NGUYỄN MẠNH CƯỜNG GV chuyên luyện thi THPTQG 2016 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Nguyễn Mạnh Cường Lớp toán thầy Cường 01/01/2016 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN I MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT DẠNG Phương trình trùng phương ax  bx  c   a   (1) Phương pháp giải Đặt t  x  t  phương trình trở thành at  bt  c  (1) Ta giải (1) phương trình bậc hai Ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình sau x  x   ▎Hướng dẫn giải Đặt t  x  t  , lúc phương trình cho trở thành  t   tm  t  2t     t  1 t       t    l  Với t  ta có x   x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  1  Ví dụ Giải phương trình sau x  x   ▎Hướng dẫn giải   17 t  2 Đặt t  x  t  , lúc phương trình cho trở thành 2t  5t      tm    17 t   + Với t  + Với t   17  17 ta có x  ta có x   17  17  17  x  17  x    17   Vậy phương trình cho có nghiệm x    Bài tập vận dụng ;  17       Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Bài tập Giải phương trình sau a) 5x4  8x2   c) x  x   b ) x  x  40  d ) x4  3x2   DẠNG Phương trình trùng phương tịnh tiến  x  a    x  b   c  (2) 4 Phương pháp giải Đặt x  t  ab phương trình cho trở dạng phương trình trùng phương 4 ab   a b  2  (2)   t    t    c  16t  24  a  b  t   a  b   8c      a  b  a  a 3b  6a 2b  4ab  b   a  b    a  b    a  6a 2b  b  4 ☞ Bình luận Chắc hẳn có số bạn thắc mắc lại đặt x  t  ab thay đặt đại lượng khác x  a  t  u ab ab  x  a  b  2t  x  t  phép đặt x  t  tìm sau: ta cần đặt  2 x  b  t  u Ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình sau  x     x    82 4 ▎Hướng dẫn giải Đặt x  t  phương trình cho trở thành  t  1   t  1  t   tm   82  t  6t  40     t   10  l  t   x  Với t    t  2  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x   2; 6  Ví dụ Giải phương trình sau  x     x    272 4 ▎Hướng dẫn giải Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Đặt x  t  phương trình trở thành  t     t   4  t   tm   272  t  54t  55     t   55  l  t   x  4 Với t    t  1  x  6 Vậy phương trình cho có nghiệm x  4; 6  Bài tập vận dụng Bài tập Giải phương trình sau a )  x  10    x    5392  b) x  c )  x     x    1522  x 3 2 4   98 d) x    x 3 3 4  896 DẠNG Phương trình đối xứng ax  bx  cx  kbx  k a   k  0, a   (3) Phương pháp giải Do a  nên x  nghiệm phương trình cho, nên ta chia hai vế phương trình cho x ta phương trình  k2  k  ax  bx  c  kb  k a   a  x    b  x    c  (*) x x x  x    t  x  Đặt    t  x  k x k x  t  2k  x   t  2k  x  2 Phương trình (*) trở thành a  t k2 x2 k2 x2 t 2 k t    bt  c  (**) Ta giải (**) phương trình bậc hai ☞ Bình luận Khi đặt t  x  k x theo BĐT Cô si ta có x  k x  k điều kiện t t  k Ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình sau x  x  16 x  x   ▎Hướng dẫn giải Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Dễ thấy x  nghiệm phương trình cho, ta chia hai vế phương trình cho x 1    x  x  16      x     x    16  x x x   x  Đặt t  x  x  x2  Với t    x  x t  4 2  t  t     t    3t  16    x2 t   4  x  x    x  2  x  Với t   x    x  x     x  x  5   Vậy phương trình cho có nghiệm x     3; ;     Ví dụ Giải phương trình sau x  x  36 x  x   ▎Hướng dẫn giải Nghiệm x  nghiệm phương trình cho, ta chia hai vế phương trình cho x x  13 x  46  Đặt t  x  x 39 x   x2  Với t   x  Với t   x  x x  3      x    13  x    46  x x  x   t  2  t  t  t   13 t  46      x2 t      x  x    x   15   x2  5x    x   21   21  Vậy phương trình cho có nghiệm x    15;     Bài tập vận dụng Bài tập Giải phương trình sau Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ a ) x  x  16 x  x  81  c ) 16 x  x  230 x  15 x  400  b ) x  x  82 x  x   d ) x  3x3   x  3x     DẠNG Phương trình cân theo hệ số phép cộng  x  a  x  b  x  c  x  d   e (4) Trong a  c  b  d  m , ac  n , bd  p Phương pháp giải Ta viết lại phương trình thành   x  a  x  c     x  b  x  d    e   x   a  c  x  ac   x   b  d  x  bd   e   x  mx  n  x  mx  p   e 2 Đặt t  x  mx  n t  x  mx  p phương trình cho trở thành  t  n  t  p   e  t   n  p  t  np  e  ta giải phương trình bậc hai Ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình sau  x   x   x   x    144 ▎Hướng dẫn giải Ta viết lại phương trình cho  x  x  14  x  x  24   144  t  18 Đặt t  x  x  14  x  x  24  t  10 t  t  10   144   t  8 Với t  18  x  x  32   x   17 x  Với t    x  x      x  1   17  ; 1;   Vậy phương trình cho có nghiệm x     Ví dụ Giải phương trình sau  x  1  x   x    ▎Hướng dẫn giải Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Ta viết lại phương trình cho  x  1 x   x  1 x      x  x   x  x    t  Đặt t  x  x   x  x   t  t  t      t  7 Với t   x  x    x    29 2 3  Với t    x  x   vô nghiệm x  x    x     0,  x  2  2    29  Vậy phương trình cho có nghiệm x      Bài tập vận dụng Bài tập Giải phương trình sau a )  x   x   x   x    40 c )  x  1 x   x   x    33 b )  x    x   x  1  35 d )  x  1 x   x   x    DẠNG Phương trình cân theo hệ số phép nhân  x  a  x  b  x  c  x  d   ex (5) Trong ac  bd  m , a  c  n , b  d  p Phương pháp giải Ta viết lại phương trình thành  x   a  c  x  ac   x   b  d  x  bd   ex   x  nx  m  x  px  m   ex TH1: Xét x  nghiệm phương trình hay không TH2: Xét x  , ta chia hai vế phương trình cho x ta m m     x   n x   p   e x x    Đặt, phương trình trở thành  t  n  t  p   e  t   n  p  t  np  e  Ta giải phương trình phương trình bậc hai Ví dụ minh họa Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Ví dụ Giải phương trình sau  x   x   x   x  12   x ▎Hướng dẫn giải Ta viết lại phương trình cho thành  x  18 x  72  x  17 x  72   x Dễ thấy x  nghiệm phương trình, ta chia hai vế phương trình cho x ta 72 72     18   x   17   x x x    Đặt t  x  72 x  t   16  l   t  12  t  18  t  17      t   19  x   t   19(tm ) 72 x   19  x  19 x  72   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x   19  73  19  73  Ví dụ 10 Giải phương trình sau  x   x   x   x  12   25 x ▎Hướng dẫn giải Ta viết lại phương trình cho thành  x  10 x  24  x  14 x  24   25 x Dễ thấy x  nghiệm phương trình, ta chia hai vế phương trình cho x ta 24 24     10   x   14   25 x x x    Đặt t  x   t  15  t   t  10  t  14   25   x  t   11 24 Với t  15  x  24 x Với t   11  x   15  x  15 x  24   x  15  129  x  3   11  x  11x  24    x  x  8 24  Vậy phương trình cho có nghiệm x    8;  3;  15  129     Bài tập vận dụng Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Bài tập Giải phương trình sau a )  x   x   x  10  x  12   x c )  x   x   x   x    30 x b )  x  1 x   x   x    168 x d )  x  15  x   x  1 x    x DẠNG Phương trình khuyết thiếu bậc ba ax  bx  cx  d (6) Phương pháp giải Xét phương trình bx  cx  d  (*) c  c    TH1 Phương trình (*) có nghiệm kép tức (*)  b  x   lúc ta có (6)  ax  b  x   2b  2b    TH2 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (ta