Tuyển tập các bài toán ĐẠI SỐ ôn thi vào trường chuyên P.I

7 10 0
  • Loading ...
1/7 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 29/11/2016, 23:43

TỔNG HỢP CÁC BÀI ĐẠI SỐ ÔN THI TRƯỜNG CHUYÊN P.I Biên soạn: Nguyễn Đức Lộc Sinh viên ĐH Ngoại Thương Bài 1: Cho 𝑃(𝑥 ) = + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 100 Tìm dư P(13) chia 51 Bài 2: Cho a;b;c >0 Chứng minh rằng: 1+ ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 3: Giải phương trình: 5(6 − 5𝑥 )2 = − 𝑥 Bài 4: Cho a;b số thực không âm thỏa mãn a+b =5 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 𝐴 = 𝑎𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 + Bài 5: Giải hệ phương trình: 𝑥 + 𝑦7 = 𝑥 + 𝑦4 { 𝑥3 + 𝑦3 = Bài 6: Cho x;y;z số nguyên cho (𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Chứng minh rằng: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 bội 27 Bài 7: Cho a;b;c >0 Chứng minh rằng: 5𝑏3 −𝑎3 𝑎𝑏+3𝑏2 + 5𝑐 −𝑏3 𝑏𝑐+3𝑐 + 5𝑎3 −𝑐 𝑐𝑎+3𝑎2 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 8: Tìm giá trị nguyên a để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2𝑥 + (3𝑎 − 1)𝑥 − = 6𝑥 − (2𝑎 − 3)𝑥 − = Bài 9: Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 2015(𝑥 + 𝑦 ) − 2014(2𝑥𝑦 + 1) = 25 Bài 10: a;b;x số thỏa mãn: 𝑎2 + 𝑏 + 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑥 = 4.Tìm giá trị lớn x LỜI GIẢI Bài 1: Với số tự nhiên n 13𝑛 chia hết cho dư mà P(13) tổng 101 số hạng chia dư nên P(13) chia hết cho dư Ta có 134 chia cho 17 dư Do đó, 134𝑘 ≡ 1; 134𝑘+1 ≡ −4; 134𝑘+2 ≡ −1; 134𝑘+3 ≡ 𝑚𝑜𝑑 17 với k Nên 134𝑘 + 134𝑘+1 + 134𝑘+2 + 134𝑘+3 chia hết cho 17 → 𝑃(13) ≡ 13100 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 17) Do đó, P(13) chia cho dư 2; chia cho 17 dư nên P(13) chia cho 51 dư 35∎ Bài 2: Đặt 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐; 𝑞 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Ta có 𝑝; 𝑞 > và: 𝑝2 − 3𝑞 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 − 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) = 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑎 = 1 (𝑎 − 𝑏)2 + (𝑏 − 𝑐)2 + (𝑐 − 𝑎)2 ≥ 2 → 𝑝2 ≥ 3𝑞 (1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 6𝑞 36𝑞 2 1+ ≥ ↔𝑝≥ ↔𝑝 ≥ (∗) (𝑎 + 3)2 𝑞 𝑝 𝑞+3 Bây ta chứng minh bất đẳng thức: 3𝑞 ≥ Ta có (2) tương đương với: 36𝑞2 (2) (𝑞+3)2 (𝑞 + 3)2 ≥ 12𝑞 ↔ (𝑞 − 3)2 ≥ 0,luôn Từ (1);(2) suy (*) chứng minh, hay bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = ∎ Bài 3: Theo toán ta có: − 𝑥 ≥ → 𝑥 ≤ Đặt − 5𝑥 = 𝑦 ≤ ta suy ra: 5𝑥 = − 𝑦 Ta có hệ phương trình: 5𝑦 = − 𝑥 (1) { 5𝑥 = − 𝑦(2) Trừ vế (1) cho (2) ta có: 5𝑦 − 5𝑥 = 𝑦 − 𝑥 ↔ 5(𝑦 − 𝑥 )(𝑦 + 𝑥 ) = 𝑦 − 𝑥 ↔ (𝑦 − 𝑥 )(5𝑦 + 5𝑥 − 1) = - Nếu 𝑦 − 𝑥 = ta có: 𝑦 = 𝑥 hay − 5𝑥 = 𝑥 −6 → 5𝑥 + 𝑥 − = ↔ 𝑥 = 1; 𝑥 = (thỏa mãn) - Nếu 5𝑥 + 5𝑦 − = thay 𝑦 = − 5𝑥 ta có: 5𝑥 + 30 − 25𝑥 − = 25𝑥 − 5𝑥 − 29 = ⟹𝑥= 1+3√13 ;𝑥 10 = 1−3√13 10 (thỏa mãn) Bài 4: Ta có 𝑎 + 𝑏 = ⇔ 𝑎 = − 𝑏 𝐴 = 𝑎𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 + = 5𝑏 − 𝑏 + − 𝑏 + 2𝑏 + = −𝑏 + 6𝑏 + = −(𝑏 − 6𝑏 + 9) + 15 = −(𝑏 − 3)2 + 15 Vì (𝑏 − 3)2 ≥ ⟹ −(𝑏 − 3)2 ≤ ⟹ 𝐴 ≤ 15 Do 𝐴𝑚𝑎𝑥 = 15 ⇔ (𝑏 − 3)2 = ⇔ 𝑏 = ⟹ 𝑎 = Vậy 𝐴𝑚𝑎𝑥 = 15 ⇔ 𝑎 = 2; 𝑏 = ∎ Bài 5: 𝑥 + 𝑦7 = 𝑥 + 𝑦4 { 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥 + 𝑦 = (𝑥 + 𝑦 )(𝑥 + 𝑦 ) ⇔{ 𝑥 + 𝑦3 = 𝑥 + 𝑦7 = 𝑥 + 𝑦7 + 𝑥 3𝑦4 + 𝑥 4𝑦3 ⇔{ 𝑥 + 𝑦3 = 𝑥 𝑦 (𝑥 + 𝑦) = ⇔{ 𝑥 + 𝑦3 = Vì 𝑥 𝑦 (𝑥 + 𝑦) = ⇔ 𝑥 = ℎ𝑜ặ𝑐 𝑦 = ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 + 𝑦 = 0, nên ta xét trường hợp: + Nếu 𝑥 = từ 𝑥 + 𝑦 = ⟹ 𝑦 = +Nếu 𝑦 = từ 𝑥 + 𝑦 = ⟹ 𝑥 = + Nếu 𝑥 + 𝑦 = từ 𝑥 + 𝑦 = ta thấy x;y thỏa mãn Vậy (𝑥; 𝑦) = (0; 1); (1; 0) ∎ Bài 6: Xét số dư x;y;z chia cho +) Nếu số dư khác số dư 0;1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ⋮ Khi (𝑥 − 𝑦); (𝑦 − 𝑧); (𝑧 − 𝑥) không chia hết (𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥 ) không chia hết cho (vô lý) +)Nếu có số dư 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 không chia hết cho Trong hiệu 𝑥 − 𝑦; 𝑦 − 𝑧; 𝑧 − 𝑥 chia hết cho ⟹ (𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥) ⋮ 3(vô lý) +)Nếu có số dư (𝑥 − 𝑦) ⋮ 3; (𝑦 − 𝑧) ⋮ 3; (𝑧 − 𝑥 ) ⋮ ⟹ (𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥) ⋮ 27 mà(𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ⟹ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ⋮ 27(Điều phải chứng minh) Bài 7: Ta có: 𝑎𝑏 ≤ 𝑎2 + 𝑏 − 𝑎𝑏 ⇔ 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) ≤ (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 − 𝑎𝑏) ⇔ 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) ≤ 𝑎3 + 𝑏 ⟹ 5𝑏 + 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) ≤ 𝑎3 + 6𝑏 ⇔ 5𝑏 − 𝑎3 ≤ 𝑏(6𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑎2 ) ⇔ 5𝑏 − 𝑎3 ≤ 𝑏(3𝑏 + 𝑎)(2𝑏 − 𝑎) ⇔ 5𝑏 − 𝑎3 ≤ (2𝑏 − 𝑎)(3𝑏 + 𝑎𝑏) 5𝑏 − 𝑎3 ⇔ ≤ 2𝑏 − 𝑎(1) 3𝑏 + 𝑎𝑏 Tương tự: 5𝑐 −𝑏3 3𝑐 +𝑐𝑏 ≤ 2𝑐 − 𝑏(2); Từ (1);(2) (3), suy ra: 5𝑏3 −𝑎3 3𝑏2 +𝑎𝑏 5𝑎3 −𝑐 3𝑎2 +𝑎𝑐 + ≤ 2𝑎 − 𝑐(3) 5𝑐 −𝑏3 3𝑐 +𝑐𝑏 + 5𝑎3 −𝑐 3𝑎2 +𝑎𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ∎ Bài 8: Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình cho 2𝑥02 + (3𝑎 − 1)𝑥0 − = 0(1) Khi ta có: { 6𝑥0 − (2𝑎 − 3)𝑥0 − = 0(2) ⟹ 3[2𝑥02 + (3𝑎 − 1)𝑥0 − 3] − [6𝑥02 − (2𝑎 − 3)𝑥0 − 1] = ⇔ (11𝑎 − 6)𝑥0 = +)Xét 𝑎 = , hai phương trình x0 thỏa mãn 11 Suy hai phương trình cho nghiệm chung(loại) +)Xét 𝑎 ≠ , có 𝑥0 = 11 , thay vào phương trình (1), có: 11𝑎−6 8 2( ) + (3𝑎 − 1) ( )−3=0 11𝑎 − 11𝑎 − ⇔ 128 + 8(3𝑎 − 1)(11𝑎 − 6) − 3(11𝑎 − 6)2 = ⇔ −99𝑎2 + 164𝑎 + 68 = ⟹ 𝑎 = 𝑎 = −34 99 Mà a nguyên nên có 𝑎 = Với 𝑎 = 2, hai phương trình cho trở thành: 2𝑥 + 5𝑥 − = có tập nghiệm 𝑆 = { ; −3} −1 6𝑥 − 𝑥 − = có tập nghiệm 𝑆 = { ; } Dễ thấy phương trình có nghiệm chung 𝑥0 = (thỏa mãn) Vậy 𝑎 = giá trị nguyên a thỏa mãn toán.∎ Bài 9: Ta có: 2015(𝑥 + 𝑦 ) − 2014(2𝑥𝑦 + 1) = 25 ⇔ 2014(𝑥 + 𝑦 − 2𝑥𝑦) + 𝑥 + 𝑦 − 2014 = 25 ⇔ 2014(𝑥 − 𝑦)2 + 𝑥 + 𝑦 = 2039 Có 𝑥 + 𝑦 ≥ nên 2014(𝑥 − 𝑦)2 ≤ 2039 ⇔ (𝑥 − 𝑦)2 ≤ 2039 2014 Vì x;y nguyên nên (𝑥 − 𝑦)2 = (𝑥 − 𝑦)2 = +)Xét (𝑥 − 𝑦)2 = ⟹ 𝑥 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 2039 hay 2𝑥 = 2039( vô lí,loại) +) Xét (𝑥 − 𝑦)2 = Khi 𝑥 + 𝑦 = 25 -Nếu 𝑥 − 𝑦 = 1,ta có: (𝑦 + 1)2 + 𝑦 = 25 ⇔ 2𝑦 + 2𝑦 − 24 = ⇔ 𝑦 + 𝑦 − 12 = ⟹ 𝑦 = 𝑦 = −4 Khi ta có (𝑥; 𝑦) = (4; 3); (−3; −4) -Nếu 𝑥 − 𝑦 = −1 Tương tự ta có (𝑥; 𝑦) = (3; 4); (−4; −3) Vậy (𝑥; 𝑦) = (3; 4); (−4; −3); (4; 3); (−3; −4) ∎ Bài 10: Theo đề ta suy 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 + 𝑏 Mà 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ hay 𝑎2 + 𝑏 ≥ (𝑎+𝑏)2 (𝑎 + 𝑏)2 ⟹𝑎+𝑏 =𝑎 +𝑏 ≥ 2 ⇔ (𝑎 + 𝑏)2 − 2(𝑎 + 𝑏) ≤ ⇔ (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 2) ≤ ⇔0≤𝑎+𝑏 ≤2 Lại có 𝑎 + 𝑏 + 𝑥 = ⇔ − 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 ⟹ ≤ − 𝑥 ≤ ⇔ ≤ 𝑥 ≤ Vậy giá trị lớn x 𝑎 = 𝑏 = ∎
- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển tập các bài toán ĐẠI SỐ ôn thi vào trường chuyên P.I, Tuyển tập các bài toán ĐẠI SỐ ôn thi vào trường chuyên P.I, Tuyển tập các bài toán ĐẠI SỐ ôn thi vào trường chuyên P.I

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập