MỞ ĐẦU Tích phân nội dung giải tích chuyên đề quan trọng toán THPT Tích phân có ứng dụng số toán tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng… Với mong muốn hệ thống lại kiến thức nguyên hàm, tích phân xác định ứng dụng lựa chọn đề tài “Tích phân ứng dụng” cho luận văn , cụ thể luận văn gồm chương: Chương 1: Nguyên hàm Trong chương nhắc đến khái niệm tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm hàm số thường gặp số phương pháp tính nguyên hàm Chương 2: Tích phân xác định ứng dụng Ở chương nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích tính chất tích phân xác định Đặc biệt chương thể ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đường tính thể tích vật tròn xoay quay hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy Chương 3: Các toán khác Chương đề cập đến ứng dụng tuyệt vời tích phân toán phức tạp tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức CHƢƠNG NGUYÊN HÀM 1.1 Định nghĩa nguyên hàm a Giả sử hàm y  f  x  liên tục khoảng  a;b  Khi hàm số y  F  x  gọi nguyên hàm hàm số y  f  x F '  x   f  x  , x   a; b  b Nếu y  F  x  nguyên hàm hàm số y  f  x  tập hợp tất nguyên hàm hàm số y  f  x tập ký hiệu là: I  F  x   c, c  R tập I   f  x  dx  F  x   c 1.2 Các tính chất nguyên hàm a Nếu y  f  x  hàm số có nguyên hàm   f  x  dx  '  f  x  ; d   f  x  dx   f  x  dx b Nếu F  x  có đạo hàm  d  F  x    F  x   c c Phép cộng Nếu f  x  g  x  có nguyên hàm  f  x  dx  g  x  dx    f  x   g  x  dx d Phép trừ Nếu f  x  g  x  có nguyên hàm  f  x  dx  g  x  dx    f  x   g  x  dx e Phép nhân với hẳng số khác  kf  x  dx  k  f  x  dx, k  f Công thức đổi biến số Cho y  f  u  u  g  x  Nếu  f  x  dx  F  x   c  f  g  x  g '  x  dx   f u  du  F u   c 1.3 Bảng công thức nguyên hàm số hàm số  0dx  C;  dx  x  c a dx x  arctan  c  a   x a a   ax  b   1  ax  b  dx  a  1  1 dx ax  c,   1 a  x  2a ln a  x  c 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  ax  b dx  a ln ax  b  c e ax b m dx  ax b dx  ax b e c a  sin  ax  b  dx  1 cos  ax  b   c a max b  c a ln m  tan  ax  b  dx  1 ln cos  ax  b   c a  b c  ax  b  dx  ln sin  ax  b   c  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x cot a   dx a x dx ax 2  arcsin x  c  a  0 a 1 cot  ax  b   c a 1  sin  ax  b  dx   cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c  ln x  x  a  c 1.4 Một số phƣơng pháp tính nguyên hàm 1.4.1 Phƣơng pháp ghép vi phân thích hợp a Phƣơng pháp Sử dụng biến đổi f '  x  dx  d  f  x   b Một số ví dụ Ví dụ 1.1.1 ([1]) I  dx d  x  3    ln x   c 2x  2x  Ví dụ 1.1.2 ([1])  x  3 dx  d  x2  3x  5  ln x2  3x   c I x  3x   x  3x  1.4.2 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ Một số ví dụ Ví dụ 1.2.1 ([4]) I  x2  5x  dx x3  x  x Ta có Q  x   x  x  1 x   Giả sử P  x  x2  5x  A B C     , x Q  x  x  x  2x x x 1 x   x2  5x   A  x  1 x    Bx  x    Cx  x  1 , x * Cách ( Phương pháp hệ số bất định) *  x2  5x    A  B  C  x2   A  2B  C  x  A, x A  / 2, B  2, C  / Do I  5 dx  dx   dx  ln x  2ln x   ln x   c 2x  x  2 2  x  1 1.4.3 Nguyên hàm theo phần a Công thức tính nguyên hàm phần Giả sử u  u  x  ; v  v  x  có đạo hàm liên tục miền D, ta có: d  uv   udv  vdu   d  uv    udv   vdu  