +∞ ] và ∀m ∈ N ∃! y ∈ [ 0, +∞ ] sao cho y m = x Những tính chất của căn số học 1 Nếu a, b ≥ 0, thì m ab = m a m b 2 Nếu a ≥ 0, b > 0 thì 3 Nếu a ≥ 0 thì m m ak = a ma = b mb ( a) k m 4 Nếu a, b ≥ 0, thì m a mb =... hay không bằng cách sử dụng 1) định lí về nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên và 2) lược đồ Hoocne (Horner) 20 1) Các ước của số hạng tự do a 0 = 3 là số ±1, ±3 Các ước dương của hệ số cao nhất a 5 = 2 là 1, 2 Bởi vậy nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) nằm trong các số: 1 3 ±1, ±3, ± , ± 2 2 2) 1 2 2 -3 -1 6 5 -8 -3 0 -3 1 2 1 6 3 0 -1/2 2 0 3 0 6 1 f ( x) = ( x − 1) 2 ( x + )(2 x 2 + 6) 2 2 = (... phân số tối giảm p ( p, q ∈ Z) là nghiệm của đa thức an x n + + a1 x1 + a0 q với các hệ số nguyên (n ∈ N ) thì p a0 (p chia hết a0 ) và q an Ví dụ 1 Khai triển đa thức f ( x) = 2 x 5 − 3 x 4 + 6 x 3 − 8 x 2 + 3 thành các nhân tử bất khả quy a) trên C; b) trên R Giải Đầu tiên ta phải xem đa thức đã cho có nghiệm hữu tỉ hay không bằng cách sử dụng 1) định lí về nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên... chỉ là các số khác không trong P (nghĩa là chỉ các đa thức bậc không trên P) Định lí Nếu đa thức f(x,y,z) trên P chia hết cho mỗi đa thức ϕ(x,y,z) và ψ(x,y,z) trên P và các đa thức ϕ, ψ nguyên tố cùng nhau thì đa thức f chia hết cho tích ϕ(x,y,z).ψ(x,y,z) Định lí Đa thức f(x) trên trường số phức C là bất khả quy trên C khi và chỉ khi bậc của nó bằng đơn vị Định lí Đa thức f(x) trên trường số thực R... TỈ NGUYÊN, HŨU TỈ PHÂN TRÊN MỘT TẬP Nếu không có chú giải ta sẽ coi biểu thức hũu tỉ được xét trên tập C các số phức Ta nhắc lại một vài định lý và định nghĩa Giả sử P là một trường số (nghĩa là một trường con của hàm số phức) Định lí (Bơzu) Giả sử f(x) là một đa thức một ẩn bậc n ≥ 1 trên trường P Khi đó f(x) có trong P không quá n nghiệm và a là nghiệm của đa thức f(x) trong P khi và chỉ khi f(x)... ) − ( x 3 − 2 x) + ( x 2 − 2) = ( x 2 − 2)( x 2 − x + 1) = ( x + 2)( x − 2)( x − 1− i 3 1+ i 3 )( x − ) 2 2 Phương pháp thứ hai (Phương pháp hệ số bất định) ( x 4 − x 3 − x 2 + 2 x − 2 = ( x 2 + ax+b) x 2 + cx + d tương ứng của x ta có hệ 21 ) so sánh các hệ số của các luỹ thừa  a + c = −1 b + ac + d = −1  , ta tìm được a= - 1,b=1,c=0,d= - 2 (hoặc a=0,b=-2,c=-1,d=1)   ad + bc = 2  bd = −2 Ví... 2 + y 2 ) 25 Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm các giá trị a,b để ta có đồng nhất thức trên C (các bài 46, 47,48) 2 2 2 2 46) x1 + x2 + + xn = a ( x1 + x2 + + xn ) + b( x1 x2 + x1 x3 + + x1 xn + x2 x3 + + xn −1 xn ) 47) xy 2 + xz 2 + x 2 y +yz 2 +zx 2 +zy 2 =a(x+y+z)(xy+yz+zx)+bxyz 48) ( x + 4)( x + 5)( x − 3) = x 3 + ax 2 +bx-60 49) Dùng phương pháp hệ số bất định chứng minh đồng nhất thức ... dụng file để chỉnh sữa thành tài liệu học tập cho riêng Mỗi nội dung chủ đề kiến thức Đề tài Tiểu luận Tốt nghiệp Thực hành GIẢI TOÁN SƠ CẤP Tập I (Đại số Lượng giác) MỞ ĐẦU I HÀM TRÊN MỘT TẬP... biểu thị dạng hữu hạn biểu thức sơ cấp M Ω ∈ M n với số tự nhiên n Đặc biệt, M tập hợp tất biểu thức A, biểu thức với biến biểu thị dạng hữu hạn biểu thức sơ cấp M, gọi biểu thức biến A gọi tắt... A gọi tắt biểu thức A Nói cách khác, biểu thức với biến A biến sơ cấp A biểu thức thu nhờ phép hợp thành số hữu hạn biểu thức sơ cấp A Sự phân lớp biểu thức với biến tập Biểu thức với biến R(C,Q),