Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Chương Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 4.1 Giải gần phương trình Để tìm nghiệm gần phương trình f(x) = 0, ta phải tách nghiệm Giả sử khoảng [a,b] hàm f(x) liên tục với đạo hàm f’(x), f”(x), Các giá trị f(a), f(b) giá trị hàm điểm mút đoạn f(a).f(b) < f’(x) giữ nguyên dấu đoạn [a , b] Đôi thuận lợi, viết lại: f(x) = ⇔ ϕ (x) = ψ(x) Nghiệm thực phương trình f(x) = giao điểm đồ thị hàm y = ϕ (x) y = ψ(x) 4.1.1 Phương pháp dây cung Thay cung AB y = f(x) dây cung AB, lấy x1 giao điểm P dây cung với trục hoành làm giá trị gần nghiệm xác α Phương trình dây y cung AB: Y − f (a ) X−a = f ( b ) − f (a ) b − a B Tại P ta có: Y = 0, X = x1, x −a f (a ) = f ( b ) − f (a ) b − a (b − a )f (a ) af (b) − bf (a ) = Suy ra: x1 = a f ( b ) − f (a ) f ( b ) − f (a ) nên: − a P X1 O α b x A Sau tính x1 ta xét khoảng phân li nghiệm [a,x1] hay [x1,b] tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng phân li mới, tiếp tục ta x2, x3, x4 → ngày gần đến nghiệm xác α Sai số ước lượng: α − x < − f " (x ) f (a ).f ( b ) max [f ' (x )]3 4.1.2 Phương pháp Newton-Raphson Còn gọi phương pháp Newton hay phương pháp tiếp tuyến Xét phương trình f(x) = Khai triển Taylor hàm f(x) lân cận x0: f(x) = f(x0) + (x - x0) f’(x0) + (x − x ) (x − x ) n n (x − x ) n +1 n +1 f " (x ) + + f (x ) + f ( C) 2! n! ( n + 1)! Với: C = x0 + θ(x - x0), với: < θ < 1, có nghĩa: x0 < C < x Bây ta lấy số hạng bậc chuỗi Taylor: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 20 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật f(x0) + ( x - x0).f’(x0) = (4.1) Gọi x1 nghiệm (4.1), ta có: x1 = x0 - f (x ) f ' (x ) f (x n ) f ( x1 ) ,…, xn + = xn , với x0 ∈ [a,b] f ' (x n ) f ' ( x1 ) Vì (4.1) dùng thay cho phương trình f(x) = 0, tuyến tính x nên phương pháp Newton gọi phương pháp tuyến tính hóa, f’(x0) hệ số góc y = f(x) x0 Tại B(x0,f(x0)) Y - f(x0) = f’(x0).(X - x0) , P : x = x1 ; Y = phương trình (4.1) Tương tự: x2 = x1 - Hội tụ sai số Người ta áp dụng phương pháp lặp Newton nghiệm xn → α n → ∞ Định lý: Giả sử [a,b] khoảng phân ly nghiệm α phương trình: f(x) = 0, f có đạo hàm f’, f” với f’ liên tục [a,b], f’ f” không đổi dấu (a, b) Xấp xỉ đầu x0 chọn a hay b cho f(x0) dấu với f” Khi xn → α n→ ∞ Cụ thể xn đơn điệu tăng tới α f’.f” < 0, xn đơn điệu giảm tới α f’.f” > Sai số: α − xn < f (x n ) , , với: < m < f ( xn ) m α ≤ x ≤ b Trường Hợp Lặp Newton - Raphson Không Có Hiệu Quả (hàm biến) f(x) f(x) x2 x1 x0 x Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính x1 xo x2 x Trang 21 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật f(x) f(x) ` O x0 x4 x2 x1 x3 x X0 X1 X ` 4.2 Giải hệ phương trình phi tuyến Ở ta giải hệ phương trình phi tuyến theo phương pháp lặp Newton-Raphson Từ khai triển Taylor cho toán biến: f(xi + 1) = f(xi) + f’(xi)(xi + 1- xi) + x i+1 = x i − f " ( ℑ) ( x i+1 − x i ) 2! f (x i ) f ' (x i ) f(xi + 1) = Tổng quát hoá cho toán biến (hàm biến): ∂u i ∂u i  u i +1 = u i + ( x i +1 − x i ) ∂x + ( y i +1 − y i ) ∂y  i i  v = v + ( x − x ) ∂v i + ( y − y ) ∂v i i i +1 i i +1 i  i +1 ∂x i ∂y i (4.2a) (4.2b) ∂v i ∂u i  u v − i i  ∂y ∂y x i +1 = x i − (4.3a) ∂u i ∂v i ∂u i ∂v i  − ∂x ∂y ∂y ∂x  Từ (4.2a) (4.2b) ta có:  ∂u ∂v  vi i − ui i  ∂x ∂x (4.3b) y i +1 = y i − ∂u ∂v ∂u ∂v i i − i i   ∂x ∂y ∂y ∂x Mẫu số (4.3a) (4.3b) gọi định thức Jacobien (detJ), hệ thống: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 22 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện ∂u i ∂x det J = det ∂v i ∂x Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật ∂u i ∂y ∂v i ∂y Một cách tổng quát cho phương trình: f(x)=0 Với x = [x1,x2, ,xn]T f = [f1,f2, ,f n]T Phương pháp lặp Newton-Raphson cho hệ phương trình n ẩn là: x(k+1) = x(k) -Fx-1(x(k)).f(x(k)) Với ma trận Jacobi Fx sau:  ∂f1 ∂f1 ∂f1    ∂x n   ∂x ∂x ∂f ∂f   ∂f Fx=  ∂x ∂x ∂x n    ∂f n ∂f n   ∂f n  ∂x ∂x n   ∂x Bài tập: Hãy tính lặp theo phương pháp Newton- Raphson Cho f(x) = e-x - x , với x0 = (điểm ban đầu) e −x − x i -X Giải : Ta có f’(x) = - e - , αx + = xi − e −x − Ta lập bảng tính: ε(%) i xi 0 100 0, 0 0 0 0 11,8 0, 6 1 0 0,147 0, 0,0000220 0, 7 < 10-8 i i u ( x , y) = x + xy − 10 = cho biết nghiệm (x = 2, y = 3) Cho  v( x , y) = y + 3xy − 57 = Nghiệm ban đầu cho ( x = 1,5 , y = 3,5 ) Giải: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 23 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật ∂v = + xy = + 6(1,5)(3,5) = 3,25 ∂y ∂v = y = 3(3,5) = 36,75 ∂x ∂u = x = 1,5 ∂y ∂u = x + y = 2(1,5) + 3,5 = 6,5 ∂x Vậy định thức Jacobien: det J = 6,5(32,5) - 1,5(36,75) = 156,125 u0 = (1,5)2 + 1,5(3,5) - 10 = - 2,5 v0 = 3,5 + 3(1,5)(3,5)2 - 57 = 1,625 − 2,5(32,5) − 1,625(3,5)  x = , − = 2,03603  156,125 Từ có:  y = 3,5 − 1,625(6,5) − (−3,5)(36,75) = 2,84387  156,125 Tiếp tục phần xấp xỉ bị dư → (x = , y = 3) Cho hàm: f(x) = - 0,9x2 + 1,7x + 2,5, điểm ban đầu x0 = 5, chọn ε0 = 0,01% Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 24