PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TỪNG PHẦN Giải Tích 12 GV: Nguyễn Thanh Tru NEWTON-LEIBNITZ MỤC ĐÍCH YÊU CẦU: • * Học Sinh định dạng tích phân cần tính, qua dùng phương pháp tương ứng để tính • * Hiểu để tính tích phân phần cần phải đặt u dv cách hợp lý • * Qua cố lại kiến thức học: • Định nghóa tính chất nguyên hàm tích phân, rèn luyện kỷ tính tích phân, vận dụng cách sáng tạo KIỂM TRA BÀI CỦ : • 1) Vi phân hàm số y = sinx x là: A dy = cosxdx • B dy = - cosxdx • C dy = sinxdx • D câu • • 2) Nếu u =u(x) vàv=v(x) có đạo hàm x • • • • [u(x).v(x)]’ x là: A [u(x).v(x)]’= u’(x).v(x) + u(x).v’(x) B [u(x).v(x)]’= u’(x).v’(x) + u(x).v(x) C [u(x).v(x)]’= u’(x).v’(x) -u(x).v(x) D caû câu 3)Ta có: [u(x).v(x)]’= u’(x).v(x) + u(x).v’(x) u(x).v(x) gọi nguyên hàm : u’(x).v(x) + u(x).v’(x) lúc ta viếtù: b b a b a A ∫ [u(x).v(x)]'dx= ∫ [u ′(x)v(x)+u(x)v′(x)]dx • B ∫ [u ′(x)v(x)+u(x)v′(x)]dx= u(x)v(x) a b a b C b b a a a ∫ [u′(x)v(x)+u(x)v′(x)]dx= ∫ u′(x)v(x)dx+∫ u(x)v′(x) D Câu A B 4)Xử dụng phương pháp đổi biến số tính : Hoặc dùng nguyên hàm hàm hợp e lnx ∫ x dx Tính dx u=lnx ⇒ du= x Đặt x 1 e e lnx ∫ x dx= ∫ lnxd(lnx) 1 e u e e = ln x lnx ∫ x dx.= ∫ udu= u = 1 = NỘI DUNG BÀI MỚI ĐỊNH LÝ : Nếu hai hàm số u=u(x) v=v(x) có đạo hàm liên tục [a;b] thì: b b ∫ u(x)v′(x)dx= (u(x).v(x)) -∫ v(x).u′(x)dx b a a b hay a b ∫ u(x)dv=[u(x).v(x) -∫ v(x)du b a a a CHỨNG MINH • Ta có: [u(x).v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x).v’(x) • Điều chứng tỏ u(x).v(x) nguyên hàm u’(x).v(x)+u(x).v’(x) [a;b] Do b [u′(x).v(x)+u(x).v′(x)]dx=[u(x).v(x) a ∫ b a mà b b b a a a ∫ [u′(x).v(x)+u(x).v′(x)]dx= ∫ u′(x).v(x)dx+ ∫ u(x).v′(x)dx(t/c) Vậy b b b ∫ u′(x).v(x)dx+∫ u(x).v′(x)dx= u(x).v(x) a a a Hay b b b a a a ∫ u(x).v′(x)dx=[u(x).v(x)] -∫ v(x).u′(x)dx Vì u=u(x) ⇒ du=u ′(x)dx Và v=v(x) ⇒ dv=v′(x)dx CHÚ Ý: b a Vậy b a ∫ udv = u.v Đặt b − ∫ vdu a du=u'(x)dx u=u(x)  ⇒  dv=v(x)  v= ∫ v(x)dx=V(x)+C  Ta chọn C = ⇒ v = V(x) VÍ DỤ1 ∫ x.e dx x • Tính du=dx 0u=x ⇒  x x  dv=e dx  v=e Đặt Áp dụng công thức ta có: 1 x ∫ xe dx= x.e -∫ e dx x 0 = xe Vậy x ∫ xe dx x 0 x -e x =(e-0)-(e-1) =1 NHẬN XÉT Hàm số f(x) P ( x )e x Đặt u(x) P( x) d(v(x)) x e dx VÍ DỤ π ∫ xcosxdx • Tính du=dx u=x ⇒   v=sinx dv=cosxdx Đặt Áp dụng cơng thức ta có: π ∫ x cos xdx = x sin x π π π − ∫ sin xdx = xsinx + cosx π = -1 π NHẬN XÉT Hàm số f(x) P(x)cosx Đặt u(x) d(v(x)) P( x) cosxdx VÍ DỤ e • Tính ∫ 2xlnxdx dx  du= u=lnx Đặt ⇒ x  dv=2xdx  v=x  Áp dụng công thức ta có: e e e 2xlnxdx = x ln x − ∫ xdx ∫ 1 e x =x lnx =e - (e -1) 2 e e +1 ∫ 2xlnxdx= 2 e NHẬN XÉT Hàm số f(x) P(x)lnx Đặt u(x) lnx d(v(x)) P(x)dx TỪ NHỮNG VÍ DỤ TRÊN ,TA SUY RA CÁCH ĐẶT U VÀ V TRONG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN NHƯ SAU: Đặt d(v(x)) Hàm số f(x) Đặt u(x) P(x)sinax P(x) Sinaxdx P(x)cosax P(x) Cosaxdx P(x)lnx Lnx P(x)dx P(x)eax P(x) eaxdx eaxsinbx eax(hoaëc sinbx) Sinbxdx eaxcosbx eax(hoặc cosax) Cosbxdx Dùng tích phân hai lần với u=eax Hãy đề nghị cách đặt u dv thích hợp cho hàm số sau: π e e e 1 a) ∫ xe dx b) ∫ x sinxdx c) ∫ lnxdx d) ∫ xlnxdx e) ∫ e sinxdx x 0 x Đáp Án: u=x u=lnx u=x b)  c)  d) a)  x dv=e dx dv=sinxdx dv=dx π TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU: 1.∫ xcos2xdx π x u=lnx u=e  e)   dv=xdx dv=sinxdx 4.∫ xsinxcos xdx e3 π 2.∫ (x+e cosx 5.∫ xe3x dx )sinxdx ln(lnx) ∫ dx x e2 6.∫ (3x+2)lnxdx CŨNG CỐ: @KHI TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN, TA CẦN NHẬN XÉT DẠNG CỦA HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN ĐỂ CĨ CÁCH ĐẶT THÍCH HỢP @CƠNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN @TRONG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TA KHƠNG ĐỔI BIẾN SỐ