Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 1. Sử dụng khái niệm căn Jacobson của nửa vành, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành cộng -chính quy J-nửa đơn. 2. Chúng tôi chứng minh luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng, và chứng minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Từ kết quả này, chúng tôi nhận được một kết quả tương tự định lý của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trên vành có đơn vị giao hoán cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Ngoài ra, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js-nửa đơn. 3. Chúng tôi thiết lập một điều kiện cần và đủ để J-căn và Js-căn trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng -chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn Artin trái và lớp các V-nửa vành trái Artin trái. Từ các kết quả này, chúng tôi trả lời một phần Vấn đề 1 trong bài của Katsov và Nam (Commun. Algebra 42: 5065-5099, 2014). Ngoài ra, chúng tôi mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. Qua đó, chúng tôi trả lời một phần Vấn đề 1 trong bài của Abuhlail, Il’in, Katsov và Nam (Commun. Algebra 43: 4632-4654, 2015). 4. Chúng tôi đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành. Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự của Kurosh trong lý thuyết vành. Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp tương tự của Lee trong lý thuyết vành, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu. 5. Chúng tôi thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền, và chứng minh được lớp căn trên củamột lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền. Từ kết quả này suy ra lớp căn Brown-McCoy của lớp phổ dụng U các nửa vành là di truyền.
I HC HU TRNG I HC S PHM -oOo- Lấ HONG MAI V CN JACOBSON, JS -CN V CC LP CN CA NA VNH LUN N TIN S TON HC HU - NM 2016 iii MC LC MT S Kí HIU THNG DNG TRONG LUN N M U Chng KIN THC CHUN B V NA VNH V NA MễUN 1.1 Na vnh v na mụun 1.2 Quan h tng ng, na vnh thng v na mụun thng 1.3 ng cu na vnh v ng cu na mụun 1.4 Kt lun Chng 15 15 21 25 31 Chng V CN JACOBSON, JS -CN CA NA VNH 2.1 V cn Jacobson ca na vnh 2.2 V Js -cn ca na vnh 2.3 V mi quan h gia cn Jacobson v Js -cn ca na vnh 2.4 V V-na vnh trỏi (phi) Js -na n 2.5 Kt lun Chng 32 32 42 52 60 63 Chng V CC LP CN CA NA VNH 3.1 c trng lp cn ca na vnh theo na vnh chp nhn c 3.2 V lp cn di ca mt lp cỏc na vnh 3.3 V lp cn di truyn ca cỏc na vnh 3.4 Kt lun Chng 64 KT LUN CA LUN N 82 DANH MC CễNG TRèNH 83 TI LIU THAM KHO 84 64 74 78 81 iv MT S Kí HIU THNG DNG TRONG LUN N Kớ hiu N Q+ R+ Ker(f ) í ngha Na vnh tt c cỏc s t nhiờn Na vnh tt c cỏc s hu t khụng õm Na vnh tt c cỏc s thc khụng õm Na vnh cỏc ma trn vuụng cp n trờn na vnh R Na vnh a thc n x vi h t trờn na vnh R Na trng Boolean Na vnh cỏc t ng cu ca v nhúm giao hoỏn (M, +) Nhõn ca ng cu f Im(f ) nh ca ng cu f f (R) nh thc s ca ng cu f t na vnh R n na vnh S Tớch trc tip ca mt h cỏc na vnh (Ri )iI Tớch trc tip ca mt h cỏc na vnh (Ri )iI Iờan sinh bi S Cn Jacobson (J -cn) ca na vnh R Js -cn ca na vnh R Cn Nil ca na vnh R Tp tt c cỏc iờan ca na vnh R Tp tt c cỏc iờan cụ lp (k-iờan) ca na vnh R Linh húa t ca R-na mụun M na vnh R Lp tt c cỏc na vnh Lp ph dng ca cỏc na vnh H Lp cn ca cỏc na vnh U Lp na n ca cỏc na vnh U Lp cn di ca mt lp A cỏc na vnh Lp cn trờn ca mt lp chớnh quy M cỏc na vnh Mn (R) R[x] B End(M ) iI sub iI Ri Ri (S) J(R) Js (R) N il(R) I(R) K(R) (0 : M )R H U R S LA UM ACC DCC iu kin dóy tng iu kin dóy gim Z(R) Tp cng hỳt ca na vnh R V (R) Vnh ln nht ca na vnh R ng cu na vnh, na mụun = Na ng cu na vnh, na mụun Quan h tng ng trờn na vnh, na mụun r/ lp tng ng ca phn t r theo tng ng Cong(M ) Tp tt c cỏc quan h tng ng trờn na mụun M Sub(M ) Tp tt c cỏc na mụun ca na mụun M M/ Na mụun thng ca na na mụun M theo tng ng M/N Na mụun thng ca na mụun M theo tng ng Bourne N Kt thỳc chng minh, nhn xột v vớ d M U Lý chn ti Khỏi nim cn c nghiờn cu ln u tiờn bi Cartan cho cỏc i s Lie hu hn chiu trờn cỏc trng úng i s Cn ca mt i s Lie hu hn chiu A l iờan gii c ln nht ca A v nú t c bng cỏch ly tng tt c cỏc iờan gii c ca A i s Lie A c gi l na n nu cn ca nú bng Cartan ó ch rng i s Lie na n l tng trc tip ca hu hn i s Lie n Hn na, ụng cũn mụ t c cỏc i s Lie n hu hn chiu trờn cỏc trng úng i s Do ú, cu trỳc ca cỏc i s Lie na n hu hn chiu l hon ton c xỏc nh Wedderburn ó m rng kt qu núi trờn cho cỏc i s kt hp hu hn chiu trờn cỏc trng ễng nh ngha cn ca mt i s A nh vy, kớ hiu rad(A), l iờan ly linh ln nht ca A v nú cng bng tng tt c cỏc iờan ly linh ca A Tng t nh Cartan, Wedderburn gi mt i s hu hn chiu A l na n nu rad(A) = ễng ó chng minh c rng i s hu hn chiu A l na n nu v ch nu nú l tng trc tip ca hu hn cỏc i s n hu hn chiu Ai , ú mi Ai l mt i s ma trn trờn mt i s chia c hu hn chiu Artin ó m rng nh lý ca Wedderburn cho cỏc vnh tha iu kin cc tiu (gi l vnh Artin) Vi cỏc vnh R nh vy, tng ca cỏc iờan ly linh R l ly linh, ú R cú mt iờan ly linh ln nht rad(R), c gi l cn Wedderburn ca R Nh vy, nh lý