Chương III Véctơ không gian quan hệ vuông góc không gian Bi Vect không gian I/Định nghĩa phép toán vec tơ không gian: (Tương tự mặt phẳng) HĐ1: a/Cho tứ diện ABCD kể tên vectơ có điểm đầu A, điểm cuối đỉnh lại tứ diện uuur uuur uuur AB, AC , AD không nằm mặt phẳng b/Chứng minh: AC + BD = AD + BC Ta có A D B AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC (vì DC + CD = ) C c/Gọi M, N trung điểm AD, BC Chứng minh MN = 1/2(AB + DC) A Ta có: MN = MA + AB + BN M MN = MD + DC + CN 2MN = MA + MD + AB + DC + BN + CN 2MN = AB + DC d/Gọi G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh: AB + AC + AD = 3AG (SGK/87) B N G C D HĐ 2: Cho hình hộp ABCD.ABCD a) Kể tên vectơ với vectơ AB C' D' AB = AB = DC = DC A' B' b) C/m đẳng thức: AB + AD + AA= AC (1) Ta có AB + AD + AA = AC + AA = AC C D A B Tương tự, ta chứng minh được: DA + DC + DD = DB , Ta gọi đẳng thức (1) đẳng thức tương tự với (1) qui tắc hình hộp II/Điều kiện đồng phẳng vec tơ: 1/Định nghĩa: -3 vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng -Cho vectơ a, b, c +Nu a, b, c thuộc mp(P) vectơ đồng phẳng +Nếu vectơ thuộc mp (P), vectơ lại song song với mp(P) (hoặc vectơ thuộc mp(P), vectơ lại song song với mp(P)) vectơ đồng phẳng Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh vectơ BC, AD, MN đồng phẳng A HD: Gọi P, Q trung điểm AC, BD Yêu cầu: -Chứng minh MPNQ hình bình hành, suy MN thuộc mp(MPNQ) M P B Q D -Chứng minh BC AD song song với mp(MPNQ) C N 2/Điều kiện để vectơ đồng phẳng: a/Định lý 1: a , b , c đồng phẳng có cặp số m, n cho c = ma + nb (trong a b không phương; m, n nhất) Ghi chú: Nếu có c = ma + nb ta nói vectơ c biểu thị qua hai vectơ a b Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh vectơ BC, AD, MN đồng phẳng A Ta có: MN = 1/2(BC + AD) MN = 1/2BC + 1/2AD M B BC, AD, MN đồng phẳng D C N b/ Định lý (biểu thị vectơ qua vectơ không đồng phẳng): Nếu a , b , c không đồng phẳng với vectơ x ta biểu thị vectơ x qua vectơ a , b , c (Nghĩa tồn số thực m, n, p cho x = ma + nb + pc ) Ví dụ: Cho AB = a , AD = b , AE = c Gọi I trung điểm BG Hãy biểu thị AI qua a , b, c B (Tức phải tìm số thực m, n, p để AI = ma + nb + pc ) A Ta có AB + AG = 2AI F AI = 1/2(AB + AG) Mà AG = AB + AD + AE AG = a + b + c AI = 1/2( a + a + b + c ) AI = a + 1/2b + 1/2c C E D I G H Các kiến thức cần nắm: 1) Vectơ không gian có quan hệ phép toán mặt phẳng 2) Ba vectơ đồng phẳng vectơ có giá song song với mặt phẳng; điều kiện để vectơ đồng phẳng 3) Nắm đựoc quy tắc hình hộp, Bài tập: 2, 3, SGK trang 91