ELíp y F1 -c ELíp M y M a 2a 2c O Định nghĩa : mặt phẳng Cho hai điểm cố định F1 F2 F x Với F1F2 = 2c > x c ELÍP (E)={ M / M F1+M F2= 2a} * (a số không đổi a > c ) : gọi tiêu điểm (E) F ;F * F1F2 = 2c :gọi tiêu cự (E) * MF MF: gọi bán kính qua tiêu M thuộc (E) Phương trình tắc elip: KHÁM PHÁ PHƯƠNG TRÌNH (E) F1(− c;0) ;F2(c;0) M(x;y)∈ (E) Ta y có MF12 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 F1M2 = ? MF22 = (x − c)2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 F2M = ? F1M2 − F2M2 = ? MF12 − MF22 = 4cx MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2) −c F1 O F1M2 + F2M2 = ? M c F2 Mà : MF1 − MF2 < 2aTại ??? ⇒ ( MF1 − MF2) − 4a2 ≠ 0.(1) 2 a y Định nghĩa cho ta:MF1 + MFKIẾN ⇔ NHỚ x + 2 = a2 = 2a THỨC CẦN 2 a −c ⇒ ( MF1 + MF2) − 4a M = 0.(2) 2 x y Ta biết : giác Lấy (1)nhân (2) ta : ⇔ +1tam = 1thì 2 a a − c nhỏ 2độ ( MF − MF ) − 4a2 ( MF + MF ) =0 Hiệu dài hai cạnh − 4a 2 2     Nếu: b = a − c độ dài cạnh thứ ba ⇔ (MF12 − MF22)2 − 8a2 ( MF12 + MF22 ) + 16a4 = Ta phương trình: 2 2 2 F2 = 0MF1 − MF2 ≤ F1F2 = 2c < 2a ⇔ 16c x − 16a F1(x + y + c ) + 16a 2 x y ⇔ c2x2 − a2x2 − a2y2 − a2c2 + a4 = ⇒ MF1 − MF2 2< +2a2 = Với b2 = a2 − c2 2 2 2 2 ⇔ x (c − a ) − a y − a (c − a ) = ⇔ − x2(a2 − c2) − a2y2 + a2(a2 − c2) = ⇔ x2(a2 − c2) + a2y2 = a2(a2 − c2) a b Lưu ý : a > b >0 x y y ELíp M Phương trình tắc elip: 2 MF − MF = 4cx F F O Ta có a.xĐịnh lí : Trong mặt phẳng Oxy x 1c − MF2 ) = 4cx ⇔ -c (MF1 + MF2)(MF Nếu elip có tiêu điểm F (− c;0) ;F (c;0) MF + MF = 2a( ) 2và MF + MF = 2a với M(x;y)∈ (E) 2cx nghĩa: Theo định ) Thì phương trình tắc ⇒ MF1 − MF2 =(a > c (2) củaaelip : x2 y2 (1)+ (2) ? (1)- (2) ? + = với b2 = a2 − c2 a *Công thức tính bán kính qua cx tiêu MF1 = a+ a cx MF2 = a− a b ELíp y -a A1 F1 -c e→ Hay a-> b b B.2 y O -b B1 Các yếu tố (E) F1(− c;0);F2(c;0) * tiêu điểm M * Tiêu cựF1F2 = 2c * trục đối xứng trục Ox trụ * Tâm đối xứng : O (0;0) a x* (E) có đỉnh A2 2đỉnh OxA:1(− a;0);A2(a;0) đỉnh OyB1:(0;− b);B2(0;b) F2 x c e= a2 − b2 a b → ⇒ e→ * Trục lớn : A1A2 = 2a * Trục bé: B1B2 = 2b •Hình chữ nhật sở có phương trình cạnh làx: = ± a;y = ± b *Tâm sai elip tỉ số ti cự độ dài trục lớn , Kí hiệu e c Vậy : e = < a 4.BÀI TẬP ÁP DỤNG x2 y2 + =1 Bài : cho elíp (E) : 25 a / Tìm yếu tố sau (E) * tiêu điểmF1: (−4;0) ;F2(4;0) * Tiêu cự: F1F2 = A1:A2 = 2a = 10 * Độ dài trục lớn B1B2 = 2b = * Độ dài trục bé: *4 đỉnh A1(−5;0);A2(5;0) B1(0;−3);B2(0;3) c e = = *Tâm sai a b/ Vẽ (E) a= ? c =? b= ? c= ? * tiêu điểm: F1(− c;0);F2(c;0) Cáccự: h vẽ * Tiêu F1F:2 = 2c a;0);A c đtrên ịnh 4Ox đỉnh củ 2 tiê(a u ;0) điểm *Xá đỉnh :A 1(a−(E) đỉnh Oy : B1(0;− b);B2(0;b) * Vẽ cạnh hình chữ nhật sở * Trục lớn : A1A2 = 2a * Vẽ (E) nB ội B tiếp= hình chữ nhật đỉnh 2b * Trục bé: * Hình chữ nhật sở có phương x = ± a;y = ± b trình cạnh c y e= *Tâm sai elip a −4 −5 F1 O −3 F2 x 4.BÀI TẬP ÁP DỤNG Baøi : cho elíp (E) : 4x2 + 9y2 = 36 30s Chọn kết a / (E) có tiêu điểm là: A F1(−5;0);F2(5;0) C F1(0;− 5);F2(0; 5) ;BB F1(− 5;0);F2( 5;0) ; D F1(0;−5);F2(0;5) b / (E) có tiêu điểm : A F1F2 = Nhóm ; B F1F2 = 10 Nhóm ; C F1F2 = ; D D F1F2 = c / (E) có độ dài trục là: Nhóm C a = 3;b = ; D a = 4;b = A a = 2;b = ; B a = 9;b = ; C d / (E) có tâm sai : 5 e = e = ; B A A Nhóm 5 ; C e = ; D e = 4.BÀI TẬP ÁP DỤNG Baøi 3: Viết phương trình tắc ( E) biết : Một tiêu điểm Flà độ dài trục lớn 10 1(−2;0) Giải Phương trình tắc ( E) có dạng x2 y2 2 ; v i + = b = a − c a2 b2 Theo đề ta có 2a = 10 ⇒ a = F1(−2;0)⇒ c = Muốn tìm phương trình ta phải tìm yếu tố ( E ) ??? Mà b2 = a2 − c2 = 25 − 4= 21 Phương trình tắc elip (E) x2 y2 + =1 25 21 y ELíp a A2 c −b B1 F2 O -c Chú ý : F1 − a A1 Nếu chọn hệ trục toạ độ cho b B2 F1(0;− C);F2(0;C) x Thì elip có phương trình y2 x2 + =1 a b Phương trình không gọi phương trình tắc elip Ví dụ : phương trình x2 y2 + = Là phương trình tắc elip x2 y2 + =1 16 Không phương trình tắc elip