Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến

74 18 0
  • Loading ...
1/74 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 27/11/2016, 14:03

HC LIU Hc liu bt buc: [1] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s - Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 [2] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s (phn bi tp)- Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 Hc liu tham kho: [3] V Tun Gii tớch toỏn hc NXB Giỏo dc 1974 [4] Pitxcunp Phộp tớnh vi phõn v tớch phõn NXB Giỏo dc 1973 (Trn Trỏng Lờ Hanh dch) CHNG DY S V GII HN DY S A Mc tiờu: Kin thc: Sinh viờn nm c cỏc kin thc c bn v : - Dóy s, cỏc tớnh cht ca dóy s - Gii hn dóy s, cỏc phộp toỏn, tớnh cht n gin - Tiờu chun Cụsi v cỏc gii hn c bit K nng: Giỳp HS rốn luyn cỏc k nng: Tỡm gii hn ca cỏc dóy s T duy, thỏi : T logic, thỏi hc nghiờm tỳc, khoa hc B Chun b v phng phỏp, phng tin, ti liu tham kho: Phng phỏp: Vn ỏp, gi m Phng tin: Tp bi ging, giỏo trỡnh, ti liu tham kho Ti liu tham kho: [1] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s - Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 [2] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s (phn bi tp)- Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 Hc liu tham kho: [3] V Tun Gii tớch toỏn hc NXB Giỏo dc 1974 [4] Pitxcunp Phộp tớnh vi phõn v tớch phõn NXB Giỏo dc 1973 (Trn Trỏng Lờ Hanh dch C Phõn phi s tit thc hin: TT S tit Ni dung kin thc Ghi chỳ LT:3; BT: 02 Dóy s v gii hn Tớnh cht Tiờu chun Cụsi Mt s gii hn c bit Bi 01 03 D Ni dung Dóy s v gii hn dóy s 1.1 Dóy s nh ngha 1: Hm s t hp cỏc s nguyờn dng N* vo hp cỏc s thc R gi l mt dóy s thc c gi l s hng tng quỏt 1.2 Gii hn dóy s Mt s tớnh cht, phộp toỏn v gii hn ca dóy s 2.1 Mt s tớnh cht n gin v gii hn ca dóy s a) Cho ba dãy { a n } , { bn } , { c n } thoả mãn an bn cn n N a n = lim c n = l dãy { bn } có giới hạn lim bn = l Nếu lim n n n b) Một dãy có giới hạn bị chặn a n lim bn c) Nếu dãy { a n } , { bn } có giới hạn an bn n N lim n n d) Một dãy tăng bị chặn có giới hạn e) Một dãy giảm bị chặn dới có giới hạn 2.2 Cỏc phộp toỏn trờn gii hn ca dóy s a) Nếu dãy { a n } , { bn } có giới hạn dãy { a n + bn } , { a n bn } , { a n bn } có giới hạn và: lim (a n + bn ) = lim a n + lim bn n n n lim (a n bn ) = lim a n lim bn n n n lim (a n bn ) = lim a n lim bn n n n bn 0, bn với n dãy b) Nếu dãy { a n } , { bn } có giới hạn, lim n an có giới hạn và: bn an a n lim = n n b lim bn n lim n Tiờu chun Cụsi 3.1 nh lý Bụnsanụ Võystrat Mi dóy s thc b chn u cú mt dóy hi t 3.2 Tiờu chun Cụsi Dóy s thc hi t v ch nú l dóy Cụsi Mt s gii hn c bit, cỏc vụ cựng ln vụ cựng 4.1.Mt s gii hn quan trng lim(1 + ) = e n n 4.2 Gii hn vụ cc, vụ cựng ln vụ cựng un = Dóy s {un} c gi l mt vụ cựng ln nu lim n un = Dóy s {un} c gi l mt vụ cựng nu lim n E Tng kt chng, cõu hi ụn tp, hng dn t hc: Tng kt chng: Trng tõm chng: Nm vng phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s Bi tp: u1 = c v a, b, c R un +1 = a.un + b Xỏc nh s hng tng quỏt ca dóy s ( un ) vi GII: Trng hp : Nu a = thỡ dóy ( un ) l mt cp s cng , cụng sai b Trng hp :Nu a , ta qui dóy (un) thnh dóy (vn) l mt cp s nhõn , cụng bi a nh sau: t = un + b ú l mt cp s nhõn a Tht vy : vn+1 = un+1 + b b b = aun + b + = a un + ữ = a.vn a a a Nờn : vn+1 = a.vn l mt cp s nhõn cụng bi a v v1 = u1 + b a T ú s hng = v1.an Suy : un = b b = v1.an a a Vy s hng tng quỏt dóy s l : un = v1.an b b vi v1 = c + a a un un +1 = 2u + , n 1, n N n Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi : u = GII : Ta cú u1 > , qui np ta c un > T gi thit suy : un +1 = 2+ un t = , ú ta c : vn+1 = 3vn + vi v1 = (*) un t zn = + , (*) tr thnh : zn+1 = 3zn vi z1 = Nh vy (zn) l mt cp s nhõn cú cụng bi bng v z1 = nờn zn = z1.3n = 3n Suy : = zn = 3n Vy dóy s (un) cú un = , n * n 3.Xỏc nh s hng tng quỏt ca cỏc dóy s c cho bi a u1 = b un un +1 = 2u + ; n n u1 = u n un +1 = u ; n n u1 = un +1 = 3un + , n 4.Cho dóy s (un) xỏc nh bi : n Tỡnh tng S = ui i =1 5.Cho n vũng trũn ú c hai vũng trũn thỡ giao ti im v khụng cú ba vũng trũn no giao ti im Hi n vũng trũn ó cho chia mt phng lm bao nhiờu phn? u1 = c v a, b, c R un +1 = a.un + f (n) Xỏc nh s hng tng quỏt ca dóy s ( un ) vi v f(n) l mt a thc theo n GII: Trng hp 1: a = ta cú un+1 = un + f(n) n Cho n ln lt nhn cỏc giỏ tr ; 2; 3; n thỡ ta c: un = u1 + f (i ) i =1 n Trong ú i =1 f (i ) c tớnh thụng qua cỏc tng n i ; i =1 n i2 ; i =1 n i i =1 Trng hp 2: a t = un + g(n) vi deg(g) = deg(f) v g(n) c xỏc nh thụng qua phng phỏp h s bt nh dng thi tha : vn+1 = avn Ta qui dóy (un) thnh dóy (vn) l mt cp s nhõn cú cụng bi q = a un +1 = un + n3 + 2, n 1, n N Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi : u1 = GII: Theo bi ta cú un +1 = un + n3 + un + un = n3 + Thay n ln lt bng 1, 2,,n v cng (n 1) ng thc ta c: n n(n 1) un u1 = (i + 2) = +2(n 1) i =1 n(n 1) Vy un = +2n un +1 = 3un + n + 1, n 1, n N Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi : u1 = GII: t g(n) = an2 + bn + c v = un + g(n) ( a, b, c R) vi vn+1 = 3vn Khi ú : vn+1 = 3vn un+1 + g(n+1) = 3(un + g(n)) 3un + n2 + + g(n+1) = 3un + 3g(n) n2 + + a(n+1) + b(n+1) + c = 3an2 + 3bn + 3c (a + 1)n2 + (2a + b)n + 1+ a + b + c = 3an2 + 3bn + 3c a + = 3a 1 a= Nờn : 2a + b = 3b ; b = ; c = 2 + a + b + c = 3c Do ú ta c : g(n) = n + n+1 2 Nh vy = un + 1 n + n + un = ( n2 + n + 1) 2 2 v = 3vn , n un +1 = 3un + n + 1, n 1, n N n +1 u1 = v1 = u1 + g (1) = thỡ Suy : = 3n 1.v1 = 4.3n Vy : un = 4.3n n n 2 = 4.3n (n + n + 2) Xỏc nh s hng tng quỏt ca cỏc dóy s c xỏc nh bi cỏc cụng thc sau: u1 = un +1 = un + 2n + , n u1 = un +1 = 4un + 3n 3n 3n , n u1 = un un +1 = ,n 2(2n + 1)un + u1 = un +1 = un + cos(3n 2) , n 10 Xỏc nh s hng tng quỏt ca dóy s ( un ) vi u1 = b R, >0 n v a, b, un +1 = a.un + GII: Trng hp 1: a = ta cú un+1 = un + n n i Cho n ln lt nhn cỏc giỏ tr ; 2; 3; n thỡ ta c: un = u1 + i =1 n Trong ú i =1 i c tớnh thụng qua cỏc tng cp s nhõn cú s hng u v cụng bi Trng hp 2: a Ta qui bi toỏn v bi toỏn bng cỏch t = un + g(n) vi vn+1 = avn , ng thi g(n) l hm s tha : + Nu a thỡ g(n) = A n + Nu a = thỡ g(n) = A.n n Trong ú A c xỏc nh thụng qua phng phỏp h s bt nh Dóy s (vn) c xỏc nh theo cp s nhõn v t ú suy c (un) u1 = n un +1 = un + 3.4 11 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy (un) c xỏc nh : GII: Theo ta cú : un+1 = un + 4n un+1 un = 4n Thay n ln lt bng 1, 2,,n v cng (n 1) ng thc ta c: n i un u1 = = 3.4 i =1 4n1 = 4n Vy ta c : un = 4n u1 = n un +1 = 3un + 5.3 12 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy (un) c xỏc nh: GII: Ta thy a = = nờn ta t = un + An.3n vi vn+1 = 3vn Vi vn+1 = 3vn un+1 + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n ) 3un +5.3n + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n ) 5.3n + A(n+1)3n+1 = 3An.3n 5+ 3A(n+1) = 3An Suy : A = Ta c : = un n.3n un = + n.3n u1 = v = 1 n un +1 = 3un + 5.3 +1 = 3vn Khi ú p dng cụng thc tớnh s hng tng quỏt ca cp s nhõn ta c = 3n Vy ta c un = 3n 1+ n.3n = (1+5n)3n 13 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy (un) c xỏc nh: u1 = n un +1 = 2un + n + 3.2 , n GII: Ta cú gi thit un + = 2un + n2 + 3.2n t un = xn + yn n vi xn +1 = xn + n , n ; yn +1 = yn + 3.2 , n v u1 = x1 + y1 = Suy : xn +1 + yn+1 = 2(xn + yn ) + n2 + 3.2n Ta gii tng t nh vớ d v vớ d ta xỏc nh c : xn = (x1+6) 2n (n2 + 2n + 3) v yn = (y13) 2n + 3n.2n ta c un = xn + yn = (x1+6).2n (n2 + 2n + 3) + (y13) 2n + 3n.2n = (x1+ y1+3).2n + 3n.2n (n2 + 2n + 3) Vy : un = 2n + + 3.2n 10 (n + 2n + 3) Giải: Ta chia đoạn [ a; b] làm n phần điểm chia: a = xo< x1< < xn = b Trên đoạn [ xi ; xi ] ( i: n ) lấy điểm i = xi = a +i ba ba Gọi xi = xi xi Rõ ràng ( xi) = Lập tổng In = n n n f ( ) i i =1 xi = n n ba ba ba n( n + 1) b2 a2 n +1 xi = (a + i ) = (b a). (a +( (b a )) = n n n 2n n n i =1 i =1 i =1 n In = In tổng tích phân hàm f(x) = x đoạn [ a; b] lim n b2 a2 b 2 Vậy xdx = b a a 2) Bài tập tự luyện: - Dùng định nghĩa tích phân bất định, tìm tích phân bất định hàm số sau: +) +) ( x3 x) dx +) Cos(x 5) dx (3x3 + 5x + 1) dx +) +) +) (2x5 + x) dx (2sin2x + 6) dx 6e2xdx +) e5x dx - Dùng định nghĩa tích phân xác định tính tích phân sau: 1 1 0 0 +) xdx +) udu +) ( x + 1)dx +) ( x 1)dx +) 2xdx +) (5 x 2)dx Mức độ 3: 1)Ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính tích phân bất định hàm số sơ cấp bản( cho SV giải, đa kết quả, giáo viên kiểm tra ,SV ghi nhớ) Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tích phân xác định tính x dx 60 Giải: Hàm dới dấu tích phân f(x) = x2 Chia [ 0;1] làm n đoạn thẳng điểm chia: = xo, x1= điểm i = x1 Tổng tích phân In = n , x2= , , xn= =1 Chọn n n n i n i n( n + 1)(2n + 1) ( ) = = n i =1 n 6n i =1 n n Vậy: lim I n = n 1 x dx = 3 2) Bài tập tự luyện: Bi1:Dùng định nghĩa tích phân bất định, tìm tích phân bất định sau: +) cos 3x dx +) + x dx +) sin 3x dx +) 1+ x +) cos +) ( dx 2 dx ( x + 1) 1 x2 + 5) dx Bi2:Dùng định nghĩa tích phân xác định tính: +) x +) dx (x +) + x)dx (2 x 3)dx Dạng 2: Dùng tính chất đơn giản để tính tích phân bất định, tích phân xác định Mức độ 1: Ví dụ 1: Tính (2 x + x)dx 1)Ví dụ mẫu: 4 Giải: (2 x + x)dx = x dx + xdx = x + x + C = x + x + C Ví dụ 2:Tính cos x 2 dx Giải: Dùng công thức Niutơn Lepnit tích phân hàm số sơ cấp ta có: cos x dx = tgx 46 = tg tg = 61 2) Bài tập tự luyện: Bi1: Tính tích phân bất định sau: +) +) 3x + dx 2x x +1 +) +) ( dx x 14 dx x3 +) x 14 dx x3 ) dx x2 x+ dt x + 2x + x + 2x + dx +) x2 +1 +) (t + 2) Mức độ 3: 1)Ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Dùng tính chất đơn giản để tính tích phân sau: Giải: sin x cos x dx = 1 sin x + cos x = dx + dx = tgx dx sin x cos x cos x sin x cotgx + C - Tính tích phân bất định sau: cos x dx +) cos x + sin x (ln x) dx +) x sin x sin x dx +) +) cos x e arctgx dx +) + x2 sin dx x sin x + cos x +) +) sin 3x cos xdx 2) Bài tập tự luyện Bi1: Tính tích phân bất định sau: 62 dx sin x cos x sin +) x cos xdx cos 3x cos xdx +) x4 x + x + dx +) (cos x) sin xdx n +) x 3x + x x + x dx +) sin( x + a).sin( x + b) dx Bi2:Tính tích phân xác định sau: +) +) (1 + arctgx) dx + x2 +) 3(1 + tgx) (1 + tg x)dx ( x sin x )dx +) + cos x dx Dạng 3: Dùng phơng pháp đổi biến tích phân phần Mức độ 1: 1)Ví dụ mẫu: Tính ln xdx Giải: Đặt u = lnx, dv = dx ln xdx = xlnx- dx = xlnx x + C 2) Bài tập tự luyện: x cos xdx (2 x + 3) sin (x x cos xdx + x + 1) ln xdx ( x + 1)e ln dx x dx x e x dx ln xdx x tgx dx cos x (x 63 5x dx + 4) Tính: x ln xdx Mức độ 2: 1)Ví dụ mẫu: Tính (tgx + cot gx) dx Giải: (tgx + cot gx) cos = x + dx = (tg x + cot g x + 2tgx cot gx)dx = (tg x + 1)dx + (cot g x + 1)dx = tgx cotgx + C sin x 2) Bài tập tự luyện: Bi1:Tính: x2 1) dx (1 + x) 20 4) x dx 1+ x x x arcsin x 1+ x arctg x dx x 1+ x 5) 7) cos(ln x)dx 3) 2) x e x dx 8) ln 6) x e x dx 9) ( x 1)dx x( x + x ) sin(ln x)dx x sin x 11) cos x dx 12) t + 2t (2 + 5t )dt Mức độ 3: 1)Ví dụ mẫu: Hãy ớc lợng tích phân sau 18 cos xdx 1+ x4 10 Giải: Vì -1 cosx nên x>10 ta có bất đẳng thức : cos x 1+ x < 10 ,do 18 10 cos x 1+ x dx < 8.10 < 10 Vậy Bi1:Tính: 5(5 cos t ) sin tdt 10 2) Bài tập tự luyện: 1) 18 2) x dx x2 +1 cos x 1+ x dx < 10 = 0,1 3) sin x dx sin x + cos x 5) x (2 x + x )dx 4) 6) x arctgx dx x2 + xe x dx 1+ e x -Xác định công thức truy hồi của: I ( n ) ( x) = dx (1 + x ) n Hng dn t hc: Theo cng chi tit 7) e x cos 3xdx CHNG TCH PHN XC NH A Mc tiờu: Kin thc: Sinh viờn nm c cỏc kin thc c bn v : - nh ngha tớch phõn xỏc nh, cỏc tớnh cht - Cụng thc tớch phõn xỏc nh - Cỏc phng phỏp tớnh tớch phõn xỏc nh - ng dng ca tớch phõn xỏc nh - Cỏc loi bi v tớch phõn xỏc nh K nng: Rốn k nng tớnh tớch phõn xỏc nh v ng dng T duy, thỏi : Nghiờm tỳc, hiu qu B Chun b v phng phỏp, phng tin, ti liu tham kho: Phng phỏp: Vn ỏp, gi m Phng tin: Tp bi ging, giỏo trỡnh, ti liu tham kho Ti liu tham kho: [1] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s - Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 [2] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s (phn bi tp)- Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 Hc liu tham kho: [3] V Tun Gii tớch toỏn hc NXB Giỏo dc 1974 [4] Pitxcunp Phộp tớnh vi phõn v tớch phõn NXB Giỏo dc 1973 (Trn Trỏng Lờ Hanh dch C Phõn phi s tit thc hin: TT Ni dung kin thc N, tớnh cht S tit LT:5; BT: 3;KT:1 03 Ghi chỳ CT N-L Cỏc pp ly TP ng dng 02 TP suy rng Bi Kim tra 03 01 D Ni dung nh ngha, tớnh cht 1.1 nh ngha tớch phõn xỏc nh Các khái niệm bản: - Cho hàm f(x) xác định đoạn [ a; b] , ta chia đoạn [ a; b] làm n phần điểm chia: a = xo< x1< < xn = b Trên đoạn [ xi ; xi ] ( i: n ) lấy điểm i tuỳ ý Gọi x = xi xi Lập tổng In = i n f ( ) i =1 i xi gọi tổng tích phân hàm f đoạn [ a; b] Ta quy ớc n max( xi) Nếu In = n f ( ) i i =1 xi tiến tới giới hạn I xác định n , không phụ thuộc vào cách chia đoạn [ a; b] cách chọn điểm i giới hạn đợc gọi tích phân xác định hàm f(x) đoạn [ a; b] , kí hiệu b f ( x)dx a Vậy b a f ( x)dx = lim n n f ( ) i i =1 xi - Nếu hàm f(x) có tích phân đoạn [ a; b] ta nói hàm f(x) khả tích [ a; b] 1.2 Cỏc tớnh cht n gin Các tính chất tích phân xác định: - a f ( x)dx b =- b f ( x)dx a a f ( x)dx a =0 - b f ( x)dx = a c b f ( x)dx f ( x)dx + a f khả tích K a, b, c c điểm thuộc K - b b ( f ( x) + g ( x))dx = a - b b a a b g ( x)dx f ( x)dx + a a C f ( x)dx = C f ( x)dx C số Nếu m f(x) M [ a; b] m(b - a) b f ( x)dx M(b - a) a Cụng thc Niutn Laibnit; Cỏc phng phỏp ly tớch phõn 2.1 Cụng thc Niutn Laibnit - b f ( x)dx Công thức Niutơn-Lepnit: = F ( x) b = F(b) F(a) a a F(x) nguyên hàm hàm f(x) b f ( x)dx = a b f (u )du a 2.2 Phng phỏp i bin - Đổi biến: x = (t) liên tục với đạo hàm (t) đoạn t , a = ( ), b = ( ), f( (t)) hàm số liên tục đoạn [ , ] Lúc ta có công thức sau: b f ( x)dx = f ( (t )) ' (t )dt a 2.3 Phng phỏp tớch phõn tng phn b b - Tích phân phần: udv = u.v a a b vdu u = u(x), v = v(x) a hàm khả vi liên tục đoạn [ a; b] ng dng ca tớch phõn 3.1 Tớnh din tớch b - Nếu f(x) > với x [ a; b] f ( x)dx diện tích hình thang a cong giới hạn đờng y = f(x), y = 0, x = a, x = b Nếu y = f(x) y = g(x) liên tục đoạn [ a; b] S hình phẳng giới hạn đờng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b diện tích S - b f ( x ) g ( x) dx a 3.2 Tớnh th tớch, tớnh di cung - Nếu y = f(x) liên tục, không âm đoạn [ a; b] Hình phẳng giới hạn đờng y = f(x), y = 0, x = a, x = b quay xung quanh trục hoành, tạo nên khối tròn xoay Thể tích V khối đợc tính theo công thức: b V = f ( x)dx a Tớch phõn suy rng 4.1 Tớch phõn vi cn vụ hn Gi s hm f(x) xỏc nh trờn b] Gii hn (nu cú) ca tớch phõn suy rng ca hm f(x) trờn Nu , kớ hiu: Vy: ã v kh tớch trờn mi on [a; gi l tớch phõn hu hn thỡ hi t v hm f(x) kh tớch trờn ã Nu Tng t, vụ hn hoc khụng tn ti thỡ phõn k (Tớnh hi t v phõn k cng tng t) Tớch phõn hi t v hi t 4.2 Tớch phõn ca hm s khụng b chn nh ngha ban u ca tớch phõn Riemann khụng ỏp dng cho mt hm nh trờn khong [1, ), bi vỡ trng hp ny ca tớch phõn khụng b chn Tuy nhiờn, tớch phõn Riemann thng cú th c m rng bng tớnh liờn tc, bng cỏch nh ngha tớch phõn suy rng, thay vỡ l mt gii hn nh ngha hp ca tớch phõn Riemann cng khụng bao gm hm s trờn khong [0, 1] Vn õy l hm ly tớch phõn khụng b chn tớch phõn (nh ngha ũi hi c ca tớch phõn v ca hm ly tớch phõn phi b chn) Tuy nhiờn, tớch phõn suy rng tn ti nu c hiu l gii hn ụi cỏc tớch phõn cú th cú hai im k d khụng thớch hp Vớ d, xột hm 1/((x + 1) c ly tớch phõn t n Ti gii hn di, x tin ti hm tin ti , v gii hn trờn cng chớnh l , dự hm tin ti Nh vy õy l tớch phõn suy rng kộp Vớ d ly tớch phõn t n 3, tng Riemann bỡnh thng cng a kt qu /6 Ly tớch phõn t n , tng Riemann khụng th cho kt qu Tuy nhiờn, gii hn trờn hu hn bt k, nh t (vi t > 1), cho kt qu rừ rng, arctan /2 Tớch phõn ny cú gii hn hu hn t n vụ cựng,c th l /2 Tng t nh vy, tớch phõn t 1/3 n cho phộp dựng tng Riemann, tỡnh c mt ln na cho kt qu /6 Thay 1/3 bng mt giỏ tr dng tựy ý s (nh s < 1) cng khụng kộm phn an ton, cho /2 arctan ny cng cú gii hn hu hn s tin n khụng, c th l /2 Kt hp cỏc gii hn ca hai on, kt qu ca tớch phõn suy rng ny l Quỏ trỡnh ny khụng m bo thnh cụng; gii hn cú th khụng tn ti, hoc cú th l vụ hn Vớ d, khong b chn t n tớch phõn ca 1/x khụng hi t; v khong khụng b chn t n tớch phõn khụng hi t Trng hp cng cú th xy l mt hm ly tớch phõn khụng b chn gn mt im trong, trng hp ny tớch phõn phi c chia ti im ú i vi tớch phõn m ton tớch phõn hi t, cỏc tớch phõn gii hn trờn c hai v phi tn ti v phi b chn Vớ d: D Tng kt chng, cõu hi ụn tp, hng dn t hc: Tng kt chng: Trng tõm: Tớnh thnh tho TP xỏc nh Nn c mt s ng dng ca TP Bi tp: Bi 1: Tính tích phân xác định sau: +) +) dx (x + 1) +) x + ln x + dx +) x dx (x + 1) +) ( x + 1) dx +) sin xdx (3 x + 1) dx Mức độ 1: 1)Ví dụ mẫu: Dùng tính chất đơn giản để tính tích phân sau: Giải: ln 1 (1 + e x ) ln ex dx (1 + e x ) x ln d (e + 1) ex ln dx = (1 + e x ) = (1 + e x ) d (1 + e x ) = x (1 + e ) ln = 1 + 25 (1 + e) 2) Bài tập tự luyện: Bi Tính tích phân xác định sau: +) +) dx sin x + cos x dx ( x + 1) x + Dạng : Bài tập ứng dụng tích phân xác định Mức độ 1: 1)Ví dụ mẫu: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đờng y = 0, y = + x2, x = 0, x = Giải: Vì y = + x2 > với x nên ta có: 1 S = (1 + x )dx = ( x + x ) = (đvdt) 3 2) Bài tập tự luyện: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đờng tơng ứng: y = x2 + D: x + y = Mức độ 2: 1)Ví dụ mẫu: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đờng: y = x + y = - x2 Giải: Phơng trình hoành độ giao điểm: - x + = - x2 x = - x = 2 Khi x [ 1;2] ta có (- - x + x2 ) nên S = ( x + x + 2)dx = (đvdt) 2) Bài tập tự luyện: - Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đờng tơng ứng: x + y = 4x D: x2 y = y = cos x, y = sin x D: x = 0, x = - Tính thể tích vật thể tạo hình sau quay quanh trục Ox: y = x2 D: y = Mức độ 3: 1)Ví dụ mẫu: Cho khối chỏm cầu bán kính R chiều cao h Chứng h minh thể tích V khối chỏm cầu V = h ( R ) R R h Giải: V = ( R x )dx = ( R x x ) = h ( R ) 3 R h R h 2 2) Bài tập tự luyện: - Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đờng: +) y = - 4x2, y = x4 +) x = 4y2, x = y4 - Tính thể tích vật thể tạo miền D quay quanh trục Ox: y = x2 D: y = x y = ln x, y = D: x = e Hng dn t hc: Theo cng chi tit KIM TRA MT TIT Bi Tính tích phân xác định sau: a cos xdx sin x + sin x dx sin x + cos x Bi 2: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đờng tơng ứng: b y = x2 , y = D: x = 1, x = Bi : Tính thể tích vật thể tạo hình sau quay quanh trục Ox: y = x2 , y = D: x = 1, x = [...]... f ' g f g ' với g 0 g2 2.2 o hm hm s hp - Cho hàm y = f(u) trong đó u = g(x), nếu hàm u = g(x) có đạo hàm tại x và hàm y = f(u) có đạo hàm tại u, thì hàm hợp f(g(x)) cũng có đạo hàm tại x và có: yx = yu.ux 2.3 o hm hm s ngc 35 - Nếu hàm số y = f(x) khả vi tại x, có đạo hàm y x 0 và hàm f có hàm ngợc x = g(y) thì hàm ngợc g cũng khả vi tại y = f(x) và xy = 1 ' yx 3 o hm cỏc hm s thng gp 3.1 o hm... sử X và Y là hai tập hợp số thực ( X R và Y R) ánh xạ f : X Y x y = f (x) gọi là một hàm số (thực) từ X vào Y X đợc gọi là tập hợp xác định của hàm số f x X đợc gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hoặc đối số) Số thực y = f (x) Y đợc gọi là giá trị của hàm số tại điểm x Tập hợp tất cả các giá trị f (x) khi x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập hợp các giá trị của hàm số f và đợc... điểm gián đoạn của hàm số f(x) = 1 2 x 3x +) Xét tính liên tục của hàm số: f(x) = x =1 x 1 x >1 x 3 3 x + 2 trên toàn trục số +) Tìm các khoảng và nửa khoảng mà hàm số sau liên tục: f(x) = x 2 3x + 2 x=0 0 +) Tìm các điểm gián đoạn của hàm f(x) = x sin 1 x 0 x 1 x=0 x0 +) Xét tính liên tục của hàm số f(x) = sin x x +) Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Hàm số x2 x f(x)... f(x), x (a;b) ta cho x một số gia x Nếu khi đó số gia của hàm số có dạng: y = f(x) x + x trong đó x là vô cùng bé bậc cao hơn x khi x 0 thì biểu thức f(x) x đợc gọi là vi phân của hàm f (hay là hàm y) tại điểm x, kí hiệu là df (hay dy) Vậy: dy = f(x) x Nếu x là biến độc lập thì dx = x do đó ta có dy = f(x)dx 4.2 Vi phõn mt s hm s thng gp 4.3 Cỏc quy tc tớnh vi phõn 36 ... Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là bị chặn trên (dới) trong miền xác định X nếu: ( C R)( x X): f (x) C ( f (x) C) - Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là đơn điệu tăng (giảm) trong X, nếu x1, x2 X, f (x1) f (x2) ( f (x1) f (x2)) - Cho hàm f xác định trên miền đối xứng X, f đợc gọi là hàm chẵn khi và chỉ khi x X, f(x) = f(-x) - Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là là hàm lẻ khi và. .. Giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu ta có: lim x 2 3 2x + 5 x+2 2 = lim x 2 (4 2 x)( x + 2 + 2) ( x 2)((3 + 2 x + 5) ) 8 = lim 2( x + 2 + 2) = - x 2 3 + 2x + 5 6 Ví dụ 2: Tìm tập xác định và xét tính chẵn lẻ của hàm số sau: f(x) = ln 1+ x 1 x Giải: Hàm f xác định khi và chỉ khi 1+ x > 0 -1 < x < 1 Hàm f 1 x xác định trong khoảng đối xứng Mặt khác f(-x) = ln 1 x và f(x) = ln 1+... 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = Giải: hàm số f(x) = 5 tại điểm x = 2 x2 5 không xác định tại điểm x = 2 nên nó không liên x2 tục tại x = 2 2x 1 Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x 1 Giải: hàm số f(x) = x0 x>0 x0 x>0 tại điểm x = 0 xác định tại x = 0 và f(0) = 2.0 = 0, f ( x) = 1 f(0) = 0 nên theo định nghĩa f(x) không liên tục tại nhng xlim 0 + x=0 Bài tập tự luyện: Xét tính liên... hạn: lim f ' ( x) = lim x 0 f ( x + x) f ( x) x 1.2 Mt vi tớnh cht n gin - Đạo hàm của hàm f tại x, f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đờng cong y = f(x) tại điểm có toạ độ là (x;f(x)) 1.3 o hm phớa 34 Định nghĩa đạo hàmphía: Cho hàm f xác định trong khoảng (a;b), kí hiệu y = f(x) Với mỗi x (a;b) ta cho một số gia x Kí hiệu số gia của hàm số là: y = f(x+ x) f(x) Lập tỉ số: y f ( x + x)... b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a 1.2 Cỏc loi im giỏn on: - f gián đoạn tại xo nó không liên tục tại xo im giỏn on loi mt nu nú cú gii hn trỏi, phi hu hn ti im ú im gii hn loi hai nu nú khụng phi l im gii hn loi mt 2 Cỏc phộp toỏn trờn hm s liờn tc: 2.1 Phộp toỏn cng, nhõn, chia - Hai hàm f và g liên tục tại xo thì các hàm f + g, f g và f.g liên tục tại xo; Nếu thêm g(xo) 0 thì hàm. .. hàm f liên tục trên R: f(x) = 3 3x + 2 2 x 2 ( x 2) ( x > 2) +) Xác định a để hàm f liên tục trên R: a x2 f(x) = cos x cos 2 x ( x = 0) ( x 0) +) Xác định a để hàm f liên tục trên R: 4x a + x + 2 f(x) = 1 x 1+ x x ( x 0) ( x < 0) +) Xác định a để hàm f liên tục trên R: a + tg 6 f(x) = sin( x ) 3 1 2 cos x (x = ) 3 (x ) 3 - Tìm các khoảng và nửa khoảng, trên đó các hàm
- Xem thêm -

Xem thêm: Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập