Đang tải... (xem toàn văn)
XÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ – KEPLER BA CHIỀU BẰNG CÁC TOÁN TỬ CASIMIRXÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ – KEPLER BA CHIỀU BẰNG CÁC TOÁN TỬ CASIMIRXÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ – KEPLER BA CHIỀU BẰNG CÁC TOÁN TỬ CASIMIRXÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ – KEPLER BA CHIỀU BẰNG CÁC TOÁN TỬ CASIMIRXÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ – KEPLER BA CHIỀU BẰNG CÁC TOÁN TỬ CASIMIR
Năm học 2012 - 2013 XÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ – KEPLER BA CHIỀU BẰNG CÁC TOÁN TỬ CASIMIR Lê Đại Nam (SV năm 2, Khoa Vật lí) GVHD: ThS Phan Ngọc Hưng Mở đầu Bài toán chuyển động hạt trường Coulomb có thêm đơn cực từ gọi toán MIC – Kepler hay MICZ – Kepler [6] Bài toán lần dầu tiên khảo sát vào năm 60 kỷ XX, nhà vật lý McIntosh Cisneros [4] Zwanziger [10] Theo đó, hệ xét hạt chuyển động quanh dyon – hạt gồm có điện tích từ tích Bài toán MICZ – Kepler ba chiều toán Coulomb không gian ba chiều có đơn cực từ Dirac Những toán MICZ – Kepler có số chiều cao (năm chiều [5] chín chiều [3], [6]) toán Coulomb có số chiều tương ứng xét thêm đơn cực từ có số chiều cao Trong trình tổng quát hóa đơn cực từ Dirac lên số chiều cao hơn, nhà vật lý Mỹ gốc Trung Quốc Dương Chấn Ninh (Yang Chen Ning) đưa đơn cực từ Yang [9] với đơn cực SU(2) ứng với toán MICZ – Kepler năm chiều Và tổng quát hóa đơn cực từ Dirac đơn cực từ Yang lên số chiều cao nữa, nhóm nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSP TPHCM) đưa đơn cực từ SO(8) với đơn cực SO(8) [3] ứng với toán MICZ – Kepler chín chiều [3], [6] Bài toán MICZ – Kepler tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau: giải phương trình Schrodinger theo cách giải tích, sử dụng toán tử sinh – hủy, sử dụng toán tử bất biến Casimir,… Trong đó, phương pháp sử dụng toán tử Casimir Mardoyan, Sissakian, Ter-Antonyan áp dụng thành công cho toán MICZ – Kepler năm chiều [5] Nhóm nghiên cứu Trường ĐHSP TPHCM tiếp cận toán MICZ – Kepler chín chiều theo nhiều hướng, lưu ý đến việc sử dụng toán tử bất biến Casimir Mục tiêu Bài toán MICZ – Kepler ba chiều chưa tiếp cận theo hướng sử dụng toán tử Casimir Trong đề tài này, tiếp cận toán MICZ – Kepler ba chiều theo hướng sử dụng toán tử Casimir Cụ thể sử dụng toán tử bất biến Casimir để xây dựng phổ lượng cho toán MICZ – Kepler ba chiều Từ đây, ta so sánh với kết Zwanziger [10] McIntosh Cisneros [4] so sánh hướng tiếp cận toán Và rộng hơn, việc giải toán ba chiều tạo sở cho việc giải toán MICZ – Kepler chiều theo hướng sử dụng toán tử Casimir 108 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Để hoàn thành mục tiêu trên, tập trung vào nội dung sau: - Hệ thống hóa kiến thức việc giải toán Coulomb ba chiều lượng tử cách sử dụng toán tử Casimir - Giải toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử cách sử dụng toán tử Casimir - So sánh kết thu với kết có từ [4], [10] - Đưa sở để giải toán MICZ – Kepler chiều cao cách sử dụng toán tử Casimir Nội dung kết nghiên cứu 3.1 Mô hình giải toán Để giải toán Coulomb ba chiều MICZ – Kepler ba chiều lượng tử cách sử sụng toán tử Casimir, thực bước sau: - Xác định tính đối xứng toán (đối xứng thừa nhận đôi xứng ẩn), đưa nhóm đối xứng cụ thể toán - Xây dựng toán tử Casimir nhóm đối xứng đưa - Liên hệ toán tử Casimir xây dựng với Hamiltonian toán, từ xây dựng mối liên hệ trị riêng toán tử Casimir với phổ lượng tương ứng - Rút phổ lượng toán từ phổ trị riêng toán tử Casimir 3.2 Bài toán Coulomb lượng tử 3.2.1 Hamiltonian toán Xét toán Coulomb lượng tử gồm electron điện tích e chuyển động quanh hạt nhân có điện tích Ze Trong hệ đơn vị nguyên tử h m c e , Hamiltonian tương ứng cho toán là: Z Z Hˆ pˆ , r r đó, pˆ pˆ k pˆ k với pˆ k i xk (3.1) toán tử hình chiếu xung lượng r xk2 (với k 1, 2, ) Từ định nghĩa toán tử xung lượng trên, ta thu hệ thức giao hoán quen thuộc: pˆ k1 , xk2 i k1k2 , (3.2) 3.2.2 Toán tử moment động lượng Trong toán Coulomb cổ điển, ta có vector moment động lượng: L r p Lˆ rˆ pˆ (3.3) 109 Năm học 2012 - 2013 Để thuận tiện cho việc mở rộng toán lên số chiều cao hơn, ta biểu diễn lại thành phần Lˆ sau: Lˆk1k2 k1k2 k3 Lˆk3 , (3.4) Từ suy ra: Lˆk1k2 xk1 pˆ k xk pˆ k1 (3.5) Biểu diễn cho ta thấy rõ tính phản đối xứng thành phần toán tử moment động lượng Lˆk k Lˆk k k1 k2 Lˆk k k1 k2 2 1 Bằng cách tính trực tiếp, ta tìm hệ thức giao hoán Lˆk k với pˆ m , xm : Lˆk k , xm i mk xk i mk xk , 2 12 (3.6) Lˆk k , pˆ m i mk pˆ k i mk pˆ k , 2 12 (3.7) với Hamiltonian Hˆ : Lˆk k , Hˆ 12 (3.8) Hệ thức cho thấy, moment động lượng đại lượng bảo toàn toán Coulomb ba chiều lượng tử Tiếp tục tính toán trực tiếp sử dụng hệ thức (3.6) (3.7), ta thu hệ thức giao hoán thành phần moment xung lượng: Lˆ , Lˆ i Lˆ i Lˆ i Lˆ i Lˆ (3.9) Nghĩa Lˆk k vi tử nhóm SO(3) Từ (3.8) (3.9), ta kết luận: toán Coulomb ba chiều có đối xứng SO(3) 3.2.3 Vector Runge – Lenz Trong toán Coulomb cổ điển, có đại lượng bảo toàn - vector Runge – Lenz [6]: r 1 rˆ M p L Z Mˆ pˆ Lˆ Lˆ pˆ Z (3.10) r 2 r Từ đó, ta có thành phần vector Runge – Lenz: x 1 Mˆ k pˆ m Lˆmk Lˆmk pˆ m Z k 2 m r m (3.11) Từ định nghĩa vector Runge – Lenz trên, ta tìm hệ thức giao hoán tử thành phần Mˆ k vector Runge – Lenz với thành phần toán tử 110 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH moment động lượng Lˆ , với thành phần vector Runge – Lenz với Hamiltonian Hˆ sau: Lˆ , Mˆ k i k Mˆ i k Mˆ , (3.12) ˆˆ , Mˆ k , Mˆ k 2iHL k1k 2 (3.13) Mˆ k , Hˆ (3.14) Hệ thức cho thấy, vector Runge - Lenz đại lượng bảo toàn toán Coulomb ba chiều lượng tử 3.2.4 Đối xứng ẩn toán Để khảo sát tính đối xứng toán, ta xây dựng ma trận Dˆ sau: Lˆ Dˆ mn Mˆ k Mˆ k , đó, Mˆ k 2 Hˆ 12 Mˆ k Từ (3.9), (3.12) (3.13) suy ra: Dˆ , Dˆ i Dˆ i Dˆ i Dˆ i Dˆ (3.15) Biểu thức (3.15) chứng tỏ Dˆ vi tử nhóm SO(4) Dˆ , Hˆ , ta kết luận: toán Coulomb ba chiều có đối xứng ẩn SO(4) 3.2.5 Các toán tử Casimir nhóm D Các toán tử Casimir nhóm D định nghĩa sau [3]: Cˆ2 Dˆ1 Dˆ 21 2 Lˆ2 Mˆ 2 , (3.16) Cˆ 2 1 2 3 Dˆ 1 Dˆ 3 8 L M (3.17) Từ định nghĩa toán tử moment động lượng vector Runge – Lenz, sử dụng phép biến đổi, ta tìm hệ thức sau: Z2 , Mˆ 2 L2 1 Hˆ (3.18) L.M = (3.19) Từ (3.16), (3.17), (3.18) (3.19), ta suy hai toán tử Casimir nhóm D: Z , Cˆ Hˆ (3.20) ˆ C (3.21) 111 Năm học 2012 - 2013 3.2.6 Phổ lượng toán Coulomb Trị riêng hai toán tử Casimir : Z2 c , E c (3.22) Từ [7], toán tử Casimir nhóm SO(4) có dạng: c2 2 1 1 22 , c2 1 1 2 (3.23) đó, 1 , số nguyên bán nguyên thỏa mãn 1 2 số nguyên 1 2 Thay (3.23) vào (3.22), ta giải được: Z2 , 1 1 2E (3.24) đó, 1 n số nguyên dương Phổ lượng toán Coulomb là: E 3.3 Z2 với n 1, 2, 2n (3.25) Bài toán MICZ – Kepler lượng tử 3.3.1 Hamiltonian toán Xét toán MICZ – Kepler lượng tử gồm electron điện tích e chuyển động quanh hạt nhân có điện tích Ze , có đơn cực từ Dirac 0; ; 1; ; 2; 2 không gian ba chiều Hamiltonnian tương ứng cho toán là: 2 Z 2 Z Hˆ ˆ , 2r r 2r r (3.26) đó, ˆ ˆ j ˆ j với ˆ j pˆ j Aj toán tử hình chiếu xung lượng có chứa j gauge A đơn cực từ Dirac Đơn cực từ Dirac gây từ trường: B= r r3 Trong đó, gauge đơn cực từ Dirac là: 112 (3.27) Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH A 1 r e3 x2 , x1 , r r x3 r r x3 (3.28) Thế gauge thỏa mãn: B = A (3.29) Từ định nghĩa toán tử hình chiếu xung lượng trên, ta có hệ thức giao hoán sau: ˆ k1 , xk2 i k1k2 , (3.30) i ˆ k1 , ˆk2 k1k2 k3 xk3 r k3 (3.31) 3.3.2 Toán tử moment động lượng mở rộng – vector Poincaré suy rộng Trong toán MICZ – Kepler cổ điển, vector moment động lượng không bảo toàn, có vector Poincaré bảo toàn [1] Vector Poincaré định nghĩa sau: r r r& r (3.32) Do đó, vector Poincaré suy rộng toán MICZ-Kepler lượng tử ba chiều là: rˆ ˆ rˆ ˆ r (3.33) Ta biểu diễn lại thành phần vector Poincaré sau: ˆ ˆ k1k k1k k3 k3 (3.34) Sử dụng hệ thức giao hoán (3.31), ta biểu diễn lại thành phần vector Poincaré sau: ˆ x ˆ x ˆ ir ˆ , ˆ k1k2 k1 k2 k2 k1 k1 k2 (3.35) Biểu diễn cho ta thấy rõ tính phản đối xứng thành phần vector Poincaré ˆ k k ˆ k k k1 k2 ˆ k k k1 k2 2 1 Bằng cách tính trực tiếp, ta tìm hệ thức giao hoán ˆ k k với ˆ m , xm : ˆ k1k2 , xm i mk1 xk2 i mk2 xk1 , (3.36) ˆ ˆ ˆ ˆ k1k2 , m i mk1 k2 i mk2 k1 , (3.37) với Hamiltonian Hˆ : ˆ ˆ k1k2 , H (3.38) 113 Năm học 2012 - 2013 Hệ thức cho thấy, vector Poincaré đại lượng bảo toàn toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử Tiếp tục tính toán trực tiếp sử dụng hệ thức (2.40) (2.41), ta thu hệ thức giao hoán thành phần vector Poincaré: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , i i i i (3.39) Nghĩa ˆ k k vi tử nhóm SO(3) Từ (3.38) (3.39), ta kết luận: toán MICZ – Kepler ba chiều có đối xứng SO(3) 3.3.3 Vector Runge – Lenz Trong toán MICZ – Kepler cổ điển, có đại lượng bảo toàn - vector Runge – Lenz [6][10]: r 1 ˆ ˆ ˆ Z rˆ (3.40) M Z Mˆ ˆ r 2 r Từ đó, ta có thành phần vector Runge – Lenz: x 1 Mˆ k ˆm ˆ mk ˆ mk ˆm Z k 2 m r (3.41) Từ định nghĩa vector Runge – Lenz trên, ta tìm hệ thức giao hoán tử thành phần Mˆ k vector Runge – Lenz với thành phần vector Poincaré ˆ , với thành phần vector Runge – Lenz với Hamiltonian Hˆ sau: ˆ ˆ ˆ ˆ , M k i k M i k M , (3.42) Mˆ k , Mˆ k 2iHˆ ˆ k k , (3.43) Mˆ k , Hˆ (3.44) Hệ thức cho thấy, vector Runge - Lenz đại lượng bảo toàn toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử 3.3.4 Đối xứng ẩn toán Để khảo sát tính đối xứng toán, ta xây dựng ma trận Dˆ sau: ˆ Dˆ mn Mˆ k Mˆ k , đó, Mˆ k 2 Hˆ 12 Mˆ k Từ (3.39), (3.42) (3.43) suy ra: Dˆ , Dˆ i Dˆ i Dˆ i Dˆ i Dˆ (3.45) 114 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Biểu thức (3.45) chứng tỏ Dˆ vi tử nhóm SO(4) Dˆ , Hˆ , ta kết luận: toán MICZ – Kepler ba chiều có đối xứng ẩn SO(4) 3.3.5 Các toán tử Casimir nhóm D Các toán tử Casimir nhóm D định nghĩa sau [3]: Cˆ2 Dˆ12 Dˆ 21 2 ˆ Mˆ 2 , (3.46) Cˆ 2 1 2 3 Dˆ 1 Dˆ 3 8 M (3.47) Từ định nghĩa vector Poincaré vector Runge – Lenz, sử dụng phép biến đổi, ta tìm hệ thức sau: ˆ 1 Z , Mˆ 2 Hˆ (3.48) Z 2 Hˆ (3.49) M = Từ đây, ta suy hai toán tử Casimir nhóm D: Z Cˆ 2 , ˆ H (3.50) 8 Z Cˆ 2 2Hˆ (3.51) 3.3.6 Phổ lượng toán MICZ – Kepler ba chiều Trị riêng hai toán tử Casimir : Z2 c 2 , E Z c 2 E (3.52) Từ [7], toán tử Casimir nhóm SO(4) có dạng: c2 2 1 1 22 , c2 1 1 2 (3.53) đó, 1 , số nguyên bán nguyên thỏa mãn 1 2 số nguyên 1 2 Thay (3.53) vào (3.52), ta giải được: Z2 , 2E (3.54) 115 Năm học 2012 - 2013 đó, 1 n j với n số nguyên dương j , 1, 2, Phổ lượng toán MICZ – Kepler ba chiều là: E Z2 2n j , (3.55) với n 1, 2, j , 1, 2, Đây kết cần tìm toán MICZ – Kepler ba chiều, kết phù hợp với kết McIntosh Cisneros (1970) [5] Zwanziger (1968) [10] Kết luận hướng phát triển Trong đề tài này, khảo sát tính đối xứng toán MICZ – Kepler ba chiều xây dựng toán tử Casimir tương ứng với đối xứng ẩn tìm Dựa vào toán tử Casimir xây dựng được, xây dựng mối liên hệ toán tử Casimir Hamiltonian toán, từ đó, xây dựng phổ lượng toán MICZ – Kepler ba chiều Dựa vào kết thu được, có kết luận sau: Bài toán MICZ – Kepler ba chiều thừa nhận rộng rãi có đối xứng SO(3) Với việc bổ sung thêm vector Runge – Lenz, toán chứng minh có đối xứng ẩn SO(4) Tính đối xứng toán sử dụng toán tử Casimir cho phép ta tìm công thức phổ lượng cho toán MICZ – Kepler ba chiều, kết (3.55) thu hoàn toàn trùng khớp với kết thu McIntosh Cisneros (1970) [4] Zwanziger (1968) [10] Tương tự toán MICZ – Kepler ba chiều, toán MICZ – Kepler n chiều chứng minh có tính đối xứng ẩn SO n 1 – với n = SO(4) [4][10], n = SO(6) [5] với n = SO(10) [6] Việc sử dụng tính đối xứng toán toán tử Casimir cho phép ta tìm công thức phổ lượng cho toán MICZ – Kepler ba chiều (đề tài này) toán MICZ – Kepler chiều [5] Do đó, hoàn toàn sử dụng phương pháp để tiếp cận toán MICZ – Kepler chiều Trong trình giải toán MICZ – Kepler ba chiều, giải toán theo hướng tổng quát để áp dụng cho toán MICZ – Kepler với số chiều cao hơn, cụ thể toán MICZ – Kepler chiều 116 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH TÀI LIỆU THAM KHẢO Dirac P (1931), “Quantised Singularities in the Electromagnetic Field”, Proc Roy Soc A 133, pp 60-71 Iachello F (2006), Lie Algebras and Applications, Lect Notes Phys 708, Springer, Berlin Heidelberg Le V.H and Nguyen T.S (2010), “A non-Abelian SO(8) monopole as generalization of Dirac-Yang monopoles for a 9-dimensional space”, J Math Phys 52, pp 032105-1-11 McIntosh H.V and Cisneros A (1970), “Degeneracy in the Presence of a Magnetic Monopole”, J Math Phys 11, pp 896-916 Mardoyan L.G , Sissakian A.N , Ter-Antonyan V.M (1999), “Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole”, Mod Phys Lett A 14 (19), pp 1303-1307 Phan N.H and Le V.H (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and a hidden symmetry of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem”, J Math Phys 53, pp 082103 Perelomov A.M and Popov V.S (1966), “Casimir operators for the Orthogonal and Symplectic groups”, JETP Letters 2, pp 20-22 Wu T.T and Yang C.N (1975), “Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”, Phys Rev D 12 (12), pp 3845-3857 Yang C.N (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU2 gauge fields”, J Math Phys 19, pp 320-329 10 Zwanziger D (1968), “Exact Soluble Nonrelativistic Model of Particals with Both Electric and Magnetic Charges”, Phys Rev 176, pp 1480 – 1489 117