Đang tải... (xem toàn văn)
trắc nghiệm, tự luận hàm số tham khảo
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1) Đạo hàm hàm số sơ cấp: Đạo hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = (xα)' = αxα-1(α ∈ R, x > 0) (uα)' = αuα-1.u'(α ∈ R, u > 0) u' ( x )' = ( u )' = (x > 0) (u > 0) x u 1 u' ( )' = − (x ≠ 0) ( )' = − (u ≠ 0) x u x u (sinx)' = cosx (sinu)' = cosu.u' (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u' π u' π (tanx)' = (x ≠ + kπ , k ∈ Z) (tanu)' = (u ≠ + kπ , k ∈ Z) 2 cos x 2 cos u u' (cotx)' = - (x ≠ kπ, k ∈ Z) (cotu)' = - (u ≠ kπ, k ∈ Z) sin x sin u x x u u (e )' = e (e )' = u'.e x x (a )' = a lna (au)' = u'.au u' (ln x )' = (x ≠ 0) (ln u )' = (u ≠ 0) x u u' (log a x )' = (log a u )' = (x ≠ 0) (u ≠ 0) x ln a u ln a 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh (a; b) có đạo hàm x ∈ (a; b) dy = f'(x)dx 3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng: sin x cos x • tanx = • cotx = • tanx.cotx = cos x sin x + cos 2a − cos 2a 2 • sin2a = 2sinacosa • cos a = • sin a = 2 1 = + tan x • • = + cot x • cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] 2 cos x sin x 1 • sinasinb = - [cos(a + b) - cos(a - b)] • sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] 2 §1 NGUYÊN HÀM I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng R Cho hàm số f(x) xác đònh K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F'(x) = f(x) với x ∈ K * Chú ý: 1) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K F(x) + C, C ∈ R họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu ∫ f ( x )dx = F(x) + C 2) Trong kí hiệu ∫ f ( x )dx "d " gắn với biến tương ứng hàm f Ví dụ: ∫ s ds , ∫ cos tdt , 3) Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x), dF(x) = F'(x)dx = f(x) Các tính chất nguyên hàm: Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Tính chất 1: ∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C Tính chất 2: ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ; (k số khác 0) ∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx Tính chất 3: Ví dụ: Với x ∈ (0; +∞), Ví dụ: Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = cosx + ∫ x dx = ∫ (ln x )' dx = lnx khoảng (0; +∞) x Sự tồn nguyên hàm: Đònh lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Ví dụ: Hàm số f(x) = x có nguyên hàm (0; +∞) Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp: x x ∫ 0dx = C ∫ e dx = e + C ∫ dx = x + C α ∫ x dx = xα +1 + C(α ≠ −1) α +1 x ∫ a dx = ∫ x dx = ax + C(0 < a ≠ 1) ln a 3 x + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx ∫ cos x = tgx + C dx dx = − cot gx + C = ln x + C ( x ≠ ) ∫ ∫x sin x Ví dụ 1: x3 + 2x − s s 2 dx a) ∫ b) ∫ (2 + ) ds c) ∫ tan tdt x Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y = f(x) = x2 + 2x - 1, biết F(1) = Bài tập Dạng Tìm ngun hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm ngun hàm hàm số 2x + ( x − 1) f(x) = x2 – 3x + f(x) = f(x) = f(x) = x + x + x 2 x x x x −3 f(x) = f(x) = sin f(x) = tan2x f(x) = cos2x x x cos x f(x) = (tanx – cotx)2 10 f(x) = 11 f(x) = 12 f(x) = sin3x 2 sin x cos x sin x cos x e−x x x x 13 f(x) = 2sin3xcos2x 14 f(x) = e (e – 1) 15 f(x) = e (2 + 16 f(x) = 2ax + 3x ) cos x 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 f’(x) = x − x f(4) = f’(x) = x - + f(1) = x b f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = f’(x) = ax + , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = x II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số: Đònh lí: Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục Ví dụ 1: Tìm a) ∫ ln x dx x ∫ f [u( x )]u' ( x )dx = F[u( x )] + C b) ∫ sin x cos xdx c) ∫ x x +1 dx Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Hệ quả: Nếu ∫ f ( x )dx = F( x ) + C ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C x3 (2 x + 1)3 + C nên ∫ (2 x + 1)2 dx = +C 3 Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1 −x x dx d) ∫ e dx e) ∫ − x dx f) 2 dx a) ∫ cos(2 x + 1)dx b) ∫ sin(1 − x)dx c) ∫ ∫ 3x − x +1 dx Ví dụ 3: Tính ∫ x − 5x + Bài tập: Tìm ngun hàm hàm số sau: dx ∫ − x dx ∫ ∫ (2 x + 1) xdx ∫ ( x + 5) x dx ∫ x + 1.xdx 2x −1 dx 3x x ln x x +1 dx ∫ dx ∫ ∫ 10 ∫ x.e dx dx ∫ x (1 + x ) x +5 x + 2x tan xdx sin x dx 13 ∫ cot xdx 11 ∫ sin x cos xdx 12 ∫ 14 ∫ 15 ∫ tan xdx cos x cos2 x Ví dụ 1: Ta có 16 ∫ ∫ x dx = x e dx 17 e x dx ∫ e tan x ∫ cos2 x dx 18 ∫ cos 19 x sin xdx x e −3 dx 21 ∫ x 22 ∫ x x + 1.dx e +1 Phương pháp tính nguyên hàm phần: Đònh lí: Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K ∫ u ( x)v' ( x)dx = u( x).v( x) − ∫ u ' ( x)v( x)dx x * Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên Phương pháp: Tính ∫ u ( x )v' ( x)dx Lấy vi phân: lấy đạo hàm nhân thêm d biến tương ứng vi phân hai vế Đặt ∫ udv = uv − ∫ vdu u = ⇒ du = dx Khi ta có ∫ u ( x )v' ( x)dx = uv − ∫ vdu dv = dx ⇒ v = nguyên hàm hai vế Ví dụ: Tính x a) ∫ xe dx ; Tìm ngun hàm hàm số sau: ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ x sin xdx ∫ x ln xdx 10 x ∫ cos x dx 17 ∫ e cos xdx 13 x 14 ∫ x cos xdx ∫ ln ∫ xtg 18 2 xdx xdx ∫x e 15 x2 dx b) ∫ x cos xdx ; ∫ (x + 5) sin xdx ∫ x.e dx ln xdx 11 ∫ x c) ∫ ln xdx ∫ ( x + x + 3) cos xdx x ∫ sin x dx 19 ∫ x ln(1 + x 12 16 )dx ∫ ln xdx ∫e x dx ∫ ln( x + 1)dx 20 ∫ xdx x 20 ∫x x − 1.dx Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 ∫ x lg xdx 21 22 ln(1 + x) dx 24 ∫ x cos xdx x2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN ∫ x ln(1 + x)dx 23 ∫ Bài tập bản: Bài 1: Tìm nguyên hàm sau: x dx ; a) ∫ sin dx ; b) ∫ (1 + x) dx ; c) ∫ 3x + Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: x + x +1 2x −1 a) f(x) = ; b) f(x) = ; ex x x3 dx d) ∫ x+2 ; sin x cos x f) f(x) = (1 + x)(1 − x) c) f(x) = e) f(x) = tan2x; d) f(x) = sin5x.cos3x; Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính: a) ∫ (1 − x) dx (đặt t = - x); b) x (1 + x ) dx (đặt t = + x2); ∫ c) ∫ cos x sin xdx (đặt t = cosx); d) ∫ Bài 4: Tìm: dx (đặt t = ex + 1) e + e−x + x x +1 dx x + 2x + Bài 5: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính: x a) ∫ (1 − x) cos xdx ; b) ∫ x sin xdx ; c) ∫ x ln(1 + x)dx ; d) ∫ ( x + x − 1)e dx ; 2x 2x a) ∫ (e + 5) e dx ; e) ∫ x sin( x + 1)dx ; b) ∫ sin x cos xdx ; 3x g) ∫ (1 + x )e dx ; b) y = cos b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan2x biết F(π) = Bài 2: Tìm: a) ∫ x x + 1dx ; e tan x dx ; e) ∫ cos x Bài 3: Tìm: x a) ∫ x e dx ; d) ∫ x cos(3 x)dx ; b) ∫ x x + 1dx ; e− x dx ; f) ∫ + e−x h) ∫ x ln(1 + x )dx Bài 6: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số sau: x a) f(x) = x − + 4.e biết F(0) = 1; x Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) y = (2tanx + cotx)2; c) ∫ x ; c) y = sinx cos x − x dx ; (3 x + 9) dx ; g) ∫ x ln x c) ∫ 2 b) ∫ x cos(2 x )dx ; e) ∫ x ln xdx ; d) ∫ 2x + dx ; x + 4x − h) ∫ xe x +4 dx c) ∫ x ln(2 x )dx ; x f) ∫ x sin dx Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 §2 TÍCH PHÂN I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN: Diện tích hình thang cong: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong y Với hình phẳng D giới hạn đường cong kín ta chia nhỏ thành B hình thang cong cách kẻ đường y = f(x) song song với trục tọa độ A x O a b Diện tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x) Đònh nghóa tích phân: Cho y = f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác đònh đoạn [a; b]) b hàm số f(x), kí hiệu ∫ f ( x )dx Dùng kí hiệu F( x ) a Cận b ∫ f ( x)dx = F ( x) Cận b a b a để hiệu số F(b) - F(a), ta có: = F (b) − F (a ) (NewTon - Lebniz) a Ví dụ: Tính tích phân sau: a) ∫ x dx = e b) ∫ dx = x a * Chú ý: i) Ta quy ước ∫ f ( x)dx = (a = b), a b a a b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx (a > b) ii) Tích phân hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, phụ thuộc vào hàm b số cận a, b nên ta kí hiệu ∫ f ( x )dx a b ∫ f (t)dt a iii) Ý nghóa hình học tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b b], tích phân ∫ f ( x )dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thò hàm số f(x), trục Ox hai a b đường thẳng x = a, x = b Vậy S = ∫ f ( x )dx a II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: b b * Tính chất 1: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k số) a a b b b a a a * Tính chất 2: ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 2 Ví dụ: Tính tích phân sau: ∫ ( x − x )dx = * Tính chất 3: b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx (a < c < b) Ví dụ: Tính tích phân sau: 2π a) I = ∫ x − 1dx ; b) J = ∫ − cos x dx −2 BÀI TẬP: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN HÀM CƠ BẢN: e 1 2 ∫ ( x + + + x )dx x x 1 ∫ ( x + x + 1)dx π ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx x ∫ (e + x )dx ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π π π 3 ∫ x − dx ∫ ( x + x x )dx ∫ x + 1dx ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx e2 7x − x − 11 ∫ dx x 10 ∫ (e + x + 1)dx x 1 2 12 ∫ dx x+2 + x−2 III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: Phương pháp đổi biến số: Đònh lí: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ a; b] Giả sử hàm số x = ϕ (t ) có đạo hàm liên tục b β a α đoạn [α ; β ] cho ϕ ( α ) = a, ϕ (β) = b a ≤ ϕ (t ) ≤ b , ∀t ∈ [α ; β ] ta có: ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt b a) Đổi biến số dạng 1: Tính I = ∫ f ( x)dx cách đặt x = ϕ (t ) a Ví dụ: Tính tích phân ∫1+ x dx b b) Đổi biến số dạng 2: Tính I = ∫ f ( x)dx cách đặt t = ϕ (x) a Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = ϕ'(x)dx Đổi cận: x = a ⇒ t1 = ϕ(a) x = b ⇒ t2 = ϕ(b) Biến đổi f(x)dx = C.f[ϕ(x)].ϕ'(x)dx (với C số) Khi ta có: I = b t2 t2 a t1 t1 ∫ f ( x )dx = ∫ C f [ϕ ( x )].ϕ ' ( x )dx = ∫ C f (t)dt Ví dụ: Tính tích phân sau: π a) sin x cos xdx ; ∫ 0 b) ∫ x x + 1dx ; −1 BÀI TẬP: Tính tích phân: c) ∫ x(x − 1) 2017 dx Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 π ∫ sin xcos xdx π π ∫ π 2 ∫ sin xcos xdx π x x +1 π dx dx 12 ∫ + x2 sin x 17 ∫0 + 3cosx dx π π ∫ x +1 dx x 15 ∫ e sin xdx sin x − cos x + ln x dx dx 19 ∫ π x + sin x ∫x − x dx +2 xdx π ∫ 10 cosx π e 18 x2 14 ∫ e cosxdx π π 16 ∫ sin xcos xdx 13 ∫ e sin x π 0 π ∫ cot xdx ∫ tan xdx ∫ x x + 1dx 1 π π ∫ x x + 1dx + 4sin xcosxdx sin x ∫ + 3cosx dx 0 11 ∫ π π 20 ∫ sin x + sin x dx + cos x Phương pháp tính tích phân phần: Đònh lí: Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b] : b b b a a b ∫ u ( x)v' ( x)dx = (u ( x)v( x)) a − ∫ u' ( x)v( x)dx hay ∫ udv = uv a − ∫ vdu b a b a vi phân hai vế b * Chú ý: Tính I = ∫ u ( x)v' ( x)dx Đặt a u = ⇒ du = dx b b ( uv) − vdu , đó: I = dv = dx ⇒ v = a ∫a nguyên hàm hai vế Tích phân các hàm sớ dễ phát hiện u và dv β ∫ Dạng α u = f ( x) du = f '( x)dx sin ax sin ax Đặt: ⇒ dv = cos ax dx v = ∫ cosax dx e ax eax dx u = ln(ax) du = x ⇒ Đặt dv = f ( x)dx v = f ( x)dx ∫ sin ax f ( x) cosax dx e ax β ∫ f ( x) ln(ax)dx Dạng 2: α β ax sin ax Dạng 3: ∫ e dx cosax α π 2 ln x Ví dụ 1: Tính tích phân: a) I = ∫ dx ; b) J = x cos xdx ; ∫ x Ví du 2: Tính các tích phân sau u = x e x x xe dx đặt a/ ∫ dx ( x + 1) dv = ( x + 1) 1 1 c) K = ∫ xe dx ; x u = x x dx b/ ∫ x 3dx đặt ( x − 1) dv = ( x − 1)3 dx + x2 − x2 dx x dx = dx = − = I1 − I c/ ∫ 2 2 2 ∫ ∫ ∫ (1 + x ) (1 + x ) + x (1 + x ) 0 0 π d) L = e x sin xdx ∫ Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 dx bằng phương pháp đởi biến sơ + x2 Tính I1 = ∫ x dx Tính I2 = ∫ bằng phương pháp từng phần : đặt (1 + x ) u = x x dv = (1 + x ) dx Bài tập e ln x ∫ dx x 1 e ∫ x ln xdx e ∫ x ln xdx ∫ x ln( x + 1)dx e ∫ ( x + x ) ln xdx 10 ∫ ln( x 11 π 15) x cos2 xdx 16) ∫ ∫ sin e 21) ∫ xdx 17) a) ∫ − 12 ∫x e ln x ∫ dx x ln xdx π ∫ ( x + cosx) s inxdx ∫ x tan xdx 13 ∫ ( x + 3) e 2x dx 14 π π x + sin x dx cos2 x 18) ∫ x sin x cos xdx ∫ π π ∫ e cos xdx x π 19) x(2 cos2 x − 1)dx ∫ dx 22) ( x + cos x) sin xdx 23) ∫ ln( x − x)dx ∫ x BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tính tích phân sau: π ln x ln xdx π + x)dx ln(1 + x) dx x 2 1 π2 ∫ ∫x 20) e e ∫ x ln( x + 1)dx ln b) x − dx ; ∫0 x − (1 − x ) dx ; c) dx e) ∫1 x ( x + 1) ; dx ; d) ∫ ( x − 2)( x + 3) −1 ∫ e x +1 + dx ; ex dx x − 3x + −1 g) ∫ Bài 2: Tính tích phân sau: π π π a) sin( π − x )dx ; ∫0 b) ∫ sin x cos xdx ; − π c) ∫ sin x sin xdx ; π − d) sin xdx ∫ π Bài 3: Tính tích phân sau: a) ∫ − x dx ; b) ∫ c) ∫ x − x − dx ; x + x + 1dx ; d) ∫ x − x + dx Bài 4: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính: a) ∫ x + 2dx ; e) ∫ x (1 + x ) dx ; b) ∫ x − x dx ; e x (1 + x ) dx ; + xe x f) ∫ c) ∫ e xdx ; x2 g) ∫ − x dx π d) ∫ sin x cos xdx ; Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Bài 5: Sử dụng phương pháp tích phân phần, tính: π 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Tính tích phân sau: x−2 ) dx ; a) ∫ ( x+3 −2 −1 2x + x2 + x + −x d) ∫ ( x − x − 1)e dx 1 c) ∫ ln(1 + x )dx ; b) ∫ x ln xdx ; a) ( x + 1) sin xdx ; ∫ d) ∫ e b) ∫ ( x + − x − )dx ; c) ∫ x − x dx ; −4 π 2 x9 dx f) ∫ 10 x + 4x5 + cos x e) ∫0 + sin x dx ; dx ; Bài 2: Tính tích phân sau: a) ∫ 0 dx 4−x ; dx c) ∫ ; x + 2x + −1 dx b) ∫ ; x +3 d) a ∫ a2 − x dx (a > 0) Bài 3: Tính tích phân sau: π e a) ( x − x + 3) sin xdx ; ∫ d) ∫ x cos xdx 0 2x c) ∫ ( x + 1)e dx ; b) ∫ x ln xdx ; IV MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tơc trªn [-a; a], ®ã: VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [3π TÝnh: − ∫π a a −a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx 3π 3π ] tháa m·n f(x) + f(-x) = ; 2 − cos x , x + sin x ∫−1 + x dx +) TÝnh f ( x)dx a Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tơc vµ lỴ trªn [-a, a], ®ã: ∫ f ( x)dx = −a ∫ ln( x + VÝ dơ: TÝnh: + x )dx −1 π ∫π cos x ln( x + − + x )dx a Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tơc vµ ch½n trªn [-a, a], ®ã: ∫ −a VÝ dơ: TÝnh ∫x −1 π x dx ∫ − x +1 − π a f ( x )dx = ∫ f ( x) dx x + cos x dx − sin x a Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tơc, ch½n trªn [-a, a], ®ã: VÝ dơ: TÝnh: x +1 ∫1+ −3 π 2 x dx ∫π − sin x sin x cos x dx 1+ ex a f ( x) ∫−a1 + b x dx = ∫0 f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 π ], th× Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tơc trªn [0; π π ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 0 π π sin 2009 x ∫0 sin 2009 x + cos 2009 x dx VÝ dơ: TÝnh sin x ∫ sin x + cos x π Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], ®ã: ∫ xf (sin x)dx = π VÝ dơ: TÝnh b Bµi to¸n 6: ∫ a π x ∫0 + sin x dx π x sin x ∫ + cos x x sin x b b ∫ ⇒ a VÝ dơ: TÝnh ππ f (sin x)dx ∫0 ∫ + cos x dx b f (a + b − x )dx = ∫ f ( x )dx dx f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx 0 π dx ∫ sin x ln(1 + tgx)dx Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tơc trªn R vµ tn hoµn víi chu k× T th×: a +T ∫ a T 2008π ∫ ∫ −1 π 1− x dx 1+ 2x 2 ∫π − − cos x dx x − x + x − x +1 dx cos x ∫ (1 + e x −1 π dx )(1 + x ) π ∫ sin(sin x + nx)dx ∫ −π 2 sin x + cos x tga cot ga e e xdx ∫ + x + dx x + cos x dx x ∫π − sin − 2π 1− x )dx ∫ cos x ln( 1+ x − T f ( x) dx = n ∫ f ( x )dx C¸c bµi tËp ¸p dơng: ∫ ⇒ VÝ dơ: TÝnh nT f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ dx = (tga>0) x(1 + x ) V TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: ∫x 2 − 1dx −3 π ∫ −π − sin x dx ∫x ∫ x x − m dx − x + dx π ∫ π tg x + cot g x − 2dx π 2 − 3π ∫ sin x dx π ∫π sin x dx 2π ∫ + cos x dx §2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Hình phẳng giới hạn giới hạn đường cong trục hoành: y liên tục, trục hoành (y = 0) hai đường Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thò hàm số f(x) thẳng x = a, x = b tính theo công thức: b S = ∫ f ( x ) dx a 10 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = x 3, trục hoành hai đường thẳng x = -1, x = 2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong: y Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục đoạn [a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thò hai hàm số đường thẳng x = a, x = b Khi diện tích hình phẳng D là: b S = ∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx a * Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm f 1(x) = f2(x) có hai