hệ phương trình, bài tập toán THPT

37 25 0
  • Loading ...
1/37 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 24/11/2016, 20:38

hệ phương trình, bài tập toán THPT tham khảo Bài số HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Trong năm gần , đề thi đại học Hệ phương trình đại số thường hay dạng hệ có cấu trúc đặc biệt Vì ta phải ngiên cứu cách giải chúng Thơng thường ta có số phương pháp sau I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Là phương pháp chủ yếu dùng kỹ biến đổi hai phương trình hệ đưa phương trình đơn giản rút x theo y ngược lại để vào phương trình khác hệ Ta xét số ví dụ sau Loại 1: Trong hệ có phương trình bậc theo ẩn x theo ẩn y Khi ta rút x theo y y theo x thay vào phương trình lại 2  x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x + ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình :   xy + y + = x ( ) Giải Ta thấy x=0 khơng phải nghiệm phương trình (2) từ phương trình (2) ta có : y ( x + 1) = x − ⇒ y = x − ↔ y + = x thay vào phương trình (1) ta có : x ( x ) ( x + x ) = 3x − x + ⇔ ( x − 1) ( x + x − x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x + x − x ) = ⇔ x ( x − 1) ( x + x − ) = ⇒ x = 0; x = 1; x = −2  x + y + xy ( x + y ) = xy  x + y + xy ( x − y ) = xy Ví dụ Giải hệ phương trình :  Giải Ta có x=y=0 nghiệm hệ Các cặp số (x;y) với x = 0, y ≠ 0; x ≠ 0, y = khơng nghiệm hệ 1  x + y + 2x + y =  Xét xy ≠ chia hai vế phương trình cho xy ≠ ta :   + + 3x − y =  x y Suy : − x − y = + y − 3x ⇔ x = y − 1(*) thay vào phương trình thứ hai ta có : 2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y ⇔ y − + y ( 10 y − 11 y + 3) = y − y ⇔ 10 y − 19 y + 10 y − = ⇔ ( y − 1) ( 10 y − y + 1) = + 41 − 41 ;y= 20 20  + 41 41 −   − 41 − 41 −  ; ; ÷;  ÷ Đáp số : (x;y)= ( 1;1) ,  10 ÷ 10 ÷  20   20 ⇔ y − 1; y = Loại Một phương trình hệ đưa dạng tích hai phương trình bậc hai ẩn Khi ta dưa giải hai hệ tương đương  xy + x + y = x − y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình :   x y − y x − = x − y ( ) Giải Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ x = − y x = y +1 Phương trình (1) ⇔ ( x + y ) ( x − y − 1) = ⇒  Ta thay lượt trường hợp vào phương trình (2) Giải kết 5 x5 y − xy + y − ( x + y ) = ( 1) Ví dụ ( ĐH-KA-2011) Giải hệ phương trình sau :  2 ( 2)  xy ( + y ) + = ( x + y ) Hướng dẫn 2 Từ (2) ta có : ( xy − 1) ( x + y − ) = ⇒ xy = ∨ x + y = • xy=1; từ (1) suy : y − y + = ⇔ y = ±1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(1;-1) 2 2 2 • Với : x + y = ⇒ ( 1) ⇔ y ( x + y ) − xy + x y − ( x + y ) = 2 ⇔ y − xy + x y − ( x + y ) = ⇔ ( − xy ) ( y − x ) = → xy = ∨ x = y Xét : xy=1 Đã giải  10 10   10 10  2 ; ;− ÷,  − ÷ Với : x=2y , thay vào x + y = ⇒ ( x; y ) =  ÷ 5 ÷     10 10   10 10  ; ,  − ;− ÷ ÷ ÷   5 ÷  Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),   x + y + x − y = + x − y ( 1) Ví dụ Giải hệ sau :  ( 2)  x + y = Giải Điều kiện : x ≥ 0; y ≥ (1) ⇔ x + y − x − y − = Suy hệ trở thành : ( )( )   x = 1; y =   x + y =   x = x + y =   ⇔   y = ⇒ ( x; y ) = ( 1;0 ) ; ( 0;1)   x − y =    x =   x + y =      y = y −3   x + y + x + = x ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình :   x+ y + x = x+3 ( 2)  Điều kiện : x>0; y ≥ y −3 Giải y −3 Ta có : ( 1) ⇔ x + y − +3 = x Suy : • Với y=3 ; ta có : x + = ⇔ x = −3 ( loại ) Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT  x + y − x + = x ⇒ x + − x = x + y = x + x + ⇔ y = Vậy • Với y ≠ ta có :   x + y + x = x + hệ có nghiệm : (x;y)=(1;8 ) * Chú ý : Trong số tốn đơi ta phải cộng trừ hai phương trình hệ sau xuất phương trình dạng tích  x + y + x y = 41 Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  2  xy ( x + y ) = 10 Hướng dẫn : Ta sử dụng đẳng thức : ( x + y ) = x + y + xy ( x + y ) + x y  x + y + x y = 41 Hệ cho ⇔  Ta cộng vế với vế hai phương trình ta : 2 4 xy ( x + y ) = 40 ↔ x + y + xy ( x + y ) + x y = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇒ x = ±3   x + y =   x + y =   2   xy ( x + y ) = 10  xy ( − xy ) = 10 ⇔ Hệ cho ⇔  Học sinh giải tiếp   x + y = −3   x + y = −3  2   xy ( − xy ) = 10    xy ( x + y ) = 10  xy + x + y = x − y Ví dụ ( ĐH-KD-2008 ) Giải hệ phương trình sau :   x y − y x − = x − y Hướng dẫn  y ( x + y ) + ( x + y ) + ( x − y ) ( x + y ) = Hệ viết lại :   x y − y x − = x − y ( x + y ) ( y + − x ) = ⇔  x y − y x − = x − y Học sinh giải tiếp Đáp số : (x;y)=(5;2) Loại 3: Một phương trình hệ phương trình bậc hai theo ẩn chẳng hạn x ẩn Khi ta coi y tham số  y = ( x + ) ( − x ) ( 1) Ví dụ Giải hệ sau ;  2  −5 x + y − xy + 16 x − y + 16 = ( ) Hướng dẫn : 2 Coi phương trình (2) phương trình theo ẩn y ta có : y − ( x + ) y − x + 16 x + 16 =  y = 5x + Giải theo y ta có :  Thay hai trường hợp vào phương trình (1) ta y = 4− x tìm nghiệm hệ  x + xy + y = Ví dụ Giải hệ phương trình sau :   y + xy + x = Hướng dẫn : Trừ hai phương trình hệ cho ta có : x − y + xy + y − x + = Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT y +1  x= 2  ⇔ x + ( y − 5) x − y + y + = ⇒ Thay trường hợp vào phương  x = − y  trình (1) ta tìm nghiệm hệ II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ * Quan trọng học sinh phải nhanh trí phát ẩn phụ : u=f(x;y) v=g(x;y) hai phương trình hệ , sau biến đổi để phát u v Thơng thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình chia vế phương trình cho số hạng khác khơng có sẵn phương trình hệ để tìm phần chung mà sau ta đặt ẩn phụ Việc phát ẩn phụ nhanh hay chậm phụ thuộc vào kỹ biến đổi kỹ nhìn học sinh  x + + y ( x + y ) = y Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  ( x + 1) ( y + x − ) = y ( 1) ( 2) Hướng dẫn : Ta thấy : y=0 khơng nghiệm hệ Chia hai vế phương trình (1) (2) cho y ta  x2 +  y +x+ y = u + v = x2 +  u = ;v = x + y − ⇒  có hệ :  Đặt : y u.v =  x +  ( x + y − ) =  ÷  y   Giải hệ suy u,v sau tìm x,y  y + xy = x ( 1) Ví dụ ( SPIHN-KA-2000) Giải hệ phương trình  2 1 + x y = x ( ) Hướng dẫn Nhận xét : x=0 khơng nghiệm hệ ( phương trình (2) vơ nghiệm ) Chia hai vế hai phương trình hệ cho x ≠ Khi hệ cho trở thành : 1  y  y1  y   x  x ÷+ y  x ÷ =  x  x + y ÷ =    ⇔   ⇔   + y2 =  + y2 =  x  x  sp = uy ( u + y ) = ⇔ Đặt : u = ; ⇒  2 x  s − 5s − = u + y = ( s = u + y; p = uy ) Học sinh giải tiếp : Đáp số (x;y)=(1;2),(1/2;1)  2 =7  xy + ( x + y ) + ( x + y)  Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  2 x + =  x+ y Hướng dẫn : Điều kiện : x + y ≠ Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT 2  =7 3 ( x + y ) + ( x − y ) + x + y ( )  Khi hệ trở thảnh :  Đặt : u = x + y + x + y ; v = x − y x + y + + ( x − y ) =  x+ y 3u + v = 13 Hệ :  Học sinh giải tiếp tìm u,v sau tìm x,y u + v =  x ( y + 1) = y − ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  2 2  x y + x y + y ( x + 1) = 12 y − ( ) Điều kiện : y ≠ 0; y ≠ −1 Giải : 4y − y +1 2 2 Khi : ( 1) ⇔ x y ( y + 1) = y − y ⇒ x − = y + ; x + = y + 2 2 2 2 Thay vào (2) , ta có : x y + x y + y + y − y = 12 y − ⇔ ( x − ) ( x + 3) y − y + = ⇔ ( y − 1) ( y + 1) y ( y + 1) y =1→ x = ± y =1  = y −1 ⇔  ⇔ y = → x =  ( y + 1) y = ( y + 1)     ( x + y ) 1 + ÷ = 18   xy  Ví dụ 5.( AN-98) Giải hệ phương trình sau :   x + y  +  = 208 )  x2 y ÷ (    Giải :  1  1  x + ÷+  y + ÷ = 18 x  y  Hệ cho viết lại :   x +  +  y +  = 208 ÷ ÷   x2   y2      x + x =   u =   y + = 14   y u + v = 18 u + v = 18 1  v = 14 ⇔   u = x + ; v = y + ⇒ ⇔ ⇔ Đặt :  2   u = 14 x y  uv = 56 u + v = 212    x + x = 14  v =   y + =   y    x = ±   x − x + =     y = ±   y − 14 y + = ⇔ ⇔ ⇒ ( x; y ) = − 3;7 − ; − 3;7 +   x − 14 x + =  y = ±     y − y + =    x = ± ( Th.s Nguyễn Dương Trang )( ) ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT  x y   + ÷( x + y ) = 15  y x  Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  2  x + y  x + y = 85 )  y x ÷(   Giải : x y Điều kiện : x ≠ 0, y ≠ Đặt : u = y + x ; v = x + y u > x2 y x2 + y2 v2 2 2 + = u − 2; x + y = x + y − xy = v − xy ; u = ⇒ xy = ( ) Khi ta có : 2 y x xy u+2 uv = 15  Hệ ⇔  u −  15v  = 85 Học sinh giải tiếp tìm u,v sau suy x,y )  u + ÷ (     ( x + y ) 1 + ÷ =   xy  Ví dụ Giải hệ phương trình sau :   xy + =  xy Hướng dẫn :  u =  u + v = 1 v = ⇔ Điều kiện : xy ≠ Đặt : u = x + ; v = y + ⇒   u = Học sinh giải tiếp x y uv =   v =  x y + y + x = xy  Ví dụ Giải hệ :  + + x =  x xy y  Hướng dẫn : Điều kiện : x ≠ 0, y ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế  1 x + x + x + y =  phương trình (2) nhóm chuyển dạng tích ⇒   x +   +  = ÷ ÷  x  x y  u + v = 1 ⇔ u = v = Học sinh giải tiếp Đặt : u = x + ; v = + ⇒  x x y uv =  x ( x + y ) ( x − 1) = 14  x + x + y = Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  Hướng dẫn Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT   x = 1y =   x + x =   x = 2; y =  ( x + x ) ( x + y ) = 14    2 x + y = ⇔ ⇔   x = + 29 ; y = − 29 Hệ viết lại :  2 2  ( x + x ) ( x + y ) =   x + x =    2 x + y =   x = − 29 ; y = + 29   2 ( x + y ) − ( x − y ) − 10 ( x − y ) =  Ví dụ 10 Giải hệ phương trình sau :  =6 3 x + y + 3x − y  Hướng dẫn Điều kiện : 3x − y ≠ ⇒ y ≠ 3x Chia hai vế phương trình (1) cho 3x − y ≠ Khi Phương trình (1) hệ trở thành :  3x + y   3x + y  3x + y 3x + y = 5∨ = −2 Khi  ÷ − 3 ÷− 10 = ⇒ 3x − y 3x − y  3x − y   3x − y   3x + y 3 x + y =  x = 1; y =  3x − y =   ⇔ ⇔ * Trường hợp 1:  x = ; y = = 3 x + y +  =6 5   3x − y  3x − y ( ) ( )  3 + 11  3x + y + 11 = −  x + y =  x= ;y=  3x − y    12 ⇔ ⇔ Trường hợp 2:  3 − 11 3 x + y + =  3x − y =  − 11  x = ; y =  3x − y   x ( x + y − 1) =  Ví dụ 11 (ĐH-KD-2009 ) Giải hệ :  ( x + y ) − + = x  Hướng dẫn : Điều kiện : x ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho x ≠ , (1) trở thành : 3 = ⇔ x + y = − Thế vào phương trình (2) hệ (2) trở thành : x x 1  x = 1; y =  x =1 x = 3   3 ⇔  − 1÷ − + = ⇔ − + = ⇔  ⇔ ⇒ ⇔ ( x; y ) = ( 1;1) ,  2; ÷ x x x  x  2  x =  x = 2; y = 1 =   x  xy + x + = y Ví dụ 12 ( ĐH-KB-2009 ) Giải hệ sau :  2  x y + xy + = 13 y ⇔ x + y +1− Hướng dẫn Nhận xét : y=0 khơng nghiệm (1) vơ lý , ta chia hai vế phương trình (1) (2) hệ cho y ≠ 0; y ≠ Khi hệ trở thành : Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT  1 x x 1   x + ÷+ = ( ) x + + = x + = −5    y y y y y  1  1   ⇔ ⇔ ⇔  x + ÷ −  x + ÷− 20 = ⇒  x 1 y  y    x2 + + = 13  x +  − x = 13 ( ) x+ =4  ÷   y y y  y y    x = 12 y   x = 1; y =  1  12 y + y + =  ⇔ ⇔ ⇒ ( x; y ) = 1; ÷, ( 3;1)  x = 3y  3 x = 3; y =     3 y − y + =  x + y + x y + x y + xy = −  Ví dụ 13 ( ĐH-KA-2008 ) Giải hệ :   x + y + xy ( + x ) = −  Hướng dẫn : 5    x + y + xy ( x + y ) + xy = − u + v + uv = − ⇔ ( u = x + y; v = xy ) Hệ viết lại :  5 ( x + y ) + xy = − u + v = −   4  x + y =  u =      xy = −  v=−     4  25   3   3 ⇔ ⇒ x ; y = ; − , 1; − ( )  ÷ Học sinh giải tiếp ta :    ÷   x2 + y = − 16 ÷ 2 u=−          3   xy = −  v = −   2     x + x y + x y = −2 x + Ví dụ 14 ( ĐH-KB-2008 ) Giải hệ :   x + xy = x + Hướng dẫn : ( x + xy ) = x + 9(3)  x ( x + y ) = x +  ⇔ Hệ viết lại :  Thay (4) vào (3) rút gọn ta có : x + − x2  xy = (4)  x + xy = x +  x = x = x = ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔  ⇔ ⇒   ( x + ) =  x = −4  x + 12 x + 48 x + 64 = 17   Học sinh giải tiếp Đáp số nghiệm hệ : (x;y)=  −4; ÷ 4   x − x = y − y Ví dụ 15 ( ĐH-KA-2003 ) Giải hệ :  2 y = x3 +  Điều kiện : x, y ≠ Th.s Nguyễn Dương Hướng dẫn Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT  x − y = 1  Từ (1) hệ : x − y − + = ⇔ ( x − y ) 1 + ÷ = ⇒  x y  xy   xy = −1 • Nếu : x=y , thay vào (2) hệ : ⇔ x − x + = ⇔ x = → ( x; y ) = ( 1;1) 2 1  1  • Nếu xy=-1 , thay vào (2) hệ : x + x + = ⇒  x − ÷ +  x + ÷ + = 2  2  Phương trình vơ nghiệm Do hệ vơ nghiệm III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Loại Một phương trình hệ có dạng : f(x)=f(y) Một phương trình cho ta biết tập giá trị x y Từ suy hàm số f(x) đơn điệu suy x=y 3  x − x = y − y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  8  x + y = 1( ) Hướng dẫn : Từ (2) suy : x , y ≤ Từ (1) ta xét hàm số : f(t)= t − 5t ⇒ f '(t ) = 3t − < ∨ t ∈ [ −1;1] Do f(t) hàm số nghịch biến Vậy để có (1) xảy x=y  1   1  Khi (2) trở thành : x = ⇔ x = ± ⇒ ( x; y ) =  − ; − ÷;  ; ÷ 2 2 2     3  x − x = y − y Ví dụ 2.( Ngoại thương -2000) Giải hệ phương trình :  6  x + y = Hướng dẫn : Học hinh giải ví dụ , từ suy cách giải ví dụ Loại Hệ đối xứng mà sau biến đổi thường đưa dạng f(x)=f(y) f(x)=o Trong f hàm số đơn điệu  x + x − x + = y −1 + Ví dụ Giải hệ phương trình sau :  x −1  y + y − y + = + Hướng dẫn giải u + u + = 3v Đặt u=x-1;v=y-1 hệ có dạng :  v + v + = 3u Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : u + u + + 3u = v + v + + 3v (*) u Xét hàm số : f (u ) = u + u + + ⇒ f '(u ) = + Để có (*) xảy u=v.Thay vào (1) ( ) u u +1 ( + 3u ln > Hàm số đồng biến ) ⇔ u + u + = 3u ⇔ ln u + u + = u ln ⇒ f (u ) = ln u + u + − u ln Th.s Nguyễn Dương Trang ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT 1+ ⇔ f '(u ) = u u + − ln = − ln < ∨ u Chứng tỏ hàm số nghịch biến Nhưng u + u2 +1 u2 +1 ta lại có f(0)=0 phương trình có nghiệm u=0 v=0 Do hệ có nghiệm : x=y=0 ( x + 1) x + ( y − 3) − y = Ví dụ ( ĐH-KA-2010 ) Giải hệ phương trình sau :  2  x + y + − x = Hướng dẫn 2  5−t  3 ⇔ x3 + x = t  − ÷⇔ 8x + x = t + t   Điều kiện : x ≤ , y ≤ Đặt : t = − y ⇒ y = − t ) , thay vào (1)của hệ ta có : ( Xét hàm số : f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3x + > ∨ x → f ( x) đồng biến vế trái chẳng qua t=2x Do : − y = x ⇔ y = − x2 Thay vào phương trình (2) 2  − x2   3 hệ ta : g ( x) = x +  ÷ + − x = ∨ x ∈  0; ÷  4   Dễ thấy x=0 x=3/4 khơng nghiệm  2 Ta xét : g '( x) = x − x  − x ÷− 2 4  3 = x ( x − 3) − < ∨ x ∈  0; ÷, − 4x − 4x  4  1 với : g ( ) = ⇒ x = ; y = nghiệm hệ 2  x + xy = y10 + y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau :   x + + y + = ( ) Hướng dẫn Điều kiện : x ≥ − Chia hai vế phương trình (1) cho y ≠ x x ⇒  ÷ +  ÷ = y + y Hàm số : f (t ) = t + t ; f '(t ) = 5t + > ∨ t ∈ R  y  y x Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để có (*) xảy y = y ↔ x = y Thay vào phương trình (2) ta : x + + x + = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;-1) IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp học sinh cần quan sát nắm biểu thức khơng âm hệ để vận dụng bất đẳng thức Cơ si để đánh giá Th.s Nguyễn Dương Trang 10 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 4: Giải phương trình sau: 1) log x = log ( x + 6) − log ( x + 2) 2) log x + log 25 x = log 0.2 3) log x (2 x − x + 4) = 4) l o g( x + x − 3) + l o g x+3 =0 x −1 5) log (2 x + 1) − log (3 − x) = 6) log (log x + + x ) = x 7) l o g(5 x − 4) + l o g x + = + l o g 0,18 8) l o g(l o g x) + l o g(l o g x − 2) = x x 9) log (4.3 − 6) − log (9 − 6) = 10) + =1 − log x + log x 11) log x + 10 log x + = Bài 5: Giải bất phương trình sau 2) 3x + 9.3− x − 10 < 1) x < x+ 3) 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 4) 25.2 x − 10 x + 5x > 25 5) 52 x + < 51+ x + x x −1 6) ( − 2) x +1 ≤ ( + 2) x −1 7) 21− x + − x ≤0 2x −1 x −1 ≥2 8) x +1 10) < x 11) ( + 1) − x + x + 2− x + x +1 < 3.( − 1) − x x +1 −x − 1 − 3x ≥ 9) < 25 +x Bài 6: Giải bất phương trình sau 1) log ( x − x + 3) ≤ 2) log x − log x − < 3) log [ log ( x − 5)] > 4) 5) log x + log x ≤ 6) log (log x) ≥ Th.s Nguyễn Dương + >3 log 2 x log x 2 Trang 23 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT x− 7) log (4 + 144) − log < + log (2 + 1) x 8) log ( x − x + 8) + log ( x − 4) < 9) (B2011) + x − − x + 4 − x = 10 − 3x Bài : Giải hệ phương trình bất phương trình : 1)  x + xy = x +  ( y + 5) x + 13 x = 26  x + y − xy =  x − + − y = 2)  3log (9 x ) − log y =  x + xy + y =  x + xy + y = 3)  4)    2x + y = x  5)  2 y + =  x y  x + y + z =  6)  xy + yz + xz = 27 1 1  + + =1  x y z  x + + y + = 7)   x + y + x y + xy + xy = −   x + y + xy (1 + x ) = −  8)  xy + x + y = x − y 9)  10)  x y − y x − = x − y  x( x + y + 1) − =   ( x + y ) − x + =  11) 13) (A2011) 12)  x + x y + x y = x +   x + xy = x +  xy + x + = y  2  x y + xy + = 13 y log (3 y − 1) = x  x x 4 + = y 5 x y − x y + y − 2( x + y ) =   xy ( x + y ) + = ( x + y )  x − x − x + 22 = y + y − y  ( x, y ∈ ℜ) 14)(A2012)  2 x + y − x + y =  15) (D2012)  xy + x − = ( x , y ∈ ℜ)  2 2 x − x y + x + y − xy − y = CHUN ĐỀ 4: NGUN HÀM - TÍCH PHÂN 1/ Tìm nguyên hàm hàm số sau a/ f ( x) = x + cos x − c/ h( x) = − e/ n( x) = x + + sin x x4 x x − 3x + x2 Th.s Nguyễn Dương b/ g ( x) = x − x + cos x x d/ m( x) = − tan x + g/ p ( x) = (2 x − 3) Trang 24 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT i/ y= x2 (5 –x )4 h/ y = x + x + x 2/ Tìm nguyên hàm sau a/ ∫ sin x ⋅ e cos x b/ ∫ sin x ⋅ cos xdx dx ∫ x − dx e/ ∫ 4 c/ ∫ (cos x + sin x)dx 2x + dx x + 3x + f/ ∫ a/ f ( x) = sin x cos x biết nguyên hàm x = π cot x − tan x − tan x dx sin x 3/ Tìm nguyên hàm hàm số b/ f ( x) = 3x − x + ; biết nguyên hàm x= x2 x π c/ f ( x) = cos( − ) biết nguyên hàm x = 2 d/ f ( x) = x − x F(1) = e/ f(x) = cos5x.cos3x π F( ) = 4/ Tính tích phân sau a/ ∫ xdx b/ ∫ d/ x e/ dx ∫x c/ x dx dx ∫ ∫ (x − x)dx f/ ∫ (2 x + )dx x x − 2x dx g/ ∫ x 2x + 6x − 4x dx h/ ∫ − 2x3 π x + x + 3x − dx k/ ∫ x + − cos x dx p/ ∫ cos x π π ∫ π q/ tan x − dx sin x i/ ∫ cot π xdx π j/ π dx x x sin cos 2 ∫ π t/ π − cos x dx ∫ π + cos x 5/ Tính tích phân sau a/ ∫ x − dx b/ Th.s Nguyễn Dương ∫ x − dx c/ −4 ∫ x − x + 9dx Trang 25 ĐT: 0932528949 d/ Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT d/ ∫ − x dx ∫ (1 − x )dx e/ −1 ∫ ∫ f/ cos x + 1dx π −1 g/ 3π h/ ∫ x + x + 4dx x − 3x + dx −3 6/ Tính tích phân sau a/ ∫ (3x − 2) ∫ x( x b/ dx d/ 2x ∫ + 1) dx −1 e ∫2 h/ e2 m/ ∫x e x x + 3dx x2 dx f/ ∫ − x x e ∫x c/ x g/ ∫ x.e dx + ln x dx l/ ∫ x x e/ ∫ dx −1 x + dx + x3 ∫x k/ dx e − x dx −1 dx n/ + ln x π ∫ (sin x + cos x)dx 7/ Tính tích phân sau π ∫ x cos xdx a/ b/ d/ ∫x dx − 3x + 0 π 2 e/ f/ ∫ ∫ (2 x + 1) ln xdx π ∫ ln xdx e xdx sin x i/ π − ∫ c/ dx h/ ∫ tan xdx x g/ ∫ e dx k/ ∫ xe 3x π 4 e ∫ x − 3dx dx e x dx m/ ∫ x −1 + e 25 − 3x 8/ Tính tích phân sau: 1 a/ ∫ ( x + 3)e dx x b/ d/ ∫x − xdx e dx c/ −1 ∫ x( x − 1) 2011 e/ ∫x ∫ (2 x − 1) ln xdx f/ π ∫2 dx ln x + + sin x cos xdx Trích số tich phân đề thi ĐH: Tính tích phân sau: π π π sin( x − )dx tan x (B08) I= dx (A08) J= ∫ cos x Th.s Nguyễn Dương ∫ sin x + 2(1 + sin x + cos x) Trang 26 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT e ln x K = ∫ dx x π L = ∫ x ln xdx (D08) ln sin x M =∫ cos x + 4sin x 2 dx (A06) P = ∫ ( x − 2)e dx 2x (D06) π sin x cos x H =∫ dx (B05) + cos x x F=∫ dx x −1 1+ sin x + sin x dx + 3cos x − 2sin x L=∫ dx + sin x e x dx ∫ Y= E = ∫ (esin x + cos x ) cos xdx (A05) ∫ K= (B03) Z = ∫ x(e x + x + 1) dx (DBB02) (DBA02) −1 T= Q= + 3x + ∫ + ln( x + 1) ( x + 1) ∫ x2 x2 +1 π x dx (DBA03) + cos x B=∫ x3 I =∫ dx (B2012) P= dx (A2012) ∫ dx (A03) 0 ∫x x x2 + A = ∫ − cos3 x sin x cos5 xdx (DBD02) dx (B04) X = ∫ x − x dx (D03) π D= + 3ln x ln x dx x L=∫ (e x + 1)3 (A05) π (D04) (B06) Q=∫ π dx + 2e − x − π e (A04) x ln 3 B = ∫ ln( x − x)dx ∫e N= ln (D07) 4x −1 dx (D2011) 2x +1 + x2 −1 x2 ln xdx ( A2013) ( D2013) ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1/ Cho hàm số y = f(x) = x3 –3x +2 a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C ) hàm số b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), đường thẳng (D): y = x + , x = -1 , x = c/ Viết phương trình tiếp tuyến (D 1) với (C) điểm có hoành độ –2 phương trình tiếp tuyến (D2) với (C) điểm uốn I (C) d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , (D1) x = -1 Th.s Nguyễn Dương Trang 27 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT e/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , (D1) (D2) 2/ Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) với trục Ox c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) (P) : y = x d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), (P) : y = x2 , x = , x = e/ Viết phương trình tiếp tuyến (D) với (C) điểm A(3;0) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , (D) x = 2, x = 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x3 ; x + y = trục hoành b/ y = 2x – x2 ; x + y = c/ y = x2 + x − y = 2x – x +1 d/ (P): y = x - 2x +2, tiếp tuyến (P) A(3; 5) trục Oy e/ y = x y = x + g/ y = + cos2x ; y = ; x = ; x = π 4/ Cho hs: y = x + 3x + 3x + a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hs b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục tọa độ 5/ Cho hs: y = 2x - x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hs b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục Ox c) Cho hình phẳng quay xung quanh trục hồnh Tính thể tích KTX tạo thành CHUN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA = a SA vng góc (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) vng với (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Th.s Nguyễn Dương Trang 28 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt SAD tam giác vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối CMNP Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M N trung điểm AE BC Chứng minh MN ⊥ BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, góc ABC = BAD = 90 0, BA =BC=a AD = 2a Cạnh bên SA = a vng góc với đáy Gọi H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến mp(SCD) Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác ABC vng A, AB =a, AC = a hình chiếu A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc đường thẳng AA’, BB’ Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mp(SAB) vng góc với đáy Gọi M N trung điểm AB BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc đường thẳng SM , DN Bài : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng, AB = BC = a, AA’= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính khoảng cách đường thẳng AM, B’C Bài : Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc ∧ ACB = , BC = a, SA = Gọi M trung điểm cạnh SB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC Bài : (A2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mp(SAB) (SAC) vng góc với mp(ABC) Gọi M trung điểm AB; mp qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mp(SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 10 : (B2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A 1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (ABCD) trung với giao điểm AC BD Góc mp(ADD 1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Bài 11 : (D2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA = 3a, BC = 4a, mp(SBC) vng góc với mp(ABC) Biết SB = a góc ∧ SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Bài 12: (A2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mp(ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mp(ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Th.s Nguyễn Dương Trang 29 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 13 : (B2012)Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB =a Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mp(ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Bài 14 : (D2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mp(BCD’) Bài 15: (A2013)Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, góc ABC = 300, SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài 16: (D2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng với đáy, BAD = 1200, M trung điểm cạnh BC SMA = 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mp (SBD) CHUN ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỢ TRONG MẶT PHẲNG Bài Trong mp (Oxy) cho A(2;5), B(1;1), C(3;3) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hbh ABCD Bài Trong mp (Oxy) cho đường thẳng d1: x+y+5=0; d2: x+2y-7=0 điểm A(2;3) Tìm tọa độ điểm B∈d1 C∈d2 cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0) Bài Trong mp (Oxy) cho d1: x-y+1=0; d2: 2x+y+1=0 điểm A(2;1) Viết pt đường thẳng d qua A cắt hai đường thẳng d1 , d2 hai điểm M N cho A trung điểm MN Bài Trong mp (Oxy) cho d1: 2x+y+5=0; d2: x+y –3 =0 điểm A(- 2;0) Viết phương  →  → trình đường thẳng d qua A cắt d1, d2 M N cho AM = AN Bài Trong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2) a Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết hai đường cao kẻ từ B C có phương trình d1: 9x – 3y – =0; d2: x+y – =0 b Lập phương trình đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng AC Bài Trong mp Oxy cho đỉnh A( 1;1), B(4 ; - 3) Tìm M thuộc d: x–2y–1 =0 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB Bài Trong mpOxy cho đường thẳng d: 2x + y – = M(6;5) Xác định hình chiếu vng góc M lên d điểm M’ đối xứng với M qua d Bài Trong mp Oxy, xét tam giác ABC vng A, phương trình BC: 3x − y − = , đỉnh A B thuộc trục hồnh, bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Bài Lập phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = qua đường thẳng d: x – y – = Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’) Bài 10 Trong mp Oxy cho ba đường thẳng d1: x+y+3=0; d2: x–y–4 =0; d3: x – 2y = Tìm tọa độ điểm M thuộc d3 cho khoảng cách từ M đến d hai lần khoảng cách từ M đến d2 Th.s Nguyễn Dương Trang 30 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 11 Trong mp cho Oxy đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = M(-3;1) Gọi T1, T2 tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Lập phương trình T1, T2 Bài 12 Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(0;2), B( -2; -2), C(4; -2) Gọi H chân đường cao hạ từ B M, N trung điểm AB BC Lập phương trình đường tròn qua điểm H,M,N Bài 13 Trong mp Oxy,viết phương trình tắc elip có tâm sai e= , hình chữ nhật sở có chu vi 20 Bài 14 Trong mp Oxy cho điểm A(1;0) ; B(–2;4) ;C(–1; 4) ; D(3 ; 5) đthẳng d: 3x – y – = Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đườngthẳng d: x - 2y-2 =0 điểm A(0;1) ; B(3; 4) Tìm toạ độ điểm M đường thẳng d cho 2MA2 + MB2 nhỏ Bài 16 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x + y + = 0, d2: x + 2y – = tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 điểm C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 17 Cho ∆ABC có B(1; 2), phân giác góc A có phương trình (∆): 2x + y – = 0; khoảng cách từ C đến (∆) lần khoảng cách từ B đến (∆) Tìm A, C biết C thuộc trục tung Bài 18 Cho ∆ ABC có diện tích 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x – y –8 =0 Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC Bài 19 Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 2) cắt đường tròn (C) có phương trình ( x − ) + ( y + 1) = 25 theo dây cung có độ dài Bài 20 Cho ∆ ABC biết: B(2; -1), đường cao qua A có pt d 1: 3x-4y+27=0, phân giác góc C có phương trình d2: x+2y-5 = Tìm toạ độ điểm A Trích số tập đề thi ĐH: Bài 1: (B08) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elíp (E) biết (E) có tâm sai /3 hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Bài 2: (B08)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H( −1;−1), đường phân giác góc A có phương trình x−y+2=0 đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y-1=0 Bài 3: (A2010NC)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y − = Tìm toạ độ đỉnh B C, biết E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Bài 4:(A2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x + y = d2: 3x − y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích / điểm A có hồnh độ dương Th.s Nguyễn Dương Trang 31 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 5: (B2010) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Bài 6: (B2010NC) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 3) elip (E): x2 y + =1 Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 Bài 7: (D2010) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm H(3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(−2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương Bài 8: (D2010NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) Δ đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vng góc A Δ Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hồnh AH Bài 9.