BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— TRẦN XUÂN HIỆP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHUƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— TRẦN XUÂN HIỆP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHUƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Xuân Hiệp Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Xuân Hiệp Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu 1.2 Một số không gian hàm 1.2.1 Không gian Lp (Ω) 1.2.2 Không gian L∞ (Ω) 1.2.3 Không gian Sobolev 1.3 Một số bất đẳng thức 10 Chương Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi 13 2.1 Đặt toán 13 2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 16 2.3 Tính nghiệm suy rộng 16 2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng 19 Chương Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi 25 3.1 Đặt toán 25 3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 26 3.3 Tính nghiệm suy rộng 27 v 3.4 Sự tồn nghiệm suy rộng 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 vi Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần đầu vào kỉ thứ 18 công trình toán học Euler, Dalamber, Lagrange Laplace công cụ để mô tả các mô hình vật lý học, học Đến kỉ thứ 19 công trình toán học đặc biệt công trình Rieman phương trình đạo hàm riêng trở thành công cụ mạnh lĩnh vực toán học khác đặc biệt toán thực tiễn Bài toán biên điều kiện ban đầu phương trình parabolic xuất phát từ việc mô tả chuyển động khác tự nhiên điều kiện ban đầu không ảnh hưởng tới diễn biến chuyển động Do ta giả sử thời điểm ban đầu −∞ nghiên cứu trình cho trước dựa tính chất biên miền mà xảy Bài toán đặt vấn đề tìm nghiệm phương trình hệ phương trình Parabolic với điều kiện biên cho trước với −∞ < t ≤ T, T ≤ ∞ Thứ luận văn trình bày tồn nghiệm uh với điều kiện ban đầu t = h Sau cách cho t → −∞, thu khả giải toán mà không cần điều kiện ban đầu Nghiên cứu tồn nghiệm suy rộng toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi không quan trọng mặt lý thuyết mà quan trọng toán ứng dụng Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng, người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung thân tác giả nói riêng hiểu sâu môn học, giúp đỡ GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng chọn nghiên cứu đề tài: “Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Kết nhận định lí tồn nghiệm không gian Sobolev toán miền chứa điểm lùi Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu kiến thức sở không gian hàm, không gian Sobolev, bất đẳng thức bản, tài liệu liên quan Từ áp dụng vào nghiên cứu tính giải toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nghiên cứu không gian Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng luận văn phương pháp xấp xỉ Galerkin, tổng hợp kết tài liệu liên quan Đóng góp đề tài Nhận định lí tồn nghiệm xét trường hợp đặc biệt toán giải Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu Rn không gian Euclide n− chiều, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Giả sử Ω miền bị chặn Rn , n ≥ S = ∂Ω biên nó, Ω = Ω ∪ ∂Ω Kí hiệu Qba = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , ≤ a < b < ∞} trụ Rn+1 ; mặt xung quanh Sab = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} +∞ Nếu (a, b) = R ta viết QR = Q+∞ −∞ SR = S−∞ ; (a, b) = (0, b) ta viết Qb0 = Qb , S0b = Sb ; Q∞ h hình trụ Ω × (h, ∞) Giả sử u hàm véctơ giá trị phức với thành phần u1 , , un Ta kí hiệu u = (u1 , , un ) Dp u = ∂ |p| u/∂xp11 ∂xpnn = uxp11 xpnn đạo hàm suy rộng cấp p theo biến x = (x1 , xn ); utk = ∂ k u/∂tk đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t Ở p = (p1 , , pn ) kí hiệu đa số với pi số nguyên không âm, |p| = p1 + + pn Kí hiệu C k (Ω) tập hợp tất hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k o o miền Ω, ≤ k ≤ ∞, C (Ω) = C (Ω) C k (Ω) = C (Ω) ∩ C k (Ω), o C (Ω) tập hợp tất hàm liên tục Ω với giá compact thuộc Ω Co∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ω Khi giả sử B (·, ·) (t) thỏa mãn điều kiện Elliptic đều, tức là: ∃µ0 > : B (u, u) (t) ≥ µ0 u (·, t) W (Ω) hầu khắp t ≥ h (ở ta xét trường hợp λ = (2.5)) Định lý 2.4.1 Giả sử cho γ > γ0 , γ0 = (i) sup ∂aij ∂t (n+1)µ 2µ0 , (n + 1) = |α|≤n ≤ µ; ≤ i, j ≤ n, µ = const > ; |aij | ; (x, t) ∈ Q∞ h (ii) f, ft ∈ L2 (−γ, Q∞ h ) Khi tồn số γ0 cố định cho với γ > γ0 toán (2.13)−(2.15) có nghiệm u (x, t) ∈ W 1,0 (−γ, Q∞ h ) thoả mãn: W 1,0 (−γ,Q∞ h ) u ≤C f L2 (−γ,Q∞ h ) L2 (−γ,Q∞ h ) + ft , số C không phụ thuộc vào h, u, f Chứng minh Ta chứng minh tồn nghiệm phương pháp xấp xỉ Galerkin, ta tìm nghiệm xấp xỉ dạng N N CkN (t) ϕk (x) ; N N u (x, t) = k=1 {ϕk (x)} sở W01 (Ω) trực giao L2 (Ω) CkN , ≤ k ≤ N nghiệm phương trình vi phân cấp uN t ϕk dx = − B uN , ϕk − Ω f ϕk dx (2.16) Ω Với điều kiện ban đầu CkN = 0, k = 1, , N Nhân hai vế (2.16) với có: d dt (2.17) CkN (t) lấy tổng theo k từ đến N ta n − i,j=1 Ω N aij uN xj uxi t dx − N uN t ut dx = Ω 20 f uN t dx Ω (2.18) Lấy tích phân theo t từ h tới τ (với τ ≥ h) ta n − Qτh i,j=1 N aij uN xj uxi t dxdt − uN dxdt = t Qτh Qτh f uN t dxdt (2.19) Cộng (2.19) với liên hợp phức ta có: n N aij uN xj uxi t dxdt − 2Re −2Re uN dxdt = 2Re t Qτh i,j=1 Qτh f uN t dxdt suy τ B uN , uN (t) dt − 2Re t − 2Re h Qτh uN dxdt = 2Re t Qτh f uN t dxdt (2.20) Áp dụng aij = aji τ B uN , uN (t) dt = B uN , uN (τ ) t 2Re h τ N N − B u ,u Bt uN , uN (t) dt (h) − h nên ta có τ N N − B u ,u N N (τ ) − B u , u Bt uN , uN (t) dt (h) − h −2Re Qτh uN dxdt t = 2Re Qτh f uN t dxdt Từ điều kiện ban đầu (2.7) suy ra: B uN , uN (h) = ⇒ 2Re Qτh n − i,j=1 Qτh uN dxdt + B uN , uN (τ ) t ∂aij N N u j u dxdt + 2Re ∂t x xi 21 Qτh f uN t dxdt = (2.21) Từ tính Elliptic B (·, ·) (t) ta có 2Re Qτh W (Ω) uN dxdt + µ0 uN (τ ) t n ≤ Qτh i,j=0 N aij (x, t)uN xj uxi dxdt − 2Re Qτh f uN t dxdt (2.22) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (i) ta có n n − Qτh i,j=1 ∂aij N N u u dxdt ≤ µ (n + 1) ∂t xj xi i,j=1 uN xj dxdt Qτh τ dt W (Ω) uN (·, t) = µ (n + 1) h (2.23) Mặt khác 2Re Qτh f uN t dxdt ≤ f (x, τ ) uN (x, τ ) dx + 2Re ft uN dxdt Qτh Ω (2.24) ≤ ε uN (x, τ ) τ + ε h L2 (Ω) ft 2L2 (Ω) dt + f (x, τ ) ε L2 (Ω) τ uN (·, t) +ε h dt L2 (Ω) (2.25) Áp dụng (2.23) − (2.24) vào (2.22) ta được: 2 Qτh uN dxdt + µ0 uN (·, τ ) t τ uN (·, t) ≤ µ (n + 1) + ε h τ f (·, t) h L2 (Ω) dt W (Ω) dt W (Ω) + ε uN (·, t) τ uN (·, t) +ε h L2 (Ω) + f (x, τ ) ε L2 (Ω) dt L2 (Ω) Cho ε đủ bé ta N (µ − 2) u (·, τ ) W (Ω) τ uN (·, t) ≤ (µ (n + 1) + ε) h + ε f (·, τ ) 22 L2 (Ω) dt W (Ω) τ + ft (·, t) h L2 (Ω) dt suy W (Ω) uN (·, τ ) + ε (µ0 − ε) (n + 1) µ0 + ε µ0 − ε ≤ f (·, τ ) τ h τ L2 (Ω) + dt L2 (Ω) uN (·, t) ft (·, t) h L2 (Ω) dt Sử dụng bất đảng thức Gronwall - Bellman, đặt 2α = (2.26) (n+1)µ0 +ε µ0 −ε , từ (2.26) ta L2 (Ω) uN (·, τ ) τ e2α(τ −t) ≤ 2α f (·, τ ) h + ε (µ0 − ε) f (·, τ ) L2 (Ω) L2 (Ω) τ + h τ + fs (·, s) L2 (Ω) dt ft (·, t) h L2 (Ω) ds (2.27) Nhân vế bất phương trình với e−2γτ lấy tích phân theo τ từ h đến ∞ , ta uN W 1,0 (−γ,Ω∞ ) H τ h L2 (Ω) dtdτ e2α(τ −t) f (·, t) L2 (Ω) dtdτ h h T h h τ τ 2α(τ −t) 2γτ e h L2 (Ω) dτ ft (·, τ ) e e−2γτ ∞ e h −2γτ ∞ + 2α e−2γτ f (·, τ ) ∞ + ε (µ0 − ε) +2α ∞ ≤ ε (µ0 − ε) fs (·, s) h L2 (Ω) dsdtdτ (2.28) Ta kí hiệu I, II, III, IV tương ứng với số hạng đầu tiên, thứ 2, thứ thứ vế bên phải (2.28) Ta đánh giá biểu thức tích phân Trước hết I= f ε (µ0 − ε) 23 L2 (−γ,Q∞ h ) dt ∞ II = ft (·, t) 2L2 (Ω) ε (µ0 − ε) h = ft 2L2 (−γ,Q∞ h ) 2γε (µ0 − ε) inf 0 thỏa mãn 2α = (n + 1) µ + ε < 2γ µ0 − ε Tiếp theo, số hạng III ước lượng sau ∞ e−2αt f (·, t) III = 2α h ∞ L2 (Ω) e2(α−γ)τ dτ dt = t α f γ−α L2 (−γ),Q∞ h Cuối cùng, số hạng IV có phương trình ∞ fs (·, ·s) IV = 2α h = α ft 2γ (γ − α) L2 (Ω) ∞ e −2αt s e2(α−γ)t dτ dtds t L2 (−γ,Q∞ h ) Kết hợp ước lượng ta (2.28), mà uN W 1,0 (−γ,Q∞ h ) ≤C f L2 (−γ,Q∞ h ) + ft L2 (−γ,Q∞ h ) , (2.29) C không đổi độc lập với h, N Và C phụ thuộc vào µ, µ0 , γ; từ bất đẳng thức ta chọn dãy dãy uN hội tụ yếu tới u ∈ W 1,0 (−γ, Q∞ h ) u(x, h) = Từ ta chứng minh u nghiệm suy rộng toán (2.13) − (2.15) u W 1,0 (−γ,Q∞ h ) ≤C f L2 (−γ,Q∞ h ) Định lý chứng minh 24 + ft L2 (−γ,Q∞ h ) Chương Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Trong chương luận văn trình bày tồn nghiệm suy rộng toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi 3.1 Đặt toán Ta giả sử Ω miền bị chặn Rn , n ≥ với biên S = ∂Ω Cho a < b, đặt Qba = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b)}, Sab = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} +∞ Nếu (a, b) = R ta viết QR = Q+∞ −∞ , SR = S−∞ Q∞ h hình trụ Ω × (h, ∞) Kí hiệu Qbh = Ω × (h, b) = {(u, t) | x ∈ Ω, t ∈ (h, b)} Ta đưa vào không gian hàm: W l,0 (−γ, QR ), W 1,0 (−γ, QR ), L2 (−γ, QR ) Xét toán tử vi phân cấp hai sau: n L (x, t, D) = ∂ ∂xi i,j=1 25 aij (x, t) ∂ ∂xj ∞ Ở aij = aij (x, t) hàm phức khả vi vô hạn Qh , aij = aji (i, j = 1, , n) Hơn nữa, giả sử aij liên tục với x ∈ Ω theo biến t ∈ R Đặt n B (u, v) = − aij uxj (·, t) vxi (·, t)dx, t ∈ R i,j=1 Ω Trong B (·, ·) (t) thỏa mãn điều kiện Elliptic đều, tức ∃µ0 > cho ta có B (u, u) (t) ≥ µ0 u (·, t) W (Ω) với hầu khắp t ∈ R Bây xét toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt trụ QR Không tính tổng quát, luận văn xét Ω miền bị chặn Rn , (n ≥ 2) với ∂Ω \ {0} trơn điểm lùi ∂Ω Lu − ut = f QR (3.1) Với điều kiện biên u|SR = (3.2) 3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng Cho f ∈ L2 (−γ, QR ) Khi hàm u (x, t) gọi nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) không gian W 1,0 (−γ, QR ) u (x, t) ∈ W 1,0 (−γ, QR ), với T > đẳng thức T − uηt dxdt = B (u, η) dt + −∞ QT−∞ 26 f ηt dxdt QT−∞ với hàm thử η = η (x, t) ∈ W 1,1 (−γ, QR ) cho η (x, t) = với t ≥ T 3.3 Tính nghiệm suy rộng Định lý 3.3.1 Giả sử cho γ > ∂aij ∂t < µ1 e2γt , ∀t ∈ R, ∀i, j ≤ n Khi toán (3.1) − (3.2) có không nghiệm suy rộng W 1,0 (−γ, QR ) Chứng minh Giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) hai nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) Gọi u (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) Ta có u ∈ W 1,0 (−γ, QR ) Cho T > 0, b ≤ T , kí hiệu η (x, t) =    1,1 t b u (x, τ ) dτ, −∞ ≤t≤b 0, b ≤ t ≤ T γ, QT−∞ , η (x, T ) = ηt (x, t) = u (x, t) , −∞ ≤ Khi η (x, t) ∈ W t≤b Từ định nghĩa nghiệm suy rộng ta có n i,j=1 Qb−∞ aij ηxj t ηxi dxdt + |ηt |2 dxdt = (3.3) Qb−∞ Cộng (3.3) với liên hợp phức ta đuợc n 2Re i,j=1 Qb−∞ aij ηxi ηxj dxdt + |ηt |2 dxdt = Qb−∞ b ⇒ 2Re |ηt |2 dxdt = B (ηt , η) (t) dt + Qb−∞ −∞ 27 (3.4) Mà b b B (ηt , η) (t) dt = − lim B (η, η) (τ ) − 2Re Bt (η, η) (t) dt τ →−∞ −∞ n −∞ ∂aij uxj vxi dx ∂t Ω Bt (η, η) (t) = i,j=1 Thay vào (3.4) ta đuợc b τ →−∞ |ηt |2 dxdt = Bt (η, η) (t) dt − lim B (η, η) (τ ) + (3.5) Qb−∞ −∞ Mà tính Elliptic B (., ) (t) nên lim (B (η, η) (h)) ≥ µo lim h→−∞ ⇒ µo lim h→−∞ ⇒ µo lim h→−∞ h→−∞ η (., h) η (., h) W (Ω) W (Ω) b − Qb−∞ −∞ +2 h→−∞ η (., h) Qb−∞ |ηt |2 dxdt ≤ W (Ω) ≤ i,j=1 Qb−∞ b −∞ Bt (η, η) (t) dt ∂aij ηx ηx dxdt ∂t j i Sử dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết ∀i, j : n |ηt |2 dxdt ≤ Bt (η, η) (t) dt + n ⇒ µo lim W (Ω) , η (., h) ∂aij ∂t (3.6) < µ1 e2γt ta có: n i,j=1 b Q−∞ ∂aij ηx ηx dxdt ≤ µ1 ∂t j i i,j=1 ηxj ηxi e2γt dxdt Qb−∞ n µ1 ≤ i,j=1 ηxj e2γt + |ηxi |2 e2γt dxdt Qb−∞ b ≤ µ1 (n + 1) η (., t) −∞ 2γt W (Ω) e dt suy lim h→−∞ η (., h) W (Ω) b ≤ µ1 (n + 1) η (., t) −∞ 28 2γt W (Ω) e dt (3.7) Kí hiệu h vi (x, t) = −∞ ≤ t ≤ b uxi (x, τ ) dτ, t Khi t uxi (x, τ ) dτ = vi (x, b) − vi (x, t) ηxi (x, t) = b lim ηxi (x, h) = vi (x, b) h→−∞ n lim η (., h) h→−∞ W (Ω) |vi (x, b)|2 dx = i=1 Ω b |vi (x, b)| dx ≤ µ1 (n + 1) ⇒ 2γt W (Ω) e dt η (., t) −∞ |i|=0 Ω e2γt |vi (x, b)|2 + |vi (x, t)|2 dxdt ≤ 2µ1 (n + 1) i=0 Qb−∞ ≤ 2µ1 (n + 1) vi (., b) L2 (Ω) b 2γt + 2µ1 (n + 1) e −∞ i=0 vi (., t) L2 (Ω) dt i=0 Lấy b ≤ T cho µo − 2µ1 (n + 1) e2γb > suy : 2γb µo − 2µ1 (n + 1) e L2 (Ω) vi (., b) i=0 b ≤ 2µ1 (n + 1) e −∞ Đặt : J (t) = i=0 vi (., t) 2γt vi (., t) i=0 L2 (Ω) b e2γt J (t) dt ⇒ J (b) ≤ C −∞ Sử dụng bất đẳng thức Gronwall-Belman ta có: J (t) ≡ −∞, 29 1 ln , 2γ C L2 (Ω) dt (3.8) ⇒ u ≡ hầu khắp nơi với t ≤ 1 2γ ln C Kết hợp với tính nghiệm suy rộng toán có điều kiện ban đầu xét Chuơng ta suy u1 (x, t) = u2 (x, t) hầu khắp t ∈ R Định lý đuợc chứng minh 3.4 Sự tồn nghiệm suy rộng Nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) đuợc đánh giá xấp xỉ nghiệm suy rộng toán có điều kiện ban đầu (2.13)−(2.15) Giả sử tồn hàm χ (t) (1, ∞] , (−∞, 0] đạt giá trị [0, 1] [0, 1] Hơn ta giả sử tất đạo hàm χ (t) bị chặn Cho h ∈ (−∞, 0] Đặt f h (x, t) = χ (t − h) f (x, t) cho  f (x, t) , t ≥ h + h f (x, t) =  , t≤h Hơn f, ft ∈ L2 (−γ, QR ), f h , fth ∈ L2 (−γ, QR ) fh fth L2 (−γ,QR ) L2 (−γ,ΩR ) ≤C ft ≤C f L2 (−γ,QR ) L2 (−γ,QR ) + f L2 (−γ,QR ) (3.9) (3.10) Ở số C không phụ thuộc vào f, h Xét nghiệm suy rộng uh uk toán (2.13) − (2.15) ∞ h k trụ Q∞ h Qk với f (x, t) thay f (x, t) f (x, t) tuơng ứng với h 1,0 h > k, coi u ∈ W h (−γ, Q∞ k ) với u (x, t) = 0, ∀k ≤ t ≤ h Xác định uhk (x, t) = uk (x, t) − uh (x, t) uhk (x, t) nghiệm suy rộng toán (2.13) − (2.15) trụ Q∞ k với f (x, t) thay 30 f kh (x, t) = f k (x, t) − f h (x, t) Theo (2.29) ta có ukh W 1,0 (−γ,QR ) = ukh W 1,0 (−γ,Q∞ k ) L2 (−γ,Q∞ k ) fh − fk ≤C + fth − ftk L2 (−γ,Q∞ k ) Bởi L2 (−γ,QR ) fh − fk = fh − fk h+1 = k h+1 = k h+1 ≤ L2 (−γ,Q∞ k ) e−2γt f h − f k e−2γt f h+1 Ta có f ∈ L2 (−γ, QR ) , lim L2 (Ω) dt e−2γt f k Vì vậy, − ftk L2 (Ω) L2 (Ω) dt e−2γt |χ (t − h) − χ (t − k)| f k fth L2 (Ω) L2 (Ω) dt = 0, h, k → −∞ = h, k → −∞ Tiếp tục sử dụng lý luận tương tự ta suy lim fth − ftk Sau lấy ∞ uh h=0 L2 (−γ,QR ) = h, k → −∞ h dãy Cauchy u hội tụ tới u ∈ W 1,0 (−γ, QR ) Tức ta có uh ∈ W 1,0 (−γ, QR ) thỏa mãn T B t, uh , η dt + − uh ηt dxdt = QTh h f ηt dxdt (3.11) QTh với T > 0, η ∈ W 1,0 (−γ, QR ) , η (x, t) = 0, t≥T uh (x, t) = 0, f h (x, h) = 0, ∀t ≤ h nên từ (3.11) ta có T B(t, uh , η)dt + − uh η¯t dxdt = QT−∞ −∞ f ηt dxdt QT−∞ với T > 0, η ∈ W 1,1 (−γ, QR ), η (x, t) = 0, 31 t ≥ T (3.12) Cho f ∈ L2 (−γ, QR ) h → −∞ Từ (3.12) ta thu T − f ηt dxdt uη¯t dxdt = B(t, u, η)dt + (3.13) QT−∞ QT−∞ −∞ với T > 0, η ∈ W 1,1 (−γ, QR ) , η (x, t) = 0, t ≥ T Tức u (x, t) nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) Từ ta có kết sau Định lý 3.4.1 Giả sử cho γ > γ0 = (i) sup (ii) ∂aij ∂t ∂aij ∂t : (x, t) ∈ QR , (n+1)µ 2µ0 và: ≤ |j| , |i| ≤ n = µ < ∞ ≤ µ1 e2γt , ∀ (x, t) ∈ QR , ≤ |i| , |j| ≤ n, µ1 = const > (iii) f, ft ∈ L2 (−γ, QR ) Khi tồn hàm u (x, t) ∈ W 1,0 (−γ, QR ) nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) thỏa mãn u W 1,0 (−γ,QR ) ≤C ft L2 (−γ,QR ) 32 + f L2 (−γ,QR ) Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Những kết luận văn đạt trình nghiên cứu : Đưa nghiệm suy rộng toán Chứng minh tồn nghiệm suy rộng Chứng minh tính nghiệm suy rộng Đặc biệt việc đưa nghiệm suy rộng, chứng minh tồn tại, tính toán với biên miền chứa điểm lùi kết Một số vấn đề mở đặt sau kết đạt luận văn: Tính trơn theo biến thời gian không gian nghiệm suy rộng Dáng điệu nghiệm suy rộng Do khả thời gian nghiên cứu có hạn, nên luận văn chưa đầy đủ khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 33 Tài Liệu Tham Khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng, Phạm Triều Dương (2006), Bài toán biên ban đầu thứ hệ Parabolic miền trụ với đáy không trơn, NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học sư phạm [3] Trần Đức Vân (2003), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Quốc gia Hà Nội [4] Nguyen Manh Hung and Nguyen Thi Lien (2013 On the solvability of the boundary-value problem without initial condition for Shrodinger systems in infinite cylinders Boundary Value Problems, 2013:156 ISN: 1686-2770, (SCIE) [5] Nguyen Manh Hung and Vu Trong Luong (2008) Unique solvability of initial boundary-value problems for hyperbolic systems in cylinders whose base is a cusp domain Electronic Journal of Differential Equations Vol 2008, No138, pp 1–10 ((SCIE, ISSN: 1072-6691): RM2448893) 34