nghiệm x 1, x2 ∈ (a; b) với (x1 < x2) x1 ∫ a x1 f1 ( x ) − f2 ( x ) dx = ∫ [ f1 ( x ) − f2 ( x )]dx Khi đó: a b x1 x2 b a a x1 x2 S = ∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx = ∫ [ f1 ( x ) − f2 ( x )]dx + ∫ [ f1 ( x ) − f2 ( x )]dx + ∫ [ f1 ( x ) − f2 ( x )]dx Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2 - 3x + y = x + Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = sinx, y = cosx, x = 0, x = π II- TÍNH THỂ TÍCH: Thể tích vật thể: Cắt vật thể (T) hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc trục Ox x = a, x = b Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox x ∈ [a; b] cắt (T) theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] Khi thể tích vật thể (T) là: b V = ∫ S ( x )dx a Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy B, B' có chiều cao h h Khi thể tích khối chóp cụt V = ( B + BB' + B' ) III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: Hình thang cong giới hạn đồ thò hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay là: b V = π ∫ [ f ( x )]2 dx a Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = cosx, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = π Tính thể tích khối tròn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = -x - 2x + 3, y = quay quanh trục Ox BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = - x2, y = đường thẳng y = -x Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3; b) y = x2 - 2, y = -3x + 2; c) y = x2 - 12x + 36, y = 6x - x2 11 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y = x2, y = x + 2; b) y = |lnx|, y = 1; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x + 1, tiếp tuyến với đường điểm M(2; 5) trục Oy Bài 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn trục hoành parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hoành Bài 6: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: x π a) y = -x2 + 1, y = 0; b) y = sin , y = 0, x = 0, x = ; c) y = lnx, y = 0, x = e Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: π π a) y = - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = ; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x = 4 Bài tập nâng cao: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2, x - y + = 0, y = Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng xác đònh y = 2x - x 2, y = x, quanh trục Ox * ÔÂN TẬP CHƯƠNG III * Bài tập bản: Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x); b) f(x) = sin4xcos22x; c) f(x) = d) f(x) = (ex - 1)3 ; 1− x Bài 2: Tính ( x + 1) e3x + ( − x ) sin xdx dx ; dx ; a) ∫ ; b) ∫ c) ∫ x x e +1 1 dx ; dx ; dx d) ∫ e) ∫ f) ∫ (1 + x )(2 − x ) (sin x + cos x ) 1+ x + x Bài 3: Tính: π 64 x 1+ x 3x dx ; dx ; a) ∫ b) ∫ c) ∫ x e dx ; d) ∫ + sin x dx 1+ x x 0 Bài 4: Tính: π a) cos x sin xdx ; ∫ 2 dx ; d) ∫ x − 2x − ( x + 1)( x + 2)( x + 3) dx ; x x −x b) ∫ − dx ; c) ∫ −1 π π e) (sin x + cos x ) dx ; ∫ 2 f) ∫ ( x + sin x ) dx Bài tập nâng cao: Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn y = − x y = 2(1 - x) a) Tính diện tích hình D; b) Quay hình D xung quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay thành Bài 2: Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C): y = x + 1, trục tung tiếp tuyến (C) điểm (1; 2) quay quanh trục Ox 12 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 CHƯƠNG IV SỐ PHỨC - oOo - §1 SỐ PHỨC Số i: Phương trình x2 + = có nghiệm số kí hiệu "i" với i2 = -1 Đònh nghóa số phức: • Mỗi biểu thức dạng a + bi, a, b ∈ R, i = -1 gọi số phức • Đối với số phức z = a + bi, ta nói a phần thực, b phần ảo z • Tập hợp số phức kí hiệu C (Complex) * Chú ý: z = a + bi • Số thực a = a + 0i Mỗi số thực a số phức R ⊂ C • Số ảo: bi = + bi • i = + 1i (số i gọi đơn vò ảo) • Số phức + (-3)i viết - 3i, số phức + i viết + i Số phức nhau: Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng a + bi = c + di ⇔ a = c b = d Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i Giải: Biểu diễn hình học số phức: Điểm M(a; b) hệ tọa độ vuông góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi Ví dụ 1: Biểu diễn hình học số phức: + 2i, - i, -2 - 3i, 3i, Giải: y Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo -5 phần thực thuộc khoảng (-4; 4) Giải: -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 -6 Môđun số phức: 13 x Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Vậy: z = a + bi = OM = y M b a2 + b2 x O Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi số phức liên hợp z kí hiệu z = a - bi Ví dụ: Số phức liên hợp z = -3 + 2i là: Số phức liên hợp z = - 3i là: * Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục Ox, z = z, z = z a y z = a + bi M b x O -b a M' z = a - bi Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết: a) z = - πi; b) z = - i; c) z = Bài 2: Tìm số thực x y, biết: a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i Bài 3: Tính |z| với: a) z = -2 + i ; b) z = - 3i; Bài 4: Tìm z , biết: a) z = - i ; b) z = - + i ; 2; d) z = -7i b) (1 - 2x) - i = + (1 - 3y)i; c) z = -5; d) z = i c) z = 5; d) z = 7i Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực z -2; b) Phần ảo z 3; c) Phần thực z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; 14 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 e) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [-2; 2] Bài tập nâng cao: Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) |z| = 1; b) |z| ≤ 1; c) < |z| ≤ 2; d) |z| = phần ảo z Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z = Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z + i = CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 15 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 §2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC Phép cộng phép trừ hai số phức: Phép cộng phép trừ số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Ví dụ: Cho số phức z1 = + 5i; z2 = -2i Tính z1 + z2, z1- z2 Giải: Phép nhân hai số phức: Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i = -1 kết nhận (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i * Chú ý: Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực Ví dụ: Cho số phức z = - 2i, z1 = -2 + 3i Thực phép tính: a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1 Giải: Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Thực phép tính sau: a) (2 - 3i) + (-4 + i); d) (3 - 5i) + (2 + 4i); Bài 2: Tính α + β, α - β với: a) α = 3, β = 2i; c) α = 1- 2i, β = 6i; Bài 3: Thực phép tính sau: b) 4i - (-7 + 3i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); c) (2 - 3i)(5 + 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i) b) α = 5i, β = -7i; d) α = 15, β = - 2i 16 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i); c) 5(4 + 3i); d) (-2 - 5i).4i Bài 4: Tính: a) (2 + 3i)2; b) (2 + 3i)3; c) (1 - 3i)3 Bài 5: Tính i3, i4, i5 Nêu cách tính in với n số tự nhiên tùy ý Bài tập nâng cao: Bài 1: Tính giá trò biểu thức Q = (2 + i)2 + (2 - i)2 Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i); 2 12 13 d) z = (1 + i) – (1 – i) ; e) z = 2i + i ; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3 CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 17 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 §3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC Tổng tích hai số phức liên hợp: 2 Cho số phức z = a + bi z + z = 2a z.z = a + b = z • Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức • Tích số phức với số phức liên hợp bình phương môđun số phức Phép chia hai số phức: a + bi ac + bd ad − bc = + i Cho số phức c + di a + bi Ta có z = c + di c + d c + d c + di * Chú ý: Để tính , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp mẫu (a + bi) a + bi Ví dụ 1: Thực phép chia sau: 1+ i + 3i a) ; b) − 3i 5i Giải: Ví dụ 2: Giải phương trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z Giải: Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Thực phép chia: 2+i 1+ i a) ; b) ; − 2i 2+i Bài 2: Tìm nghòch đảo số phức z, biết: z a) z = + 2i; b) z = - 3i; Bài 3: Thực phép tính sau: c) 5i ; − 3i c) z = i; (1 + i) (2i)3 b) ; −2+i + 4i d) - 3i + + 6i a) 2i(3 + i)(2 + 4i); c) + 2i + (6 + i)(5 + i); 18 d) − 2i i d) z = + i Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Bài 4: Giải phương trình sau: a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) z + (2 − 3i) = − 2i − 3i Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : + 2i a) z = − i − ; b) z = - 2i - (3 - 2i)2; i + 3i − + 5i −i −i − d) z = ; e) − ; 1+ i − 2i 1+ i i Bài 2: Cho z = + 3i Tìm phần thực, phần ảo modun số phức Bài 3: Giải phương trình 2+i − + 3i z= 1− i 2+i c) z = 7−i + - 4i; 2−i z + 7i z+5 CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 19 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Căn bậc hai số thực âm: Số thực a (a < 0) có hai bậc hai ± i a Ví dụ: số -2 có hai bậc hai ± i 2 Phương trình bậc hai với hệ số thực: Giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (*) (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) Tính: ∆ = b2 - 4ac (∆' = b'2 - ac) −b± ∆ Nếu ∆ > (*) có nghiệm thực x1,2 = 2a b Nếu ∆ = (*) có nghiệm thực x = − 2a −b±i ∆ Nếu ∆ < (*) có nghiệm phức x1,2 = 2a * Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n ≥ 1) có n nghiệm phức (không thiết phân biệt) Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + = tập số phức Giải: Ví dụ 2: Giải phương trình z4 + z2 - = tập số phức Giải: Đònh lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức: a) Cho z1, z2 hai nghiệm phức phương trình az2 + bz + c = (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) Hãy tính z1 + z2 z1.z2 theo a, b, c b) Cho z = a + bi số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z z làm nghiệm c) Cho hai số phức z1, z2 Biết z1 + z2 z1.z2 hai số thực Chứng tỏ z 1, z2 hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực Giải: Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN 20 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Bài tập bản: Bài 1: Tìm bậc hai phức số sau: -7; -8; -12; -20; -121 Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: a) -3z2 + 2z - = 0; b) 7z2 + 3z + = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức: a) x2 + x + = 0; b) 3x2 - x + = 0; c) x 2 − x + = Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức: a) z4 + z2 - = 0; b) z4 + 7z2 + 10 = Bài 5: Cho phương trình: x2 - 3x + = Gọi z z' nghiệm phương trình cho Hãy tính giá trò biểu thức sau: a) z + z'; b) z2z' + zz'2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải phương trình sau C: a) x − 3.x + = ; b) x − 3.x + = ; c) x 2 − x + = Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: a) z − = ; b) x + = ; c) z3 – = 0; d) z + z + 10 z = CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 21 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 * ÔÂN TẬP CHƯƠNG IV * TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG IV: 22 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Bài tập bản: Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện có điểm biểu diễn phần gạch chéo hình sau đây? y y y x x -2 -1 x -1 a) b) c) Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực z 1; b) Phần ảo z -2; c) Phần thực z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1]; d) |z| ≤ Bài 3: Tìm số thực x, y cho: a) 3x + yi = 2y + + (2 - x)i; b) 2x + y - = (x + 2y - 5)i Bài 4: Thực phép tính sau: 1+ i a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]; b) (4 - 3i) + ; 2+i + i − 3i − c) (1 + i)2 - (1 - i)2; d) 2+i 2−i Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức: a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = + 5i; b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức: a) 3z2 + 7z + = 0; b) z4 - = 0; c) z4 - = Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng chúng tích chúng Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm số thực a, b để z = + 3i nghiệm phương trình z4 + bz2 + c = Bài 2: Tìm số phức z cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) số thực Bài 3: Tìm phần thực phần ảo số phức z = (1 - i)2009 Bài 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Tính f(1 - 3i) Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Chứng minh f(1 + i) + f(1 - i) ∈ R Bài 6: Tính z6 biết 3z - z = -4 + 8i Bài 7: Chứng minh z = − + i nghiệm phương trình z3 = 2 Bài 8: Tìm nghiệm phức phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + = Bài 9: a) Tìm số thực a, b để có phân tích 2z - 9z2 + 14z - = (2z - 1)(z + az + b) giải phương trình 2z3 - 9z2 + 14z - = C b) Tìm số thực a, b để có phân tích z - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) giải phương trình z4 - 4z2 - 16z - 16 = C Bài 10: Giải hệ phương trình sau: z1 + z2 = + i z1 z2 = −5 − 5i 2 z1 − ( − i ) z = − 6i a) ; b) ; c) 2 z1 + z2 = − 2i z1 + z2 = −5 + 2i z1 − 2iz = 16 − 4i 23 [...]... hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 §3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1 Tổng và tích của hai số phức liên hợp: 2 2 2 Cho số phức z = a + bi thì z + z = 2a và z.z = a + b = z • Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó • Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó 2 Phép chia hai số phức: a + bi ac + bd ad − bc = + i Cho số phức... dẫn tự học môn Giải tích 12 CHƯƠNG IV SỐ PHỨC - oOo - §1 SỐ PHỨC 1 Số i: Phương trình x2 + 1 = 0 có một nghiệm là một số được kí hiệu là "i" với i2 = -1 2 Đònh nghóa số phức: • Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b ∈ R, i 2 = -1 được gọi là một số phức • Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z • Tập hợp các số phức kí hiệu là C (Complex) * Chú ý: z = a + bi • Số. .. bi • Số thực a = a + 0i Mỗi số thực a cũng là một số phức và R ⊂ C • Số thuần ảo: bi = 0 + bi • i = 0 + 1i (số i được gọi là đơn vò ảo) • Số phức 1 + (-3)i có thể viết 1 - 3i, số phức 1 + 3 i còn có thể viết 1 + i 3 3 Số phức bằng nhau: Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i,... -6 5 Môđun của số phức: 13 1 2 3 4 5 x Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z Vậy: z = a + bi = OM = y M b a2 + b2 x O 6 Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z = a - bi Ví dụ: Số phức liên hợp...Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = x 3, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2 2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: y Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b Khi đó diện... 19 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 1 Căn bậc hai của số thực âm: Số thực a (a < 0) có hai căn bậc hai là ± i a Ví dụ: số -2 có hai căn bậc hai là ± i 2 2 Phương trình bậc hai với hệ số thực: Giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (*) (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) Tính: ∆ = b2 - 4ac... 15 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 §2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC 1 Phép cộng và phép trừ hai số phức: Phép cộng và phép trừ số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Ví dụ: Cho 2 số phức z1 = 2 + 5i; z2 = -2i Tính z1 + z2, z1- z2 Giải: ... 2 Phép nhân hai số phức: Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i 2 = -1 trong kết quả nhận được (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i * Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực Ví dụ: Cho các số phức z = 1 - 2i, z1 = -2 + 3i Thực hiện các phép tính: a) z.z1;... c = 0 (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) Hãy tính z1 + z2 và z1.z2 theo a, b, c b) Cho z = a + bi là một số phức Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm nghiệm c) Cho hai số phức z1, z2 Biết rằng z1 + z2 và z1.z2 là hai số thực Chứng tỏ rằng z 1, z2 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực Giải: ... hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121 Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) -3z2 + 2z - 1 = 0; b) 7z2 + 3z + 2 = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x2 + x + 1 = 0; b) 3x2 - x + 2 = 0; c) 3 x 2 2 − 2 x 3 + 2 = 0 Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức: