Đang tải... (xem toàn văn)
GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN . tất cả những vấn đề lý thuyết về GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN , những công thức cần thiết về GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN , nội dung chính về GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN , bài tập về GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN - - TRẦN ANH VIỆT BÀI GIẢNG: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Năm Nămhọc học 2016-2017 2015 - 2016 (Lưu hành nội bộ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN - - TRẦN ANH VIỆT BÀI GIẢNG: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Năm 2016-2017 Nămhọc học 2015 - 2016 (Lưu hành nội bộ) Mục lục Biến cố ngẫu nhiên phép tÝnh x¸c suÊt 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy t¾c céng 1.1.2 Quy tắc nhân 1.1.3 ChØnh hỵp (không lặp) 1.1.4 Chỉnh hợp lặp 1.1.5 Hoán vị 1.1.6 Tỉ hỵp 1.1.7 NhÞ thøc Newton Phép thử ngẫu nhiên biến cè ngÉu nhiªn 1.2.1 Khái niệm phép thử ngẫu nhiên biến cố ngÉu nhiªn 1.2.2 Các phép toán mối quan hệ c¸c biÕn cè Các định nghĩa x¸c suÊt 10 1.3.1 Định nghĩa xác suất cổ điển 10 1.3.2 Định nghĩa xác suất hình häc 13 1.3.3 Định nghĩa xác suất theo thống kê 15 1.3.4 Tính chất ý nghĩa xác suất 16 1.3.5 Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ 16 C¸c phÐp tÝnh x¸c suÊt 17 1.4.1 C«ng thøc céng x¸c suÊt 17 1.4.2 C«ng thức nhân xác suất 18 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 22 1.5.1 Công thức xác suất đầy đủ 22 1.5.2 C«ng thøc Bayes 23 C«ng thøc Bernoulli 24 1.6.1 D·y phÐp thö Bernoulli 24 1.6.2 C«ng thøc Bernoulli 24 BiÕn ngÉu nhiªn 39 i 2.1 2.2 2.3 2.4 Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất 40 2.1.1 Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên 40 2.1.2 Luật phối xác suất biến ngẫu nhiên rêi r¹c 42 2.1.3 LuËt ph©n phèi xác suất biến ngẫu nhiên liên tục 46 Các đặc tr−ng sè cđa biÕn ngÉu nhiªn 49 2.2.1 Kú väng (Expected) 49 2.2.2 Phơng sai (Variance) độ lệch chuẩn (Standard error) 51 2.2.3 Mod (mode) 56 2.2.4 Phân vị xác suất - Trung vị (Median) 56 Các luật phân phối xác suất thờng dùng 58 2.3.1 Phân phối không - mét 58 2.3.2 Ph©n phèi nhÞ thøc (Binomial distribution) 59 2.3.3 Phân phối siêu bội (Hypergeometric distribution) 61 2.3.4 Ph©n phèi Poisson (Poisson distribution) 63 2.3.5 Ph©n phèi chuÈn (Normal distribution) 65 2.3.6 Ph©n phèi bình phơng (n) 73 2.3.7 Ph©n phèi Student 75 LuËt số lớn định lí giới hạn 77 2.4.1 Một số loại hội tụ xác suất 78 2.4.2 LuËt sè lín 78 2.4.3 C¸c định lí giới hạn ứng dụng 80 Lý thuyÕt mÉu 3.1 3.2 3.3 3.4 96 Tỉng thĨ vµ mÉu 96 3.1.1 Tỉng thĨ vµ kÝch th−íc cđa tỉng thĨ 96 3.1.2 MÉu vµ kÝch th−íc mÉu 97 3.1.3 Biến ngẫu nhiên gốc mẫu cụ thể 97 3.1.4 §iỊu kiÖn chän mÉu 98 Bố trí mẫu phân phối mẫu 98 3.2.1 Phân loại mẫu bảng phân phối tần số 98 3.2.2 Bảng phân phối tần suất đa giác tần suất 100 3.2.3 Hàm phân phối mẫu đa giác tần suất tÝch luü 101 Mẫu ngẫu nhiên thống kª 102 3.3.1 MÉu ngÉu nhiªn 102 3.3.2 Thèng kª 103 Các tham số đặc trng tổng thể mẫu 103 3.4.1 Các đặc trng sè cđa tỉng thĨ 103 ii 3.5 3.6 Các đặc trng số mẫu 104 3.4.3 Liên hệ đặc trng mẫu ®Ỉc tr−ng tỉng thĨ 105 Thực hành tính toán đặc trng số mẫu cụ thể 106 3.5.1 Trung b×nh mÉu 106 3.5.2 Ph−¬ng sai mÉu hiƯu chØnh 107 3.5.3 Tû lÖ mÉu 109 LuËt ph©n phối đặc trng mẫu 109 3.6.1 Ph©n phèi cđa tû lÖ mÉu F 109 3.6.2 Ph©n phèi cđa ph−¬ng sai mÉu hiƯu chØnh 110 3.6.3 Phân phối trung bình mẫu X 110 Lý thuyết ớc lợng 114 4.1 Khái niệm −íc l−ỵng 115 4.2 Hµm ớc lợng phơng pháp ớc lợng điểm 115 4.3 3.4.2 4.2.1 Ước lợng không chệch 116 4.2.2 Ước lợng hiệu 117 4.2.3 ¦íc lợng vững 118 Phơng pháp ớc lợng khoảng 118 4.3.1 Mở đầu 118 4.3.2 Ước lợng khoảng tin cậy cho tỷ lệ cđa tỉng thĨ 119 4.3.3 Ước lợng khoảng tin cËy cho trung b×nh tỉng thĨ 123 4.3.4 ¦íc lợng khoảng tin cậy cho phơng sai tổng thể 131 Kiểm định giả thiết thống kê 5.1 5.2 145 Các khái niệm kiểm định giả thiết 146 5.1.1 Giả thiết H0 ®èi thiÕt H1 146 5.1.2 Phân loại toán kiểm định giả thiết 147 5.1.3 Nguyên lý kiểm định giả thiÕt 147 5.1.4 Chọn tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê 147 5.1.5 Møc ý nghĩa miền bác bỏ giả thiết H0 148 5.1.6 Quy t¾c chung thực toán kiểm định 148 5.1.7 Các loại sai lầm mắc phải kiểm định giả thiết 148 Kiểm định giả thiết tỷ lệ tổng thể 150 5.2.1 Kiểm định hai phía 150 5.2.2 Kiểm định phía phải 152 5.2.3 KiÓm định phía trái 154 iii 5.3 Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể 156 5.3.1 Đà biết phơng sai tỉng thĨ σ 156 5.3.2 Ph−¬ng sai tỉng thĨ σ ch−a biÕt, cì mÉu n > 30 160 5.3.3 Ph−¬ng sai tỉng thĨ σ ch−a biÕt, cì mÉu n 30, X cã ph©n phèi chuÈn 161 iv Lêi nãi đầu Lý thuyết xác suất thống kê toán nghiên cứu tợng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Ta hiểu tợng ngẫu nhiên tợng nói trớc xảy hay không xảy thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tợng ngẫu nhiên phép thử nh nhau, ta rút đợc kết luận khoa học tợng Lý thuyết xác suất sở để nghiên cứu Thống kê toán; môn học nghiên cứu phơng pháp thu thËp th«ng tin chän mÉu, xư lý th«ng tin, nh»m rút kết luận định cần thiết Ngày nay, với hỗ trợ tích cực máy tính điện tử công nghệ thông tin, xác suất thống kê ngày đợc ứng dụng rộng rÃi hiệu lĩnh vực khoa học tự nhiên xà hội Chính lý thuyết xác suất thống kê toán đợc giảng dạy cho hầu hết nhóm ngành đại học - cao đẳng Hiện nay, có nhiều tài liệu chuyên viết lý thuyết xác suất thống kê toán Tuy nhiên, tài liệu thờng đợc dùng chung cho sinh viên chuyên ngành toán nh không chuyên toán Đối với sinh viên không chuyên học toán cần phải có tài liệu học tập thích hợp với đối tợng Xuất phát từ thực tế đó, biên soạn "Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê toán" Giáo trình đợc biên soạn theo đề cơng tín Đại học Duy Tân Trong giáo trình này, đà cố gắng trình bày súc tích, ngắn gọn nhng đầy đủ khái niệm cốt lõi đa nhiều ví dụ, hình vẽ minh hoạ để độc giả dễ nắm bắt đợc vấn đề Một số lợng lớn câu hỏi ôn tập tập có đáp án đợc đa sau chơng mức độ dễ, vừa, khó Cuốn giáo trình đợc chia chơng: Chơng Biến cố ngẫu nhiên phép tính xác suất Chơng Biến ngẫu nhiên Chơng Lý thuyết mẫu Chơng Lý thuyết ớc lợng Chơng Kiểm định giả thiết thống kê Chơng Biến ngẫu nhiên hai chiều - Tơng quan hàm hồi quy Trong giáo trình này, đà trình bày tính toán phần mềm Excel Các công cụ hàm Excel vận dụng vào tính toán xử lý số liệu đợc trình bày chi tiết phần phụ lục Trớc nghiên cứu nội dung chi tiết, ngời học nên xem phần giới thiệu chơng, để thấy đợc mục đích, ý nghĩa, yêu cầu chơng Trong chơng, nội dung, ngời học tự đọc hiểu đợc cặn kẽ thông qua cách diễn đạt dẫn rõ ràng Đặc biệt độc giả nên ý đến nhận xét, bình luận, để hiểu sâu sắc mở rộng tổng quát kết hớng ứng dụng vào thực tế Cuốn giáo trình không tránh khỏi sai sót Chúng xin hoan nghênh đón nhận ý kiến đóng góp độc giả Đà nẵng, tháng năm 2015 Tác giả Chơng Biến cố ngẫu nhiên phép tính xác suất A Mục tiêu chơng Các tợng tự nhiên hay xà hội xảy cách ngẫu nhiên (không biết trớc kết quả) tất định (biết trớc kết xảy ra) Chẳng hạn ta biết chắn lông quạ có mầu đen, vật đợc thả từ cao chắn rơi xuống đất Đó tợng diễn có tính quy luật, tất định Trái lại, tung đồng xu ta mặt sấp hay mặt ngửa xuất hiện; biết có bao khách hàng đến giao dịch ngân hàng ngày; có khách du lịch đến TP Đà Nẵng khoảng thời gian đó; xác định trớc số chứng khoán thị trờng chứng khoán Đó tợng ngẫu nhiên Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tợng ngẫu nhiên điều kiện nh nhau, nhiều trờng hợp ta rút nh÷ng kÕt ln cã tÝnh quy lt vỊ nh÷ng hiƯn tợng Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tợng ngẫu nhiên Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tợng ngẫu nhiên xảy nh Chính phơng pháp lý thuyết xác suất đợc ứng dụng rộng rÃi việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế - xà hội Chơng trình bày cách có hệ thống khái niệm kết vỊ lý thut x¸c st nh− : - Kh¸i niƯm phép thử, biến cố - Mối quan hệ biến cố - Các phép toán biến cố - Các định nghĩa xác suất: Định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo hình học, theo thống kê - Các phép tính xác suất: Công thức cộng xác suất, xác suất biến cố đối lập - Xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes - Công thức Bernuolli Khi nắm vững kiến thức đại số tập hợp nh: Hợp, giao tập hợp, tập ng−êi häc sÏ dƠ dµng viƯc tiÕp thu, biểu diễn mô tả biến cố Để tính xác suất biến cố theo phơng pháp cổ điển đòi hỏi phải tính số trờng hợp thuận lợi biến cố số trờng hợp Vì học viên cần nắm vững phơng pháp đếm - giải tích tổ hợp (đà đợc học phổ thông) Tuy nhiên để thuận lợi cho ngời học nhắc lại kết mở đầu Một khó khăn toán xác suất xác định đợc biến cố sử dụng công thức thích hợp Bằng cách tham khảo ví dụ giải nhiều tập rèn luyện tốt kỹ B Nội dung 1.1 1.1.1 Giải tích tổ hợp Quy tắc cộng Nếu đối tợng A đợc chọn theo mét hai tr−êng hỵp Tr−êng hỵp thø nhÊt có n1 cách chọn, trờng hợp thứ hai có n2 cách chọn Khi số cách chọn A là: n = n1 + n2 VÝ dô 1.1.1 Mét sinh viên thi cuối kỳ chọn đề thi có hai loại đề: đề dễ có 48 câu hỏi đề khó có 32 câu hỏi Hỏi có cách chọn đề thi? Giải Sinh viên có 48 cách chọn đề dễ có 32 cách chọn đề khó Vì có 48+32 = 80 cách chọn đề thi 1.1.2 Quy tắc nhân Nếu đối tợng A đợc chọn n1 cách, với cách chọn A ta có n2 cách chọn đối tợng B Khi số cách chọn A B là: n = n1 n2 Ví dụ 1.1.2 Đi tõ A ®Õn B cã thĨ ®i theo lé trình, ứng với lộ trình từ A đến B có cách từ B đến C Nh có tất 3.2 = lộ trình ®i tõ A ®Õn C A C B VÝ dô 1.1.3 Một bé mang họ cha Trần họ mẹ Nguyễn, tên đệm là: Anh, Minh, tên là: Nhân, Đức, Trí Hỏi có cách đặt tên cho bé? Giải Có cách chọn họ, cách chọn tên đệm, cách đặt tên nên có: 2.2.3 = 12 cách đặt tên cho bé Nếu liệt kê ra, đợc tên sau: Trần Anh Nhân, Trần Anh Đức, Trần Anh Trí Trần Minh Nhân, Trần Minh Đức, Trần Minh Trí Nguyễn Anh Nhân, Nguyễn Anh Đức, Nguyễn Anh Trí Nguyễn Minh Nhân, Nguyễn Minh Đức, Nguyễn Minh Trí 1.1.3 Chỉnh hợp (không lặp) Mỗi k phần tử có kể đến thứ tự, đợc lấy không lặp từ tập n phần tử (1 chỉnh hợp chập k n phần tử đà cho k n) gọi Kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử Akn , ta có: Akn = 1.1.4 n! (n k)! (1.1.1) Chỉnh hợp lặp Mỗi k phần tử (k tuỳ ý) có kể đến thứ tự, đợc lấy lặp từ tập n phần tử gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử đà cho Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Fnk , ta có: Fnk = nk (1.1.2) Ví dụ 1.1.4 Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, lập đợc số tự nhiên: a Có chữ số b Có chữ số c Có chữ số đôi khác Giải: a Một số tự nhiên có chữ số đợc lấy từ chữ số đà cho chỉnh hợp lặp chập phần tử Do số số tự nhiên có ba chữ số số chỉnh hợp lặp: F53 = 53 = 125 b Một số tự nhiên có chữ số đợc lấy từ chữ số đà cho (ví dụ nh 112345) chỉnh hợp lặp chập phần tử Do số số tự nhiên có chữ số số chỉnh hợp lặp: F56 = 56 = 15625 c Vì ba chữ số đôi khác nên số nh chỉnh hợp (không lặp) chập phần tử đà cho Do số số tự nhiên có ba chữ số đôi khác số chỉnh hợp, ta có: A35 = 5.4.3 = 60 Chú ý 1.1.1 Trong khái niệm chỉnh hợp (không lặp) (1 k chỉnh hợp lặp k số tự nhiên tuỳ ý, lớn n 1.1.5 n), khái niệm Hoán vị Hoán vị n phần tử cách xếp có thứ tự n phần tử Nh hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Trờng Sè häc sinh A 1900 B 2600 Sè häc sinh bá häc 175 325 Víi møc ý nghÜa 0,05 cã thể cho tình trạng bỏ học trờng B nghiêm trọng trờng A hay không? ĐS: W = z = −3, 5455 ∈ (−∞, −1, 645) Có sở để kết luận tỷ lệ học sinh bỏ học trờng B nghiêm trọng trờng A 32 Một tổ chức chăm sóc sức khỏe bà mẹ trẻ em muốn so sánh trọng lợng trung bình trẻ sơ sinh thành thị nông thôn ngời ta cân thử trọng lợng 10000 cháu thu đợc kết sau; Vùng Số cháu Nông thôn 8000 Thành thị 2000 Trọng lợng TB(Kg) Độ lệch chuẩn 3,0 0,9 3,2 0,4 Víi møc ý nghÜa 0,05 cã thể coi trọng lợng trung bình trẻ sơ sinh thành phố cao nông thôn hay không? §S: z = 1, 86 ∈ W = (1, 645; +) Có sở để kết luận trọng lợng trung bình trẻ em thành phố cao n«ng th«n 33 Hai líp häc cïng häc m«n thèng kê toán kết thi hết môn nh sau: Líp A Líp B n1 = 64 n2 = 68 x1 = 73, x2 = 76, s1 = 10, s2 = 11, Víi møc ý nghÜa 0,05 cho kết thi trung bình lớp B cao lớp A đợc không ĐS: Giá trị kiểm định: z = 1, 75 34 Để đánh giá hiệu chiến dịch quảng cáo, ngời ta so sánh doanh số công ty khu vực thị trờng trớc sau chiến dịch quảng cáo thu đợc số liệu sau: (Đơn vị: triệu đồng/tháng) Trớc QC Sau QC 620 660 600 620 640 670 630 620 570 580 600 630 174 Biết doanh số công ty có phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa 0,01 hÃy kiểm định xem chiến dịch quảng cáo có thực làm tăng doanh số bán công ty hay không? ĐS: z = −1, 1952 ∈ / W = (−∞; −3, 365) ChiÕn dịch quảng cáo có khả làm tăng doanh số bán công ty 35 Trồng giống lúa hai ruộng nh bón hai loại phân khác Đến ngày thu hoạch ta có kết nh sau: Thửa thứ lấy mẫu 1000 