(B2011) Cho hai đường thẳng d: x - y - = d’: 2x - y -2 =0 Tìm tọa độ điểm N thuộc d’ cho đường thẳng ON cắt đường thẳng d điểm M thỏa mãn OM.ON = Bài 10.(D2011) Trong mp tọa độ (Oxy) cho tam giác ABC có B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x – y – = Tìm tọa độ đỉnh A C Bài 11.(A2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y + = đường tròn (C): x + y2 – 4x – 2y = Gọi I làm tâm (C), M điểm thuộc d Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Bài 12.(D2012) Cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng AC, AD có pt x + 3y =     x - y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M  − ;1 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Bài 13 (A2012) Trong hệ Oxy cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC,  11    N điểm cạnh CD choCN= 2ND Giả sử điểm M  ;  đường thẳng AN có phương trình: 2x - y - = Tìm tọa độ điểm A Bài 14(B2012) Cho đường tròn (C1): x2 + y2 = 4, (C2):x2 + y2 - 12x +18=0 đường thẳng d: x - y - = Viết pt đường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt (C1) hai điểm phân biệt A, B cho AB vng góc với d CHUN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỢ TRONG KHƠNG GIAN Th.s Nguyễn Dương Trang 32 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) hai đường thẳng d1 : x y −1 z + = = −1 x = + t  d :  y = −1 − 2t z = + t  a.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d1 d2 b.Tìm M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng d1 : x −2 y+2 z−3 x −1 y −1 z +1 = = = = d1 : −1 −1 1)Tìm A’ đối xứng A qua đường thẳng d1 2)Viết phường trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc với d1 cắt d2  x = −1 + 2t x y −1 z +  = Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = d :  y = + t -1 z =  1)Chứng minh hai đường thẳng chéo 2)Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P):7x + y - 4z = cắt hai đường thẳng d1, d2 Bài 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z - 2x + 4y + 2z - = mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y +2 z – 14 = 1)Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính 2)Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn Bài 5: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;4;2), B(-1; 2; 4) hai đường thẳng ∆: x −1 y + z = = −1 1)Viết phtrình đường thẳng d qua trọng tâm tam giác OAB vng góc với (OAB) 2)Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA + MB2 nhỏ Bài 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) đường thẳng d: x −1 y z − = = 2 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A đthẳng d Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d cho khoảng cách từ A đến (α) lớn Bài 7:Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2),B(2;−2;1),C(−2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 cho MA=MB=MC Th.s Nguyễn Dương Trang 33 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3), D(3;3;3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 9: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mp (P) 2x - 2y – z – = mặt cầu (S): x + y + z - 2x - 4y - 6z -11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn Bài 10: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x– 2y + 2z – = hai đường thẳng hai đường thẳng ∆1 : ∆1 : x +1 y z + = = 1 x −1 y − z +1 = = Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 cho khoảng cách −2 từ M đến đường thẳng Δ1 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Bài 11(A2010) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x −1 y z + = = mặt −1 phẳng (P): x − 2y + z = Gọi C giao điểm Δ với (P), M điểm thuộc Δ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = Bài 12 (A2010NC) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng ∆ : x +2 y−2 z+3 = = Tính khoảng cách từ A đến Δ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ hai điểm B C cho BC=8 Bài 13(B2010NC) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P): y − z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) 1/3 Bài 14(D2010NC) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − = (Q): x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) Bài 15(A2011) Cho điểm A( ; 1), B(0 ; -2 ; 3) (P) : 2x - y -z +4= Tìm tọa điểm M thuộc (P) cho MA = MB = Bài 16 (B2011)Cho đường thẳng d : x − y +1 z = = −2 −1 mp(P):x + y + z - = Gọi I giao điểm d (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vng góc với d MI = 14 Bài 17(D2011) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A( ; ;3) đường thẳng d: x +1 y z −3 = = −2 Viết pt đường thẳng ∆ qua A, vng góc với đường thẳng d cắt trục Ox Th.s Nguyễn Dương Trang 34 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 18(A2012) Trong kg Oxyz cho đường thẳng d : x +1 y z − = = điểm I(0 ; ; 3) Viết pt mặt cầu (S) có tâm I cắt d điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB vng I Bài 19(B2012) Cho đường thẳng d : x −1 y z = = −2 hai điểm A(2 ; ;0), B(-2 ; ; 2) Viết pt mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d Bài 20(D2012) Cho mp (P) : 2x + y -2z + 10 = điểm I(2 ; ; 3) Viết pt mặt cầu tâm I cắt mp(P) theo giao tuyến đường tròn có bán kính Bài 21: Viết pt tham số đường thẳng d qua điểm A(1;-2;2) cắt đường thẳng d’ : x +1 y − z −1 45 = = điểm D cho diện tích tam giác OAD −1 CHUN ĐỀ 8: SỐ PHỨC - GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1) Tìm tất số phức z, biết z2 = z + z 2) Tìm số phức z thỏa mãn z+2 = ( z + 1)( z − i ) = z + 2i 3) Trong mp tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: a) z − i = (1 + i ) z b) z + + i = z (1 − i ) 4) Tìm phần ảo số phức z, biết z = ( + i ) (1 − 2i ) 1+ i  5) Tính I =   1− i  2012 6) Tìm số phức z, biết z − ( + 3i ) z = − 9i 7) Tính mơđun z biết ( z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = − 2i 8) Cho z = cos180 + cos720i Tính mơđun z 9) Tìm số phức z thỏa mãn z − i = ( z − 1)( z + i ) 10)Viết số phức z dạng lượng giác biết rằng: z − = z − 3i i z có acgumen π 11) Giải phương trình: a 14 − x = x x C5 C C 7 b C 1x + C x2 + C x3 = x 12) Đội học sinh xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp 10, học sinh lớp 11, học sinh lớp 12 Cần học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc khơng q hai ba lớp Hỏi có cách chọn vậy? Th.s Nguyễn Dương Trang 35 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT 13) Có chữ số chẵn gồm chữ số đơi khác lập từ số 0, 1, 2, 4, 5, 6, 14) Có số tự nhiên gồm chữ số biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt nhiều lần 15) Trong khai triển (1 + ax)n có số hạng đầu 1, số hạng thứ 24x, số hạng thứ ba 252x2 Hãy tìm a n n   n 20 16) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  + x  , biết C2 n +1 + + C2 n +1 = − x  26 (n số ngun dương) 17) Từ tổ gồm nam, nữ Chọn ngẫu nhiên bạn xếp vào bàn đầu theo thứ tự khác Tính xác suất cho cách xếp có bạn nam 18) Một hộp đựng 12 bóng đèn có bóng đèn hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng đèn (khơng kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để có bóng hỏng bóng lấy An4+4 143 < Pn+2 4.Pn 19) Tìm số tự nhiên n cho : 2009 + 2C12009 + 3C2009 + + 2010C2009 20) Tính tổng S = C2009 21) Tính tổng S = Cn0 + Cn1 + + Cnn 3n + CHUN ĐỀ 9: BẤT ĐẲNG THỨC - TÌM GTLN - GTNN CỦA BIỂU THỨC Sử dụng phương pháp Bất đẳng thức Cơsi (Cauchy) a1 + a2 + a3 + + an ≥ n Với ≥ 0, i = 1, 2,3, , n ta có: n a1.a2 an Dấu “=” xảy khi: a1 = a2 = … = an Với n = : a + b ≥ ab ∀a, b ≥  a +b  ab ≤  ÷   Với n = : a + b + c ≥ 3 abc , ∀a, b, c ≥ abc ≤  Hệ quả: * a ≠ => a + ≥2 a  a+b+c ÷   a b + ≥2 * a,b ≠ => b a Sử dụng phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacơpski Cho hai n số : a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn Ta có: (a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) ≤ (a + a + a + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) Th.s Nguyễn Dương 2 2 Trang 36 ĐT: 0932528949 Bài 3: HỆ CĨ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT an a1 a2 Dấu “=” xảy : = = = b1 b2 bn BÀI TẬP THỰC HÀNH 1) Cho hai số thực x, y khác khơng, thỏa mãn: x y + = − Tìm giá trị lớn giá trị y x y x nhỏ biểu thức: T = x2 + y2 – x + 3y 2) Cho x,y ∈ R thỏa x + xy + y ≤ Chứng minh : − − ≤ x − xy − y ≤ − 3) Cho số dương a, b, c a + b + c = Chứng minh: 1 1 + + + ≥ 30 2 a +b +c ab bc ca 4) Tìm giá trị nhỏ hàm số y =x+ 11 + 4(1 + ) 2x x ,x >0 5) Với x số dương, y số thực tùy ý Tìm tập hợp giá trị biểu thức : A= xy ( x + y )( x + x + 12 y ) 6) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: a+b+c = P= 3 Tính giá trị nhỏ biểu thức : 1 +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a 7) Cho x, y, z ba số thực thỏa mãn: − x + − y + − z = Chứng minh : 4x 4y 4z 2x + y + 2z + + ≥ x + y +z y + y + x z + x + y Th.s Nguyễn Dương Trang 37 ĐT: 0932528949 [...]... Tương tự khi yy Hệ cũng vơ nghiệm Xét trường hợp -1
- Xem thêm -

Xem thêm: hệ phương trình, bài tập toán THPT, hệ phương trình, bài tập toán THPT, hệ phương trình, bài tập toán THPT

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Từ khóa liên quan

Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập