véc tơ pháp tuyến mặt phẳng phương trình tổng quát mặt phẳng 1.Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n n ( A;B;C ) ( A;B;C ) véc tơ pháp tuyến mp (P) { n n ≠ ⊥ (P)  { A2 + B + C ≠ n ⊥ (P) P Các véc tơ k n véc tơ ph¸p tun Bài tốn: kn Trong khơng gian Oxyz cho mp (P) vectơ không phương a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) có giá song song nằm mặt phẳng (P) Vectơ n = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1) gọi vectơ pháp tuyến mp (P) Kí hiệu: n = a ^ b = [ a , b ] tích có hướng vectơ HĐ1: Trong không gian Oxyz cho A(2; -1; 3); B(4; 0; 1); C(-10; 5; 3) Hãy tính vectơ pháp tuyến ca mp(ABC) Bài giải Vtpt n = [AB;AC] AB = ( 2; ; -2) AC = ( -12; ; 0) Vtpt n = [AB;AC] = (12 ; 24 ; 24) Hay n = (1; 2; 2) II Phương trình tổng qt mặt phẳng: Bài tốn 1:Trong hƯ täa ®é Oxyz (P) tháa m·n { n ( A;B;C ) Qua M0 ( x0;y0 ;z0) Vtpt n ( A;B ;C) P CMR: M (x ;y;z) ∈ (P) ⇔ A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = Giải M (x ;y;z) ∈ (P) ⇔ n ⊥ M0M • M(x0 ;y0;z0) • M (x ;y;z) Bài toán 2: M (x ;y;z) tháa m·n pt Ax +B y + Cz + D = 20 (*) A +B2+C2 ≠ Chän M0(x0 ; y0 ; z0) tháa (*) Cã: Ax0 +B y0 + Cz0 + D = (**) ⇔ Ax + By+ C z - Ax0 -B y0 - C z0 = => A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = §Ỉt b»ng D => n ( A;B;C ) ⊥ M0M ⇔ Ax + By+ C z + D = Vậy n vectơ pháp tuyến (P) Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2+C2 ≠0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng *) Nhận xét: a) Nếu mp (P) có phương trình tổng qt Ax + By + Cz + D = có vtpt n = ( A; B ; C) b) Phương trình mp qua điểm M0(x0, y0, z0) nhận vectơ n = ( A; B ; C) khác vectơ không làm vectơ pháp tuyến A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = HĐ2: Cho mp (P): 4x – 2y – 6z + = Tìm vtpt (P)? Giải: n = ( 4; -2 ; -6) HĐ3: Lập phương trình tổng quát mp(MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) Giải: Vtpt n = [MN;MP] MN = ( 3; ; 1) MP = ( 4; ; 0) Vtpt n = [MN;MP] = (-1 ; ; -5) Pt mp (MNP) qua M(1; 1; ) nhận n = (-1 ; ; -5) làm vtcp Pt.(ABC) lµ : -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = hay - x + 4y - 5z + = Các trường hợp riêng: Trong không gian Oxyz cho mp(P): Ax + By + Cz +D= 0(1) a) Nếu D =  (P) qua gốc toạ độ O b) Nếu hệ số A  (P) // Ox (P) chứa trục Ox HĐ4: Nêu trường hợp B = C = 0? ĐA: B =  (P) // Oy chứa trục Oy C =  (P) // Oz chứa trục Oz c) Nếu A = B = 0, C ≠  (P) // trùng mp(Oxy HĐ5: Nếu A = C = 0, B ≠  (P) // trùng mp(Oxz) Nếu B = C = 0, A ≠  (P) // trùng mp(Oyz) *) Nhận xét: Phương trình mặt phẳng qua điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) là: z =1 x + y + a b c Vớ d : Viết phương trình mặt phẳng Đi §iqua qua 33 ®iĨm ®iĨm A(-1;0;0) A(-1;0;0) ,, B(0;2;0),C B(0;2;0),C (0;0;-5) (0;0;-5) Bài giải z x + y + -1 -5 =1 Ph.tr×nh mp (ABC) : 10 x -5y + 2z -10 = III Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc HĐ6: cho hai mp (P): x – 2y + 3z + = (Q): 2x – 4y + 6z + 1= Có nhận xét vectơ pháp tuyến chúng? Trả lời: n(P) = (1; -2; 3) n(Q) = (2; -4; 6) = 2(1; -2; 3) = n(P) Hai mp (P) (Q) gọi hai mp song song Bài tập : Trong hệ tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng (P) (Q)_ lần Qua M0 ( x0;y0 ;z0) lượt có phương trình: (P) thỏa mÃn 1Vtpt n ( A;B ;C) 3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = A2+B2+C2 ≠ Mét điểm M0 ( 1;-4;0) Viết phương trình mặt phẳng( ) qua M0 Phương trình đồng thời vuông góc với hai mặt Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 C z0 = phẳng (P) (Q) * Mặt phẳng (P) (Q) Bài giải: { n(P).n(Q)= *) (P) // (Q) chung vtpt V× (α) ⊥ (P) => (α) cã vtcp u (3;2;-5) V× (α) ⊥ (Q) => (α) cã vtcp v (1;-7;6) [u,v] = (- 23; -7 ; -23) ≠ Chän vtpt cđa (α) lµ n (23; 7;23) (α) qua M0(1;-4 ; 0) => Ph.trình () 23x +7y +23z +5 = H×nh thøc thø nhÊt :Cho trùc tiÕp n ( A;B;C ) TH1: • A(x1;y1;z1) • B(x2;y2;z2) P n = AB (P) Hình thức thứ hai :cho gián tiếp Hình thức thứ hai :cho gián tiếp TH2: u n =[u ;v] v P u // nằm (P) v // nằm (P) u v không phương n =[u ;v] Hình thức thứ hai :cho gi¸n tiÕp TH3: nQ = ( A,B,C) ⊥ (Q) Q nP = ( A,B,C) ⊥ (Q) P (P) // (Q) Ph.tr×nh (Q) :Ax + By +Cz + D1 = => Ph.tr×nh (P) : Ax +By +Cz +D2 = Chó ý: nQ = ( A,B,C) ⊥ (Q) Q nQ = ( A,B,C) // (P) P IV Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Định lí: Trong khơng gian Oxyz cho mp (P) :Ax + By + Cz + D = điểm M0(x0; y0; z0) Khoảng cách từ M0 đến mp (P), kí hiệu d(M0, (P)) d ( M , ( P )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A + B +C 2 Ví dụ: Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mp(P): 2x + 2y –z + = Giải: d ( M , ( P)) = d (O, ( P)) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A + B +C 2 2.0 + 2.0 + (−1).0 + + + (−1) 2 2 = =1 Ví dụ 2:Tính khoảng cách hai mp song song (P): x + 2y + 2z + 11 = (Q): x + 2y + 2z + = Giải: Lấy M(0; 0; -1) thuộc (Q) + 2.0 + 2.(− 1) + 11 d (( P), (Q)) = d (M , ( P)) = = =3 2 +2 +2 HĐ7: Tính khoảng cách mp (P): x – = (Q): x – = Giải: Lấy M(2, 0, 0) thuộc (P) d (( P ), (Q)) = d ( M , (Q)) = + 0.0 + 0.0 − +0 +0 2 = =6 I.Lý thuyết : ãNắm vững toán viết phương trình mặt phẳng (Phải biết điểm mặt phẳng Vtpt mặt phẳng) ãNắm vững cách xác định véc tơ phương mặt phẳng ãNắm vững cách xác định véc tơ pháp tuyến mặt phẳng IãBài tập: Từ đến 10 trang 81 82 (Sgk) Xin chân thành cảm ơn thầy (cô) em học sinh Xin chào hẹn gặp lại ! 10