Góc hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ không gian Từ điểm O đó, ta vẽ hai đường thẳng ∆ '1 , ∆ '2 song song (hoặc trùng) với ∆1 , ∆ Khi điểm O thay đổi góc ∆ '1 ∆ '2 không thay đổi 1 Góc hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ không gian Từ điểm O đó, ta vẽ hai đường thẳng ∆ '1 , ∆ '2 song song (hoặc trùng) với ∆1 , ∆ Khi điểm O thay đổi góc ∆ '1 ∆ '2 không thay đổi Định nghĩa 1: Góc hai đường thẳng ∆1 ∆ góc hai đường thẳng ∆ '1 ∆ '2 qua điểm song song (hoặc trùng) với ∆1 ∆ Định nghĩa 1: Góc hai đường thẳng ∆1 ∆ góc hai đường thẳng ∆ '1 ∆ '2 qua điểm song song (hoặc trùng) với ∆1 ∆ Nhận xét: 1) Để xác định góc hai đường thẳng ∆1 ∆ , ta lấy điểm O nói thuộc hai đường thẳng 2) Góc hai đường thẳng không vượt o 90 ur uu r 3) Nếu u1 , u2 vectơ phương đường thẳng ∆1 , ∆ ur uu r u1 , u2 = α góc ( ) hai đường thẳng ∆1 ∆ α α ≤ 90o 180o − α α > 90 o Nhận xét: 1) Để xác định góc hai đường thẳng ∆1 ∆ , ta lấy điểm O nói thuộc hai đường thẳng 2) Góc hai đường thẳng không vượt o 90 ur uu r 3) Nếu u1 , u2 vectơ phương đường thẳng ∆1 , ∆ ur uu r u1 , u2 = α góc ( ) hai đường thẳng ∆1 ∆ α α ≤ 90o 180o − α α > 90 o Ví dụ 1: SGK trang 92 Cho hình chóp S.ABC có: SA = SB = SC GT = AB = AC = a BC = a 1) Các mặt hình chóp S.ABCD KL tam giác có đặc biệt? 2) ( SC , AB ) = ? Giải SAB SAC tam giác đều; SBC, ABC tam giác vuông cân S A S M N A B P C Ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r SC AB = SC AB cos SC , AB uuu r uuu r uuu r uuu r SC AB ⇒ cos SC , AB = uuu r uuu r SC AB ( ( ) ) Mặt khác, ta uuu r uuu r uur uuur uuu r uur uuu r uuur uuu r có: SC AB = SA + AC AB = SA AB + AC AB Trong đó: ( ) uur uuu r uur uuu r uur uuu r SA AB = SA AB cos SA, AB ( ) uur uuu r uuu r uuu r a2 = − SA AB cos AS , AB = − a.a = − 2 uuur uuu r AC AB = (Vì ∆ABC cân A) ( ) Ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r SC AB = SC AB cos SC , AB uuu r uuu r uuu r uuu r SC AB ⇒ cos SC , AB = uuu r uuu r SC AB ( ( ) ) Mặt khác, ta uuu r uuu r uur uuur uuu r uur uuu r uuur uuu r có: SC AB = SA + AC AB = SA AB + AC AB Trong đó: ( ) uur uuu r uur uuu r uur uuu r SA AB = SA AB cos SA, AB ( ) uur uuu r uuu r uuu r a2 = − SA AB cos AS , AB = − a.a = − 2 uuur uuu r AC AB = (Vì ∆ABC cân A) ( ) Vậy: uuur uuur − a + uuur uuur SC AB cos SC , AB = uuur uuur = =− a SC AB ( ) uu r uuu r o Suy u SC , AB = 120 ( ) Vậy góc hai đường thẳng SC o AB 60 S Cách khác: M - Gọi M, N, P trung điểm SA, SB, AC Khi đó: A MN // AB, MP // SC · suy ( SC , AB ) = NMP N B P C Ta có: · NP = NM + MP − 2MN MP.cosNMP 2 2 2 NM + MP − NP · ⇒ cosNMP = MN MP Mặt khác, ta có: a MN = MP = Do N trung điểm SB nên ta có: 2 SP a a BP + SP = NP + , Mà SP = , BP = 4 3a Vậy NP = Do đó: a o · · cosNMP = − = − , suy NMP = 120 a a 2 2 Vậy góc hai đường thẳng SC AB 60o Mặt khác, ta có: a MN = MP = Do N trung điểm SB nên ta có: 2 SP a a BP + SP = NP + , Mà SP = , BP = 4 3a Vậy NP = Do đó: a o · · cosNMP = − = − , suy NMP = 120 a a 2 2 Vậy góc hai đường thẳng SC AB 60o Hai đường thẳng vuông góc: Định nghĩa 2: Hai đường thẳng gọi vuông góc o với góc chúng 90 Nhận xét: r r rr 1) a ⊥ b ⇔ u ⊥ v ⇔ u.v = r r Với u , v vecto phương a, b 2) a / / b  ⇒c ⊥b c ⊥ a ?1 Cho hình hôôp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả cạnh Giải thích AC vuông góc B’C’ B A D C A’ D’` B’ C’ Giải Ta có: ACA`C` hình bình hành => AC//A`C` Măôt khác: A`B`C`D` hình thoi (AB=BC=CD=DA ) =>A`C` vuông góc B`D` =>AC vuông góc B`D` Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có tất cạnh a a/ CMR: AC⊥B'D‘ b/ Biết góc · 'D' = AA · 'B ' = D · ' A'B' = 600 AA Tính diện tích tứ giác ABC’D’ A D C B D' A' B' C' Bài giải : a/ Ta có : B'D‘ // BD ( tứ giác BDD’B’ hbh ) AC ⊥ BD ( hai đ/c hình thoi ) ⇒ AC⊥B'D' b/ hbh ABC’D’ có: Vì AB ⊥ AD' AB = AD’ = a r uuu r uuu r uuu uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r ' ' ' AB.AD = AB.(AA + AD) = AB.AA + AB.AD a2 a2 =− + =0 2 ⇒ Y ABC D ' ' hv có diện tích a2 Ví dụ 3: GT: Tứ diêôn ABCD A AB ⊥ AC; AB⊥BD PЄAB; QЄCD uuu r uuu r uuu r uuu r PA = kPB,QC = kQD P KL: ⊥ C B Q D CMR:AB⊥ PQ Giải Ta có: PQ= PA+AC+CQ (1) PQ=PB+BD+DQ (2) kPQ=kPB+kBD+kDQ (3) (1)-(3)(1-k)PQ = PA – kPB + AC – kBD + CQ - kDQ = AC – kBD (PA=kPB; QC=kQD) Ta có: (1-k)PQ.AB = AC.AB – kBD.AB =0 =>PQ vuông góc AB A Bài tập: Cho hình tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD CMR: Bài giải : Ta có AD ⊥ BC C B D uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AB ⊥ CD ⇒ AB.CD = ⇒ AB(AD − AC) = uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AC ⊥ BD ⇒ AC.BD = ⇒ AC(AD − AB) = uuu r uuu r uuu r uuu r  AB.AD − AB.AC = ⇒  uuu r uuu r uuu r uuu r  AC.AD − AC.AB = uuur uuur uuur ⇒ AD(AB −u AC) 0u uu r =uu r uuu r uuu r uuu r ⇒ AD(AB − AC) = ⇒ AD.CB = ⇒ AD ⊥ CB ⇒ AD ⊥ CB [...]... 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60o Mặt khác, ta có: a MN = MP = 2 Do N là trung điểm của SB nên ta có: 2 2 2 SP 3 a 5 a BP 2 + SP 2 = 2 NP 2 + , Mà SP 2 = , BP 2 = 2 4 4 2 3a 2 Vậy NP = 4 2 Do đó: a 1 o 4 · · cosNMP = − = − , suy ra NMP = 120 a a 2 2 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60o 2 Hai đường thẳng vuông góc: Định nghĩa 2: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc o... nếu góc giữa chúng bằng 90 Nhận xét: r r rr 1) a ⊥ b ⇔ u ⊥ v ⇔ u.v = 0 r r Với u , v lần lượt là vecto chỉ phương của a, b 2) a / / b  ⇒c ⊥b c ⊥ a ?1 Cho hình hôôp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau Giải thích tại sao AC vuông góc B’C’ B A D C A’ D’` B’ C’ Giải Ta có: ACA`C` là hình bình hành => AC//A`C` Măôt khác: A`B`C`D` là hình thoi (AB=BC=CD=DA ) =>A`C` vuông góc B`D` =>AC vuông góc. .. a.a = − 2 2 uuur uuu r AC AB = 0 (Vì ∆ABC cân tại A) ( ) Vậy: 2 uuur uuur − a + 0 uuur uuur SC AB 1 2 cos SC , AB = uuur uuur = =− 2 a 2 SC AB ( ) uu r uuu r o Suy ra u SC , AB = 120 ( ) Vậy góc giữa hai đường thẳng SC o và AB bằng 60 S Cách khác: M - Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC Khi đó: A MN // AB, MP // SC · suy ra ( SC , AB ) = NMP N B P C Ta có: · NP = NM + MP − 2MN MP.cosNMP... =>A`C` vuông góc B`D` =>AC vuông góc B`D` Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a a/ CMR: AC⊥B'D‘ b/ Biết góc · 'D' = AA · 'B ' = D · ' A'B' = 600 AA Tính diện tích tứ giác ABC’D’ A D C B D' A' B' C' Bài giải : a/ Ta có : B'D‘ // BD ( tứ giác BDD’B’ là hbh ) AC ⊥ BD ( hai đ/c hình thoi ) ⇒ AC⊥B'D' b/ hbh ABC’D’ có: Vì AB ⊥ AD' AB = AD’ = a r uuu r uuu r uuu uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu... CMR:AB⊥ PQ Giải Ta có: PQ= PA+AC+CQ (1) PQ=PB+BD+DQ (2) kPQ=kPB+kBD+kDQ (3) (1)-(3)(1-k)PQ = PA – kPB + AC – kBD + CQ - kDQ = AC – kBD (PA=kPB; QC=kQD) Ta có: (1-k)PQ.AB = AC.AB – kBD.AB =0 =>PQ vuông góc AB A Bài tập: Cho hình tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD CMR: Bài giải : Ta có AD ⊥ BC C B D uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AB ⊥ CD ⇒ AB.CD = 0 ⇒ AB(AD − AC) = 0 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AC ⊥