ca Wedderburn cho cỏc i s n v na n ó c m rng thnh cụng cho cỏc vnh Artin mt phớa Tuy nhiờn, i vi vnh khụng Artin mt phớa R, tng ca cỏc iờan ly linh R khụng cũn l ly linh v nh vy, R khụng cú iờan ly linh ln nht, ú chỳng ta khụng cú khỏi nim cn cho cỏc vnh bt k Nm 1945, Jacobson [25] xut khỏi nim cn (c gi l cn Jacobson) cho vnh kt hp bt k l tng ca tt c cỏc iờan phi ta chớnh quy phi c bit, R l vnh Artin mt phớa thỡ khỏi nim cn Jacobson v cn Wedderburn ca R l trựng K t õy, khỏi nim cn Jacobson tr thnh mt nhng cụng c hu dng nghiờn cu cu trỳc vnh Cn Jacobson ca lý thuyt vnh v cỏc liờn quan ó c trỡnh by tng i y v cú h thng cỏc ti liu nh: Gardner-Wiegandt [11], Lam [36] v Anderson-Fuller [6] Khỏi nim na vnh c gii thiu bi Vandiver [56] vo nm 1934, l tng quỏt húa khỏi nim vnh kt hp theo ngha khụng ũi hi tớnh i xng ca phộp cng Trong thp niờn 30 ca th k 20, khỏi nim na vnh cha c cng ng toỏn hc quan tõm nhiu Tm quan trng ca na vnh lý thuyt khoa hc mỏy tớnh, u tiờn c cụng nhn bi Schă utzenberger [52] Ngy nay, na vnh c phỏt trin c v phng din lý thuyt ln ng dng Cỏc tớnh cht, ng dng ca na vnh v cỏc liờn quan ó c trỡnh by cỏc ti liu nh: Golan [13], Berstel-Reutenauer [8] v Polỏk [18] Gn õy, na vnh cng ly ng (cũn c gi l na vnh ly ng bi mt s tỏc gi) c cỏc nh toỏn hc quan tõm nh: Gathmann [12] v IzhakianRowen [23] vỡ na vnh cng ly ng l tõm im ca cỏc i tng tng i mi nh hỡnh hc tropical v i s tropical Cựng vi ú, khỏi nim na mụun trỏi n trờn na vnh cng ly ng cng c quan tõm nghiờn cu nh: Izhakian-Rhodes-Steinberg [24] ó mụ t tt c cỏc lp na mụun trỏi n trờn mt i s na nhúm hu hn ly ng BS (S l mt na nhúm hu hn), Kendziorra-Zumbrăagel [32] ch luụn tn ti na mụun trỏi n trờn lp cỏc na vnh cú n v hu hn cng ly ng v Katsov-Nam-Zumbrăagel [29] ch luụn tn ti na mụun trỏi n trờn lp cỏc na vnh y ch cú tng ng tm thng vi RR = Tuy nhiờn, s tn ti na mụun trỏi n trng hp na vnh núi chung l mt cha cú li gii T nhng ny gi ý chỳng tụi nghiờn cu cu trỳc cỏc na vnh Tng t nh vnh, lun ỏn ny chỳng tụi s dng mt nhng cụng c hu dng nghiờn cu cu trỳc cỏc na vnh ú l cụng c cn Núi chung, cn ca na vnh l mt iờan cụ lp gm tt c cỏc phn t xu ca na vnh cho na vnh thng theo cn ca nú khụng cú phn t xu Cn ca na vnh bt u c quan tõm bi mt s nh toỏn hc t thp niờn 50 ca th k 20 c bit, nm 1951 Bourne [9] ó gii thiu khỏi nim cn Jacobson (hay J -cn) ca na vnh theo iờan na chớnh quy mt phớa Ngoi ra, Bourne cng ó chng minh c mi iờan trỏi (phi) ly linh ca na vnh b cha J -cn [9, Theorem 7] v tớnh c J -cn ca na vnh ma trn trờn na vnh cú n v [9, Theorem 9] Nm 1958, Bounne v Zassenhaus [10] gii thiu mt lp cỏc iờan c biờt ca na vnh m nú c gi l iờan cụ lp (hay k -iờan) v chng minh c J -cn ca na vnh l mt iờan cụ lp Cn Jacobson ca cỏc na vnh tip tc c nghiờn cu bi Iizuka theo quan im lý thuyt biu din Trong [21], Iizuka ó s dng lp cỏc na mụun trỏi bt kh quy c trng J -cn ca na vnh [21, Theorem 8] ễng cng gii thiu khỏi nim iờan nguyờn thy cụ lp mnh ca na vnh v c trng J -cn l giao ca tt c cỏc iờan nguyờn thy cụ lp mnh [21, Theorem 6], v ch mi liờn h gia J -cn ca na vnh v cn Jacobson vnh sai phõn ca nú [21, p 420] Ngoi ra, ụng gii thiu mt lp iờan c bit ca na vnh m c gi l h-iờan v chng minh J -cn ca cỏc na vnh l mt h-iờan Trong [38], LaTorre ó chng minh J -cn ca na vnh l k -iờan (h-iờan) phi sinh bi tt c cỏc k -iờan (h-iờan) phi na chớnh quy phi [38, Theorem 3.1] v nu R l mt vnh thỡ hai khỏi nim cn Jacobson ca vnh v na vnh l trựng [38, Theorem 3.2] Ngoi ra, ụng thit lp c mt s tớnh cht quen thuc liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh cho trng hp na vnh c bit, LaTorre ó mụ t cu trỳc ca na vnh cng chớnh quy J -na n [38, Theorem 3.4] Tuy nhiờn, cỏc kt qu liờn quan n J -cn ca na vnh n thi im ny cũn rt khiờm tn so vi cỏc kt qu liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh Gn õy, Katsov-Nam ó nhn c mt s kt qu liờn quan n J -cn i vi cỏc na vnh [26, Section v 4], c bit l cỏc kt qu liờn quan n cu trỳc ca cỏc na vnh thụng qua J -cn nh nh lý ca Hopkins i vi na vnh Artin [26, Corrollary 4.4] v nh lý cu trỳc i vi na vnh nguyờn thy [26, Theorem 4.5] Tuy nhiờn, mt hn ch ca J -cn l cỏc na vnh cng ly ng thuc v lp cn cm sinh ca nú, tc l, nu R l na vnh cng ly ng thỡ J(R) = R ([26, Example 3.7] hoc [53, Mnh 2.5 ]) khc phc ny, Katsov-Nam gii thiu khỏi nim Js -cn (mt dng tng quỏt húa cn Jacobson lý thuyt vnh) ca cỏc na vnh bng cỏch s dng lp cỏc na mụun trỏi n [26, p 5076] v nhn c nh lý mụ t cu trỳc ca na vnh cng ly ng hu hn Js -na n thụng qua cn ny [26, Theorem 3.11] ng thi, h cng ch rng J -cn v Js -cn l trựng i vi lp tt c cỏc vnh nhng trng hp chung ca na vnh thỡ khỏc nhau, chng hn lp cỏc na vnh cng ly ng [26, Example 3.7], v ch mi quan h gia chỳng cho cỏc na vnh cng chớnh quy v na vnh giao hoỏn [26, Proposition 4.8] Tuy nhiờn, mi quan h gia J -cn v Js -cn ca cỏc na vnh trng hp tng quỏt thỡ cha bit lm sỏng t iu ny, mt t nhiờn c t l xột mi quan h gia cỏc cn ny Bi toỏn [26, Problem 1] Mụ t lp cỏc na vnh R cho Js (R) J(R), trng hp c bit Js (R) = J(R) Trong lun ỏn ny, chỳng tụi tip tc s dng cụng c J -cn v Js -cn nghiờn cu cu trỳc mt s lp cỏc na vnh, thit lp mt s kt qu quan trng liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh cho trng hp na vnh, mụ t mi quan h gia J -cn v Js -cn i vi mt s lp cỏc na vnh, qua ú tr li mt phn Bi toỏn [26, Problem 1] Ngoi ra, lun ỏn ny cng quan tõm cn ca na vnh theo quan im Kurosh-Amitsur u thp niờn 50 th k 20, Amitsur [2, 3, 4] v Kurosh [34] l nhng nh toỏn hc u tiờn c lp khỏm phỏ rng tt c cỏc cn c in cú cỏc tớnh cht chung no ú v h ó s dng cỏc tớnh cht i s ny tiờn húa nh ngha lp cn tru tng Nm 1988, cn Kurosh-Amitsur cho mt phm trự i s chung c xut bi Mỏrki-Mlitz-Wiegandt [46] Nm 2004, cn ca vnh theo quan im Kurosh-Amitsur v cỏc kt qu liờn quan ó c trỡnh by mt cỏch cú h thng bi Gardner-Wiegandt [11] Trong ú, ng vi mi lp cn cho trc ta luụn xỏc nh c mt toỏn t cn hay phộp ly cn (gi l -cn hay cn Kurosh-Amitsur) v ngc li vi mi toỏn t cn cho trc ta luụn xỏc nh c mt lp cn Nm 1983, Olson-Jenkins [48] ó tng quỏt húa khỏi nim lp cn lý thuyt vnh cho trng hp na vnh v sau ú mt s liờn quan n lp cn ca cỏc na vnh c Olson v cỏc cng s ca ụng trỡnh by mt lot cỏc cụng trỡnh [49, 50, 51] Ngoi ra, cn Kurosh-Amitsur cho cỏc phm trự na trng c nghiờn cu bi Weinert-Wiegandt [59, 60, 61], phm trự nhúm c nghiờn cu bi Krempa-Malinawska [33] v Li-Zhang [42] Gn õy, cn Kurosh-Amitsur ca cỏc na vnh tip tc c nghiờn cu Trong [15, p 652], Hebisch-Weinert ó xõy dng c cỏc lp cn t cỏc lp c bit v c bit yu Morak [47] ó xõy dng ba tr ct ca cn Kurosh-Amitsur ca na vnh mt cỏch c lp ú l: Lp cn, lp na n v toỏn t cn v Hebisch-Weinert [17, Theorem 3.6] ó ch c s tng ng 1-1 gia ba tr ct ú Trong [16, Theorem 3.4], Hebisch-Weinert ó chng minh c t mt lp cn theo quan im lý thuyt vnh luụn xõy dng c mt lp cn theo quan im lý thuyt na vnh Ngoi ra, Morak [47, Theorem 5.3] cng xõy dng c mt lp cn t mt lp chớnh quy cỏc na vnh cho trc c gi l lp cn trờn Trong [11, p 28], lp cn di ca mt lp cỏc vnh l giao tt c cỏc lp cn cha v nú l lp cn nh nht cha , kớ hiu L Cú mt vi phng phỏp xõy dng lp cn di ca mt lp ca cỏc vnh ú l phng phỏp ca Watters [58], phng phỏp ca Kurosh [34] v phng phỏp ca Lee [40] Lp cn di ca mt lp cỏc na vnh thỡ c nh ngha tng t nh lý thuyt vnh v lp cn di ca mt lp A cỏc na vnh cng c kớ hiu l LA Trong [63, Theorem 2.6], Zulfiqar ó xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh theo phng phỏp tng t ca Watters Ngoi ra, Zulfiqar [62, 64] cng ó tng quỏt húa khỏi nim tng ca hai lp cn v giao ca mt lp cn vi tng ca hai lp cn lý thuyt vnh c xõy dng bi Lee-Propes [11] cho trng hp na vnh Tớnh cht di truyn ca lp cn cỏc vnh thỡ c nghiờn cu bi Anderson-Divinsky-Sulớnski [5] v Morak [47, Section 6] ó tng quỏt húa cỏc tớnh cht ny cho trng hp lp cn ca cỏc na vnh Tuy nhiờn, nhng kt qu liờn quan cn Kurosh-Amitsur ca na vnh cho n thi im hin ti cũn khỏ khiờm tn so vi cỏc kt qu tng ng cn Kurosh-Amitsur lý thuyt vnh Vi cỏc lý trờn, chỳng tụi chn ti V cn Jacobson, Js -cn v cỏc lp cn ca na vnh lm ti lun ỏn Nhng sau ca ti c trung nghiờn cu (1) S dng cụng c J -cn v Js -cn nghiờn cu cu trỳc ca mt s lp cỏc na vnh v thit lp mt vi kt qu quan trng liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh cho trng hp na vnh (2) Thit lp mi quan h gia J -cn v Js -cn trờn mt s lp cỏc na vnh (qua ú tr li mt phn Bi toỏn [26, Problem 1]) Mụ t mt s lp na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n (qua ú tr li mt phn Bi toỏn [1, Problem 1]) (3) Nghiờn cu cỏc liờn quan n lp cn cỏc na vnh nh: xut khỏi nim na vnh chp nhn c v c trng lp cn theo khỏi nim na vnh chp nhn c v ng cu, xõy dng lp cn t mt lp cho trc cỏc na vnh v nghiờn cu tớnh di truyn ca lp cn cỏc na vnh Mc ớch nghiờn cu Mụ t y cu trỳc cỏc na vnh J -na n hoc Js -na n v thit lp mt vi kt qu quan trng liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh cho trng hp na vnh So sỏnh Js -cn v cn Nil trờn lp cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Thit lp iu kin cn v J -cn v Js -cn trựng trờn lp cỏc na vnh na n, lp cỏc na vnh cng -chớnh quy, lp cỏc na vnh phn b chn v lp cỏc V-na vnh Mụ t mt s lp cỏc na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n c trng lp cn ca na vnh theo khỏi nim na vnh chp nhn c, xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh v thit lp iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn 74 Lp R tha iu kin (1) v (2) ca nh lý 3.1.3, suy R l mt lp cn ca U Nhn xột 3.1.18 Mỏrki-Mlitz-Wiegandt [46] nghiờn cu cn Kurosh-Amitsur chung i vi mt phm trự i s Phm trự H tt c cỏc na vnh tha tiờn [46] Trong ú, quan h S l na vnh chp nhn c ca na vnh R l mt M -quan h [46] v d dng thy rng quan h ny úng ng cu v bc cu Do ú, chỳng ta cng cú th chng minh nh lý 3.1.17 bng cỏch kim tra lp R cỏc na vnh ca phm trự H tha cỏc iu kin tr thnh lp cn [46] 3.2 V lp cn di ca mt lp cỏc na vnh Trong tit ny, chỳng tụi xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh theo phng phỏp tng t ca Kurosh [34] lý thuyt vnh, v xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh úng ng cu theo phng phỏp tng t ca Lee [40] lý thuyt vnh Lp cn di ca mt lp cỏc na vnh c nh ngha hon ton tng t nh lp cn di ca mt lp cỏc vnh [11, p 28] Cho A l mt lp ca lp ph dng U cỏc na vnh Giao tt c cỏc lp cn ca U cha A l mt lp cn nh nht ca U cha A, kớ hiu l LA nh ngha 3.2.1 ([63]) Cho A l mt lp ca lp ph dng U cỏc na vnh Lp cn LA xỏc nh nh trờn c gi l lp cn di ca U xỏc nh bi lp A Trong [63], Zulfiqar ó xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh cho trc theo phng phỏp tng t ca Watters [58] lý thuyt vnh Tip theo, chỳng tụi xõy dng lp cn ca mt lp cỏc na vnh cho trc theo phng phỏp tng t ca Kurosh [34] lý thuyt vnh Ngoi ra, chỳng tụi chng t rng lp cn xõy dng theo cỏch ny l lp cn di ca mt lp cỏc na vnh Gi s A l mt lp ca lp ph dng U cỏc na vnh Chỳng tụi xỏc nh cỏc lp (A) vi mi ch s bng quy np nh di õy Trc tiờn, chỳng tụi xỏc nh bao úng ng cu (A) ca A, tc l (A) := {S U | S l nh ng cu ca mt na vnh A A} 75 Bt u quy np, gi s cỏc lp (A) ó c xỏc nh vi mi ch s < Khi ú, chỳng tụi xỏc nh lp (A) nh sau: (A) := {S U | mi nh ng cu khỏc khụng ca S luụn cú iờan khỏc khụng thuc (A) vi < } Cui cựng, chỳng tụi xỏc nh lp (A) := (A), ú hp c ly trờn tt c cỏc ch s nh lý 3.2.2 Cho A l mt lp ca lp ph dng U cỏc na vnh Khi ú, lp (A) l mt lp cn cha A lp ph dng U Chng minh Vỡ A (A) nờn A (A) chng minh (A) l mt lp cn ca lp ph dng U, chỳng tụi chng minh lp (A) tha cỏc iu kin (1) v (2) nh lý 3.1.3 - Chỳng tụi chng minh (A) úng ng cu bng quy np Gi s T = l nh ng cu ca S (A), theo nh ngha (A), S l nh ng cu ca A A Do ú, T cng l nh ng cu ca A A suy T (A) hay (A) úng ng cu Gi s (A) úng ng cu vi mi < v A = l nh ng cu ca S (A) Vi B = l mt nh ng cu bt kỡ ca A suy B cng l nh ng cu ca S , theo nh ngha (A), B cú iờan khỏc khụng thuc (A) vi < Do ú, mt ln na theo nh ngha (A), A (A) hay (A) úng ng cu T nh ngha (A), ta d dng suy (A) (A) vi mi < Vy, (A) úng ng cu iu ny suy rng (A) tha iu kin (1) - Gi s S U v mi nh ng cu khỏc khụng S/I ca S (vi I l iờan tht s ca S ) luụn cú iờan khỏc khụng J/I (A) Vỡ J/I (A) suy J/I (I) (A), ú ch s (I) ph thuc vo iờan I ca S Tp tt c cỏc iờan I ca S cú dng mt hp nờn tn ti ch s ln hn mi ch s (I) v (I) (A) (A) Vỡ vy mi nh ng cu S/I = ca S luụn cú iờan = J/I (A) Khi ú, theo nh ngha S +1 (A) v vỡ th S (A) iu ny suy rng (A) tha iu kin (2) nh lý 3.2.3 Cho A l mt lp ca lp ph dng U cỏc na vnh Khi ú, (A) = LA Chng minh Gi s R l mt lp cn bt kỡ ca lp ph dng U v R cha A Ta chng minh (A) R vi mi bng quy np 76 Gi s S (A) nờn S l nh ng cu ca A A R Vỡ R l mt lp cn nờn R úng ng cu hay S R Do ú, (A) R Gi s cỏc lp (A) R vi mi ch s < v S (A) Khi ú, mi nh ng cu khỏc khụng ca S cú iờan = I (A) vi < Do ú, I R Vỡ R l mt lp cn nờn ỏp dng iu kin (2) ca nh lý 3.1.3, suy S R Do ú, (A) R vi mi ch s v vỡ th (A) R Vy, (A) l lp cn nh nht cha A ca lp ph dng U, tc l (A) = LA Lee [40, Theorem 1] xõy dng lp cn t mt lp cỏc vnh úng ng cu Chỳng tụi kt thỳc tit ny bng vic xõy dng lp cn t mt lp cỏc na vnh úng ng cu theo phng phỏp tng t ca Lee Ngoi ra, chỳng tụi chng t rng lp cn xõy dng theo cỏch ny cng l lp cn di ca mt lp cỏc na vnh úng ng cu nh lý 3.2.4 Cho A l mt lp úng ng cu ca lp ph dng U cỏc na vnh Khi ú, lp Y A := {S U | mi nh ng cu khỏc khụng ca S cú na vnh chp nhn c khỏc khụng thuc A} l mt lp cn cha A ca lp ph dng U Chng minh T nh ngha Y A ta d dng thy rng A Y A chng minh Y A l mt lp cn ta chng minh Y A tha cỏc iu kin (1) v (2) nh lý 3.1.3 Gi s S Y A v A = l nh ng cu ca S Khi ú, mi nh ng cu B = ca A cng l nh ng cu ca S , theo nh ngha Y A, B cú na vnh chp nhn c khỏc khụng thuc A Do ú, A Y A hay Y A úng ng cu iu ny suy Y A tha iu kin (1) Gi s S U v mi nh ng cu A = ca S luụn cú iờan = I Y A Ta cn chng minh S Y A Vỡ I Y A nờn bn thõn I cú na vnh chp nhn c = J A, suy J cng l na vnh chp nhn c ca A Vy mi nh ng cu A = ca S luụn cú na vnh chp nhn c = J A nờn S Y A hay Y A tha iu kin (2) H qu 3.2.5 Nu R l mt lp cn ca lp ph dng U cỏc na vnh thỡ Y R = R 77 Chng minh Theo nh lý 3.2.4, ta cú R Y R Gi s tn ti na vnh S Y R nhng S / R Theo [17, nh lý 3.6], na vnh thng = S/ R (S) S R vỡ R (S/ R (S)) = Theo [17, nh lý 3.6], lp na n S R l di truyn nờn mi na vnh chp nhn c ca S/ R (S) cng thuc S R Do ú, theo [47, nh lý 7.1], khụng tn ti na vnh chp nhn c A khỏc khụng ca S/ R (S) v A R iu ny suy S / Y R (vụ lý) Vy, Y R = R T H qu 3.2.5 chỳng tụi suy h qu sau õy: H qu 3.2.6 Nu A l mt lp úng ng cu ca lp ph dng U cỏc na vnh thỡ Y A l lp cn di xỏc nh bi A, tc l Y A = LA Chng minh Vỡ Y A l mt lp cn cha A nờn theo nh ngha lp cn di ta cú LA Y A Mt khỏc, theo nh ngha Y A v H qu 3.2.5 ta cú Y A Y LA = LA iu ny suy rng Y A = LA Vớ d 3.2.7 Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh Gi A l mt lp cha tt c cỏc na vnh ly linh ca U Khi ú, d dng kim tra c A l mt lp úng ng cu, nhng A khụng l lp cn ca U vỡ lp A khụng tha tớnh cht quy np nh lý 3.1.4 Tht vy, t Tn l na vnh gm tt c cỏc ma trn tam giỏc trờn cp n vi cỏc thnh phn thuc Q+ , tc l Tn := {(aij )n | aij Q+ , aij = vi i j} Khi ú, Tn l na vnh ly linh bc n vỡ Tnn = nhng Tnn1 = Xột na vnh tng trc tip ca T2 , T3 , , Tn , R := n=2 Tn Trong na vnh R cú mt dõy chuyn tng T2 T2 T3 kn=2 Tn cỏc iờan T2 , T2 T3 , , kn=2 Tn , ca R v tha R l hp k R = k=2 (n=2 Tn ) 78 cỏc thnh phn ca dõy chuyn v mi thnh phn ca dõy chuyn l ly linh, vỡ ta luụn cú (kn=2 Tn )k = Tuy nhiờn, na vnh R khụng ly linh Do ú, lp A cha tt c cỏc na vnh ly linh ca U khụng tha tớnh cht quy np nh lý 3.1.4 Theo H qu 3.2.6, lp Y A l lp cn nh nht ca U cha tt c cỏc na vnh ly linh Nhn xột 3.2.8 Cho R l mt vnh Khi ú, giao tt c cỏc iờan nguyờn t ca vnh R c gi l cn Baer [36] ca vnh R Theo [11, Example 2.2.2], lp cn di ca mt lp tt c cỏc vnh ly linh cú phộp ly cn chớnh l cn Baer Do ú, lp cn Y A ca lp A cha tt c cỏc na vnh ly linh cú phộp ly cn tng ng vi cn Baer lý thuyt vnh 3.3 V lp cn di truyn ca cỏc na vnh Tit ny chỳng tụi trỡnh by li iu kin cn v mt lp cn cỏc na vnh l di truyn, t ú suy cỏc lp cn J v Js l di truyn Sau ú, chỳng tụi cho mt vớ d v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh m nú khụng di truyn v thit lp iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn Ngoi ra, chỳng tụi chng minh lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v luụn di truyn, t ú suy lp cn Brown-McCoy l di truyn Khỏi nim lp cn di truyn ca cỏc na vnh, c gii thiu bi Morak [47, Section 6], tng t khỏi nim lp cn di truyn ca cỏc vnh c nghiờn cu bi Anderson-Divinsky-Sulớnski [5] Nhc li rng: Mt lp cn R cỏc na vnh ca lp ph dng U c gi l di truyn nu S R v I l mt iờan bt kỡ ca S thỡ I R Cỏc kt qu liờn quan n lp cn di truyn ca cỏc vnh c phỏt biu v chng minh bi Anderson-Divinsky-Sulớnski [5, Theorem 1, Corollary and Corollary 3], ó c Morak [47] phỏt biu v chng minh phm vi lp cn cỏc na vnh Morak cng ó thit lp c iu kin cn v mt lp cn cỏc na vnh l di truyn nh lý 3.3.1 ([47, Theorem 6.2 v 6.4]) Gi s R l mt lp cn ca lp ph dng U cỏc na vnh v R l toỏn t cn tng ng Khi ú, R l di truyn nu v ch nu R (I) = I R (S) vi mi iờan I ca na vnh bt kỡ S U 79 Theo Vớ d 3.1.10 v Vớ d 3.1.12(2), J v Js l cỏc toỏn t cn tng ng vi cỏc lp cn J v Js ca lp ph dng U cỏc na vnh T nh lý 3.3.1, [21, Theorem 2] v Mnh 2.2.10 ta cú h qu sau õy: H qu 3.3.2 Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh Khi ú, cỏc lp cn J v Js ca U l di truyn Sau õy, chỳng tụi xột mt lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh m nú khụng di truyn Vớ d 3.3.3 ([47, Example 6.5]) Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh Cho S U, kớ hiu n S := { si ti | si , ti S} i=1 t M := {S U | S = 0} Theo nh ngha 3.1.6, M l mt lp chớnh quy cỏc na vnh U Theo nh ngha 3.1.7, lp U M = {S U | A = l nh ng cu ca S suy A / M} l lp cn trờn ca lp chớnh quy M Tip theo õy chỳng tụi s ch lp cn trờn U M ny l khụng di truyn Tht vy, xột na vnh S := {0, a, e} U vi hai phộp toỏn cng v nhõn c cho bi bng sau: + a e ì a e 0 a e 0 0 a a a e a 0 a e e e e e a e Vỡ na vnh S cú n v e nờn S U M Tuy nhiờn, iờan I = {0, a} ca S tha iu kin I = nờn I M iu ny dn n iờan I / U M Do ú, lp cn trờn U M khụng di truyn Vy, lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh núi chung l khụng di truyn Tip theo, chỳng tụi thit lp mt iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn nh lý 3.3.4 Gi s M l mt lp chớnh quy ca lp ph dng U cỏc na vnh Khi ú, lp cn trờn U M l di truyn nu v ch nu lp chớnh quy M tha 80 iu kin sau: Nu I l mt iờan khỏc khụng ca S U v A M l mt nh ng cu khỏc khụng ca I thỡ tn ti mt nh ng cu khỏc khụng B ca S cho B M Chng minh Gi s rng U M l di truyn, I l mt iờan khỏc khụng ca S U v A M l mt nh ng cu khỏc khụng ca I Theo nh ngha lp cn trờn U M, I / U M v ú S / U M vỡ U M l di truyn Theo nh ngha U M mt ln na, S cú nh ng cu khỏc khụng B M Gi s lp chớnh quy M tha iu kin nh lý v tn ti I l mt iờan khỏc khụng ca na vnh S U M nhng I / U M iu ny suy tn ti na vnh = A M cho A l nh ng cu ca I Theo gi thit, S cú mt nh ng cu khỏc khụng B M (mõu thun) Do ú, mi iờan khỏc khụng I ca na vnh S U M luụn thuc U M Vy, U M l di truyn i vi lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v, chỳng tụi chng minh c rng nú luụn di truyn nh lý 3.3.5 Nu M l mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v ca lp ph dng U thỡ lp cn trờn U M l di truyn Chng minh Gi s I l iờan khỏc khụng ca S U M v : I A l mt ton cu khỏc khụng vi A M Khi ú, I/ker = A, ú ker := {(x, y) I | (x) = (y)} l mt tng ng nhõn ca trờn I Vỡ A M nờn I/ker M Do ú, I/ker l mt na vnh cú phn t n v e vi e I Theo [26, Lemma 3.14], quan h trờn S xỏc nh bi: Vi a, b S a b (eae, ebe) ker l mt tng ng trờn S v ng cu t nhiờn : S/ I/ker xỏc nh bi r ere l mt ng cu cỏc na vnh iu ny ch rng I/ker M l mt nh ng cu khỏc khụng ca S Theo nh lý 3.3.4, U M l di truyn Theo Vớ d 3.1.8(2), lp cn Brown-McCoy ca lp ph dng U cỏc na vnh l lp cn trờn ca lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v v ch cú iờan tm thng Theo nh lý 3.3.5, ta cú h qu sau õy: H qu 3.3.6 Cho lp ph dng U tt c cỏc na vnh Khi ú, lp cn BrownMcCoy ca U l di truyn 81 3.4 Kt lun Chng Trong chng ny, cỏc sau õy ó c gii quyt: (1) Gii thiu khỏi nim na vnh chp nhn c (nh ngha 3.1.15) c trng lp cn ca cỏc na vnh theo na vnh chp nhn c v ng cu na vnh (nh lý 3.1.17) (2) Xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh cho trc theo phng phỏp tng t ca Kurosh lý thuyt vnh (nh lý 3.2.2 v nh lý 3.2.3) S dng khỏi nim na vnh chp nhn c v phng phỏp tng t ca Lee lý thuyt vnh, chỳng tụi xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh úng ng cu (nh lý 3.2.4 v H qu 3.2.6) (3) Chng t cỏc lp cn J v Js ca cỏc na vnh l di truyn (H qu 3.3.2) Thit lp mt iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn (nh lý 3.3.4) Chng minh c lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v luụn di truyn (nh lý 3.3.5), t kt qu ny suy lp cn Brown-McCoy ca lp ph dng U cỏc na vnh l di truyn (H qu 3.3.6) (4) Ni dung ca chng ny c vit da trờn cỏc kt qu cỏc bi bỏo [54] v [22] 82 KT LUN CA LUN N Trong lun ỏn ny, chỳng tụi ó thu c cỏc kt qu chớnh sau õy: (1) S dng khỏi nim J -cn ca na vnh, chỳng tụi cho mt mụ t y cu trỳc cỏc na vnh cng -chớnh quy J -na n (2) Chng t luụn tn ti na mụun trỏi n trờn na vnh cng ly ng v chng minh Js -cn trựng vi cn Nil trờn lp cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i T kt qu ny, chỳng tụi nhn c mt kt qu tng t nh lý ca Snapper v cn Jacobson ca vnh a thc trờn vnh cú n v giao hoỏn cho trng hp na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Ngoi ra, chỳng tụi cho mt mụ t y cu trỳc cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Js -na n (3) Thit lp mt iu kin cn v J -cn v Js -cn trựng trờn lp cỏc na vnh na n, lp cỏc na vnh cng -chớnh quy, lp cỏc na vnh phn b chn Artin trỏi v lp cỏc V-na vnh trỏi Artin trỏi T cỏc kt qu ny, chỳng tụi tr li mt phn Bi toỏn [26, Problem 1] Ngoi ra, chỳng tụi cng mụ t c mt s lp cỏc na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n Qua ú, chỳng tụi tr li mt phn Bi toỏn [1, Problem 1] (4) xut khỏi nim na vnh chp nhn c v c trng lp cn ca cỏc na vnh theo na vnh chp nhn c v ng cu na vnh Xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh cho trc theo phng phỏp tng t ca Kurosh lý thuyt vnh S dng khỏi nim na vnh chp nhn c v phng phỏp tng t ca Lee lý thuyt vnh, chỳng tụi xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh úng ng cu (5) Thit lp mt iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn v chng minh c lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v luụn di truyn T kt qu ny suy lp cn Brown-McCoy ca lp ph dng U cỏc na vnh l di truyn 83 DANH MC CễNG TRèNH LIấN QUAN TRC TIP N LUN N (1) Mai L H and Tuyen N X (2016), Some remarks on the Jacobson radical types of semirings and related problems, Vietnam J Math (Online first) (2) Inassaridze H., Mai L H and Tuyen N X (2014), On radical classes of hemirings, Tbilisi Math J., 7(1), pp 69-74 (3) Mai L H and Tuyen N X (2016), On Js -semisimple left (right) V-semirings, J Adv Math Stud., 9(3), pp 437-443 (4) Mai L H (2015), On radicals of left V-semirings, Hue Univ J Sci., 107(8), pp 87-94 (5) Tuyen N X and Mai L H (2013), On a lower radical class and the corresponding semisimple class for semirings, Hue Univ J Sci., 82(4); pp 207217 CC KT QU CA LUN N C BO CO V THO LUN (1) i hi Toỏn hc Ton Quc Ln th 8, Trng S quan Thụng tin, TP Nha Trang, 08-2013 (2) Hi ngh v nhúm, biu din nhúm v cỏc liờn quan, Trng H KHTN- HQG TP HCM, 11-2013 (3) Hi ngh Toỏn hc Min Trung - Tõy Nguyờn Ln th 1, Trng H Quy Nhn, 08-2015 (4) Hi ngh i s - Hỡnh hc - Tụpụ, Buụn Ma Thut - k Lk, 10-2016 (5) Seminar ca B mụn i s - Hỡnh hc thuc Khoa Toỏn hc, Trng i hc S phm, i hc Hu 84 TI LIU THAM KHO Abuhlail J Y., Ilin S N., Katsov Y and Nam T G (2015), On V-Semirings and semirings all of whose cyclic semimodules are injective, Comm Algebra, 43, pp 4632-4654 Amitsur S A (1951), A general theory of radicals I, Radicals in complete lattices, American J Math., 74, pp.774-786 Amitsur S A (1954), A general theory of radicals II, Radicals in rings and bicategories, American J Math., 76, pp 100-125 Amitsur S A (1954), A general theory of radicals III, Applications, American J Math., 76, pp 126-136 Anderson T., Divinsky N J and Sulớnski A (1965), Hereditary radicals in associative and alternative rings, Canad J Math., 17, pp 594-603 Anderson F W and Fuller K R (1992), Ring and categories of modules, 2nd Sd., Springer-Verlag, New York-Berlin Bashir R E., Hurt J., Jancarớk A and Kepka T (2001), Simple commutative semirings, J Algebra, 236, pp 277-306 Berstel J and Reutenauer C (1988), Rational series and their languages, Monogr Theoret Comput Sci EATCS Ser., vol 12, Springer-Verlag, Berlin Bourne S (1951), The Jacobson radical of a semiring, Proc Nat Acad Sci., 37, pp 163-170 10 Bourne S and Zassenhaus H (1958), On the semiradical of a semiring, Proc Nat Acad Sci., 44, pp 907-914 11 Gardner J and Wiegandt R (2004), Radical theory of rings, Marcel Dekker, Inc., New York, Basel 12 Gathmann A (2006), Tropical algebraic geometry, Jahresber Deutsch Math.Verein, 108(1), 3-32 85 13 Golan J (1999), Semirings and their applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London 14 Grillet P A (1969), On free commutative semigroups, J Nat Sci Math., 9, pp 71-78 15 Hebisch U and Weinert H J (1997), Radical theory for semirings, Quaestiones Math., 20, pp 647-661 16 Hebisch U and Weinert H J (2001), On the interrelation between radical theories for semirings and rings, Comm Algebra, 29, pp 109-129 17 Hebisch U and Weinert H J (2002), Semisimple classes of semirings, Algebra Colloq., 2, pp 177-196 18 Polỏk L (2004), A classification of rational languages by semilattice-ordered monoids, Arch Math (Brno), 40(4), pp 395-406 19 Ilin S N and Katsov Y (2011), On p-schreier varieties of semimodules, Comm Algebra, 39, pp 1491-1501 20 Ilin S N (2012), V-semirings, Siberian Math J., 53(2), pp 222-231 21 Iizuka K (1959), On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math J., 2, pp 409 - 421 22 Inassaridze H., Mai L H and Tuyen N X (2014), On radical classes of hemirings, Tbilisi Math J., 7(1), pp 69-74 23 Izhakian Z and Rowen L (2010), Supertropical algebra, Adv Math., 225(4), pp 2222-2286 24 Izhakian Z., Rhodes J and Steinberg B (2011), Representation theory of finite semigroups over semirings, J Algebra, 336, pp 139-157 25 Jacobson N (1945), The radical and semisimplicity of arbitrary rings, American J Math., 67, pp 300-320 26 Katsov Y and Nam T G (2014), On radicals of semirings and related problems, Comm Algebra, 42, pp 5065-5099 27 Katsov Y., Nam T G and Tuyen N X (2009), On subtractive semisimple semirings, Algebra Colloq., 16, pp 415-426 86 28 Katsov Y., Nam T G and Tuyen N X (2011), More on subtractive semirings: simpleness, perfectness, and related problems, Comm Algebra, 39, pp 4342-4356 29 Katsov Y., Nam T G and Zumbrăagel J (2014), On simpleness of semirings and complete semirings, J Algebra Appl., 13, pp 1450015 (29 pages) 30 Kepka T and Nemec P (2015), Simple semirings with left multiplicatively absorbing elements, Semigroup Forum, 91(1), pp 159-170 31 Kepka T., Kortelainen J and Nemec P (2016), Simple semirings with zero, J Algebra Appl., 15(3), pp 1650047 (9 pages) 32 Kendziorra A and Zumbrăagel J (2013), Finite simple additively idempotent semirings, J Algebra, 388, pp 43-64 33 Krempa J and Malinawska I A (2011), On Kurosh-Amitsur radicals of finite groups, An Sát Univ Ovidius Constantáa, 19(1), pp 175-190 34 Kurosh G (1953), Radicals of rings and algebras, Math Sb., 33, pp 13-26 35 Lam T Y (2001), Lectures on modules and rings, 2nd ed., Springer-Verlag, New York-Berlin 36 Lam T Y (2001), A first course in noncommutative rings, 2nd ed., SpringerVerlag, New York-Berlin 37 LaTorre D R (1965), On h-ideals and k-ideals in hemirings, Publ Math Debrecen, 12, pp 219-226 38 LaTorre D R (1967), A note on the Jacobson radical of a hemirings, Publ Math Debrecen, 14, pp 9-13 39 LaTorre D R (1967), The Brown-McCoy radicals of a hemiring, Publ Math Debrecen, 14, pp 1528 40 Lee Y L (1969), On the construction of lower radical properties, Pacific J Math., 28, pp 393395 41 Lescot P (2012), Absolute algebra III-saturated spectrum, J Pure Appl Algebra, 216, pp 1004-1015 87 42 Li X and Zhang Z (2015), Hereditary upper radical properties and dual supplementing radicals of hereditary radicals of groups, Comm Algebra, 43, pp 3282-3293 43 Mai L H (2015), On radicals of left V-semirings, Hue Univ J Sci., 107(8), pp 87-94 44 Mai L H and Tuyen N X (2016), Some remarks on the Jacobson radical types of semirings and related problems, Vietnam J Math (Online first) 45 Mai L H and Tuyen N X (2016), On Js -semisimple left (right) V-semirings, J Adv Math Stud., 9(3), pp 437-443 46 Mỏrki L., Mlitz R and Wiegandt R (1988), A general Kurosh-Amitsur radical theory, Comm Algebra, 16, pp 249-305 47 Morak B (1999), On the radical theory for semirings, Contributions to Algebra and Geometry, 40, pp 533-549 48 Olson D M and Jenkins T L (1983), Radical theory for hemirings, J Nat Sci Math., 23, pp 23-32 49 Olson D M and Nance A C (1989), A note on radicals for hemirings, Quacstiones Math., 12, pp 307-314 50 Olson D M., Heyman G A P and Leroux H J (1992), Weakly special classes of hemirings, Quacstiones Math., 15, pp 119-126 51 Olson D M., Leroux H J and Heyman G A P (1994), Three special radicals for hemirings, Quacstiones Math., 17, pp 205-215 52 Schă utzenberger M P (1961), On the definition of a family of automata, Inform Control, 4, pp 245-270 53 Tuyen N X and Mai L H (2010), Hopkins theorem about Jacobson radical for additively cancellative semirings, Hue Uni J Sci., 59, pp 155-162 54 Tuyen N X and Mai L H (2013), On a lower radical class and the corresponding semisimple class for semirings, Hue Univ J Sci., 82(4); pp 207-217 88 55 Tuyen N X and Nam T G (2007), On radicals of semirings, Southeast Asian Bull Math., 31, pp 131-140 56 Vandiver H S (1934), Note on a simple type of algebra in which the cancellation law of addition does not hold, Bull Am Math Soc., 40, pp 914-920 57 Wang H (1997), On characters of semirings, Houston J Math., 23, pp 391405 58 Watters J F (1969), Lower radicals in associative rings, Canad J Math., 21, pp 466476 59 Weinert H J and Wiegandt R (1992), A Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields, Comm algebra, 20(8), pp 2419-2458 60 Weinert H J and Wiegandt R (2003), A new Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields I, Math Pannonica, 14(1), pp 3-28 61 Weinert H J and Wiegandt R (2003), A new Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields II, Math Pannonica, 14(2), pp 149-164 62 Zulfiqar M (2003), The sum of two radical classes of hemirings, Kyungpook Math J., 43(3), pp 371-374 63 Zulfiqar M (2008), A note on lower radicals of hemirings, Bull Korean Math Soc., 45(4), pp 757-762 64 Zulfiqar M (2009), A note on the intersection of a radical class with the sum of radical classes of hemirings, Novi Sad J Math., 39(1), pp 57-64 65 Zumbrăagel J (2008), Classification of finite congruence-simple semirings with zero, J Algebra Appl., 7, pp 363-377 [...]... căn Jacobson và Js -căn trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π -chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn Artin trái và lớp các V -nửa vành trái Artin trái; nghiên cứu mối quan hệ giữa Js -căn và căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V -nửa vành trái (phải) Js -nửa đơn Thiết lập các kết quả tương tự định lý của Hopkins về căn. .. các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js -nửa đơn Trả lời một phần các Bài toán [26, Problem 1] và [1, Problem 1] Đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành, một lớp các nửa vành đóng đồng cấu Thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền Chứng tỏ lớp căn trên của. .. lũy linh và định lý của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành Nội dung chương này được chia làm năm tiết gồm: Về căn Jacobson của nửa vành, Về Js -căn của nửa vành, Về mối quan hệ giữa căn Jacobson và Js -căn của nửa vành, Về V -nửa vành trái (phải) Js -nửa đơn và Kết luận Chương 2 Các kết quả chính trong chương này được trích từ các kết quả trong các bài... tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: - J -căn, Js -căn của nửa vành - Lớp căn của nửa vành 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Đại số kết hợp Lý thuyết nửa vành và nửa môđun 4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu toán lý thuyết và phương pháp đặc thù của lý thuyết nửa vành và nửa môđun - Sử dụng công cụ căn như: J -căn, Js -căn và lớp căn để nghiên cứu cấu trúc các nửa vành và các vấn... Kurosh-Amitsur) của các nửa vành, chúng tôi đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được, sử dụng khái niệm 11 này chúng tôi nhận được một đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành Kết quả này là một mở rộng của Định lý 3.1.3 và là một kết quả tương tự của [11, Theorem 3.1.9] trong lý thuyết vành Định lý 3.1.17 Một lớp con R các nửa vành của lớp phổ dụng U là một lớp căn. .. [53], [43], [44] và [45] Chương 3, dành cho việc nghiên cứu lớp căn (căn theo quan điểm Kurosh- 14 Amitsur) các nửa vành Trong Tiết 3.1, trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến lớp căn, lớp nửa đơn và toán tử căn của các nửa vành Sau đó, giới thiệu khái niệm nửa vành con chấp nhận được (Định nghĩa 3.1.15) và đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu (Định... một lớp con các nửa vành của lớp phổ dụng U Khi đó, δ(A) = LA 12 Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp xây dựng lớp căn từ một lớp các vành đóng đồng cấu của Lee [11, Theorem 3.3.2], xây dựng lớp căn từ một lớp các nửa vành đóng đồng cấu Định lý 3.2.4 Cho A là một lớp con đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U các nửa vành Khi đó, lớp Y A = {S ∈ U | mọi ảnh đồng cấu khác không của. .. trúc các nửa vành nửa đơn mà nó là V -nửa vành trái (phải) Js -nửa đơn (Định lý 2.4.1); mô tả được lớp các nửa vành đơn với một phần tử vô hạn, lớp các nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường và lớp các nửa vành cộng hút phản bị chặn là các V -nửa vành trái (phải) Js -nửa đơn (Định lý 2.4.5 và Định lý 2.4.7) Nội dung của chương này được viết dựa trên các kết quả trong các. .. nửa vành nửa đơn trái Khi đó, Js (R) = J(R) nếu và chỉ nếu Z(R) = 0 Trên lớp các nửa vành cộng π -chính quy Định lý 2.3.6 Cho R là nửa vành cộng π -chính quy Khi đó, Js (R) = J(R) nếu và chỉ nếu R là một vành Trên lớp các nửa vành Artin trái phản bị chặn Định lý 2.3.11 Cho R là một nửa vành Artin trái phản bị chặn Khi đó, Js (R) = J(R) nếu và chỉ nếu R là một vành Artin trái Và trên lớp các V -nửa vành. .. không của S có nửa vành con chấp nhận được khác không thuộc A} là một lớp căn chứa A của lớp phổ dụng U Ngoài ra, lớp căn Y A trong Định lý 3.2.4 chính là lớp căn dưới xác định bởi lớp A các nửa vành đóng đồng cấu Hệ quả 3.2.6 Nếu A là một lớp đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U các nửa vành thì Y A là lớp căn dưới xác định bởi A, tức là Y A = LA Lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có thể không