Ngời soạn thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B Bài tập cấp số nhân Dạng I: chứng minh một dãy số là csn Bài 1: chứng minh dãy số sau là csn: 1) -3; 6; -12; 24 2) (u n ) với u n =2 n+2 3) (u n ) với u n =-2.(-3) n 4) (u n ) với u n =(-1) n .(-2) n+1 5) Cho dãy (u n ) với u 1 =1; u n =5u n-1 -3 (n 2); lập dãy v n =u n -18. Chứng minh (v n )là một csn 6) cho dãy (u n ) xác định bởi u 1 =2 và u n+1 =4u n +9 với n 1 lập dãy (v n ) nhứ sau: v n =u n +3 với n 1. chứng minh (v n ) là một csn. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của scn đó. 7) Dãy số (u n ) với u n =n.3 n-1 có là csn không Bài 2:cho dãy số (u n ): 1 1 1 3 ( 1) (n 1) 3 n n u n u u n + = + = a) viết 5 số hạng đầu của dãy số b) lập dãy số (v n ) với n n u v n = . Chứng minh (v n ) là csn c) tìm công thức tính u n theo n. Bài 3: cho dãy số (u n ): 1 1 0 2 3 (n 1) 4 n n n u u u u + = + = + a) lập dãy số (x n ) với 1 3 n n n u x u = + . Chứng minh dãy số (x n ) là csc b) tìm công thức tính x n , u n theo n. Bài 4: cho dãy (u n ) với u n =2 2n+1 . a) chứng minh (u n ) là csn. Nêu nxét tính tăng giảm của dãy số; b) lập công thức truy hồi của dãy số c) hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này? Bài 5: dãy (u n ) đợc xác định nh sau 1 2 1 1 2004, 2005 2 (n 2) 3 n n n u u u u u + = = + = a) lập dãy (v n ) với v n =u n+1 -u n .chứng minh (v n ) là csn b) lập công thức tính u n theo n. Dạng II: tìm các yếu tố của csn Bài 6:cho csn (u n ), biết u 1 =2; u 3 =18. 1 Ngời soạn thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B a) tìm công bội q của csn đã cho b) tính u 6 c) tính tổng của 10 số hạng đầu tiên Bài 7: 1) q=2, u n =96, S n =189. tìm n 2) u 1 =2, u n =1/8, S n =31/8. tìm n 3) u 3 =3, u 5 =27 tìm u 5 . 4) Xác định csn biết S 4 =40 và S 8 =680 5) Cho u 8 =128, q=-2. tìm S 8 . 6) Cho u 1 =1; S 8 = 8 3 1 2 . Tìm csn 7) Cho q=-2; S 8 =85. tìm csn Bài 8: tìm csn 1) 5 1 4 2 15 6 u u u u = = 2) 2 4 5 3 5 6 10 20 u u u u u u + = + = 3) 4 2 3 1 25 50 u u u u = = 3) 20 17 3 5 8 272 u u u u = + = 4) 2 5 3 4 6 1 3 2 1 u u u u + = + = (bt nc) 5) 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 15 85 u u u u u u u u + + + = + + + = . Tìm csn. (dsnc-6-) 5) cho csn có 2 3 3 1 2 8 5 5 0 5 u u u = + = . Tìm S 12 (btnc) 6) cho csn (u n ) với công bội q (0;1).biết u 1 +u 3 =3 và u 1 2 +u 3 2 =5. tính S 15 (btnc) 7)cho 1 3 5 1 7 65 325 u u u u u + = + = , tìm csn 8) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 1 1 1 1 1 49 35 u u u u u u u u u u u u + + + + = + + + + ữ + = . Tìm u 1 . Bài 9: 1)tìm 3 số tạo thành csn biết tích và tổng của chúng bằng 1/64 và 7/8 2)tìm 3 số hạng liên tiếp của csn, biết tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 64. 3)tìm 4 số nằm giữa 1/25 và 125 để tạo thành một csn 4)viết 4 số xen giữa 5 và 160 để đợc một csn. Tìm 4 số đó. 4)tìm csn có 5 số mà tổng của chúng bằng 121 đồng thời tổng hai số đầu và hai số cuối bằng 82 (p 2 -168) 5) ba số 4, x, x-1 tạo thành một csn. Tìm x 5)cho một csn có 7 số hạng, số hạng thứ t bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm các số hạng còn lại của csn. 7) một csn có 5 số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dơng, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 16 . hãy tìm cns đó (nc-121). 2 Ngời soạn thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B Bài 10( phối hợp csc và csn) 1)bốn số lập thành csc. Lần lợt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận đợc một csn. Tìm các số đó (ncds-14-) 2)ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một csn, hoặc coi là các số hạng thứ nhất, thứ t và thứ hai mơi lăm của một csc. Tìm các số đó. (sbt-121-) 3)tìm ba số toạ thành csc có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta đợc csn. 4)ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một csn, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một csc. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của csc để tổng của chúng là 820 (sbt-122) 5)ba số khác nhau có tổng là 6 lập thành một csc. Bình phơng các số ấy ta có một csn. Tìm các số ấy. (dsnc-12-) 6)ba số có tổng là 26 lập thành một csn. Nếu theo thứ tự ta thêm 1, 6, 3 và ba số ấy thì ta đợc một csc. Tìm csn đã cho (dsnc-13-) Bài 11 1) các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một csc; đồng thời, các số x-1, y+2, x-3y theo thứ tự đó lập thành một csn. Tìm x, y 2) các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theothứ tự đps lập thành một csc; đồng thời các số x+5/3, y-1, 2x-3y theo thứ tự đó lập thành một csn. Tìm x, y 3) các số x+5y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một csc; đồng thời các số (y-1) 2 , xy-1, (x+2) 2 theo thứ tự đó lập thành một csn. Tìm x và y. Dạng III-chứng minh tính chất csn Bài 12: chứng minh rằng a, b, c lập thành một csn khi và chỉ khi 1 1 1 , , a b c lập thành một csn Bài 13:cho csn a,b,c,d. chứng minh rằng a) 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c a b c a b c + + = + + ữ ; b)(ab+bc+cd) 2 =(a 2 +b 2 +c 2 )(b 2 +c 2 +d 2 ). (-sbt-121-) Bài 14: cho csn (u n ) có công bội q và số các số hạng chẵn. Gọi S c là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và S l là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh c l S q S = (sbt-123-) Bài 15: cho csn (u n ) và cho các số nguyên dơng m, k với m<k. chứng minh k k m k m u u u + = *áp dụng: hãy tìm csn với công bội âm, có 7 số hạng, số hạng thứ ba bằng 2 và tích của số hạng đầu với số hạng cuối bằng 18 Bài 16: cho cấp số nhân u 1 , u 2 , chứng minh rằng: 3 Ngời soạn thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B 2 2 3 2 n n n n n n n S S S S S S S = (dsnc-17-) Bài 17: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. CMR: a) 22222 )())(( bcabcbba +=++ b) cbabcacba ++=+++ ))(( Bài 18: cho a, b, c, d lập thành csn. Chứng minh rằng: (b-c) 2 +(c-a) 2 +(d-b) 2 =(a-d) 2 (dsnc-19) Bài 19: cho csn: u 1 , u 2 , ., u n trong đó u i >0 với mọi i=1,2,,n. Biết rằng u 1 +u 2 ++u n = ; 1 2 1 1 1 . n u u u + + + = Chứng minh 1 2 . n n n u u u = (dsnc-19) Bài 20: cho ba số 2 1 2 , , b a b b c (với b 0, b a, b c) tạo thành csc. Chứng minh a, b, c tạo thành csn. (p 2 -162-) Dạng IV-một số dạng toán khác Bài 21: tính các tổng sau: 1) S 1 =1+ + 2 ++ 100 . 2) S 2 = 2 1 1 1 1 . 2 2 2 n + + + + 3) S 3 = 2 3 1 3 5 2 1 . 2 2 2 2 n n + + + + 4) S 4 =1 2 -2 2 +3 3 -4 2 +.+99 2 -100 2 . (p 2 -161-) 5) S 5 =9+99+999+.+ { 50 so' 9 99 .9 . (p 2 -161-) 6) S 6 = 2 1 1 1 1 . 1 ( 1) ( 1) n a a a + + + + + + + 7) S 7 =5+55++ { so' 55 .5 n 8) S 8 =1+2a+3a 2 +4a 3 +.+(n+1)a n , với a là một số cho trớc( a 0 và a 1) (dsnc-30-) 4 . S 5 =9+99+999+.+ { 50 so& apos; 9 99 .9 . (p 2 -161-) 6) S 6 = 2 1 1 1 1 . 1 ( 1) ( 1) n a a a + + + + + + + 7) S 7 =5+55++ { so& apos; 55 .5 n 8) S. tìm các yếu tố của csn Bài 6:cho csn (u n ), biết u 1 =2; u 3 =18. 1 Ngời so n thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B a) tìm công bội q của csn đã cho