PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET 1. Phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) Cách giải và công thức nghiệm 2. Định lý Viet Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì: Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình: x 2 - Sx + P = 0 3. Ứng dụng của định lý Viét: *) Ứng dụng trong bài toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 và một nghiệm x = c/a. + Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1 và một nghiệm x = -c/a. *) Ứng dụng trong bài toán phân tích biểu thức f(x) = ax 2 + bx + c thành nhân tử. Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì biểu thức f(x) = ax 2 + bx + c sẽ được phân tích thành nhân tử: f(x) = ax 2 + bx + c = a(x - x 1 )(x - x 2 ). Ví dụ: x 2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2); 2x 2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x - 1/2) = (x - 2)(2x - 1). *) Ứng dụng trong bài toán có liên quan đến biểu thức có chứa tổng và tích của các nghiệm. Ví dụ. Tính: 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 ; ; ; ; x x x x x x x x x x x x + + + + + 4. Một số bài toán thường gặp Bài toán1: Giải và biện luận phương trình dạng: ax 2 + bx +c = 0 Bước 1: Nếu a = 0, xét b và c: + Nếu b ≠ 0, phương trình có một nghiệm duy nhất x = - c b . + Nếu b = c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x. + Nếu b = 0, c ≠ 0, phương trình vô nghiệm. Bước 2: Nếu a ≠ 0, tính ∆ = b 2 - 4ac. + Nếu ∆ > 0, phương trình có có hai nghiệm phân biệt 1,2 2 b x a − ± ∆ = ; + Nếu ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép 2 b x a = − . + Nếu ∆ < 0 , phương trình vô nghiệm. Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm. Điều kiện: 0, 0 0, 0 a b a = ≠   ≠ ∆ ≥  ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2) ∆ = b 2 – 4ac Kết luận ∆ > 0 (2) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2 b x a − ± ∆ = ; ∆ = 0 (2) có nghiệm kép 1,2 2 b x a = − ∆ < 0 (2) vô nghiệm ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2) ∆ = b’ 2 – ac Kết luận '∆ > 0 (2) có hai nghiệm phân biệt 1,2 ' 'b x a − ± ∆ = ; '∆ = 0 (2) có nghiệm kép 1,2 b x a = − '∆ < 0 (2) vô nghiệm 1 2 1 2 ; . b c x x x x a a + = − = Bài toán 3. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm. Điều kiện : a ≠ 0, ∆ ≥ 0. Bài toán 4. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Điều kiện : 0, 0 . 0 a a c ≠ ∆ >   <  Bài toán 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu. Điều kiện: a.c < 0. Bài toán 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương. Điều kiện : 0, 0 0 0 a b a c a ≠ ∆ ≥    − >    >  Bài toán 7. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều kiện : 0, 0 0 0 a b a c a ≠ ∆ >    − >    >  Bài toán 8. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm. Điều kiện : 0, 0 0 0 a b a c a ≠ ∆ ≥    − <    >  Bài toán 9. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm phân biệt. Điều kiện : 0, 0 0 0 a b a c a ≠ ∆ >    − <    >  Bài toán 10. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt và hiệu các nghiệm bằng k. Điều kiện: + Điều kiện 1: phương trình có hai nghiệm phân biệt: 0, 0a ≠ ∆ > . + Điều kiện 2: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) 2 ( ) 4 4 b c x x k x x k x x x x k x x x x k k a a − = ⇒ − = ⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ − = Bài tập Bài 1. Cho phương trình: x 2 - (m +1)x + 12 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối dấu; b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: (x 1 - 2x 2 )(x 2 - 2x 1 ) = 10. HD: a) b) Bài 2. Tìm m để phương trình x 2 - mx + 1 = 0 có hai nghiệm và hiệu các nghiệm đó bằng 1. Bài 3. Cho phương trình: (m + 1)x 2 - 2(m + 1)x + m - 8 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương. Bài 4. Cho phương trình: 3x 2 - 4x - m + 5 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt; b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Bài 5. Cho phương trình: x 2 - 3x + 2m + 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: a) 2 2 1 2 10;x x+ = b) 3 3 1 2 1 2 7;x x x x+ = Bài 6. Cho phương trình: x 2 - (2m + 3)x + m 2 + 2m + 2 = 0 (1). Xác định m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 . Khi đó chứng minh rằng: 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2(x 1 + x 2 ) + 5. b) Phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 2 2 1 2 15;x x+ = c) Phương trình (1) có một nghiệm x 1 = 2 và x 2 > 4. Bài 7. Cho phương trình: x 2 + 2mx + 3 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 10. Bài 8. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x 2 - mx - m = 0. Bài 9. Tìm m để phương trình: (m + 1)x 2 - (3m + 5)x + m - 1 = 0 có đúng một nghiệm dương. Bài 10. Cho phương trình: (m - 2)x 2 + 2mx + m - 1 = 0. a) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương. b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm. Bài 11. Tìm m để hai phương trình sau là tương đương: x 2 +mx + m = 0 và x 2 + 4x + m = 0. Bài 12. Cho phương trình: x 2 + x + m = 0 (1) và x 2 + mx - 7 = (2). Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần một nghiệm của phương trình (2). Bài toán 13. Cho một số k tuỳ ý và phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm x 1 và x 2 . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một trong hai nghiệm ấy bằng k lần nghiệm kia là: 2 ( 1) 0kb k ac− + = Giải: Điều kiện để có một nghiệm bằng k lần nghiệm kia là x 1 = kx 2 hoặc x 2 = kx 1 . Ta có: x 1 = kx 2 hoặc x 2 = kx 1 ⇔ (x 1 - kx 2 )( x 2 - kx 1 ) = 0 (1) Vế trái của đẳng thức trên là một biểu thức đối xứng của x 1 và x 2 . Do đó nó có thể biểu diễn qua 1 2 1 2 ; b c x x x x a a + = − = . Cụ thể là: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( ) ( 2 1) ( ) ( 1) . ( 1) (2) c b x kx x kx x x k x x k x x k k x x k x x k k a a k ac kb a   − − = − + + = + + − + = + − −  ÷   + − = Từ (1) và (2) suy ra x 1 = kx 2 hoặc x 2 = kx 1 ⇔ 2 ( 1) 0kb k ac− + = . Bài 14. Cho phương trình: 2 2 2( 1) 3 4 0.x m x m m− − + − + = a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm? Khi ấy, hãy tìm một hệ thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm. b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn: 2 2 1 2 1 2 5( 2)x x x x+ = + − HD: 2 2 1 2 2 1 3 x x x x     + =  ÷  ÷     a) ĐK: m ≥ 3. Hệ thức độc lập là: 2 1 2 1 2 ( ) 2( ) 8 0x x x x− − + + = Bài 15. Giả sử x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + 2mx + 4 = 0. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức: HD: Phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m 2 - 4 ≥ 0 ⇔ 2 2 m m ≥   ≤ −  . Khi đó theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 2 4 x x m x x + = −   =  . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) 2 3 2 . 3 5 5 4 8 5 ( 2) 5 2 5 2 5 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m m m m           + + − + = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷             − ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ± +  ÷   Bài 16. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình bậc hai: (m + 1)x 2 - 2mx - m = 0 có hai nghiệm mà sắp xếp trên trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm x = 1. HD: ĐK: 1 2 1 0 0 1 2 m x x   + ≠  ∆ >   +  =  . PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) |2x - 3| = x – 5; b) |2x + 5| = |3x - 2|; c) |4x + 1| = x 2 + 2x – 4; d) 3 1 | 3 | 2 x x x − = − + ; e) |x 2 – 2x - 3| = x – 3. f) x 2 + 4x - 3|x + 2| + 4 = 0; g) 6x 2 - 4x - 7 + |3 - x| = 0; h) |2x 2 + 3x - 1| = 3 + x; Giải: Cách 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để phá dấu giá trị tuyệt đối. |2x - 3| = x – 5 Nếu 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3/2 thì ta có phương trình: 2x – 3 = x – 5 ⇔ x = -2 (loại) Nếu 2x – 3 < 0 ⇔ x < 3/2 thì ta có phương trình : -2x + 3 = x - 5 ⇔ 3x = 8 ⇔ x = 8/3 (loại). Vậy phương trình vô nghiệm. Cách 2: Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả: |2x - 3| = x – 5 ⇒ (2x - 3) 2 = (x - 5) 2 ⇔ 4x 2 - 12x + 9 = x 2 - 10x + 25 ⇔ 3x 2 - 2x - 16 = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) |x 2 + x - 1| = 2x - 1; b) |x 2 + 2x - 4| + 2x + 6 = 0; c) |x 2 - 20x - 9| = |3x 2 + 10x + 21|; d) |x 2 - 2x - 3| = x 2 - 2x + 5; e) |2x - 3| = |x - 1|; f) |x 2 - 2x - 3| = 2. g) |3x - 2| +x 2 - 5x + 6 = 0; 1. Phương trình có ẩn trong dấu căn. * Dạng: ( ) ( )f x g x= Cách giải: • Cách1: 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )][ g x f x g x f x g x ≥  = ⇔  =  • Cách: 2 ( ) ( ) ( ) ( )][f x g x f x g x= ⇒ = Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 4 9 2 5x x− = − ; b) 2 7 10 3 1x x x− + = − ; c) 3 4 3x x− = − ; d) 2 2 3 2 1x x x− + = − ; e) 2 6 9 | 2 1|x x x+ + = − ; f) 2 3 6 2 4 3 0x x x+ − − + = ; Giải: 2 2 2 2 5 2 5 0 4 9 2 5 2 4 9 (2 5) 4 9 4 20 25 5 2 5 5 6 2 6 2 2 2 2 2 4 24 34 0 2 12 17 0 6 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  − ≥ ≥   − = − ⇔ ⇔   − = −   − = − +   ≥     ≥ ≥  +    − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = =         − + = − + =     + =     Bài 3. Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 9 3 2 10; ) 2 4 2; ) 2 3 2 3; 6 ) 9 5 3 ; ) 2 3 5 2 3 0; ) 2 3 3 5 2 3 9 3 3 ) 3 2 3 2 ( 1) 2 a x x b x x x c x x x d x x e x x f x x x x x g x x x x + − = − + + = − − − = + − = − + − − + = + + = + − + − − + = + * Phương trình dạng: ( ) ( )f x g x= Cách giải: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x f x g x g x f x g x f x g x ≥  = ⇔  =  ≥  = ⇔  =  hoÆc Ví dụ. Giải phương trình: a) 2 2 2 5 4x x x− = − ; b) 2 3 4 4 5x x x− − = + ; c) 2 2 3 4 7 2x x x+ − = + HD: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 2 2 5 4 4 1 2 5 4 5 4 0 4 x x x x x x x x x x x x x x x x  ≥   ≥    ≤ −  − ≥     ≤ − − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =     = − = −      − + =    =   *Phương trình dạng: ( ) ( )f x g x a+ = Cách giải: ĐK: ( ) 0 ( ) 0 f x g x ≥   ≥  2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ))f x g x a f x g x f x g x a f x g x a f x g x+ = ⇔ + + = ⇔ = − + Ta được phương trình dạng ( ) ( )f x g x= Bài tập. Giải các phương trình sau: ) 3 4 1 8 6 1 1; ) 14 49 14 49 14a x x x x b x x x x+ − − + + − − = + − + − − = c) 13492 ++−=+ xxx ; d) 11414 2 =−+− xx ; e) 022058 =++−+ xx ; f) 42533 −=−−− xxx ; g) 1813 +−=+ xx ; h) 3 4 4 2x x x+ + − = ; i) 3 7 2 8x x x+ − − = − ; . TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET 1. Phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) Cách giải và công thức nghiệm 2. Định lý Viet Nếu phương trình bậc. 3. Ứng dụng của định lý Viét: *) Ứng dụng trong bài toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 và