Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1: (7 điểm) 1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y= 3 2 )x32( (x-5) 2) Cho hàm số y= 2x cbxax 2 ++ Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đờng thẳng y= 2 x1 3)Giải bất phơng trình: 2 x3x52 +2x > 2x.3 x . 2 x3x52 + 4x 2 .3 x Bài 2: (4 điểm) Trong tất cả các nghiệm của bất phơng trình: 1)yx(log 22 yx + + Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất. Bài 3(5 điểm) Giải phơng trình: 1) [ ] 2332 x12)x1()x1(x11 +=++ 2) sin3x.(1- 4sin 2 x) = 2 1 Bài 4:(4 điểm) ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h. 1) Hy là đờng thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đờng thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2) Hy cắt Ax tại S'. Xác định h theo a để SS' ngắn nhất. Hớng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi Lớp 12 Bài 1: Câu 1: (2 điểm) Tập xác định: D = R 0,25 điểm y'= (-3) 3 2 3 1 )x32( (x-5) + 3 2 )x32( 0,25 điểm = 3 x323 30x6 + + 3(2-3x) = 3 x32 12x5 + 0,25 điểm Điểm tới hạn: x= 3 2 ; x= 5 12 0,25 điểm x - 2/3 12/5 + y' + - 0 + y 0,5 điểm Hàm số đồng biến trong khoảng (-; 2/3) (12/5; +) 0,25 điểm Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25 điểm Câu 2: (2 điểm) Đờng tiệm cận xiên có hệ số góc k = 2x cbxax lim 2 x ++ =a 0,25 điểm Đờng tiệm cận xiên vuông góc với đờng thẳng y= 2 1 x 2 1 + ta có a=2 0,25 điểm Xét y= 2x cbxx2 2 ++ y' = 2 2 )2x( cb2x8x2 0,25 điểm Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là: =++= == 1)cb2()1(y 0cb26)1('y 0,5 điểm => = = 0c 3b 0,25 điểm Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số y= 2x x3x2 2 thoả mãn điều kiện 0,25 điểm Kết luận: a=2, b=-3, c=0 0,25 điểm Câu 3: (3 điểm) Bất phơng trình trở thành: ( 2 x3x52 +2x)(1-2x.3 x )>0 (*) 0,5 điểm Tập xác định: -2 x 3 1 0,25 điểm (*) < <+ > >+ 03.x21 0x2x3x52 )II( 03.x21 0x2x3x52 )I( x 2 x 2 0,5 điểm Xét hệ (I): Giải (1) ta đợc -1< x 1/3 0,5 điểm Đặt f(x) = 1-2x.3 x ta thấy: -1 x 0 hiển nhiên f(x)>1 0,25 điểm Khi 0<x 1/3 3 3 1 x 3330 =< 13. 3 1 .23.x20 3 x << Do đó f(x) =1-2x.3 x > 0 Nghiệm của (I) là: 3 1 x1 < 0,25 điểm Xét hệ (II): Giải (3) ta đợc 1x2 0,25 điểm Nhng f(x) = 1-2x.3 x > 0 x 0 nên bất phơng trình (4) không thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3). Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm 0,25 điểm Tóm lại, bất phơng trình đã cho có nghiệm 3 1 x1 < 0,25 điểm Bài 2: (4 điểm) Xét 2 trờng hợp: +TH1: x 2 + y 2 > 1 khi đó dễ thấy bất phơng trình 1)yx(log 22 yx + + (1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm )1( )2( )3( )4( Ta có (1) x+y x 2 + y 2 x+2y x 2 + y 2 + y (2) 0,5 điểm Gọi S= x+2y x=S - 2y thay vào (2) ta đợc S(S-2y) 2 +y 2 +y 5y 2 -(4S-1)y +S 2 - S 0 (3) 0,5 điểm Bất phơng trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0, Vậy 2 103 S 2 103 + 0,5 điểm Với S = 2 103 + thì = 0 khi đó (3) y= 10 2 2 1 10 1S4 += 0,25 điểm Suy ra x= S -2y = 10 2 2 1 + (thỏa mãn x 2 + y 2 > 1) 0,5 điểm +TH2: 0< x 2 + y 2 < 1. Khi đó (1) 0 <x+y<x 2 +y 2 => S=x+2y < x 2 +y 2 +y<1+1=2< 2 103 + (do x 2 + y 2 < 1, 1y < ) 0,5 điểm Tóm lại: với nghiệm += += 10 2 2 1 y 10 1 2 1 x thì tổng x+2y lớn nhất 0,25 điểm Bài 3: (5 điểm) Câu 1:(3 điểm) TXĐ: -1x1 0,25 điểm Pt đã cho [ ] 2332 x12)x1()x1( 2 x1 x1 2 x1 +=+ + ++ 1,0 điểm [ ] [ ] 22 2 x12x1x1x1x1x1 2 x1x1 +=++++ ++ 0,75đ ( x1 + + x1 )( x1 + - x1 )= 2 0,5 điểm 1+x-1+x = 2 x= 2 2 (thỏa mãn) 0,5 điểm Câu 2: (2 điểm) Vì cosx=0 không phải là nghiệm của phơng trình: Vì cosx=0 => x= k 2 + thì sin3( k 2 + ).[1-4sin 2 ( k 2 + )] 2 1 0,25 điểm Nhân hai vế của phơng trình với cosx ta đợc: Sin3x.(cosx - 4sin 2 x.cosx) = 2 1 cosx 2sin3x(4cos 3 x-3cosx) = cosx 0,25 điểm 2sin3x.cos3x = cosx 0,5 điểm sin6x =sin( 2 -x) 0,5 điểm ++= += 2kx 2 x6 2kx 2 x6 += += 5 2k 10 x 7 2k 14 x , (kZ) 0,5 điểm Bài 4: (4 điểm) a) (2 điểm) Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI BC, SA mp(ABC) Nên SI BC (định lý 3 đờng vuông góc) 0,5 điểm Kẻ CL SB thì SI CL = H Gọi J là trung điểm của AB; O là trực tâm của ABC Ta có CJ mp(SAB) => CJ SB (1) Mặt khác CL SB (2) Từ (1) và (2) suy ra SB HO 0,5 điểm Vì OH trong mp(SAI) nên OH BC => OH mp(SBC) 0,5 điểm Hay OH là đờng thẳng Hy. Vậy Hy luôn luôn đi qua điểm O cố định 0,5 điểm b) (2 điểm) A B C S 'S I J L H O h x Xét SIS' ta có IA SS', S'H SI Do đó O là trực tâm của SIS' 0,5 điểm Nên AS.AS' = AI.AO => AS' = h2 a 2 0,5 điểm Vậy SS' = SA + AS' = h+ h2 a 2 2 a 2 =a 2 0,75 điểm Dấu "=" xảy ra khi h= h2 a 2 => h= 2 2a 0,25 điểm Chú ý: 1)Bài hình không có hình vẽ thì không chấm 2)Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì ngời chấm cho điểm tơng ứng phần đúng đó. . Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12- Bảng A (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1: (7 điểm) 1) Xét. x32 12x5 + 0,25 điểm Điểm tới hạn: x= 3 2 ; x= 5 12 0,25 điểm x - 2/3 12/ 5 + y' + - 0 + y 0,5 điểm Hàm số đồng biến trong khoảng (-; 2/3) (12/ 5;