không xét trường hợp (*) vô nghiệm (*) vô để đưa (6) dạng  A  x     B  x   nghiệm (6) vô nghiệm) ta chèn số m  (6)  a  x  mx  m   amx  am  bx  cx  d  a  x  m    am  b  x  cx  am  d Xét phương trình  am  b  x  cx  am  d  (**) Để (**) có nghiệm kép  (**)  , lúc ta phải có c   am  b   am  d    8a m  ab.m  8ad m  4bd  c  (***) Ta giải phương trình (***) bậc ba ẩn m phương trình bậc ba Ví dụ minh họa Ví dụ 11 Giải phương trình sau x  19 x  10 x  ▎Hướng dẫn giải Các bạn thấy phương trình 19 x  10 x   có hai nghiệm phân biệt nên ta giải theo TH2 Ta thay hệ số vào a m  ab.m  ad m  4bd  c  m  76 m  64 m  708  Giải ta nghiệm có nghiệm m  thỏa mãn nên phương trình cho trở thành x  x   25 x  10 x    x     x  1 2 (1)  x  x    x  2  x   x  (1)   x    x  (2)  17  x  1 (2)  x  x      x  4 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ   17  Vậy phương trình cho có nghiệm x    4;  1;     Ví dụ 12 Giải phương trình sau x  x  10 x   ▎Hướng dẫn giải Tương tự ta tìm m  thỏa mãn nên phương trình cho trở thành  x  x    x  10 x    x    2 (1)  2x2  5x  2    x  (2)  x  x  2      5x     x    x  (1)    x     x  (2)   10  11 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x  x  5 10  11  2 Bài tập vận dụng Bài tập Giải phương trình sau a ) x  x  16 x   c ) 16 x  32 x  48 x  b) x  x  d ) x4  x2  6x   II PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TỔNG QUÁT ax  bx  cx  dx  e   a   (7) DẠNG Giải (7) cách nhẩm nghiệm hữu tỷ x  x0 Phương pháp giải Phương trình (7) trở thành  x  x0   ax   b  ax0  x   c  bx0  ax0  x   d  cx0  bx0  ax0     x  x0  2  ax   b  ax0  x   c  bx0  ax  x   d  cx  bx  ax   (*) Ta giải (*) phương trình bậc ba Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Đặt y   1  t   với t  phương trình cho trở thành 2 t       1 1   t       t       t     t  6t     t     t  3  2 (tm) t  t  2 t  2  2  t  3 2  3 2  1  3 2  3 2  + Với t  3  2   3  2 nên y  + Với t  3  2   3  2 nên y  t Do phương trình (**) có nghiệm y    3 2  3 2  3 2  3 2  Vậy phương trình cho có nghiệm x   Bài tập vận dụng Bài tập Giải phương trình sau a ) x  12 x  x  x  33  c) x  x3  3x  x   b ) x  14 x  x   d ) x  x3  x  x   DẠNG Giải (7) cách dùng định lý Vi-ét đảo Phương pháp giải Khi nhẩm nghiệm, nghiệm mà cặp nghiệm áp dụng định lý Vi-et đảo hay tổng hai nghiệm tích hai nghiệm số hữu tỷ a  b  S  Ta nhẩm hai nghiệm a , b mà nghiệm thỏa mãn   a.b  P  phương trình x  S x  P   x  S  S  SP hai nghiệm a , b nghiệm Ví dụ minh họa Ví dụ 15 Giải phương trình sau x  x  x  x   ▎Hướng dẫn giải Dùng chức SOLVE ta tìm hai nghiệm A  0, 6180339887, B  1, 618033989 hai nghiệm tạo thỏa mãn hệ thức Vi-et A  B   1; A.B   Do đó, A, B nghiệm phương trình X  X   Ta dùng chức CALC thực phép chia đa thức để tìm thương số dư hay phân tích nhân tử 11 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ x  x  1 x  x     x  1   x  x    x  1   0,  x       Vậy phương trình cho có nghiệm x      Ví dụ 16 Giải phương trình sau x  x  11x  13 x   ▎Hướng dẫn giải Ta tìm A  4,192582404; B  1,192582404; C  1, 366025404; D  0, 3660254038 nghiệm thỏa A  B  mãn hệ thức Vi-et đảo theo cặp   A.B   Do đó, A, B nghiệm phương trình X  X   C  D    C D hai nghiệm phương trình X  X    C D     29  x  3x    x  2 Phương trình trở thành  x  x   x  x  1     1 2 x  x    x     29   ; Vậy phương trình cho có nghiệm x       Bài tập vận dụng Bài