lúa thấy số hạt trung bình x = 70 hạt độ lệch chuẩn mẫu 10 hạt Thửa thứ hai lấy mẫu 500 lúa thấy số hạt trung bình y = 72 hạt độ lệch chuẩn mẫu 20 hạt Hỏi khác x, y ngẫu nhiên hay chất ĐS: Giá trị kiểm định z = 2, 108 Giá trị tới hạn 1, 96 Có thể nói khác x, y không ngẫu nhiên Kiểm định phơng sai 36 Từ mẫu kích thớc n = 15 rót tõ tỉng thĨ ph©n phèi chn ngời ta tìm đợc s2 = 144 Với mức ý nghĩa 0,01 hÃy kiểm định cặp giả thiết: H0 : σ = 138; H1 : σ > 138 ĐS: Giá trị kiểm định: = 14, 61 37 Trọng lợng gà lúc nở biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Nghi ngờ độ đồng trọng lợng gà bị giảm sút ngời ta cân thử 12 tìm đợc s2 = 11, 41(gr) Víi møc ý nghÜa 0,05 h·y kÕt ln vỊ ®iỊu nghi ngờ trên, biết bình thờng độ phân tán trọng lợng gà = 10(gr2 ) ĐS: Cha có sở để nghi ngờ độ đồng trọng lợng gà giảm sút 175 phơ lơc H−íng dÉn sư dơng mét sè hàm excel Giải tích tổ hợp Akn = P ERM U T (n, k) Cnk = COM BIN (n, k) Fnk = P OW ER(n, k) Pn = F ACT (n) VÝ dô A516 = P ERM U T (16, 5) = 524160 C20 = COM BIN (20, 8) = 125970 Phân phối nhị thức Cho X ∼ B(n, p) ta cÇn tÝnh P (X = x) hc P (X BIN OM DIST : P (X = x) = BIN OM DIST (x, n, p, f alse) P (X x) = BIN OM DIST (x, n, p, true) x) ta dùng hàm (Trong công thức thay f alse := 0, true := 1) VÝ dô Cho X ∼ B(10; 0.4) ta cÇn tÝnh P (X = 6); P (X 4) P (X = 6) = BIN OM DIST (6, 10, 0.4, 0) = 0.111477 P (X 4) = BIN OM DIST (4, 20, 0.4, 1) = 0.633103 Ph©n phèi Poisson Cho X ∼ P(λ) ta cÇn tÝnh P (X = x) hc P (X P (X = x) = P OISSON (x, λ, 0) P (X x) = P OISSON (x, λ, 1) x) th× ta cã thĨ dïng hµm P OISSON : VÝ dơ Cho X ∼ P(2) ta cần tính P (X = 3) P (X P OISSON : P (X = 3) = P OISSON (3, 2, 0) = 0.180447044 P (X 4) = P OISSON (4, 2, 1) = 0.947346983 4) th× ta cã thể dùng hàm Phân phối siêu bội Cho X ∼ H(N, M, n) ®Ĩ tÝnh P (X = x) hc P (X HY P GEOM DIST : P (X = x) = HY P GEOM DIST (x, n, M, N ) x) ta dïng hµm k P (X x) = HY P GEOM DIST (x, n, M, N ) x=0 VÝ dô Cho X ∼ H(10, 4, 3) ta cÇn tÝnh P (X = 2) P (X = 2) = HY P GEOM DIST (2, 3, 4, 10) = 0.3 Phân phối chuẩn ã Trong Excel để tính giá trị hàm mật độ f (x) hàm phân phối F (x) X N (à, σ ) ta dïng hµm: (x−µ)2 f (x) = √ e− 2σ2 = N ORM DIST (x, µ, σ, 0) σ 2π 176 x F (x) = √ σ 2π e− (t−µ)2 2σ dt = N ORM DIST (x, à, , 1) ã Để tính hàm ngợc phân phối chuẩn ta dùng hàm: N ORM IN V (p, à, ) Có nghĩa để tìm x tõ biÓu thøc: x F (x) = √ σ 2π e− (t−µ)2 2σ dt = p −∞ ta cã: x = N ORM IN V (p, µ, ) ã Để tính giá trị hàm phân phèi chuÈn t¾c X ∼ N (0, 1) ta dïng hàm N ORM SDIST (x): x ã Hàm phân phối: G(x) = x ã Hàm Laplace: (x) = √1 2π t2 e− dt = N ORM SDIST (x) −∞ t2 e− dt = N ORM SDIST (x) − 0.5, (x > 0) VÝ dô Φ(0.1) = N ORM SDIST (0.1) − 0.5 = 0.039828 • Để tính hàm ngợc phân phối chuẩn tắc ta dùng hàm: N ORM SIN V (p) ã Để tìm x tõ biÓu thøc: x G(x) = √ 2π t2 e− 2σ2 dt = p −∞ ta cã: x = N ORM SIN V (p) ã Để tính giá trị x từ hàm Laplace (x) = p ta dùng c«ng thøc: x = N ORM SIN V (0, + p) VÝ dơ Cho Φ(x) = 0.475, t×m x =? x = N ORM SIN V (0.5 + 0.475) = 1.959963985 1.96 ã Nếu X N (à, ) ta cần tính P (X < x) P (x1 < X < x2 ) th× ta cã thĨ dïng hµm N ORM DIST : P (X < x) = N ORM DIST (x, µ, σ, 1) P (x1 < X < x2 ) = N ORM DIST (x2 , µ, σ, 1) − N ORM DIST (x1 , à, , 1) ã Nếu X N (0, 1) ta cần tính P (X < x) P (x1 < X < x2 ) th× ta cã thĨ dïng hµm N ORM SDIST : 177 P (X < x) = N ORM SDIST (x) P (x1 < X < x2 ) = N ORM SDIST (x2 ) − N ORM SDIST (x1 ) • NÕu X ∼ N (à, ) ta cần tính P (|X µ| < ε) th× ta cã thĨ dïng hµm N ORM DIST : P (|X − µ| < ε) = ∗ N ORM SDIST ( σε ) Ph©n phối Student ã Nếu T T (k), để tính P (T > t0 ), t0 > th× dïng hµm P (T > t0 ) = T DIST (t0 , k, 1) Chó ý NÕu t0 < th× P (T > t0 ) = − P (T > −t0 ), −t0 > • NÕu T ∼ T (k), ®Ĩ tÝnh P (|T | > t0 ), t0 > dùng hàm P (|T | > t0 ) = T DIST (t0 , k, 2) • Nếu T T (k), để tìm t( ,k) cho P (|T | > t( α2 ,k) ) = dùng hàm t (n) = T IN V (α, k) VÝ dô Cho T ∼ t(20), víi α = 0.1 h·y t×m t(0.05,20) cho: P (|T | > t(0.05,20) ) = 0.1 Ta cã: t(0.05,20) = T IN V (0.1, 20) = 1.724718218 • NÕu T T (k), để tìm t(,k) cho P (T > t(,k) ) = dùng hàm t (n) = T IN V (2 ∗ α, k) VÝ dơ Cho T ∼ t(20), víi α = 0.1 h·y t×m t(0.1,20) cho: P (T > t(0.1,20) ) = 0.1 Ta cã: t(0.1,20) = T IN V (0.2, 20) = 1.325340707 Phân phối bình phơng ã Nếu χ2 ∼ χ2 (k), ®Ĩ tÝnh P (χ2 > χ20 ) dùng hàm P (2 > 20 ) = CHIDIST (χ20 , k) • NÕu χ2 ∼ χ2 (k), ®Ĩ t×m χ2(α,k) cho P (χ2 > χ2(α,k) ) = dùng hàm 2(,k) = CHIIN V (, k) VÝ dơ Cho χ2 ∼ χ2 (20), víi α = 0.1 h·y t×m χ2(0.1,20) cho: P (χ2 > χ2(0.1,20) ) = 0.1 Ta cã: χ2(0.1,20) ) = CHIIN V (0.1, 20) = 28.41198058 Tính số đặc trng mẫu (Dùng cho mẫu đơn) n ã Trung bình mÉu xi = AV ERAGE(x1 , x2 , , xn ) i=1 178 Chú ý Nếu giá trị x1 , , xn n»m mét cét b¶ng tÝnh Exel, chẳng hạn cột A đó: n x= xi = AV ERAGE(A1 : An ) i=1 ã Độ lệch chuÈn mÉu: s= n x2 − (x)2 = ST DV E(x1 , x2 , , xn ) n−1 ¦íc lợng trung bình Cho n kích thớc mẫu, độ tin cậy , ta tính độ xác theo công thức: = z n = CON F IDEN CE(α, σ, n) ε = z α2 √sn = CON F IDEN CE(α, s, n) 10 ¦íc lợng phơng sai Để tính giá trị (n 1)s2 ta dïng hµm DEV SQ(x1 , x2 , , xn ) cã nghÜa: (n − 1)s2 = DEV SQ(x1 , x2 , , xn ) 11 HƯ sè t−¬ng quan Để tính hệ số tơng quan hai mảng liƯu X; Y CORREL(array1, array1) 179 ta dïng hµm phơ lục - Bảng giá trị hàm Gauss: g(x) = √1 2π exp( −x2 ) x g(x) x g(x) x g(x) x g(x) x g(x) 0.01 0.398922 0.31 0.380226 0.61 0.331215 0.91 0.263688 1.31 0.169147 0.02 0.398862 0.32 0.379031 0.62 0.329184 0.92 0.261286 1.32 0.166937 0.03 0.398763 0.33 0.377801 0.63 0.327133 0.93 0.258881 1.33 0.16474 0.04 0.398623 0.34 0.376537 0.64 0.325062 0.94 0.256471 1.34 0.162555 0.05 0.398444 0.35 0.37524 0.65 0.322972 0.95 0.254059 1.35 0.160383 0.06 0.398225 0.36 0.373911 0.66 0.320864 0.96 0.251644 1.36 0.158225 0.07 0.397966 0.37 0.372548 0.67 0.318737 0.97 0.249228 1.37 0.15608 0.08 0.397668 0.38 0.371154 0.68 0.316593 0.98 0.246809 1.38 0.153948 0.09 0.39733 0.39 0.369728 0.69 0.314432 0.99 0.24439 1.39 0.151831 0.1 0.396953 0.4 0.36827 0.7 0.312254 0.241971 1.4 0.149727 0.11 0.396536 0.41 0.366782 0.71 0.31006 1.1 0.217852 1.41 0.147639 0.12 0.39608 0.42 0.365263 0.72 0.307851 1.11 0.215458 1.42 0.145564 0.13 0.395585 0.43 0.363714 0.73 0.305627 1.12 0.213069 1.43 0.143505 0.14 0.395052 0.44 0.362135 0.74 0.303389 1.13 0.210686 1.44 0.14146 0.15 0.394479 0.45 0.360527 0.75 0.301137 1.14 0.208308 1.45 0.139431 0.16 0.393868 0.46 0.35889 0.76 0.298872 1.15 0.205936 1.46 0.137417 0.17 0.393219 0.47 0.357225 0.77 0.296595 1.16 0.203571 1.47 0.135418 0.18 0.392531 0.48 0.355533 0.78 0.294305 1.17 0.201214 1.48 0.133435 0.19 0.391806 0.49 0.353812 0.79 0.292004 1.18 0.198863 1.49 0.131468 0.2 0.391043 0.5 0.352065 0.8 0.289692 1.19 0.19652 1.5 0.129518 0.21 0.390242 0.51 0.350292 0.81 0.287369 1.2 0.194186 1.51 0.127583 0.22 0.389404 0.52 0.348493 0.82 0.285036 1.21 0.19186 1.52 0.125665 0.23 0.388529 0.53 0.346668 0.83 0.282694 1.22 0.189543 1.53 0.123763 0.24 0.387617 0.54 0.344818 0.84 0.280344 1.23 0.187235 1.54 0.121878 0.25 0.386668 0.55 0.342944 0.85 0.277985 1.24 0.184937 1.55 0.120009 0.26 0.385683 0.56 0.341046 0.86 0.275618 1.25 0.182649 1.56 0.118157 0.27 0.384663 0.57 0.339124 0.87 0.273244 1.26 0.180371 1.57 0.116323 0.28 0.383606 0.58 0.33718 0.88 0.270864 1.27 0.178104 1.58 0.114505 0.29 0.382515 0.59 0.335213 0.89 0.268477 1.28 0.175847 1.59 0.112704 0.3 0.381388 0.6 0.333225 0.9 0.266085 1.29 0.173602 1.6 0.110921 180 phô lôc - Bảng giá trị hàm Gauss: g(x) = x √1 2π exp( −x2 ) g(x) x g(x) x g(x) x g(x) x g(x) 1.61 0.109155 1.91 0.064378 2.21 0.034701 2.51 0.017095 3.21 0.002309 1.62 0.107406 1.92 0.063157 2.22 0.033941 2.52 0.01667 3.22 0.002236 1.63 0.105675 1.93 0.061952 2.23 0.033194 2.53 0.016254 3.23 0.002165 1.64 0.103961 1.94 0.060765 2.24 0.03246 2.54 0.015848 3.24 0.002096 1.65 0.102265 1.95 0.059595 2.25 0.03174 2.55 0.015449 3.25 0.002029 1.66 0.100586 1.96 0.058441 2.26 0.031032 2.56 0.01506 3.26 0.001964 1.67 0.098925 1.97 0.057304 2.27 0.030337 2.57 0.014678 3.27 0.001901 1.68 0.097282 1.98 0.056183 2.28 0.029655 2.58 0.014305 3.28 0.00184 1.69 0.095657 1.99 0.055079 2.29 0.028985 2.59 0.01394 3.29 0.00178 1.7 0.094049 0.053991 2.3 0.028327 0.004432 3.3 0.001723 1.71 0.092459 2.01 0.052919 2.31 0.027682 3.01 0.004301 3.31 0.001667 1.72 0.090887 2.02 0.051864 2.32 0.027048 3.02 0.004173 3.32 0.001612 1.73 0.089333 2.03 0.050824 2.33 0.026426 3.03 0.004049 3.33 0.00156 1.74 0.087796 2.04 0.0498 2.34 0.025817 3.04 0.003928 3.34 0.001508 1.75 0.086277 2.05 0.048792 2.35 0.025218 3.05 0.00381 3.35 0.001459 1.76 0.084776 2.06 0.0478 2.36 0.024631 3.06 0.003695 3.36 0.001411 1.77 0.083293 2.07 0.046823 2.37 0.024056 3.07 0.003584 3.37 0.001364 1.78 0.081828 2.08 0.045861 2.38 0.023491 3.08 0.003475 3.38 0.001319 1.79 0.08038 2.09 0.044915 2.39 0.022937 3.09 0.00337 3.39 0.001275 1.8 0.07895 2.1 0.043984 2.4 0.022395 3.1 0.003267 3.4 0.001232 1.81 0.077538 2.11 0.043067 2.41 0.021862 3.11 0.003167 3.41 0.001191 1.82 0.076143 2.12 0.042166 2.42 0.021341 3.12 0.00307 3.42 0.001151 1.83 0.074766 2.13 0.04128 2.43 0.020829 3.13 0.002975 3.43 0.001112 1.84 0.073407 2.14 0.040408 2.44 0.020328 3.14 0.002884 3.44 0.001075 1.85 0.072065 2.15 0.03955 2.45 0.019837 3.15 0.002794 3.45 0.001038 1.86 0.07074 2.16 0.038707 2.46 0.019356 3.16 0.002707 3.46 0.001003 1.87 0.069433 2.17 0.037878 2.47 0.018885 3.17 0.002623 3.47 0.000969 1.88 0.068144 2.18 0.037063 2.48 0.018423 3.18 0.002541 3.48 0.000936 1.89 0.066871 2.19 0.036262 2.49 0.017971 3.19 0.002461 3.49 0.000904 1.9 0.065616 2.2 0.035475 2.5 0.017528 3.2 0.002384 3.5 0.000873 181 phô lôc - x Bảng giá trị hàm Laplace: (x) = φ(x) φ(x) √1 2π e −t2 dt x φ(x) x 0.01 0.004 0.31 0.1217 0.61 0.2291 0.91 0.3186 1.21 0.3869 0.02 0.008 0.32 0.1255 0.62 0.2324 0.92 0.3212 1.22 0.3888 0.03 0.012 0.33 0.1293 0.63 0.2357 0.93 0.3238 1.23 0.3907 0.04 0.016 0.34 0.1331 0.64 0.2389 0.94 0.3264 1.24 0.3925 0.05 0.0199 0.35 0.1368 0.65 0.2422 0.95 0.3289 1.25 0.3944 0.06 0.0239 0.36 0.1406 0.66 0.2454 0.96 0.3315 1.26 0.3962 0.07 0.0279 0.37 0.1443 0.67 0.2486 0.97 0.334 1.27 0.398 0.08 0.0319 0.38 0.148 0.68 0.2517 0.98 0.3365 1.28 0.3997 0.09 0.0359 0.39 0.1517 0.69 0.2549 0.99 0.3389 1.29 0.4015 0.1 0.0398 0.4 0.1554 0.7 0.258 0.3413 1.3 0.4032 0.11 0.0438 0.41 0.1591 0.71 0.2611 1.01 0.3438 1.31 0.4049 0.12 0.0478 0.42 0.1628 0.72 0.2642 1.02 0.3461 1.32 0.4066 0.13 0.0517 0.43 0.1664 0.73 0.2673 1.03 0.3485 1.33 0.4082 0.14 0.0557 0.44 0.17 0.74 0.2704 1.04 0.3508 1.34 0.4099 0.15 0.0596 0.45 0.1736 0.75 0.2734 1.05 0.3531 1.35 0.4115 0.16 0.0636 0.46 0.1772 0.76 0.2764 1.06 0.3554 1.36 0.4131 0.17 0.0675 0.47 0.1808 0.77 0.2794 1.07 0.3577 1.37 0.4147 0.18 0.0714 0.48 0.1844 0.78 0.2823 1.08 0.3599 1.38 0.4162 0.19 0.0753 0.49 0.1879 0.79 0.2852 1.09 0.3621 1.39 0.4177 0.2 0.0793 0.5 0.1915 0.8 0.2881 1.1 0.3643 1.4 0.4192 0.21 0.0832 0.51 0.195 0.81 0.291 1.11 0.3665 1.41 0.4207 0.22 0.0871 0.52 0.1985 0.82 0.2939 1.12 0.3686 1.42 0.4222 0.23 0.091 0.53 0.2019 0.83 0.2967 1.13 0.3708 1.43 0.4236 0.24 0.0948 0.54 0.2054 0.84 0.2995 1.14 0.3729 1.44 0.4251 0.25 0.0987 0.55 0.2088 0.85 0.3023 1.15 0.3749 1.45 0.4265 0.26 0.1026 0.56 0.2123 0.86 0.3051 1.16 0.377 1.46 0.4279 0.27 0.1064 0.57 0.2157 0.87 0.3078 1.17 0.379 1.47 0.4292 0.28 0.1103 0.58 0.219 0.88 0.3106 1.18 0.381 1.48 0.4306 0.29 0.1141 0.59 0.2224 0.89 0.3133 1.19 0.383 1.49 0.4319 0.3 0.1179 0.6 0.2257 0.9 0.3159 1.2 0.3849 1.5 0.4332 x 182 φ(x) x φ(x) x phô lôc - x Bảng giá trị hàm Laplace: (x) = φ(x) x φ(x) x φ(x) x √1 2π e −t2 dt x φ(x) x φ(x) 1.51 0.4345 1.81 0.4649 2.11 0.4826 2.41 0.492 2.71 0.4966 1.52 0.4357 1.82 0.4656 2.12 0.483 2.42 0.4922 2.72 0.4967 1.53 0.437 1.83 0.4664 2.13 0.4834 2.43 0.4925 2.73 0.4968 1.54 0.4382 1.84 0.4671 2.14 0.4838 2.44 0.4927 2.74 0.4969 1.55 0.4394 1.85 0.4678 2.15 0.4842 2.45 0.4929 2.75 0.497 1.56 0.4406 1.86 0.4686 2.16 0.4846 2.46 0.4931 2.76 0.4971 1.57 0.4418 1.87 0.4693 2.17 0.485 2.47 0.4932 2.77 0.4972 1.58 0.4429 1.88 0.4699 2.18 0.4854 2.48 0.4934 2.78 0.4973 1.59 0.4441 1.89 0.4706 2.19 0.4857 2.49 0.4936 2.79 0.4974 1.6 0.4452 1.9 0.4713 2.2 0.4861 2.5 0.4938 2.8 0.4974 1.61 0.4463 1.91 0.4719 2.21 0.4864 2.51 0.494 2.81 0.4975 1.62 0.4474 1.92 0.4726 2.22 0.4868 2.52 0.4941 2.82 0.4976 1.63 0.4484 1.93 0.4732 2.23 0.4871 2.53 0.4943 2.83 0.4977 1.64 0.4495 1.94 0.4738 2.24 0.4875 2.54 0.4945 2.84 0.4977 1.65 0.4505 1.95 0.4744 2.25 0.4878 2.55 0.4946 2.85 0.4978 1.66 0.4515 1.96 0.475 2.26 0.4881 2.56 0.4948 2.86 0.4979 1.67 0.4525 1.97 0.4756 2.27 0.4884 2.57 0.4949 2.87 0.4979 1.68 0.4535 1.98 0.4761 2.28 0.4887 2.58 0.4951 2.88 0.498 1.69 0.4545 1.99 0.4767 2.29 0.489 2.59 0.4952 2.89 0.4981 1.7 0.4554 0.4772 2.3 0.4893 2.6 0.4953 2.9 0.4981 1.71 0.4564 2.01 0.4778 2.31 0.4896 2.61 0.4955 2.91 0.4982 1.72 0.4573 2.02 0.4783 2.32 0.4898 2.62 0.4956 2.92 0.4982 1.73 0.4582 2.03 0.4788 2.33 0.4901 2.63 0.4957 2.93 0.4983 1.74 0.4591 2.04 0.4793 2.34 0.4904 2.64 0.4959 2.94 0.4984 1.75 0.4599 2.05 0.4798 2.35 0.4906 2.65 0.496 2.95 0.4984 1.76 0.4608 2.06 0.4803 2.36 0.4909 2.66 0.4961 2.96 0.4985 1.77 0.4616 2.07 0.4808 2.37 0.4911 2.67 0.4962 2.97 0.4985 1.78 0.4625 2.08 0.4812 2.38 0.4913 2.68 0.4963 2.98 0.4986 1.79 0.4633 2.09 0.4817 2.39 0.4916 2.69 0.4964 2.99 0.4986 1.8 0.4641 2.1 0.4821 2.4 0.4918 2.7 0.4965 0.4987 183 phô lục - x Bảng giá trị hàm Laplace: Φ(x) = φ(x) x φ(x) x φ(x) x √1 2π e −t2 dt φ(x) x φ(x) x 3.01 0.4987 3.31 0.4995 3.61 0.4998 3.91 0.5 4.21 0.5 3.02 0.4987 3.32 0.4995 3.62 0.4999 3.92 0.5 4.22 0.5 3.03 0.4988 3.33 0.4996 3.63 0.4999 3.93 0.5 4.23 0.5 3.04 0.4988 3.34 0.4996 3.64 0.4999 3.94 0.5 4.24 0.5 3.05 0.4989 3.35 0.4996 3.65 0.4999 3.95 0.5 4.25 0.5 3.06 0.4989 3.36 0.4996 3.66 0.4999 3.96 0.5 4.26 0.5 3.07 0.4989 3.37 0.4996 3.67 0.4999 3.97 0.5 4.27 0.5 3.08 0.499 3.38 0.4996 3.68 0.4999 3.98 0.5 4.28 0.5 3.09 0.499 3.39 0.4997 3.69 0.4999 3.99 0.5 4.29 0.5 3.1 0.499 3.4 0.4997 3.7 0.4999 0.5 4.3 0.5 3.11 0.4991 3.41 0.4997 3.71 0.4999 4.01 0.5 4.31 0.5 3.12 0.4991 3.42 0.4997 3.72 0.4999 4.02 0.5 4.32 0.5 3.13 0.4991 3.43 0.4997 3.73 0.4999 4.03 0.5 4.33 0.5 3.14 0.4992 3.44 0.4997 3.74 0.4999 4.04 0.5 4.34 0.5 3.15 0.4992 3.45 0.4997 3.75 0.4999 4.05 0.5 4.35 0.5 3.16 0.4992 3.46 0.4997 3.76 0.4999 4.06 0.5 4.36 0.5 3.17 0.4992 3.47 0.4997 3.77 0.4999 4.07 0.5 4.37 0.5 3.18 0.4993 3.48 0.4997 3.78 0.4999 4.08 0.5 4.38 0.5 3.19 0.4993 3.49 0.4998 3.79 0.4999 4.09 0.5 4.39 0.5 3.2 0.4993 3.5 0.4998 3.8 0.4999 4.1 0.5 4.4 0.5 3.21 0.4993 3.51 0.4998 3.81 0.4999 4.11 0.5 4.41 0.5 3.22 0.4994 3.52 0.4998 3.82 0.4999 4.12 0.5 4.42 0.5 3.23 0.4994 3.53 0.4998 3.83 0.4999 4.13 0.5 4.43 0.5 3.24 0.4994 3.54 0.4998 3.84 0.4999 4.14 0.5 4.44 0.5 3.25 0.4994 3.55 0.4998 3.85 0.4999 4.15 0.5 4.45 0.5 3.26 0.4994 3.56 0.4998 3.86 0.4999 4.16 0.5 4.46 0.5 3.27 0.4995 3.57 0.4998 3.87 0.4999 4.17 0.5 4.47 0.5 3.28 0.4995 3.58 0.4998 3.88 0.4999 4.18 0.5 4.48 0.5 3.29 0.4995 3.59 0.4998 3.89 0.4999 4.19 0.5 4.49 0.5 3.3 0.4995 3.6 0.4998 3.9 0.5 4.2 0.5 4.5 0.5 184 phụ lục Bảng giá trị z z cđa biÕn ngÉu nhiªn Z ∼ N (0, 1): P (|Z| > z α2 ) = α γ zα /2 α P (Z > zα ) = α zα γ α zα /2 zα 0.5 0.5 0.6745 0.75 0.25 1.1503 0.6745 0.51 0.49 0.6903 0.0251 0.76 0.24 1.175 0.7063 0.52 0.48 0.7063 0.0502 0.77 0.23 1.2004 0.7388 0.53 0.47 0.7225 0.0753 0.78 0.22 1.2265 0.7722 0.54 0.46 0.7388 0.1004 0.79 0.21 1.2536 0.8064 0.55 0.45 0.7554 0.1257 0.8 0.2 1.2816 0.8416 0.56 0.44 0.7722 0.151 0.81 0.19 1.3106 0.8779 0.57 0.43 0.7892 0.1764 0.82 0.18 1.3408 0.9154 0.58 0.42 0.8064 0.2019 0.83 0.17 1.3722 0.9542 0.59 0.41 0.8239 0.2275 0.84 0.16 1.4051 0.9945 0.6 0.4 0.8416 0.2533 0.85 0.15 1.4395 1.0364 0.61 0.39 0.8596 0.2793 0.86 0.14 1.4758 1.0803 0.62 0.38 0.8779 0.3055 0.87 0.13 1.5141 1.1264 0.63 0.37 0.8965 0.3319 0.88 0.12 1.5548 1.175 0.64 0.36 0.9154 0.3585 0.89 0.11 1.5982 1.2265 0.65 0.35 0.9346 0.3853 0.9 0.1 1.6449 1.2816 0.66 0.34 0.9542 0.4125 0.91 0.09 1.6954 1.3408 0.67 0.33 0.9741 0.4399 0.92 0.08 1.7507 1.4051 0.68 0.32 0.9945 0.4677 0.93 0.07 1.8119 1.4758 0.69 0.31 1.0152 0.4959 0.94 0.06 1.8808 1.5548 0.7 0.3 1.0364 0.5244 0.95 0.05 1.96 1.6449 0.71 0.29 1.0581 0.5534 0.96 0.04 2.0537 1.7507 0.72 0.28 1.0803 0.5828 0.97 0.03 2.1701 1.8808 0.73 0.27 1.1031 0.6128 0.98 0.02 2.3263 2.0537 0.74 0.26 1.1264 0.6433 0.99 0.01 2.5758 2.3263 185 phô lôc - Bảng giá trị tới hạn t (k) biến ngẫu nhiªn T ∼ T (k) : P (T > tα (k)) = α Cho T ∼ T (10) : P (T > 1.8125) = 0.05 ⇒ t0.05 (10) 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 63.6567 31.8205 21.2049 15.8945 12.7062 10.5789 9.0579 7.9158 7.0264 6.3138 9.9248 6.9646 5.6428 4.8487 4.3027 3.8964 3.5782 3.3198 3.104 2.92 5.8409 4.5407 3.896 3.4819 3.1824 2.9505 2.7626 2.6054 2.4708 2.3534 4.6041 3.7469 3.2976 2.9985 2.7764 2.6008 2.4559 2.3329 2.2261 2.1318 4.0321 3.3649 3.0029 2.7565 2.5706 2.4216 2.2974 2.191 2.0978 2.015 3.7074 3.1427 2.8289 2.6122 2.4469 2.3133 2.2011 2.1043 2.0192 1.9432 3.4995 2.998 2.7146 2.5168 2.3646 2.2409 2.1365 2.046 1.9662 1.8946 3.3554 2.8965 2.6338 2.449 2.306 2.1892 2.0902 2.0042 1.928 1.8595 3.2498 2.8214 2.5738 2.3984 2.2622 2.1504 2.0554 1.9727 1.8992 1.8331 10 3.1693 2.7638 2.5275 2.3593 2.2281 2.1202 2.0283 1.9481 1.8768 1.8125 11 3.1058 2.7181 2.4907 2.3281 2.201 2.0961 2.0067 1.9284 1.8588 1.7959 12 3.0545 2.681 2.4607 2.3027 2.1788 2.0764 1.9889 1.9123 1.844 1.7823 13 3.0123 2.6503 2.4358 2.2816 2.1604 2.06 1.9742 1.8989 1.8317 1.7709 14 2.9768 2.6245 2.4149 2.2638 2.1448 2.0462 1.9617 1.8875 1.8213 1.7613 15 2.9467 2.6025 2.397 2.2485 2.1314 2.0343 1.9509 1.8777 1.8123 1.7531 16 2.9208 2.5835 2.3815 2.2354 2.1199 2.024 1.9417 1.8693 1.8046 1.7459 17 2.8982 2.5669 2.3681 2.2238 2.1098 2.015 1.9335 1.8619 1.7978 1.7396 18 2.8784 2.5524 2.3562 2.2137 2.1009 2.0071 1.9264 1.8553 1.7918 1.7341 19 2.8609 2.5395 2.3456 2.2047 2.093 1.92 1.8495 1.7864 1.7291 20 2.8453 2.528 2.3362 2.1967 2.086 1.9937 1.9143 1.8443 1.7816 1.7247 21 2.8314 2.5176 2.3278 2.1894 2.0796 1.988 1.9092 1.8397 1.7773 1.7207 22 2.8188 2.5083 2.3202 2.1829 2.0739 1.9829 1.9045 1.8354 1.7734 1.7171 23 2.8073 2.4999 2.3132 2.177 2.0687 1.9782 1.9003 1.8316 1.7699 1.7139 24 2.7969 2.4922 2.3069 2.1715 2.0639 1.974 1.8965 1.8281 1.7667 1.7109 25 2.7874 2.4851 2.3011 2.1666 2.0595 1.9701 1.8929 1.8248 1.7637 1.7081 26 2.7787 2.4786 2.2958 2.162 2.0555 1.9665 1.8897 1.8219 1.761 1.7056 27 2.7707 2.4727 2.2909 2.1578 2.0518 1.9632 1.8867 1.8191 1.7585 1.7033 28 2.7633 2.4671 2.2864 2.1539 2.0484 1.9601 1.8839 1.8166 1.7561 1.7011 29 2.7564 2.462 2.2822 2.1503 2.0452 1.9573 1.8813 1.8142 1.754 1.6991 30 2.75 2.4573 2.2783 2.147 2.0423 1.9546 1.8789 1.812 1.752 1.6973 186 phô lục - Bảng giá trị tới hạn t (k) cđa biÕn ngÉu nhiªn T ∼ T (k) : P (T > tα (k)) = α 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 5.7297 5.2422 4.8288 4.4737 4.1653 3.8947 3.6554 3.442 3.2506 2.7604 2.6202 2.4954 2.3834 2.2819 2.1894 2.1045 2.0261 1.9534 2.2494 2.1562 2.0719 1.995 1.9243 1.8589 1.7981 1.7413 1.688 2.0475 1.9712 1.9016 1.8375 1.7782 1.7229 1.6712 1.6226 1.5767 1.9405 1.8727 1.8104 1.7529 1.6994 1.6493 1.6023 1.5579 1.5158 1.8744 1.8117 1.7538 1.7002 1.6502 1.6033 1.559 1.5172 1.4775 1.8297 1.7702 1.7153 1.6643 1.6166 1.5718 1.5295 1.4894 1.4513 1.7973 1.7402 1.6874 1.6383 1.5922 1.5489 1.5079 1.4691 1.4321 1.7729 1.7176 1.6663 1.6185 1.5737 1.5315 1.4916 1.4537 1.4175 10 1.7538 1.6998 1.6498 1.6031 1.5592 1.5179 1.4788 1.4416 1.4061 11 1.7385 1.6856 1.6365 1.5906 1.5476 1.5069 1.4684 1.4318 1.3969 12 1.7259 1.6739 1.6256 1.5804 1.538 1.4979 1.4599 1.4237 1.3892 13 1.7154 1.6641 1.6164 1.5718 1.5299 1.4903 1.4528 1.417 1.3829 14 1.7064 1.6558 1.6087 1.5646 1.5231 1.4839 1.4467 1.4113 1.3774 15 1.6988 1.6487 1.602 1.5583 1.5172 1.4784 1.4415 1.4063 1.3728 16 1.6921 1.6425 1.5962 1.5529 1.5121 1.4736 1.4369 1.4021 1.3687 17 1.6863 1.637 1.5911 1.5482 1.5077 1.4694 1.433 1.3983 1.3652 18 1.6812 1.6322 1.5867 1.5439 1.5037 1.4656 1.4295 1.395 1.362 19 1.6766 1.628 1.5827 1.5402 1.5002 1.4623 1.4263 1.392 1.3592 20 1.6725 1.6242 1.5791 1.5369 1.497 1.4593 1.4235 1.3894 1.3567 21 1.6688 1.6207 1.5759 1.5338 1.4942 1.4567 1.421 1.387 1.3544 22 1.6655 1.6176 1.573 1.5311 1.4916 1.4542 1.4187 1.3848 1.3524 23 1.6624 1.6148 1.5703 1.5286 1.4893 1.452 1.4166 1.3828 1.3505 24 1.6596 1.6122 1.5679 1.5263 1.4871 1.45 1.4147 1.381 1.3488 25 1.6571 1.6098 1.5657 1.5242 1.4852 1.4482 1.413 1.3794 1.3472 26 1.6547 1.6076 1.5636 1.5223 1.4834 1.4464 1.4113 1.3778 1.3458 27 1.6526 1.6056 1.5617 1.5205 1.4817 1.4449 1.4098 1.3764 1.3444 28 1.6506 1.6037 1.56 1.5189 1.4801 1.4434 1.4085 1.3751 1.3432 29 1.6487 1.602 1.5583 1.5174 1.4787 1.4421 1.4072 1.3739 1.342 30 1.647 1.6004 1.5568 1.5159 1.4774 1.4408 1.406 1.3728 1.341 187 Tµi liƯu tham khảo Trần Văn Minh - Phí Thị Vân Anh (2006), Xác suất thống kê tính toán Excel, NXB Giao thông vận tải Nguyễn Văn Hộ (2006), Xác suất thống kê NXB Giáo dục Trần Bá Nhẫn - Đinh Thái Hoàng (2006), Thống kê ứng dụng quản trị, kinh doanh nghiên cứu kinh tế, NXB Thống kê Phạm Xuân Kiều (2004), Giáo trình Xác suất thống kê, NXB Giáo dục Hoàng Ngọc Nhậm (2005), Bài tập xác suất thống kê, §¹i häc kinh tÕ TP Hå ChÝ Minh Ngun Duy Tiến - Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo Dục Nguyễn Cao Văn (2005), Bài tập Xác suất thống kê toán, NXB Đại học kinh tÕ quèc d©n 188