uv   udv   vdu   udv  uv   vdu b Các dạng nguyên hàm phần cách chọn u, dv Nguyên hàm u dv sin  ax  b  dx P  x  P  x  sin  ax  b  dx  P  x  cos  ax  b  dx P  x cos  ax  b  dx  P  x  m dx  P  x  logm  ax  b  dx P  x max b dx log m  ax  b  P  x  dx a sin  log a x  x k dx a cos  log a x  x k dx ax b max b sin  x    dx ax b max b cos  x    dx ax b  x sin  log x  dx  x cos  log x  dx  m sin  x    dx  m cos  x    dx k k Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.3.1 ([3]) Tính A2   x3e5 x1dx Ta có A2   x3e5 x 1dx  x d  e5 x 1    x3e5 x 1   e5 x 1d  x3    5 1    x3e5 x 1  3 x 2e5 x 1dx    x3e5 x 1   x d e5 x 1  5   x3e5 x 1  x 2e5 x 1   xe5 x 1dx 25 25 x 1 x 1 xe  xe  xd  e5 x 1   25 125 x 1 x 1 6 x 1  xe  xe  xe5 x 1  e c 25 125 625  Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n ta phải n lần sử dụng tích phân phần 1.4.4 Nguyên hàm hàm số có thức a Nguyên hàm hàm vô tỉ phƣơng pháp lƣợng giác hóa Các dạng nguyên hàm phép đổi biến số thông thƣờng Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến số      f  x, a  x2  dx x  a.sin t t ,     f  x, x  a dx  f  x, a  x dx x  a.tan t   t  0,   2  f  x,  ax   dx a  x  x  a.cos 2t   t   0,   2  x  a cos t     3  t  0,    ,   2    f  x,  x  a  b  x   dxx  a   b  a  sin tt 0,      1.4.5 Nguyên hàm hàm lƣợng giác 2 a Các dạng nguyên hàm hàm lƣợng giác n Dạng A1    sinx n dx ; A2    cosx  dx Dạng B   sin m x.cosn x.dx  m, n  N  Dạng C1   tan n x.dx ; C2   cot n x.dx Dạng D1   tan m x dx ; cos n x D2   n  N  cot m x dx sin n x  m, n  N  Dạng Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.5.1 ([3]) Tính I   cos4 3xdx   cos x  I   cos 3xdx     dx   1  2cos x  cos 6x  dx   1    3x  sin x  sin12 x   c 8 12  b Các dạng nguyên hàm lƣợng giác sử dụng phép biến đổi nâng cao Dạng Nguyên hàm liên kết Ví dụ 1.5.5 ([4]) Tính A2   sin x.dx 7sin x  3cos x Xét nguyên hàm A2*   cos x.dx 7sin x  3cos x liên kết với A2 Ta có: 3cos x  sin x  * 7 A2  A2   sin x  3cos x dx   dx  x  c1  3 A  A *  cos x  3sin x dx  ln sin x  3cos x  c 2  sin x  3cos x  A2  1  3ln 7sin x  3cos x  x   c 58 Dạng Nguyên hàm dạng C a sin x  b cos x  c dx msin x  n cos x  p a sin x  b cos x  c    msin x  n cos x  p     mcos x  n sin x    CHƢƠNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Định nghĩa tích phân xác định Giả sử hàm số y  f  x  xác định bị chặn đoạn  a; b Xét phân hoạch  đoạn  a; b , tức chia đoạn  a; b thành n phần tùy ý điểm chia : Trên đoạn  xk 1; xk  lấy điểm k   xk 1; xk  gọi k  xk  xk 1 độ dài đoạn  xk 1; xk  Khi a  x0  x1   xn  b n  f   k 1 k k  f 1  1  f 2     f n   n phân hàm f  x gọi tổng tích đoạn  a; b Tổng tích phân phụ thuộc vào phân hoạch  , số khoảng chia n phụ thuộc vào cách chọn điểm  k Nếu tồn  f   (là số xác định) giới hạn n lim max  k  k k 1 k gọi tích phân xác định hàm số f  x  a; b kí hiệu là:  f  x  dx Khi hàm số b đoạn y  f  x a gọi khả tích đoạn  a; b 2.2 Điều kiện khả tích Cho hàm số y  f  x  xác định  a; b Chia đoạn  a; b thành n phần tùy ý điểm chia : a  x0  x1   xn  b Ký mi  inf f  x  : x   xi 1; xi  ; hiệu: M i  sup f  x  : x   xi 1; xi  Đặt: n sn   mi i ; i 1 Khi y  f  x n Sn   M i i i 1 khả tích đoạn  a; b  lim  Sn  sn    0 i 2.3 Tính chất tích phân xác định 2.4 Công thức Newton – Leipnitz b Nếu  f  x  dx  F  x   c  f  x dx  F  x  b  F  b   F  a  a a 2.5 Ứng dụng 2.5.1 Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz 10 Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh nhiều Thể ứng dụng ưu việt công thức việc tính tích phân xác định Như để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm hàm số (Chương 1) sau dùng công thức Newton – Leipnitz để tính kết tích phân cần tìm 2.5.2 Tính diện tích hình phẳng a Diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng cong y  f  x Lý thuyết  Diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng cong - Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn  C1  : y  f  x  ;  C2  : y  g  x     x  a, x  b - Công thức tổng quát b S   f  x   g  x  dx a  Diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng cong tự cắt khép kín - Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn  C1  : y  f  x    C2  : y  g  x  + Bước Giải phương trình f  x   g  x    x  a x  b 12 + Bước Sử dụng công thức: b S   f  x   g  x  dx a  Chú ý Cần phải điền “đvdt” vào kết cuối toán tính diện tích hình phẳng Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.1 ([4]) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn  P  : y  x  x   Ox : y  0; x  2, x  1 S 2   x  x  6dx    x  x  6dx    x  x  6dx 2 1 1 92 2  2  2    x3  x  x    x3  x  x    x3  x  x   3  2   1  3 (đvdt) b Diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng có phƣơng trình tham số Lý thuyết  Giả sử đường cong  C  : y  f  x  có phương trình tham số  x    t   y   t    Trong công thức tính diện tích b S   f  x  dx ta thay a y  f  x y    t  , dx thay  '  t  dt , 13 cận a, b thay  ,   nghiệm a    t  ; b    t  Khi đó: S     t   '  t  dt   Nếu đường cong  C  có phương trình tham số  x    t    y    t    t  T  l đường kín trơn phần, chạy ngược chiều kim đồng hồ giới hạn diện tích S phía trái T S   t  '  t    t   '  t  dt 0  Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.1 ([5]) 2 Tính diện tích hình elip giới hạn  E  : x  y2  a Phương trình tham số b y  x  a cos t ;0  t  2  y  b sin t E :  x S1 x(t)=3*cos(t), y(t)=2*sin(t) -3 Xét phần diện tích  E  Bóng -2 -1 nằm góc phần tư thứ mặt phẳng  Oxy  Đổi cận ta có: 0  a cos t t   /   a  a cos t t  0  /2  /2  /2 0 S  4S1   b sin t  a sin t dt  4ab  sin tdt  4ab  (đvdt) 14  cos 2t dt   ab c Diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng cong hệ tọa độ cực  Công thức tính diện tích hình phẳng hệ tọa độ Cực Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S hình giới hạn tia:    ,   đường r  f    S   r  d 2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1 ([4]) Tính diện tích S hình giới hạn đường cong Cardioide r  a 1  cos    S  2S1  y     2 r  d  a  2cos   cos  d 0 r(t)=2*(1+cos(t)) Bóng S1   cos 2     a 1  2cos   d    3a 2 3   a    2sin   sin 2   2 0 (đvdt) 2.5.3 Tính thể tích khối tròn xoay a Lý thuyết  Vx sinh diện tích S quay xung quanh Ox   C1  : y  f  x  ;  C2  : y  g  x  S :  0  g  x   f  x  ; 1 ,  : x  a, x  b 15 x b Công thức: Vx     f  x   g  x  dx a  Vy sinh diện tích S quay xung quanh Oy   C  : y  f  x  ; Oy : x  S :  1 ,  : y  f  a  , y  f  b  + Bước + Bước y  f  x   x  f 1  y  Vy   f b  f a  f 1  y   dy  Vy sinh diện tích đƣờng cong bậc f  x, y   quay xung quanh Oy + Bước Tách đường cong bậc hai f  x, y   thành:  C1  x  f1  y  ,  C2  x  f  y  giả sử  f  y   f1  y  + Bước Xác định cận x  a; x  b Khi Vy   f b   f a   f  y    f  y   dy 2  Chú ý Cần phải điền “đvtt” vào kết cuối toán tính thể tích khối tròn xoay b Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.5.1 ([2]) 16  C  : y  xe x  S : Ox; y  x   Tính V, sinh quay quanh Ox Xét  C   Ox : xe x   x       e2 x 2e2 x     2x x(t)=1, y(t)=t f(x)=x*e^x e d x  2 S Bóng 2x 1 xe 2 2x dx   e2  x d e  2 Vx     xe x  dx   x 2e x dx  y  e2   e2    xd  e   2 2x  e2 x 2   e  e2   xe  2x  e 2 2x  1 (đvtt) 2.5.4 Tính độ dài đƣờng cong phẳng a Các công thức tính độ dài đƣờng cong phẳng  Độ dài đường cong có phương trình y  f  x  hệ tọa độ Đềcác Độ dài L đường cong trơn (khả vi liên tục) y  f  x  , a  x  b b L     f '  x   dx a 17 dx  Độ dài đường cong có phương trình tham số hệ tọa độ Đềcác Nếu đường cong có phương trình tham số x  x  t  , y  y  t  ,   x   ứng với a  x  b độ dài đường cong là:  L    x '  t    y '  t  dt 2   Độ dài đường cong phẳng hệ tọa độ Cực Nếu đường cong có phương trình hệ tọa độ cực r  r   , y  y  t  ,      độ dài đường cong L  L    r      r '    d 2  Dạng Độ dài đƣờng cong hệ tọa độ Cực Ví dụ 2.6.3 ([4]) Tính độ dài đường tròn có bán kính R Phương trình đường tròn hệ tọa độ cực x  R,0    2 2 2 L   Rd  R  2 R (đvđd) CHƢƠNG CÁC BÀI TOÁN KHÁC 3.1 Tìm giới hạn tích phân 3.1.1 Đặt vấn đề Sn Xét toán: Cho Sn  u1  u2  u3   un Tìm nlim  18 Bước Biến đổi tổng giới hạn biểu thức Sn  ba n f n i 1 ba   a  i  n   Bước Xây dựng hàm f  x  khả tích đoạn  a; b b Bước Tính tích phân  f  x  dx suy a b lim Sn   f  x  dx n  a 3.1.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.1.1 ([5]) Cho Sn  n    n n n Sn Tính nlim  Giải Biến Sn  đổi n 11 n n i            n n n n n n n  n i 1 n Xét hàm số f  x   x liên tục  0;1 nên khả tích  0;1  n  i  x2 1 n i  lim Sn  lim     lim   f      xdx   n  x  n x  2  i 1 n   n i 1  n   3.2 Bất đẳng thức tích phân 3.2.1 Đánh giá theo hàm số cận tích phân a Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.2.1 ([4]) Chứng minh rằng:  16  /2  dx   3cos 19 x   10 Giải Xét f  x    liên tục 0;  Ta có  3cos x  2    cos x  x  0;   2 1       cos3 x  x  0;     , x  0;     3cos x  2   16  /2    /2  /2 dx  dx     dx   3cos x 10 3.2.2 Bất đẳng thức cổ điển tích phân ứng dụng a Một số bất đẳng thức cổ điển tích phân  Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz Cho hai hàm số f , g liên tục  a; b Khi ta có b b  b 2   f  x  g  x  dx    f  x  dx  g  x  dx a a  a  Bất đẳng thức Young Cho p, q  thỏa mãn 1   Chứng minh rằng: p q a p bq ab   a, b  p q  Bất đẳng thức tích phân Holder Cho p, q  với 1   f , g hàm liên tục p q 20  a; b Khi ta có: b  a 1/ p b  p f  x  g  x  dx    f  x  dx  a  1/q b  q   g  x  dx  a  Dấu xảy  A, B  R, A2  B  : A f  x   B g  x  p q x  a; b   Bất đẳng thức tích phân Minkôwski Cho p  f , g hàm liên tục  a; b Khi ta có: 1/ p b  p   f  x   g  x  dx  a  1/ p b  p    f  x  dx  a  1/p b  p    g  x  dx  a   Bất đẳng thức tích phân Chebyshev Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục đơn điệu  a; b Nếu f  x  , g  x  hai hàm đồng biến hai hàm nghịch biến ta có bất đẳng thức: b  b  b  f x g x dx  f x dx g  x  dx             ba a ba a  b  a a  Nếu f  x  , g  x  có tính đơn điệu ngược chiều tức hàm đồng biến hàm 21 nghịch biến ta có bất đẳng thức: b  b  b  f x g x dx  f x dx g  x  dx             ba a ba a  b  a a  3.2.3 Định lý giá trị trung bình a Tóm tắt lý thuyết  Định nghĩa Số thực   b f  x  dx gọi giá trị trung bình b  a a hàm f đoạn  a; b  Mệnh đề Nếu hàm f  a; b khả tích đoạn m  f  x   M , x   a; b tồn điểm    m; M  cho b  f  x  dx   b  a  a 3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3.2.13 ([4]) Chứng minh rằng: ln 1  a   2a , a  a2 Giải Trong hệ Oxy, xét đồ thị hàm số  C  : y  22 x Lấy x0  1 a  1; a  Gọi điểm  1 A 1;0  ; B 1  a;0  ; H  x0 ;0  ; M  x0 ;   x0  1 Ta có y '   y ''   x   y  hàm lõm x x x x  nên tiếp tuyến  d  M nằm đồ thị  C  Giả sử tiếp tuyến  d  cắt đường thẳng x   a, x  điểm E, F cắt đồ thị  C  điểm P, Q Khi ln 1  a   1 a  f(x)=1/x y y=-1.3611x+2.3333 dx  S  ABPQ   x(t)=1/2, S  y(t)=t ABEF  x(t)=t, y(t)=2 x x(t)=6/7, y(t)=t  AB.MH  a 2a x(t)=3/2, y(t)=t  1  a  / a  Q F M Vậy 2a ln 1  a   , a  a2 O A H P E B (đpcm) 3.2.5 Tìm cực trị phƣơng pháp tích phân 3.3 Tính tổng 3.3.1 Lý thuyết a Công thức tính tổng cấp số cộng, cấp số nhân b Công thức nhị thức Newton 23 x  a  b n  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b   Cnk a n k b k   Cnnb n n =  Cnk a n k b k k 0 Đặc biệt 1  x   Cn0  Cn1 x   Cnk xk   Cnn xn 1 n 1  x  n  Cn0  Cn1 x    1 Cnk x k    1 Cnn x n k n 3.3.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ ([5]) Tính tổng sau:  1 C n 1 S1  Cn0  Cn1  Cn2   n 2n  n Giải Xét tích phân  x 1  x  dx n Ta có  x 1  x  n 1  x  dx   n 1  n 1 2n  Mặt khác 1   n n 1  x 1  x  dx   Cn x  Cn x    1 Cn x dx n n n2  x2  x4 x6 n x   Cn0  Cn1  Cn2    1 Cnn  2n     1 C n 1  Cn0  Cn1  Cn2   n 2n  n 24  1 C n  1 Vậy S1  Cn0  Cn1  Cn2   n 2n  2n  n KẾT LUẬN Nội dung luận văn “ Tích phân ứng dụng” bao gồm phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định số ứng dụng tích phân xác định Luận văn đạt số kết quả: Luận văn phân dạng trình bày phương pháp dạng tính nguyên hàm làm sở quan trọng cho việc tính tích phân xác định công thức Newton – Leipnitz Luận văn đưa số ứng dụng tích phân vào toán thực tế giải số dạng toán phổ thông tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 [1] Bộ giáo dục đào tạo (2008), Sách giáo khoa, sách tập giải tích lớp 12 ban ban nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [2] Võ Văn Giai – Võ Văn Thoại (2008), Tích phân xác định ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư Phạm [3] Trần Phương (2009), Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Trần Phương (2006), Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính Tích phân, Nhà xuất Tri Thức [5] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu liệu chuyên toán Giải tích 12, nhà xuất giáo dục Việt Nam [6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán học cao cấp (tập hai: Phép tính giải tích biến số), Nhà xuất Giáo dục 26