tập Giải phương trình sau a ) x  16 x  66 x  16 x  55  c ) x  13 x  32 x  13 x   b ) x  x  20 x  12 x   d ) x  5x3  x   DẠNG Giải (7) cách đưa dạng ax  bx  cx  d Phương pháp giải Đặt x  t  b 4a phương trình trở thành 12 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ b  b  b  b      at    bt    ct    d t  e  4a  4a  4a  4a       3b   bc b   3b  b c bd  at    c t2     d t      e  (*) 16 a 4a  8a   a 8a   256 a  Ta giải (*) mục ☞ Bình luận Tôi giải thích cho bạn đọc việc đặt x  t  b 4a sau : ta đặt nhờ vào phép dời trục tọa độ điểm siêu uốn đồ thị hàm số bậc bốn f ( x )  ax  bx  cx  dx  e  a   Điểm siêu uốn đồ thị      b  ; f    hoành độ nghiệm phương trình y '''  4a  4a   b Ví dụ minh họa Ví dụ 17 Giải phương trình sau x  x  x  12 x  16  ▎Hướng dẫn giải Đặt x  t  , thay vào phương trình cho ta t    t  1   t  1   t  1  12  t  1  16   t  8t      t    l  4 Vậy phương trình cho có nghiệm x  2; 4  Ví dụ 18 Giải phương trình sau x  x  20 x  12 x   ▎Hướng dẫn giải Đặt x  t  , thay vào phương trình cho ta t  2   t    20  t    12  t      t  t  t   t   t  1 1    t   2  t  2t  1   t   2t   1 t 1 x  t  1   x      t  2t      t     x   13 t   x  t  3  x  2  Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ   Vậy phương trình cho có nghiệm x   2;1  2;  Ví dụ 19 Giải phương trình sau x  x  24 x  16 x  220  ▎Hướng dẫn giải Đặt x  t  , thay vào phương trình cho ta t  2   t    24  t    16  t    220   t  48 y  140 *  Ta giải (*) dạng dạng ax  bx  cx  d Tìm m  , PT (*) trở thành t     2t  12  2  t   2t  12 1   t     2t  12    t   11  x    11 1  t  2t  10     t   11  x    11    t  2t  14    t  1  13   x    VT  0,  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1  11  Bài tập vận dụng Bài tập Giải phương trình sau a) x  x3  3x  x   b) x  x  19 x  48 x  45  DẠNG 10 Giải (7) cách đưa dạng A2 ( x )  B ( x ) Phương pháp giải  A( x )  B ( x ) Ta đưa phương trình (7) dạng  A( x )    B ( x )     A( x )   B ( x ) 2 Ta viết lại phương trình (7) thành b   a  x  x   cx  dx  e  a   2  2  bx   bx   bx  a   x   x       cx  dx  e  a a a       b   a  x2  2a   b2   x    c  x  dx  e   4a  14 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ  b2   c  x  dx  e  (*)  4a  Xét phương trình   b2  ad   c x  TH1 Phương trình (*) có nghiệm kép hay (*)     ta có b  ac   4a  b  (7)  a  x  2a   b2  ad   x    c x   b  ac    4a  2 TH2 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (ta không trường (*) vô nghiệm dẫ tới (7) vô nghiệm) ta chèn số m hữu tỷ vào (7) để đưa dạng A2  B b  (7)  a  x  2a   b2   b2  b    x    c  x  dx  e  a  x  xm    c  am  x   bm  d  x  am  e 2a     4a   4a  2  b2   c  am  x   bm  d  x  am  e  (**)  4a  Xét phương trình  Để (**) có nghiệm kép  (**)  , ta phải có  b.m  d    b2   am   c   am  e    8a m  4a c.m  2a  bd  4ae  m  4ace  ad  b 2e  (***) 4a   Việc ta tìm m  với m nghiệm phương trình (***) Sau tìm m  việc thay vào phương trình (7) giải theo bước  ⚠ Chú ý: Phương trình f ( x )  ax  bx  c  a  x   rồi, ta b       b  ac  Phương trình có nghiệm   2a  4a b  b  kép   , phương trình trở thành f ( x )  a  x   0 x 2a  2a  Ví dụ minh họa Ví dụ 20 Giải phương trình sau x  32 x  127 x  38 x  243  ▎Hướng dẫn giải Đây dạng khó cách giải tổng quát này, lẽ không nhẩm nghiệm đẹp áp dụng định lý Vi-et cách thuận lợi nhất, ta phải có cách nhìn trực quan Ta xác định hệ số thay vào 8a m  a c.m  