Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHẦN BỔ TÚC Chương A PHÉP TÍNH VECTỎ → → → c = a× b → → → b b c → → → a aa • Tích vô hướng : a.b = ab cos ϕ a.b = x1 x + y1 y + z1z • Tích vector : c = a × b = ab sin ϕ → → → → Có tính chất: b × a = − a × b • Tích hỗn tạp i j k a × b = x1 x2 y1 y2 z1 z2 : x1 abc = (a × b) c = a.(b × c) = bca = cab = x x3 abc = - bac = - cba V1 = abc, V2 = V1 y1 y2 y3 z1 z2 z3 = - acb = abc V1 thể tích hình hộp dựng vector a , b, c Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật V2 thể tích hình chóp dựng vector a , b, c nầy Toán tử Haminton ∂U ∂U ∂U i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az + + divA = ∂x ∂y ∂z gradU =  ∂Az ∂Ay   ∂Ax ∂Az   ∂Ay ∂Ax  − i +  − rotA =  − k j+  ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y   ∂y Công thức Ostrogradsky - Gauss: ∫ Adσ = ∫ divAdΩ σ Ω Với σ : mặt Ω : thể tích Công thức Stokes : ∫ Adr = ∫ rotAds với r = x i + y j + z k (L ) (S ) Phép toán với toán tử ∇ ∂ ∂ ∂ ∇=i + j +k ∂x ∂y ∂z ∂U ∂U ∂U ∇U = i +j +k = gradU ∂x ∂y ∂z  ∂ ∂Ax ∂Ay ∂Az ∂ ∂ + + = divA ∇ • A =  i + j + k  • (iAx + jAy + kAz ) = x y z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ ∂ ∂   i ∂ CurlA = ∇ X A = ∂X AX CurlA = i( j ∂ ∂Y AY k ∂ ∂Z AZ ∂A Z ∂A Y ∂A ∂A ∂A ∂A ) + j( X - Z ) + k( Y - X ) = rotA ∂Y ∂Z ∂X ∂X ∂Z ∂Y  ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ A • ∇ = (iA X + jA Y + kA Z ) •  i + j + k  = A X + AY + AZ ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật ∂ d = v•∇ + dt ∂t ∂ u ∂ u ∂ u ∂2 ∂2 ∂2 + ∆ = ∇ = ∇ • ∇ = + + , divgrad u = ∇ u = ∆u = + x y ∂z ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z 2 B PHÉP TÍNH TEN-XỎ (Tensor analysis) Hạng Tensor số số Tensor Ví dụ : có số, nên tensor hạng aij có hai số, nên Tensor hạng hai Qui tắc số Khi có hai số giống nhau, biểu thị tổng: aibi=a1b1+ a2b2+ a3b3= ∑ a i b i i =1 Hệ thống đối xứng aij=aji, phản đối xứng aij= -aji Ví dụ: i = j 1 i ≠ j 0 Tensor hạng hai đối xứng δ ij =  • Tổng Tensor hạng Tensor hạng: (hạng ba) Cijk = aijk ± bijk • Nhân Tensor: Cijklm= aijk.blm (mọi tích có thành phần Tensor) Vô hướng xem Tensor hạng zero • Phép cuộn Tensor: Được thực có hai số trùng nhau: aijkk = ∑ a ijkk = aij11+ aij22+ aij33 = Cij k =1 Phép nhân trong: Cijm = aijkbkm Là phép nhân cuộn đồng thời Tensor , cho ta tìm vết Tensor Phép nhân cho ta điểm xuất phát quan trọng để nhận bất biến đối tượng hình học vật lý Thí dụ: Vết Tensor aij=xiyj Khi cho i = j => aii = xiyi = x1y1+ x2y2+ x3y3 = vô hướng Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật C CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI Phép biến đổi tọa độ y' y *M b x’ O1 o a x + Phép tịnh tiến: x = x '+a  x ' = x − a , y = y'+ b , y' = y − b + Phép quay: x = x ' cos α − y' sin α  x ' = x cos α + y sin α y = x ' sin α + y' cos α y' = −x sin α + y cos α , , Phép biến hình bảo giác B y o B' W = f(z) C A x Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính v o' C' A' u Trang Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện γ γ' l