Chuyên đề 1: hàm số lợng giác. I. Kiến thức cơ bản. 1. Hàm số y = sin x. */ Tập xác định: D = Ă ; */ x Ă ta luôn có: 1 sin 1x ; */ Hàm số y = sin x là một hàm số lẻ trên Ă và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 . */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y 0 2. Hàm số y = cos x. */ Tập xác định: D = Ă ; */ x Ă ta luôn có: 1 cos 1x ; */ Hàm số y = cos x là một hàm số chẵn trên Ă và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 . */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y 0 3. Hàm số y = tan x. */ Tập xác định: \ , 2 D k k = + ÂĂ ; */ Hàm số y = tan x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ; */ Đồ thị: -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -/4 4. Hàm số y = cot x. */ Tập xác định: { } \ ,D k k = ÂĂ ; 1 */ Hàm số y = cot x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ; */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y /4 -/4 0 5. Chú ý. Một số các giá trị đặc biệt của các hàm số lợng giác: */ sin 1 2 , 2 x x k k = = +  ; */ sin 0 ,x x k k = =  ; */ sin 1 2 , 2 x x k k = = +  ; */ cos 1 2 ,x x k k = = +  ; */ cos 0 , 2 x x k k = = +  ; */ cos 1 2 ,x x k k = =  ; */ tan 1 , 4 = = + Âx x k k ; */ tan 0 ,x x k k = =  ; */ tan 1 , 4 x x k k = = +  ; */ cot 1 , 4 = = + Âx x k k ; */ cot 0 , 2 x x k k = = +  ; */ cot 1 , 4 x x k k = = +  ; II. Kỹ năng cơ bản. 2 Tìm tập xác định; xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và vẽ đợc đồ thị của một hàm số l- ợng giác. III. Một số ví dụ A. Ví dụ tự luận. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số: 1/ cos2y x= 2/ sin 3y x= 3/ 1 siny x = 4/ 2 cos 4y x= Giải. 1/ Do 2 ,x x Ă Ă nên hàm số đã cho có tập xác định là D = Ă . 2/ Hàm số sin 3y x= xác định khi và chỉ khi 3 0 0x x . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là [ ) 0;D = + . 3/ Hàm số 1 siny x = xác định khi và chỉ khi 1 0.x x Ă Vậy tập xác định của hàm số đã cho là { } \ 0D = Ă . 4/ Hàm số 2 cos 4y x= xác định khi và chỉ khi 2 2 4 0 2 x x x . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là ( ] [ ) ; 2 2;D = + . Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số: 1/ 1 cos sin x y x = ; 2/ 2 cos3y x= ; 3/ cot 3 y x = + ữ ; 4/ tan 2 6 y x = ữ . Giải. 1/ Hàm số 1 cos sin x y x = xác định khi và chỉ khi sin 0 ,x x k k  . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là { } \ ,D k k = ÂĂ . 2/ Hàm số 2 cos3y x= xác định khi và chỉ khi 2 cos3 0x . Mà 2 cos3 0x x Ă . Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D = Ă . 3/ Hàm số cot 3 y x = + ữ xác định khi và chỉ khi sin 0 , 3 3 3 x x k x k k + + + ữ  . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \ , 3 D k k = + ÂĂ . 3 4/ Hàm số tan 2 6 y x = ữ xác định khi và chỉ khi 2 cos 2 0 2 2 , . 6 6 2 3 3 2 x x k x k x k k + + + ữ  Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \ , 3 2 D k k = + ÂĂ . Lu ý: +/ Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để f(x) có nghĩa. +/ Tìm tập xác định của hàm số lợng giác, ta cần lu ý tập xác định của 4 hàm số l- ợng giác nói trên và một số giá trị đặc biệt của nó. Ví dụ 3: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số: 1/ y = x 2 sin 3x 2/ y = cosx + sin 2 x 3/ y = tanx.cos2x 4/ y = 2cosx 3sinx. Giải. 1/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = x 2 sin 3x là D = Ă . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = (-x) 2 sin(-3x) = - x 2 sin3x = - f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên Ă . 2/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = cosx + sin 2 x là D = Ă . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = cos(- x) + sin 2 (- x) = cosx + sin 2 x = f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên Ă . 3/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = tanx.cos2x là \ , 2 D k k = + ÂĂ . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên D. 4/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = 2cosx 3sinx là D = Ă . Ta có 5 2 f 4 2 = ữ , mặt khác 2 f 4 2 = ữ nên f f 4 4 ữ ữ . Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ. Lu ý: */ Phơng pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x): +/ Tìm tập xác định D của hàm số. +/ Xét x D nếu ( ) ( ) x D f x f x = thì hàm số là hàm số chẵn. Nếu ( ) ( ) x D f x f x = thì hàm số là hàm số lẻ. 4 */ Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng là trục Oy; Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Ví dụ 4: 1/ Chứng minh rằng ( ) cos2 cos2x k x k + =  . Từ đó, vẽ đồ thị hàm số y = cos2x. 2/ Từ đồ thị hàm số y = cos2x, hãy vẽ đồ thị hàm số cos2y x= . Giải. 1/ Ta có ( ) ( ) cos2 cos 2 2 cos2 , .x k x k x k + = + =  Do đó hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kỳ . Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên một đoạn có độ dài bằng , rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài ta đợc đồ thị hàm số. Mặt khác, hàm số y = cos2x là hàm số chẵn, nên ta lại chỉ cần vẽ đồ thị hàm số đó trên đoạn 0; 2 sau đó lấy đối xứng qua trục tung, ta đợc đồ thị hàm số trên đoạn ; 2 2 . Đồ thị hàm số y = cos2x: -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 3/4 5/4 -/4 -3/4-5/4 0 2/ Ta có = = < cos2 cos2 0 cos2 cos2 cos2 0 x nếu x y x x nếu x . Vậy đồ thị hàm số cos2y x= (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = cos2x bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần dới trục hoành qua trục hoành. -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 3/4 5/4 -/4 -3/4 -5/4 0 Ví dụ 5: Từ đồ thị hàm số y = tanx, hãy vẽ đồ thị hàm số 1/ tan 4 y x = ữ 2/ y = tanx - 1 2 Giải. 5 1/ Ta có đồ thị hàm số tan 4 y x = ữ (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx ( nét đứt) bằng cách tịnh tiến song song với trục Ox sang phải một đoạn bằng 4 ( hình vẽ) -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -3/4 5/4 2/ Ta có đồ thị hàm số y = tanx - 1 2 (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx (nét đứt)bằng cách tịnh tiến song song với trục tung xuống phía dới 1 2 đơn vị. -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -/4 -1/2 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 1/ 2cos 1 3 = ữ y x 2/ = + 1 sin 3y x Giải: 1/ Ta có ữ ữ Ă : 1 cos 1 2 2cos 2 3 1 3 3 x x x y . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, xảy ra khi = = = + ữ Âcos 1 2 2 , . 3 3 3 x x k x k k Giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt đợc khi = = + = + ữ  4 cos 1 2 2 , . 3 3 3 x x k x k k 2/ Ta có + + Ă ,0 1 sin 2 0 1 sin 2 3 2 3.x x x y 6 Vậy, giá trị lớn nhất của y là 2 3 , khi = = + Âsin 1 2 , 2 x x k k ; giá trị nhỏ nhất của y là -3, khi sin x = -1 = + Â2 , . 2 x k k B. Ví dụ trắc nghiệm khách quan. 1/ Tập xác định của hàm số = 1 sin2 y x là A. { } ÂĂ \ ,k k B. Ă C. ÂĂ \ , 2 k k D. ÂĂ 2 \ , 3 k k .2/ Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Hàm số y = -2sinx là hàm số lẻ. B. Hàm số y = -tanx sinx là hàm số lẻ. C. Hàm số y = sinx + x là hàm số lẻ. D. Hàm số y = tanx + cosx là hàm số lẻ. 3/ Hàm số sin2 tan x y x = là hàm số: A. Chẵn B. Lẻ C. Không chẵn, không lẻ D. Vừa chẵn, vừa lẻ. . 4/ Hàm số cos4y x= là hàm số tuần hoàn với chu kỳ: A. 2 B. C. 2 D. 3 5/ Giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số y = 2sinx + 3 là: A. m =1, M= 5 B. m =-5 ,M =-1 C. m=-5, M=1 D. m=-1, M=5 6/ Cho hàm số 2cos 3 y x = + ữ . Chọn mệnh đề sai: A. max y = 2 B. min y = -2 C. TXĐ D = Ă D. Hàm số là hàm chẵn 7/ Chn mnh ỳng trong cỏc mnh sau: A. Hm s y = tanx v y = cosx cựng ng bin trờn khong ; 2 ữ . B. Hm s y = sinx v y = cotx cựng nghch bin trờn khong ; 2 ữ . C. Hm s y = tanx ng bin trờn ; 2 2 ữ v y = cotx nghch bin trờn khong ; 2 2 ữ . D. Hm s y = sinx v y = cosx cựng ng bin trờn khong 0; 2 ữ . 8/ Cho [ ] ;0x , rỳt gn 2 2cosP x= , chn kt qu ỳng: 7 A. 2sin 2 x P = B. 2cos 2 x P = C. 2sin 2 x P = D. 2cos 2 x P = Gii. 1/ Chọn phơng án C, vì hàm số đã cho xác định khi sin2 0 2 , 2 k x x k x k  2/ Chọn phơng án D, vì các hàm số y = sinx, y= tanx, y = x đều là các hàm số lẻ, nên các hàm số ở trong các phơng án A, B, C là các hàm số lẻ.Còn hàm số y = cosx là hàm số chẵn, nên hàm số trong phơng án D không thể là hàm số lẻ, thực ra nó là hàm số không chẵn, không lẻ. 3/ Chọn phơng án A, vì hàm số đã cho có TXĐ là \ , 2 D k k = + ÂĂ và ( ) ( ) sin 2 sin2 tan tan x x x x = 4/ Chọn phơng án C. Để ý rằng cos4 cos4 . 2 x k x k + = ữ Ă 5/ Chọn phơng án A, vì 1 sin 1 1 5x x y x Ă Ă và 1 sin 1 2 , 2 5 sin 1 2 , 2 y x x k k y x x k k = = = + = = = +   6/ Chọn phơng án D. Hàm số đã cho thực chất là hàm không chẵn, không lẻ. 7/ Chọn phơng án B. Dựa vào sự biến thiên của các hàm số lợng giác. 8/ Chọn phơng án C, vì 2 4sin 2 x P = và [ ] sin 0 ;0 2 x x . IV. Bài tập. A.Bài tập tự luận. Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1/ 1 sin cos2 x y x + = ; 2/ 2 3 sin 2 y x= ; 3/ 2 cot 2 3 y x = + ữ ; 4/ tan 3 6 y x = ữ . Bài 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 1/ y = cos5x; 2/ y = tanx + 2sinx; 3/ sin3x y x = ; 4/ y = sinx + cosx. Bài 3.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số: 8 1/ 3sin 1 6 y x = + + ữ ; 2/ 1 sin2 2y x= + ; 3/ y = cos3x + sin3x; 4/ y = sinx + cos2x Bài 4. Chứng minh hàm số y = sin2x là một hàm tuần hoàn với chu kỳ . Bài 5. Chứng minh hàm số sin=y x là một hàm tuần hoàn, tìm chu kỳ, xét tính chẵn lẻ và vẽ đồ thị hàm số. Bài 6. Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sin 3 y x = + ữ và 1 sin 2 y x= + . Bài 7. Chứng minh rằng: a/ sinx < cosx với 0 4 x < < . b/ sinx > cosx với 4 2 x < < . B. Bài tập trắc nghiệm. Bài 8. Chọn mệnh đề đúng: A. Hàm số y = sin x và y = cot x có cùng tập xác định. B. Hàm số y = sin x và y = cos x có cùng tập xác định. C. Hàm số y =cos x và y = tan x cùng là hàm lẻ. D. Hàm số y = sin x và y = cot x cùng là hàm chẵn. Bài 9. Tập xác định của hàm số tan 4 y x = + ữ là: A. \ , 2 D k k = + ÂĂ B. \ , 4 D k k = + ÂĂ C. \ 2 , 4 D k k = + ÂĂ D. \ 2 , 2 D k k = + ÂĂ Bài 10 . Trong khoảng ( ) 2 ; các hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dơng: A. y = cos x B. y = sin x C. y = tan x D. y = cot x Bài 11. Tìm khoảng mà trên đó các hàm số y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x cùng dấu: A. ; 4 4 ữ B. 5 3 ; 4 2 ữ C. ; 4 3 ữ D. 3 ;2 4 ữ Bài 12. Tập giá trị của hàm số y = 2cos x 3 là: A. [-5; -1] B. [-5; 1] C. [-1;5] D. [1; 5] Bài 13. Tìm hàm số chẵn trong các hàm số sau: A. cos x y x = B. sin=y x C. 3 tany x = D. cos coty x x= + 9 Bài 14. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O: A. sin3y x x= B. cos 2 sin x y x = + C. 3 cos2y x x = D. tan 2cosy x x x= + Bài 15. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua trục Oy: A. cos siny x x = + B. 2 siny x x= C. 2cos siny x x x = + D. sin 2 cos x y x = + Bài 16. Chọn câu sai: A. Hàm số sin 4 y x = + ữ và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; B. Hàm số 2 siny x= và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; C. Hàm số cosy x= và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; D. Hàm số sin2y x= và y = tan x cùng có chu kỳ là ; Bài 17. Chu kỳ của hàm số y = sin2x + 2cos2x là A. 3 B. 2 C. D. 2 Bài 18. GTLN (M) và GTNN (m) của hàm số 3 sin 1 1y x= + là: A. 2 1, 0M m= = B. 2, 0M m= = C. 3 2 1, 1M m= = D. 3 2 1, 1M m= + = 10 . -2sinx là hàm số lẻ. B. Hàm số y = -tanx sinx là hàm số lẻ. C. Hàm số y = sinx + x là hàm số lẻ. D. Hàm số y = tanx + cosx là hàm số lẻ. 3/ Hàm số sin2. nên các hàm số ở trong các phơng án A, B, C là các hàm số lẻ.Còn hàm số y = cosx là hàm số chẵn, nên hàm số trong phơng án D không thể là hàm số lẻ, thực