a  bd  ae  m  4ace  ad  b 2e   64m  2032m  2912 m  944  15 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Giải phương trình ta tìm nghiệm có m  thỏa mãn Bâygiờ thay giá trị m vừa tìm vào phương trình   b2  b  ax  x  m    a.m   c  x   b.m  d  x   a.m  e  2a 4a       x  x  1  x  70 x  245   x  x  1   x   2   x  x  1   x   (1)    x  x  1    x  (2)  (1)  (2)      133  12 10     133  12 10 x   x    x  2 x   x    x  2    133  12 10   133  12 10  ;  2 2   Phương trình có nghiệm x   Ví dụ 21 Giải phương trình sau x  14 x  54 x  38 x  11  ▎Hướng dẫn giải Tương tự ta tìm m  thỏa mãn, thay giá m vừa tìm vào phương trình   b b2   a  x2  x  m    a.m   c  x   b.m  d  x   a.m  e  2a 4a       x  x    x  18 x  27   x2  x     x  3 2  x  x    x   3(1)   x  x     x  3(2)     36      36  (1)  x   x   3   x  (2)  x   x   3   x  2 16 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ    36    36   ;   2   Như vậy, phương trình có nghiệm x   Bài tập vận dụng Bài tập 10 Giải phương trình sau a ) x  30 x  174 x  420 x  196  c ) x  x  35 x  26 x   b) x  x  x  x   d ) x  x  82 x  64 x   III CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÔ NGHIỆM Phương pháp giải Xét phương trình ax  bx  cx  dx  e   a   Ta tách dạng f ( x )   A  x    B ( x ) với B ( x ) tam thức bậc hai dương Nhắc lại kiến thức: a  Tam thức bậc hai g ( x )  ax  bx  c  0,  x      A( x ) 2 ,  x  f ( x )   A( x )   B ( x )  0, x   B ( x )  Cách làm sau: b  b   f ( x )  a  x  x   cx  dx  e  a  x  a  2a   b2     b  x  c  x   B (x)  x  dx  a  x  4a  2a     2 TH1: Phương trình B ( x )  vô nghiệm hay    B( x)  ac  b  ad  a.    f ( x )  0,  x x  4a  ac  b  ac  b TH2: Phương trình B ( x )  có nghiệm hay    chưa biết dấu B ( x ) Ta chèn số m  để đưa f ( x ) dạng f ( x )   A  x    B ( x ) ban đầu cách 17 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ  b f ( x )  a  x  2a   b   x    x  2a    b   x  m  m   am  x  2a     b2   x   am   c   x  dx  e 4a     b b2     a  x2  x  m  c   am  x   d  bm  x  e  am 2a 4a      b2 c   am   a   b2  Để  c   am  x   d  bm  x  e  am  0, x  a     d  bm    c  b  am   e  am      4a   nằm khoảng nghiệm thay m vào f ( x ) để tách thành f ( x )   A  x    B ( x ) Ta lấy m   ac  b m  Tóm lại ta cần nhớ (  )   chọn m  8a 8 a m  ac.m  a  bd  ae  m  ace  ad  b e   Ví dụ minh họa Ví dụ 22 Giải phương trình sau x  x  x  x   ▎Hướng dẫn giải Kiểm tra SOLVE ta thấy máy trả kết vô nghiệm.Tiếp theo, ta liệt kê hệ số Bây giờ, ta tách f ( x) để xem B ( x)   13 B ( x)  x  2 nằm trường hợp f ( x )   x    13 x  x  , ta thấy biểu thức x  x  có nghiệm Vậy nằm trường hợp hai Tiếp theo ta thay vào hệ (I) tối giản để tìm khoảng nghiệm m, ta có hệ 13  m      m   1, 796338193  ta chọn m   1,    8 m  12 m  42 m  66   Tiếp theo ta thay m   vào f ( x ) với hệ số sau  x  44   x  81   0   x     x       x  x  2  25   20 25     2 x 9  8 228    x2     0 x   5 20   175  18 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ 2 x 9  8 228  Ta thấy B ( x )   x      x     0,  x  phương trình vô nghiệm 5 20   175  Vậy phương trình cho vô nghiệm  Ví dụ 23 Giải phương trình sau x  x  x  x  10  ▎Hướng dẫn giải Kiểm tra SOLVE ta thấy máy trả kết vô nghiệm Tiếp theo, ta liệt kê hệ số Bây giờ, ta tách f ( x) để xem B ( x ) nằm trường hợp nào: f ( x )   x  x   x  x  10 , ta thấy biểu thức B ( x )  x  x  10 vô nghiệm Vậy nằm trường hợp Ta tách phương trình sau f ( x)   x  x    x  3   2 Ta thấy f ( x )   x  x    x     0,  x  phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho vô nghiệm  Ví dụ 24 Giải phương trình sau x  x  x  x   ▎Hướng dẫn giải Kiểm tra SOLVE ta thấy máy trả kết vô nghiệm Tiếp theo, ta liệt kê hệ số Bây giờ, ta tách f ( x) để xem B ( x)  15  x  15 x  x  , ta thấy biểu thức B ( x ) nằm trường hợp f ( x )   x      x  x  vô nghiệm Vậy nằm trường hợp Hoàn toàn tương tự ta có  f ( x)   x   2 2  15  x    x     0,  x  phương trình vô nghiệm  3  Vậy phương trình cho vô nghiệm  Bài tập vận dụng Bài tập 11 Giải phương trình sau a ) x  x  19 x  48 x  45  c ) 16 x  32 x  56 x  136 x  241  b ) x  11x  39 x  56 x  88  d ) x  x  19 x  30 x  51  ⚠ Chú ý: Ta dùng chức MTCT để chứng minh phương trình bậc bốn cách nhanh chóng cách sau 19 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Xét hàm số bậc bốn f ( x )  ax  bx  cx  dx  e (chuyển hệ số a  ) b   Ta đưa hàm số dạng f ( x )  a  x  x  m   g ( x )  0, x  g ( x )  0, x 2a   Với g ( x )   x   x   m  , ta tìm m để g(x)>0 sau Bước 1: giải phương trình f '( x )   x  xCT Bước 2: tìm m      cho m     xCT   xCT   lấy giá trị nguyên gần 2a  b Bước 3: tìm hệ số  ,  ,  sau b   CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x )   x  x  m     10   x 2a   b   CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x )   x  x  m    x    10   x 2a   b   CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x )   x  x  m    x2   x   2a    CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x )   x    x  m    x   x   kết CALC với 2a  b X kết Như vậy, ta g ( x )   x   x   Sau tìm g ( x )   x   x   mà phương trình g ( x )  vô nghiệm, nên ta viết   4    g ( x)    x   0,  x Mà để làm việc nhanh ta dùng chức tính cực trị hàm   2  4  số parabol cách bấm SHIFT 6 máy vinacal bấm MODE  máy casio fx-570VN (không áp dụng cho máy casio fx-570ES) nhập hệ số thu kết    xmin  2  g ( x )  0,  x  f ( x )  0,  x      f ( x)  y  min  4 Ta nghiên cứu ví dụ sau đây: Giải phương trình sau x  x  19 x  48 x  45  20 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Xét hàm số f ( x )  x  x  19 x  48 x  45 Dùng SOLVE ta thu kết Can’t solve tức phương trình cho vô nghiệm, ta chứng minh phương trình cho vô nghiệm Trước tiên tìm m nhé! Ta giải phương trình f '( x )  Xét f '( x )  x  12 x  38 x  48  f '( x )   xCT   1, 65     Do lấy nguyên m     xCT   xCT   ta m  2a  b Bây ta tìm hệ số  ,  ,  cách hướng dẫn ta 23  88  g ( x )  13 x  44 x  44  13  x   0,  x   13  13  22  88  Do ta có f ( x )   x  x  1  13  x     0,  x 13  13  2 Vậy phương trình cho vô nghiệm  ĐÁP ÁN BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập   31 a Đặt t  x  PT trở thành 5t  8t   , đáp số: x   b Đặt t  x  PT trở thành t  6t  40  , đáp số: x    c Đặt t  x  PT trở thành 2t  5t   , đáp số: x     d Đặt t  x  PT trở thành t  3t   , đáp số: x    ;  1   13 Bài tập a Đặt x  t  PT trở thành  t     t    5392 , đáp số: x  4; 2  b Đặt x  t  2 PT trở thành t    t   4  98 , đáp số: x  2  c Đặt x  t  PT trở thành  t     t    1522 , đáp số: x   4 21 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ  d Đặt x  t  PT trở thành t    t   4  896 , đáp số: x   Bài tập a Đặt t  x  b Đặt t  x  c Đặt t  x  d Đặt t  x  x x x x  x2  81  x2  x2 x  t  18  t   PT  t  t   , đáp số: x     t2  t  2  PT  2t   3t  90  , x  3  7;   15  193     35  705     t  10 PT  16t  3t  70  , đáp số: x  1  6;  x 32      x2  25  x2  x   t2  t  2  PT  t  3t    , đáp số: x   Bài tập a Viết lại PT thành  x  14 x  45  x  14 x  48   40 , đặt t  x  14 x  45 PT trở thành t  3t  40  , đáp số: x  10; 4 b Viết lại PT thành  36 x  60 x  25  36 x  60 x  24   420 , đặt t  36 x  60 x  24 PT trở thành t  t  420  , đáp số: x    21 c Viết lại PT thành  x  x   x  x  35   33 , đặt t  x  x  PT trở thành t  32t  33  , đáp  số: x   3;1  37  d Viết lại PT thành  x  x   x  x    , đặt t  36 x  60 x  24 PT trở thành t  2t   , đáp số: x   13 Bài tập   2   2    x   x  x a Ta viết lại PT thành 10  x    30  10  x    33   1720 , đặt x  PT trở thành 10t  63t  73  , đáp số: x   73  4529 20 22 t t 2 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ  b Ta viết lại PT thành  x   6      x     168 , đặt t  x   t  , PT trở thành x x x    t  12t  133  , đáp số: x  1; 6;   c Ta viết lại PT thành  x   19  337    12    7 x     30 , đặt t  x   t  , PT trở thành x x x   12 t  15t  26  , đáp số: x    12;  1  d Ta viết lại PT thành  x    15 15   , PT trở thành t  12t  32  đáp số:  2 x   14   , đặt t  x  x x x   15 x   17  41  17 ;3  17  41  17  Bài tập a Tìm m  , PT cho trở thành  x  1   x  1 , đáp số x  2 b Tìm m  , PT cho trở thành  x  1   x  1 , đáp số x  2  1  2 c Tìm m  , PT cho trở thành 16  x  1   x   , đáp số x   2 d Tìm m  , PT cho trở thành  x     x  1 , đáp số x  2 3  5 Bài tập a Ta nhẩm nghiệm x  , PT trở thành  x    x  x  11  , đáp số:  x   3;     11  30  11  30   b Ta nhẩm nghiệm x  , PT trở thành  x  1  x  x  13 x    , đáp số:  13   x    4;1;    c Ta nhẩm nghiệm x  , PT trở thành  x  1  x  x    , đáp số: 23 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ  x  1;      10  3  10   d Ta nhẩm nghiệm x   , PT trở thành  x  1  x  x  1  , đáp số:  5 7   x    1; cos ; cos ; cos  9   Bài tập  a x   14;  14    c x  1  2;   15  229      1         b x   2; d x   2; Bài tập a Đặt x  t  PT trở thành t  3t  , đáp số: x  1;3 b Đặt x  t  PT trở thành t  13 y  18 y  13 , đáp số: x   Bài tập 10   a Tìm m  39 , PT trở thành  x  15 x  39   53 x  53 , đáp số: x 15  53  546  70 53 b Tìm m  , PT trở thành  x  x  1   x   , đáp số: 2    133  12 10   133  12 10  x ;  2 2   c Tìm m   , PT trở thành  x  x  1   x  1 , đáp số: 2    77  16   77  16  x ;  3   d Tìm m   , PT trở thành  x  x     x   , đáp số: 2     84     84   x ;  4   24 Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email: cuong.mathteacher@gmail.com Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups Địa học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ Bài tập 11 a PT   x  x   b PT   x   2  33   15  x    0 5  2 27  10   x  1   x    12     11 c PT  16  x  x  2 17  627   40  x    0 10   d PT   x  x   15  x  1  36  2 25 [...]... 36  2 3  ;   2 2   Như vậy, phương trình có nghiệm là x   3 Bài tập vận dụng Bài tập 10 Giải các phương trình sau a ) x 4  30 x 3  174 x 2  420 x  196  0 c ) 3 x 4  6 x 3  35 x 2  26 x  5  0 b) x 4  x 3  7 x 2  x  1  0 d ) 4 x 4  4 x 3  82 x 2  64 x  8  0 III CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÔ NGHIỆM 1 Phương pháp giải Xét phương trình ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0...  0,  x  phương trình vô nghiệm 4  3 3  Vậy phương trình đã cho vô nghiệm  3 Bài tập vận dụng Bài tập 11 Giải các phương trình sau a ) x 4  4 x 3  19 x 2  48 x  45  0 c ) 16 x 4  32 x 3  56 x 2  136 x  241  0 b ) x 4  11x 3  39 x 2  56 x  88  0 d ) x 4  4 x 3  19 x 2  30 x  51  0 ⚠ Chú ý: Ta cũng có thể dùng các chức năng của MTCT để chứng minh phương trình bậc bốn một cách...  x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1  11  3 Bài tập vận dụng Bài tập 9 Giải các phương trình sau a) x 4  4 x3  3x 2  2 x  6  0 b) x 4  4 x 3  19 x 2  48 x  45  0 DẠNG 10 Giải (7) bằng cách đưa về dạng A2 ( x )  B 2 ( x ) 1 Phương pháp giải  A( x )  B ( x ) Ta sẽ đưa phương trình (7) về dạng  A( x )    B ( x )     A( x )   B ( x ) 2 2 Ta viết lại phương trình (7)... thì phương trình bậc  x y z  x y.t  x z.t  y z.t    x y z.t   bốn là X 4   X 3   X 2   X    0 nhận x , y , z , t làm nghiệm 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 13 Giải phương trình sau 6 x 4  25 x 3  28 x 2  x  10  0 ▎Hướng dẫn giải Chúng ta nhẩm được một nghiệm x  1 nên ta sử dụng lược đồ hoocne hoặc chức năng CALC của máy để phân tích nhân tử (sẽ nghiên cứu ở bài sau) và được phương trình. .. (**)  4a  Xét phương trình  Để (**) có nghiệm kép thì  (**)  0 , khi đó ta phải có  b.m  d  2   b2  4  2 am   c   am 2  e   0  8a 3 m 3  4a 2 c.m 2  2a  bd  4ae  m  4ace  ad 2  b 2e  0 (***) 4a   Việc của ta bây giờ là tìm m  với m là nghiệm của phương trình (***) Sau khi tìm được m  chỉ việc thay vào phương trình (7) và giải theo các bước  ⚠ Chú ý: Phương trình f ( x...  1  2 và  1 do đó C và D là hai nghiệm của phương trình 2 X  2 X  1  0  C D   2  2 3  29  x  3x  5  0  x  2 2 2 Phương trình trở thành  x  3 x  5  2 x  2 x  1  0    2 1 3 2 x  2 x  1  0  x   2  3  29 1  3  ; Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x     2   2 3 Bài tập vận dụng Bài tập 8 Giải các phương trình sau a ) x 4  16 x 3  66 x 2  16 x  55... 10 , ta thấy biểu thức 2 B ( x )  x 2  6 x  10 vô nghiệm Vậy nằm ở trường hợp nhất Ta đi tách phương trình như sau f ( x)   x 2  x    x  3  1  0 2 2 Ta thấy f ( x )   x 2  x    x  3  2  1  0,  x  phương trình vô nghiệm 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm  Ví dụ 24 Giải phương trình sau x 4  3 x 3  6 x 2  5 x  3  0 ▎Hướng dẫn giải Kiểm tra bằng SOLVE ta thấy máy trả kết... trục tọa độ và điểm siêu uốn của đồ thị hàm số bậc bốn f ( x )  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  a  0  Điểm siêu uốn của đồ thị  là     b  ; f    và hoành độ của nó là nghiệm của phương trình y '''  0 4a  4a   b 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 17 Giải phương trình sau x 4  4 x 3  2 x 2  12 x  16  0 ▎Hướng dẫn giải Đặt x  t  1 , thay vào phương trình đã cho ta được t 2  9   t  1  4...  0,  x  2    1  5  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x     2  Ví dụ 16 Giải phương trình sau 2 x 4  8 x 3  11x 2  13 x  5  0 ▎Hướng dẫn giải Ta tìm được A  4,192582404; B  1,192582404; C  1, 366025404; D  0, 3660254038 và các nghiệm thỏa A  B  3 mãn hệ thức Vi-et đảo theo từng cặp là   A.B   5 Do đó, A, B là nghiệm của phương trình X 2  3 X  5  0 C  D ... Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ  b2   c  x 2  dx  e  0 (*)  4a  Xét phương trình   b2  4 ad   c x  2 TH1 Phương trình (*) có nghiệm kép hay (*)     0 do đó ta có b  4 ac   4a  2 b  (7)  a  x 2  2a   b2  4 ad   x    c x  2  b  4 ac    4a  2 2 TH2 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (ta không trường (*) vô nghiệm vì thế dẫ tới (7) vô nghiệm)