g y σ Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật h v g' h' (u0,v0) (x0,y0) σ' φ λ o l' x o' λ' φ' u Cho W = f(z) giải tích miền D, số phức z = x + yi W = u + vi Phép biến đổi điểm: A(x,y) → A’(u,v), Các cạnh tỉ lệ với nhau: góc β = β’ (bảo giác) BC CA AB = ' ' = ' ' góc tương ứng nhau: ' ' AB BC CA Phép biến đổi Laplace ∂U(x i , t ) , với t > ∂t Nhân vế phương trình với e-pt ( với p > ), lấy tích phân theo t từ → Xét phương trình vi phân : α∆U(x i , t ) = ∞ ∂U(x i , t ) −Pt e dt ∂ t ∞ α ∫ ∆U(x i , t )e dt = ∫ ∞ , ta : − Pt ∞ − Pt Đặt U(x i , P ) = ∫ U(x i , P )e dt , hàm U (x i , P ) gọi phép biến đổi Laplace hàm U(xi ,t) t Biểu thức viết lại theo U (x i , P ) : α.∆ U = P U − U(x i , P ) , Giải dễ dàng tìm U , có U dùng bảng tra tìm U ∞ ∂U(x i , t ) −Pt − Pt e dt = [U(x i , P).e ] + P∫ U(x i , t )e −Pt dt Chú ý: ∫ ∂t 0 ∞ Phép biến đổi Sigma σ ξ=x η=y σ= 2(z − ξ ) + => h (x , y ) + ξ z= ξ ⇒ σ = mặt thoáng z = - h(x,y) ⇒ σ = - đáy σ ∈ [−1,+1] t’=t Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật z σ ξ(x,y,t) mặt nước O x,y h(x,y) đáy mặt nước -1 đáy ξ, η Tọa độ σ Tọa độ z D MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH HÀM Không gian mêtrix Định nghĩa: Một tập hợp X gọi không gian Metrix, ứng với cặp phần tử x,y ∈X có số thực ρ (x,y) ≥ 0, gọi khoảng cách x & y, thỏa điều kiện sau: ρ(x,y) = x = y, ρ(x,y) = ρ(y,x) ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y), ∀x,y,z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Không gian tuyến tính định chuẩn Tập hợp X gọi không gian tuyến tính tập hợp xác định hai phép tính: Cộng phần tử nhân phần tử với số đồng thời thỏa tiên đề: x+y = y + x , (x + y) + z = x + (y + z ), λ(x + y) = λx + λy , (λ+ µ)x = λx + µx , λ (µx) = (λµ)x Tồn phần tử θ ∈ X, gọi phần tử không, cho 0.x = θ, ∀x ∈ X Không gian tuyến tính gọi định chuẩn, ứng với x ∈ X ta xác định số thực gọi chuẩn x ký hiệu x đồng thời số thực thỏa điều kiện sau: x ≥ , x = 0, x = θ λx = λ x , ∀λ∈R, ∀x∈X x + y < x + y , ∀ x,y ∈ X ( bất đẳng thức tam giác ) Không gian EUCLIC- Không gian HILBERT Cho không gian tuyến tính X (trên trường số thực phức) Giả sử ứng với cặp phần tử x,y ∈ X, xác định số thực phức (x,y) thỏa điều kiện sau : (x,y) = (y,x) , trường số phức (x,y) = ( y, x ) (x + y,z) = (x,z) + (y,z), ∀ x,y,z ∈ X (λx,y) = λ(x,y) (x,x) ≥ 0, (x,x) = x = θ Số (x,y) gọi tích vô hướng hai phần tử x,y Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Không gian tuyến tính mà có xác định tích vô hướng gọi không gian Euclic Không gian Euclic đủ, vô hạn chiều gọi không gian Hilbert Toán Tử Tuyến Tính - Phiếm Hàm Tuyến Tính Giả sử X,Y hai không gian Topo tuyến tính Toán tử (hay ánh xạ): A: X → Y (y = Ax , x ∈ X , y ∈ Y) gọi tuyến tính ta có: A(λx1 + µx2 ) = λAx1 + µAx2 Tập hợp tất gía trị x ∈ X mà A xác định, gọi miền xác định toán tử A ký hiệu D(A) Miền giá trị A ký hiệu R(A) ⊂ Y Trong trường hợp Y = R1 (trường số thực), toán tử tuyến tính A gọi phiếm hàm tuyến tính Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang