1.SỐ VÀ CHỮ SỐ Bài 1: Cho chữ số: 0; 1; 2; Lập số có chữ số khác Giải -Hàng ngàn có cách chọn (khác 0) -Hàng trăm có cách chọn -Hàng chục có cách chọn -Hàng đơn vị có cách chọn Số có chữ số khác có: x x x = 18 (số) Bài 2: Có số có chữ số khác chia hết cho Giải Số chia hết cho có tận *.Tận 0: -Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (là 0) -Có cách chọn chữ số hàng trăm -Có cách chọn chữ số ngành chục Vậy có: x x = 72 (số) *.Tận 5: -Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (là 5) -Có tám cách chọn chữ số hàng trăm (khác 5) -Có cách chọn chữ số hàng chục Vậy có: x x = 64 (số) Có tất cả: 72 + 64 = 136 (số) Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, a) Có thể lập tất số có chữ số khác mà số chia hết cho 5? b) Tính tổng số vừa lập Giải a).Để chia hết cho hàng đơn vị phải Có cách chọn hàng nghìn Có cách chọn hàng trăm Có cách chọn hàng chục Vậy có tất cả: x x x = 24 (số) b).Có 24 số nên hàng: nghìn, trăm, chục chữ số 1; 2; 3; xuất 24:4=6 (lần) Riêng chữ số xuất 24 lần hàng đơn vị Tổng 24 số là: (1+2+3+4)x6x1000 + (1+2+3+4)x6x100 + (1+2+3+4)x6x10 + 5x24 = 67 720 Bài 4: Có số có chữ số khác chia hết cho Giải -Nếu chữ số đứng hàng đv có lựa chọn hàng trăm lựa chọn hàng chục -Nếu chữ số đứng hàng đv có lựa chọn hàng trăm có lựa chọn hàng chục Tổng số : x + x = 136 (số) Bài 5: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, a) Có thể lập tất số có chữ số khác mà số chia hết cho 5? b) Tính tổng số vừa lập Giải Chia hết cho cho biết chữ số tận 5, có cách chọn hàng đơn vị Ta chọn chữ số lại cho: nghìn, trăm, chục 4x3x2=24 Mỗi chữ số xuất hàng (nghìn, trăm, chục) 24 : 4= (lần) Tổng: (1+2+3+4)x6x1110+5x24= 66720 Bài : Có số có chữ số mà tổng chữ số số Giải Bài không yêu cầu chữ số phải khác nhau, nên dùng sơ đồ hình hay từ rút quy tắc cho mà tổng có giá trị cao Nhóm 1: Chữ số đứng hàng nghìn: Lập số ( 4000) Nhóm 2: Chữ số đứng hàng nghìn ( có cách chọn chữ số hàng chục ): Lập số Nhóm 3: Chữ số đứng hàng nghìn ( có cách chọn chữ số hàng trăm ): Lập số Nhóm 4: Chữ số đứng hàng nghìn (có cách chọn chữ số hàng trăm ): Lập 10 số Vậy lập được: + + + 10 = 20 số Từ ta thấy " bước nhảy" khoảng cách lập số là: 2; 3; toán yêu cầu tìm Có số có chữ số mà tổng chữ số số thử nghĩ xem số? Bài 7: Hãy cho biết dãy số tự nhiên liên tiếp: 1,2,3,4, 2013 có tất chữ số Giải Cách 1: *.Nhóm 1(1000 số đầu)): Từ 000; 001; 002; ………; 998; 999 Có (999-000)+1=1000 (số) -Hàng đơn vị: xuất liên tục từ đến (có 10 số từ đến Trong có chữ số 5) Như lập lại 1000:10= 100 (lần), có 100 chữ số -Hàng chục: 100 số, có 10 nhóm: chữ số (01;02;…;08;09) 10 chữ số (10;11;…;19)…… Như có 10 x 10 = 100 (chữ số 5) -Hàng trăm: có 100 chữ số (001;002;…;099) đến 100 chữ số (100;101;…;199)…… Như có 100 chữ số Tất cả: 100+100+100=300 (chữ số 5) *.Nhóm (1000 số thứ 2): Từ 1000; 1001; ……; 1998; 1999 Phân tích tương tự ta có: 300 chữ số *.Nhóm lại: Từ 2000 đến 2013 có chữ số 2005 Tất chữ số là: 300 + 300 + = 601 (chữ số 5) Cách 2: *.Nhóm 1(1000 số đầu)): Từ 000; 001; 002; ………; 998; 999 Có (999-000)+1=1000 (số) Mỗi số có chữ số Như có x 1000 = 3000 (chữ số) mà 10 chữ số (0; 1; …;8 ; 9)đều xuất Vậy có 3000 : 10 = 300 (chữ số 5) *.Nhóm 2(1000 số thứ 2): Từ 1000; 1001; ……; 1998; 1999Phân tích tương tự ta có: 300 chữ số *.Nhóm lại: Từ 2000 đến 2013 có chữ số 2005 Tất chữ số là: 300 + 300 + = 601 (chữ số 5) Bài 8: Hãy cho biết dãy số tự nhiên liên tiếp 1,2,3 2009 có tất tất nhiêu chữ số Giải Để giải bạn nên xét trường hợp : *.Chữ số đứng hàng đơn vị 10 đơn vị có chữ số ( từ đến 10) 2009 : 10 = 200 dư Vì số dư dứ từ đến nên chữ số số dư nên ta 200 chữ số đứng hàng đơn vị *.Với chữ số đứng hàng chục 10 chục (100) chữ số xuất 10 lần (từ 10 đến 2009)(2009-9) : 100 = 20 Chữ số đứng hàng chục : 20 x 10 = 200 (chữ số) *.Chữ số đứng hàng trăm 10 trăm (1000) chữ số xuất 100 lần (từ 1000 đến 1999) mà (2009-999) : 1000 = (dư 10) Dư 10, gồm số từ 2000 đến 2009 có 10 chữ số hàng trăm) Số chữ số đứng hàng trăm : 100 + 10 = 110 (chữ số) Vậy từ đến 2009 có số chữ số : 200 + 200 + 110 = 510 (chữ số) Bài 9: Cho T = x x x … x x (tích có 2013 thừa số 2) T có chũa số tận ? Giải Cho T = x x x … x x (tích có 2013 thừa số 2) Tích có thừa số coa tính chất sau: Cứ thừa số có tích tận ; ; Mà 2013 : = 503 (nhóm) dư Cuối nhóm tích tận đầu nhóm chữ số Vậy T có số nhóm dư chữ số tận T Bài 11: Có số có chữ số mà tổng chữ số số Giải Cách 1: Chọn số làm hàng nghìn có: 4000 Chọn số làm hàng nghìn có: 3100; 3010; 3001 Chọn số làm hàng nghìn có: 2200; 2020; 2002; 2110; 2101; 2011 Chọn số làm hàng nghìn có: 1300; 1210; 1201; 1120; 1102; 1111; 1030; 1003; 1021; 1012 Có 20 số Cách 2: phân tích thành nhóm sau : = (4+0+0+0) = (3+1+0+0) = (2+2+0+0) = (2+1+1+0) = (1+1+1+1) Với nhóm (4+0+0+0) (1+1+1+1) nhóm viết số Với nhóm (2+2+0+0) viết số Với nhóm (3+1+0+0) viết số Với nhóm (2+1+1+0) viết số Tổng số số viết : x + + + 9= 20 (số) Bài 12: Hãy cho biết có tất số có chữ số mà chữ số số lẻ Giải Các chữ số lẻ 1; 3; 5; 7; Để lập số có chữ số lẻ thì: -Có lựa chọn hàng nghìn -Có lựa chọn chữ số hàng trăm -Có lựa chọn chữ số hàng đơn vị Số số lẻ có chữ số lẻ: x x = 125 (số) Bài 13: Tính tổng tất số có chữ số khác mà chữ số chẵn Giải Các chữ số chẵn gồm: 0;2;4;6;8 Số có chữ số chẵn: -Có lựa chọn hàng trăm (loại chữ số 0) -Có lựa chọn hàng chục (loại chữ số hàng nghìn) -Có lựa chọn hàng đơn vị (loại chữ số hàng trăm hàng chục) Số có chữ số chẵn: x x = 48 (số) Tổng hàng trăm: (2+4+6+8)x(48:4)x1000= 24000 Hàng chục (mỗi số hàng chục có lựa chọn hàng trăm lựa chọn hàng đơn vị) (2+4+6+8)x3x3x10= 1800 Hàng đơn vị (tương tự hàng chục): (2+4+6+8)x3x3= 180 Tổng tất cả: 24000+1800+180 = 25978 Bài 13b: Hãy cho biết số có chữ số, có tất chữ số 5? Giải Các số có chữ số từ 100 đến 999 -Hàng trăm có 100 chữ số (từ 500 đến 599) -Hàng chục có 10 số trăm 150…159; 250….259; … 10 x = 90 (số) -Hàng đơn vị 10 số có số từ: 105; 115; 125; ………; 995 (995-105):10+1= 90 (số) Tất có: 100+90+90= 280 (số 5) Bài 14: Để đánh số trang sách người ta cần dùng 143 chữ số Hỏi sách dày trang? Giải Trang có chữ số từ đến 9, có trang Số chữ số lại trang có chữ số: 143-9= 134 (chữ số) Số trang chữ số; 134 : = 67 (trang) Số trang sách; 9+67 = 76 (trang) Bài 15: Tìm số tự nhiên bé có chữ số khác mà tỉ số chữ số hàng trăm hàng chục tỉ số chữ số hàng chục hàng đơn vị Giải Số tự nhiên có chữ số nhỏ hàng trăm nhỏ nhất, chúng khác tỉ số khác Hàng trăm Tỉ số ½ tỉ số để có số hàng chục nhỏ Hàng chục 1x2=2 hàng đơn vị 2x2=4 Số là: 124 Bài 16: Tìm số tự nhiên có chữ số viết thêm chữ số vào chữ số số ta số lần số phải tìm Giải Xem số cần tìm ab Khi viết thêm chữ số vào ta được: a0b : ab = b (vì 7xb có chữ số tận b) Nhưng b nên b=5 Ta có phép nhân: a5 x a05 a=1 Số là: 15 Bài 17: Tìm số a b để số a09b số có chữ số nhỏ mà chia cho 2;3 dư 1? Giải Như bớt chia hết cho cho cho Số chia hết cho cho tận Ta được: a090 Để số nhỏ chia hết cho a=3 Ta số chia hết cho 2; 3090 Số cần tìm là: 3091 Bài 18: Tìm số a b để số a45b số có chữ số lớn mà chia cho 2;3 dư 1? Giải Tương tự để chia hết cho ta được: a450 Và để số lớn chia hết cho a=9 Số lớn chia hết cho 2; 3; 9450 Số cần tìm là: 9451 Bài 19: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết số chia cho tổng chữ số dư 9? Giải Gọi số cần tìm ab (a>0 a+b>9) Ta được: ab : (a+b)= (dư 9) ab = (a+b) x + 10a + b = 7a + 7b + 3a = 6b + Hay a = 2b + Suy ba=2 (vì a=3 lớn 2235, a=1 b,c,d lớn nhỏ 2235) 2222+111b+11c+d = 2235 =>b=0 (vì b=1 lớn 2235) 2222+000+11c+d=2235 =>c=1 (vì c=2 lớn c=0 bé 2235) 2222+000+11+d=2235 =>d=2 Số thứ nhất: 2012 Bài 21: Cho chữ số khác khác Tính tổng tất số có chữ số khác lập từ chữ số đó, biết tổng số lớn số bé số lập 9889 Giải Gọi chữ số từ lớn đến nhỏ a ; b ; c ; d Từ chữ số ta viết 24 số số có chữ số từ chữ số nêu Theo chữ số a ; b ; c ; d xuất hàng nghìn, trăm, chục đv lần Hay ta có tổng : (a + b + c + d) x 1000 x (a + b + c + d) x 100 x (a + b + c + d) x 10x (a + b + c + d) x x Theo abcd + dcba = 9889 Ta có a + d = b + c = Suy a + b + c + d = + =17 Thay (a + b + c + d) vào biểu thức ta có Tổng : 17 x 1000 x + 17 x 100 x + 17 x 10 x + 17 x x = 113322 Bài 22: Tổng hai số 43 Nếu đem số thứ gấp lên lần số thứ hai gấp lên lần tổng 122 Tìm hai số Giải Số thứ số thứ hai gấp lên lần tổng là: 43 x = 86 Hai lần số thứ nhất: 122 – 86 = 36 Số thứ nhất: 36 : = 18 Số thứ hai: 43 – 18 = 25 Bài 23: Từ chữ số ; 1; ; ; viết số bé có chữ số khác nhau, chia hết cho không chia hết cho Giải Để có số bé hàng cao phải có giá trị bé Ta chọn chữ số hàng cao nhất: 102* Nếu dấu * số 1026 Vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho Vậy số cần tìm là: 1029 Bài 24: Tìm số chia hết cho Có số có chữ số khác chia hết cho Giải Số chia hết cho tận *.Tận 0: Ta có lựa chọn hàng trăm, lựa chọn hàng chục Vậy có: x x 1= 72 (số) *.Tận 5: Ta có lựa chọn hàng trăm, lựa chọn hàng chục Vậy có: x x 1= 64 (số) Tất có: 72 + 64 = 136 (số) Đáp số: 136 số Bài 25: Lập số tính tổng Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, a) Có thể lập tất số có chữ số khác mà số chia hết cho 5? b) Tính tổng số vừa lập Giải a).Số chia hết cho có lựa chọn hàng đơn vị (5); lựa chọn hàng nghìn; lựa chọn hàng trăm; lựa chọn hàng chục Vậy có: x x x = 24 (số) b).Ở hàng đơn vị có 24 số Ở hàng nghìn, trăm, chục chia cho chữ số 1,2,3,4 Mỗi số xuất lần: Tổng 24 số là: (1+2+3+4)x6x(1000+100+10) + 5x24 = 66 720 Bài 26: Tìm số Tìm số tự nhiên có tổng = 2013 Biết xóa chữ số hàng đơn vị số thứ ta số thứ Nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị số thứ ta số thứ Nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị số thứ ta số thứ Giải Cách 1: Theo đề cho ta biết số thứ có chữ số Gọi số thứ abcd, số thứ hai abc, số thứ ba ab, số thứ tư a (a khác 0) Ta được: abcd 18cd 181d + abc + 18c + 181 ab 18 18 a 1 2013 2013 2013 a=1 (a khác nên 2) nên b=8 (b Vì hàng chục hàng trăm có nhớ) Nếu b=8 c=1 (vì tổng chữ số hàng đơn vị phải 13, 23, c 2013) => a = Vậy 111 x b + 11 x c + d = 2013 - 1111 111 x b + 11 x c + d = 902 11 x c + d lớn = 108 => 111 x b nhỏ = 902 - 108 = 794 => b nhỏ = 8) Mặt khác 11 x c + d nhỏ = => 111 x b lớn = 902 Vậy b lớn = 8) Vậy b = => 11 x c + d = 902 - 111 x => 11 x c + d = 14 => c = d = Ta có số : 1813 ; 181 ; 18 Bài 27: Tìm số tự nhiên Tìm số tự nhiên Biết viết thêm chữ số vào bên phải số số phải tìm 1807 đơn vị Giải Khi viết thêm chữ số vào bên phải số tự nhiên ta số gấp 10 lần số củ đơn vị lần số củ : 1807 - = 1800 số cần tìm : 1800 : = 200 Đáp số : 200 Bài 28: Tìm số tự nhiên Tìm số tự nhiên Biết xóa chữ số hàng đơn vị giảm 1808 đơn vị Giải Xóa chữ số hàng đơn vị số giảm đơn vị giảm 10 lần phần lại Do trừ phần lại nên 1/9 lại là: (1808 – 8) : = 200 Số cần tìm là: 2008 Bài 29: Hãy tìm số có chữ số chia hết cho mà xóa chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 8, xóa chữ số hàng chục số chia hết cho 7, xóa đến lúc chữ số chia hết cho Giải Tính ngược từ số có chữ số chia hết cho để tính dần số có chữ số chia hết cho 3,… Ta xem số có chữ số chia hết cho 10 (số nhỏ chia hết cho 2) Số có chữ số chia hết cho là: 102 (tổng chữ số chia hết cho 3) Số có chữ số chia hết cho là: 1024 (2 chữ số tận chia hết cho 4) Số có chữ số chia hết cho là: 10240 (tận 5) Số có chữ số chia hết cho là: 102402 (số chẵn chia hết cho 3) 10 Bài 8: Bài 9: Cho A = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + .+ 1/16 + 1/17 Chứng minh A số tự nhiên Giải Ta có: A = (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + (1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11) + (1/12 + 1/13 + 1/14) + (1/15 + 1/16 + 1/17) < (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + 3(1/6) + 3(1/9) + 3(1/12) + 3(1/15) = 2(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) < 2(1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4) = Mặt khác A = (1/2 + 1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12) 370 + (1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + 1/17 > (1/2 + 1/3 + 1/4) + 4(1/8) + 4(1/12) + 4(1/16) = 2(1/2 + 1/3 + 1/4) > 2(1/2 + 1/4 + 1/4) = Vậy A không số tự nhiên => < A < Bài 10: Tính: A=1x2x3+2x3x4+…+100x101x102 A = 1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102 Nhân A với ta có : A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4 A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + + 100x101x102x(103 99) A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102 Sau cộng - trừ giản ước ta có : A x = 100x101x102x103 A = 100 x101x102x103 : = 26527650 Bài 11: Cho số tự nhiên có 2014 chữ số Biết với hai chữ số liên thứ tự viết tạo thành số có hai chữ số chia hết cho 17 chia hết cho 23 Nếu chữ số cuối số chữ số chữ số chữ số nào? Ta suy luận dần này: Chữ số cuối chữ số liền trước phải để 51 chia hết cho 17 (51:17=3) ………51 Trước chữ số phải để có 85:17=5 ……….851 Trước chữ số phải để có 68:17=4 ……….6851 Trước chữ số phải để có 46:23=2 ……….46851 Trước chữ số phải để có 34:17=2 ……….346851 Trước chữ số phải để có 23:23=1 ……….2346851 Trước chữ số phải để có 92:23=4 ……….92346851 Trước chữ số phải để có 69:23=3 ……….692346851 ………… Tiếp tục: ………….92346 92346 92346 851 Ta thấy quy luật lập nhiều lần lại chữ số: 9;2;3;4;6 cuối 851 Bỏ chữ số cuối (851) lại: 2014-3=2011 (chữ số) Chia nhóm được: 2011 : = 402 (nhóm 5) dư Chữ số cuối nhóm chữ số 371 Vậy chữ số dạy (6 92346 92346 92346 ………… 92346 92346 851) Bài 12: Tính tổng : A=38/25 + 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 - +197/4851-199/4950 Từ: 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 – 19/45 + 197/4851 - 199/4950 Ta viết lại: (9/10 - 11/15) + (13/21 - 15/28) + 17/36 – 19/45 + (197/4851 - 199/4950) Ta thấy : (9/10 - 11/15) = 1/6 = 1/(2x3) = 1/2 – 1/3 (13/21 – 15/28) = 1/12 = 1/(3x4) = 1/3 – 1/4 (17/36 – 19/45) = 1/20 = 1/(4x5) = 1/4 – 1/5 ……………… (197/4851 – 199/4950) = 1/2450 = 1/(49x50) = 1/49 – 1/50 Ta được: 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 – 19/45 + 197/4851 - 199/4950 = 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+ … + 1/49-1/50 = 1/2 – 1/50 = 24/50 Vậy : A = 38/25 + 24/50 = A=2 Bài 13: Cho dãy số: 4/3;9/8;16/15;25/24;36/35; Hãy tìm số hạng thứ 98 tính tích 98 số hạng dãy số Giải 372 Bài 14: Trong một giải bóng đá có k đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (2 đội bất kì thi đấu với một trận).Đội thắng được điểm Đội hòa được điểm và đội thua không được điểm nào Kết thúc giải, người ta nhận thấy rằng số trận thắng-thua gấp đôi số trận hòa và tổng số điểm các đội là 176 Hãy tìm k ? Trận thắng điểm, trận hòa điểm (vì đội điểm) số trận thắng-thua gấp đôi số trận hòa Tổng số điểm 176 điểm Tỉ số điểm cho trận thắng-thua hòa là: (3x2) / (2x1) = 3/1 Tổng số phần nhau: + = (phần) Số điểm cho đội hòa là: 176 : = 44 (điểm) Số trận hòa là: 44 : = 22 (trận) Số điểm cho trận thắng thua : 176 – 44 = 132 (điểm) Số trận thắng thua : 132 : = 44 (trận) Tổng số trận đấu : 22 + 44 = 66 (trận) Do k số đội nên số trận đấu : k x (k-1) : Ta : 373 k x (k-1) : = 66 k x (k-1) = 66x2 = 132 Do k (k-1) số tự nhiên liên tiếp 132 = 12 x 11 nên k = 12 (Hay có 12 đội thi đấu.) Bài 15: Tinh: A = 9+99+999+ +9 9(co 50 chu so 9) Ta thấy: = 10 - 99 = 100 - 999 = 1000 - 99 99 = 100 00 - (50 chữ số 0) Suy ra: + 99 + 999 + 9999 + 99 99 (50 chữ số 9) = (10 - 1) + (100 - 1) + + (100 00 - 1) = (10 + 100 + + 100 00) - (1 + + + + 1) (50 chữ số cộng với nhau) = 111 10 - 50 (50 chữ số 1) = 111 1160 (48 chữ số 1) Bài 16: Cho A = 671 x 999…997 + 2013 (thừa số 999…997 có tất 99 chữ số 9) Tính tổng chữ số A A = 671 x 99…997 + 2015 ( thừa số 99…997 có 99 chữ số 9) = 671 x 100 00 – 671 x + 2015 ( số 100 00 có 100 chữ số ) = 67100…00 – 2013 + 2015 = 67100…00 + = 67100 02 Vậy tổng chữ số A là: + + + = 16 Đáp số: 16 Bài 17: Tinh: A = 9+99+999+ +9 (co 50 chu so 9) Ta thấy: = 10 - 99 = 100 - 374 999 = 1000 - 99 99 = 100 00 - (50 chữ số 0) Suy ra: + 99 + 999 + 9999 + 99 99 (50 chữ số 9) = (10 - 1) + (100 - 1) + + (100 00 - 1) = (10 + 100 + + 100 00) - (1 + + + + 1) (50 chữ số cộng với nhau) = 111 10 - 50 (50 chữ số 1) = 111 1060 (48 chữ số 1) Bài 17b: Tính: A=5+55+555+ .+55 55(co 50 chu so 5) A = 5/9 x (9+99+999+…+99…99) (có 50 chữ số 9) =5/9 x (10-1 + 100-1 + 1000-1 +…+ 100 00-1) =5/9 x (10+100+1000+…+100 00 – 50) =5/9 x (111 110 – 50) (111…110 có 50 chữ số 1) = 5/9 x 111…060 (có 48 chữ số 5) = 555…55300/9 (có 48 chữ số 5) Công thức tổng quát: A = a+aa+aaa+…+aa…aa (có n chữ số a) A= LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Tìm A B biết A+B=5*(A-B); A-B=B-27 Nếu A-B=1 A+B=5 => A=3 B=2 Tỉ số A B 3/2 hay B = 2/3A Thay B= 2/3A vào ta : A – 2/3A = 2/3A – 27 4/3A – A = 27 1/3A = 27 A = 27 x 375 A = 81 => B = 81 x : B = 54 Bài 2: A B đem gà chợ đổi lấy ngựa bò Họ tính 85 gà đổi ngựa bò Cứ ngựa đổi 12 bò Sau đổi số bò ngựa họ bàn với A nói ta đổi thêm số ngựa số ngựa vừa đổi 17 ngựa lẫn bò Như số gà không đủ để đổi B nói ta đổi thêm số bò số bò mà ta vừa đổi ta 19 bò ngựa mà số gà đem đổi vừa vặn hết.Ý họ Em tính xem A B đem gà chợ Giải Số gà đổi ngựa là: 85 : (5+12) x 12 = 60 (gà) Số gà đổi bò : 85 – 60 = 25 (gà) Theo đề ta có : ngựa + ngựa + bò = 17 (1) ngựa + bò + bò = 19 (2) Cộng (1) (2) ta : (ngựa + bò) x = 36 Tổng số ngựa bò vừa đổi : 36 : = 12 (con) Số bò : 19 – 12 = (bò) Số ngựa : 12 – = (ngựa) Số gà đem chợ : x x 25 + x 60 = 650 (con gà) TOÁN VUI Bài 1: Chứng minh = 0,99999…… Đặt a = 0,9999… Nhân vế với 10 ta được: a x 10 = 9,999…… = + 0,999…… = + a Trừ vế a : ax9=9 a=9:9 376 a=1 Hay = 0,99999…… Tương tự với = 2,9999…… Đặt a = 2,9999…… a x 10 = 29,999… = 27 + 2,999…… = 27 + a (1) a x = 27 a = 27 : a=3 Hay = 2,9999…… Ở ta xét lại trường hợp 0,9999… (hoặc 2,9999… ) số thập phân hữu hạn không Vì giá trị a (1) lúc thiếu chữ số phần thập phân Bài 2: Hươu nai tham gia đua xuất phát từ A, chạy đến B vòng A đoạn đường AB dài 100m Mỗi bước, hươu nhảy 3m, nai nhảy 2m thời gian để nai nhảy bước thời gian hươu nhảy bước Hãy cho biết hươu thắng hay nai thắng? Quãng đường phải chạy là: 100 x = 200 (m) Hươu phải nhảy: 200 : = 66 (bước) mét Nai phải nhảy: 200 : = 100 (bước) Giả sử bước nhảy Hươu giây bước nhảy Nai giây (vì 6:2=3 6:3=2) Thời gian Hươu nhảy 66 bước là: 66 x = 198 (giây) Thời gian Nai nhảy 100 bước là: 100 x = 200 (giây) Khi Nai đến đích Hươu phải nhảy mét thời gian: 200 – 198 = (giây) (vận tốc trung bình 1m/giây) Do bước nhảy Hươu giây, Nai giây nên: Vận tốc trung bình Hươu là: : = (m/giây) Vận tốc trung bình Nai là: : = (m/giây) Đúng đích lúc Lúc Hươu không chân chưa chấm đất Nhưng 2m cuối (200 – 66x3 = 2(m)) Hươu nhảy với vận tốc 2/3 m/giây < m/giây nên phải chậm Nai 377 Xem thời gian bước nhảy Hươu Nai Số bước hươu nhảy xong 100m là: 100:3= 33 bước ( dư 1m) Vậy để nhảy 100m đầu hươu phải nhảy 34 bước ( hươu nhảy xong quay lại nhảy 1m cộng 2m cho lần nhảy) Đi Hươu phải nhảy: (33 + 1) x = 68 (bước) Thời gian là: x 68 = 204 (giây) Số bước nai nhảy xong 100m 100:2= 50 bước Đi Nai phải nhảy: 50 x = 100 (bước) Thời gian là: x 100 = 200 (giây) Do 200 giây < 204 giây nên Nai trước TRÒ CHƠI Số 1: Hai bạn Tí Tèo chơi trò chơi bốc bi Trên mặt đất có hai đống bi, đống thứ có viên bi, đống thứ hai có viên bi Hai người bốc, lần bốc đống bi bốc từ đến viên Ai người đến lượt mà không bi để bốc người thua Tí người trước Hỏi Tí phải chơi để thắng cuộc? Có hai trường hợp để dẫn đến thắng Dành cho đối phương cho số bi đống hiệu số bi hai đống Cho nên Tí trước phá hiệu hai đống (9-5=4) nên Tí không thắng Số 2: Có đồng tiền hình Phải dời đồng tiền để hình tam giác có đỉnh quay xuống NGHÌ N 5 NGHÌ N NGHÌ N 5 NGHÌ N NGHÌ N NGHÌ N 378 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI VỀ TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA KIM ĐỒNG HỒ Toán chuyển động kim đồng hồ dạng toán khó trừu tượng học sinh Để giúp học sinh phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức phương pháp giải cách xác, nhanh nhạy chia toán “Chuyển động hai kim đồng hồ” thành dạng cách giải cụ thể cho dạng sau: Dạng 1: Hai kim trùng khít lên * Trường hợp 1: Khoảng cách kim lớn Bài toán: Bây Hỏi sau kim phút lại trùng lên kim ? Phân tích: Kim phút kim chuyển động vòng tròn nên dạng toán chuyển động chiều đuổi Muốn biết sau kim phút lại trùng lên kim ? Ta hướng dẫn học sinh theo bước cụ thể sau: - Giáo viên cho học sinh quan sát vị trí kim phút kim đồng hồ thật để trả lời câu hỏi: (?) Vào lúc giờ, kim phút kim nằm vị trí ? (Kim phút số 12, kim số 7) (?)Khoảng cách kim phút kim lúc ? (7/12 vòng đồng hồ) (?) Đến kim phút kim trùng khít lên khoảng cách hai kim ? (Bằng 0) (?) Lúc kim phút kim đoạn đường ? (Lúc kim phút nhiều kim đoạn đường khoảng cách hai kim đồng hồ lúc đúng, nghĩa 7/12 vòng đồng hồ) (?) Mỗi kim phút kim ? (Cứ kim phút vòng đồng hồ kim 1/12 vòng đồng hồ nên kim phút nhanh kim là: – 1/12 = 11/12 vòng đồng hồ Như là dạng toán “Hai động tử chuyển động chiều đuổi nhau” có khoảng cách ban đầu 7/12 vòng đồng hồ hiệu hai vận tốc 11/12 vòng đồng hồ Từ hướng dẫn, phân tích học sinh vận dụng giải toán sau: Bài giải: 379 Trong kim phút vòng đồng hồ kim 1/12 vòng đồng hồ Vậy hiệu vân tốc kim phút kim là: - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ) Lúc kim cách kim phút 7/12 vòng đồng hồ Khoảng thời gian ngắn để kim phút lại trùng với kim là: 7/12 : 11/12 = 7/11 (giờ) Đáp số: 7/11 Cách tính: Lấy khoảng cách kim chia cho hiệu vận tốc chúng * Trường hợp 2: Khoảng cách kim Bài toán: Bây 12 giờ, sau hai kim đồng hồ chập ? Phân tích: Ta nhận thấy lúc 12 khoảng cách hai kim nên ta hướng dẫn học sinh giải theo bước sau: Bài giải: Lúc 12 giờ, hai kim đồng hồ vào số 12 Vì kim phút nhanh kim nên kim phút hết vòng đồng hồ tức mà hai kim chưa gặp nhau, lúc Lúc kim phút vào số 12, kim vào số Khoảng cách lúc hai kim 1/12 vòng đồng hồ Hiệu vận tốc hai kim là: – 1/12 =11/12 (vòng đồng hồ/giờ) Kể từ lúc giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim là: 1/12 : 11/12 = 1/11 (giờ) Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để hai kim chập là: + 1/11 = 12/11 (giờ) Đáp số : 12/11 Cách tính: Lấy cộng với số thời gian để hai kim trùng khít lên biết lúc Dạng 2: Hai kim vuông góc với * Trường hợp 1: Khoảng cách kim nhỏ 1/4 vòng đồng hồ Bài toán: Hiện Hỏi sau kim phút kim vuông góc với ? Phân tích:Lúc kim phút vuông góc với kim nên khoảng cách hai kim 1/4 vòng đồng hồ Để kim phút vuông góc với kim lần kim phút phải đuổi kịp kim tiếp đến khoảng cách hai kim 1/4 vòng đồng hồ Từ cách phân tích ta có giải sau: Bài giải: Hiệu vân tốc kim phút kim là: - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ) 380 Lúc khoảng cách hai kim 1/4 vòng đồng hồ Vậy khoảng thời gian ngắn để kim phút lại vuông góc với kim là: ( 1/4+ 1/4) : 11/12 = 6/11 (giờ) Đáp số: 6/11 Cách tính: Lấy khoảng cách kim cộng 1/4 chia cho hiệu vận tốc chúng * Lưu ý: Khi hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi: “Lúc kim phút kim đoạn đường ?” cần lưu ý: Đây câu hỏi tương đối trừu tượng Để học sinh dễ hình dung giáo viên nên cho học sinh quan sát hình vẽ để nhận thấy: Khi kim phút kim tiếp tục tạo với góc vuông kim phút chạy vượt lên gặp kim Tại thời điểm đó, kim phút kim đoạn đường KCBĐ (1/4 vòng đồng hồ) 1/4 vòng đồng hồ Như từ lúc đến kim phút kim vuông góc với lần kim phút kim đoạn đường là: 1/4+ 1/4 = 1/2(vòng đồng hồ) * Trường hợp 2: Khoảng cách kim lớn 1/4 vòng đồng hồ nhỏ 3/4 vòng đồng hồ Bài toán : Hiện Hỏi sau kim phút kim vuông góc với nhau? Phân tích: Lúc khoảng cách hai kim 5/12 vòng đồng hồ Khi hai kim vuông góc với khoảng cách hai kim lúc 1/4 vòng đồng hồ Do kim phút phải nhanh kim đoạn đường 5/12 – 1/4= 1/6 vòng đồng hồ lúc hai kim vuông góc với Bài giải: Hiệu vân tốc kim phút kim là: - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ) Lúc kim cách kim phút 5/12 vòng đồng hồ Khoảng thời gian ngắn để kim phút vuông góc với kim là: (5/12 – 1/4) : 11/12 = 2/11 (giờ) Đáp số: 2/11 Cách tính: Lấy khoảng cách kim trừ 1/4 chia cho hiệu vận tốc chúng * Trường hợp 3: Khoảng cách kim lớn 3/4 vòng đồng hồ Bài toán :Hiện 10 Hỏi sau kim phút kim vuông góc với ? Phân tích: Với toán ta hướng dẫn cụ thể sau: Học sinh quan sát hình vẽ mặt đồng hồ lúc 10 nhận xét: Vào lúc 10 giờ, kim phút số 12, kim số 10 Lúc khoảng cách kim phút kim (tính theo chiều kim đồng hồ) lúc 5/6 vòng đồng hồ Đến kim phút kim tạo với góc vuông khoảng cách kim kim phút (tính theo chiều kim đồng hồ) 1/4 vòng đồng hồ Khi kim phút kim tạo với góc vuông 381 khoảng cách từ kim phút đến kim (tính theo chiều kim đồng hồ) 3/4 vòng đồng hồ ( – 1/4) Như vậy, kim phút kim tạo với góc vuông kim phút nhiều kim đoạn đường khoảng cách ban đầu trừ 3/4 vòng đồng hồ Từ hướng dẫn phân tích học sinh dễ dàng giải toán sau: Bài giải: Lúc 10 khoảng cách hai kim (tính theo chiều kim đồng hồ) 5/6 vòng đồng hồ Khi kim phút kim tạo với thành góc vuông khoảng cách từ kim đến kim phút (tính theo chiều kim đồng hồ) 1/4 vòng đồng hồ Vậy khoảng cách từ kim phút đến kim lúc (tính theo chiều kim đồng hồ) là: – 1/4 = 3/4 (vòng đồng hồ) Trong khoảng thời gian kim phút nhiều kim : 5/6 - 3/4 = 1/12 (vòng đồng hồ) Hiệu vận tốc hai kim là: – 1/12 =11/12 (vòng đồng hồ/giờ) Kể từ lúc 10 giờ, khoảng thời gian ngắn để kim phút kim vuông góc với là: 1/12 : 11/12 = 1/12 (giờ) Đáp số : 1/12 Cách tính: Lấy khoảng cách hai kim trừ 3/4 chia cho hiệu vận tốc chúng Dạng 3: Hai kim thẳng hàng với * Trường hợp 1: Khoảng cách kim nhỏ 1/2 vòng đồng hồ Bài toán: Bây Hỏi thời gian ngắn để hai kim đồng hồ thẳng hàng với ? Phân tích: Để hai kim đồng hồ thẳng hàng kim phút kim phải cách khoảng 6/12 vòng đồng hồ (hay 1/2 vòng đồng hồ) Lúc khoảng cách ban đầu kim phút kim 1/3 vòng đồng hồ Sau kim phút đuổi kịp kim (trùng với kim ), để hai kim thẳng hàng với kim phút phải vượt kim 1/2 vòng đồng hồ Như để hai kim thẳng hàng kim phút phải nhiều kim quãng đường tổng khoảng cách ban đầu hai kim 1/2 vòng đồng hồ Bài giải: Hiệu vân tốc kim phút kim là: - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ) 382 Lúc kim cách kim phút 1/3 vòng đồng hồ Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim thẳng hàng với kim phút phải vượt kim 1/2 vòng đồng hồ Như vậy, kể từ lúc tới lúc hai kim thẳng hàng với kim phút phải nhiều kim là: 1/3+ 1/2 = 5/6 (vòng đồng hồ) Sau hai kim thẳng hàng với là: 5/6 : 11/12 = 10/11 (giờ) Đáp số: 10/11 Cách tính: Lấy khoảng cách kim cộng 1/2 chia cho hiệu vận tốc chúng * Trường hợp 2: Khoảng cách kim lớn 1/2 vòng đồng hồ Bài toán : Bây 10 Hỏi kim phút kim tạo với thành đường thẳng lúc ? Phân tích: Lúc 10 khoảng cách ban đầu tính từ kim phút đến kim 5/6 vòng đồng hồ Đến kim phút kim tạo với thành đường thẳng khoảng cách kim phút kim 1/2 vòng đồng hồ Khi kim phút kim tạo với thành đường thẳng kim phút kim đoạn đường 5/6 – 1/2 = 1/3 vòng đồng hồ Ta có giải sau: Bài giải: Hiệu vân tốc kim phút kim là: - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ) Lúc 10 kim cách kim phút 5/6 vòng đồng hồ Để hai kim đồng hồ thẳng hàng kim phút kim phải cách khoảng 1/2 vòng đồng hồ Như vậy, từ lúc 10 đến hai kim thẳng hàng với kim phút nhiều kim : 5/6 – 1/2 = 1/3 (vòng đồng hồ) Kể từ lúc 10 giờ, thời gian để kim phút kim thẳng hàng là: 1/3 : 11/12 = 4/11 (giờ) Lúc là: 10 + 4/11 = 114/11 (giờ) Đáp số: 114/11 Cách tính: Lấy khoảng cách kim trừ 1/2 chia cho hiệu vận tốc chúng Dạng 4: Hai kim chuyển động đổi chỗ cho Bài toán : Lan ngồi làm văn cô giáo cho nhà Khi Lan làm xong thấy vừa lúc hai kim đồng hồ đổi chỗ cho Hỏi Lan làm văn hết phút ? Phân tích: Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho kim phút quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ, kim quãng đường từ vị trí kim đến vị trí kim phút Như tổng quãng đường hai kim vòng đồng hồ 383 Như vây muốn tính thời gian hai kim đổi chỗ cho ta lấy tổng quãng đường hai kim chia cho tổng vận tốc hai kim Bài giải: Từ Lan bắt đầu làm hai kim đổi chỗ cho kim phút quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí kim kim quãng đường từ vị trí kim đến vị trí kim phút Như tổng quãng đường hai kim vòng đồng hồ Mỗi kim phút vòng đồng hồ kim 1/12 vòng đồng hồ nên tổng vận tốc hai kim là: + 1/12 =13/12 (vòng đồng hồ/giờ) Thời gian Lan làm xong văn là: : 13/12 = 12/13 (giờ) Đáp số: 12/13 Cách tính: Ta lấy chia cho tổng vận tốc hai kim 384