1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LIÊN S-BỔ ĐỀ SUY RỘNG VÀ BÀI TOÁN TỐI ƢU TOÀN PHƢƠNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phƣợng HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp em nhận đƣợc dìu dắt, bảo tạo điều kiện giúp đỡ thầy cô khoa Toán nói chung tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt hƣớng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phƣợng Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phƣợng Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô tổ môn Giải tích, thầy cô giáo khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè bạn sinh viên quan tâm đóng góp ý kiến cho đề tài em Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Liên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với tài liệu khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn đƣợc cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn đƣợc rõ nguồn gốc Trong luận văn, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với tôn trọng biết ơn Những kết nêu luận văn chƣa đƣợc công bố công trình khác Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Liên MỤC LỤC Trang TRANG PHỤ BÌA LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG S-BỔ ĐỀ SUY RỘNG 1.1 Định lí Minimax 1.2 Giới thiệu S-Bổ đề S-Bổ đề suy rộng 14 1.2.1 S-Bổ đề 14 1.2.2 S-Bổ đề suy rộng 19 CHƢƠNG BÀI TOÁN TỐI ƢU TOÀN PHƢƠNG 25 2.1 Bài toán tối ƣu toàn phƣơng với hạn chế 25 2.2 Bài toán tối ƣu toàn phƣơng với nhiều hạn chế 35 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Do có nhiều ứng dụng, toán tối ƣu đƣợc quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nƣớc Có thể nói, toán tối ƣu tuyến tính (qui hoạch tuyến tính) với thuật toán đơn hình đƣợc giải vào năm 50 kỉ trƣớc Lớp toán đƣợc nhiều nhà toán học quan tâm lớp toán tối ƣu với hàm mục tiêu hàm toàn phƣơng (tối ƣu toàn phƣơng) lớp toán tối ƣu đa thức Tuy nhiên, nay, phát biểu tƣơng đối rõ ràng đơn giản, toán tối ƣu toàn phƣơng không lồi chƣa đƣợc giải trọn vẹn Một kĩ thuật quan trọng áp dụng toán tối ƣu toàn phƣơng S-Bổ đề (do Yakubovich phát biểu năm 1971) Gần đây, Giáo sƣ Hoàng Tụy viết số báo với nghiên cứu mới, có S-Bổ đề suy rộng, giải lớp toán tối ƣu toàn phƣơng tối ƣu đa thức Với mong muốn tìm hiểu sâu toán tối ƣu toàn phƣơng, nhằm bổ sung nâng cao kiến thức học chƣơng trình đại học cao học, đồng thời sử dụng kiến thức tối ƣu giảng dạy, chọn đề tài S-Bổ đề suy rộng Bài toán tối ưu toàn phương làm luận văn cao học Do sử dụng S-Bổ đề suy rộng nêu báo [12] với giải thích chi tiết chứng minh nên luận văn không trùng với hai luận văn cao học với đề tài S-Bổ đề Bài toán tối ưu toàn phương [1] [2] đƣợc bảo vệ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trình bày S-Bổ đề suy rộng toán tối ƣu toàn phƣơng, từ áp dụng để nghiên cứu số lớp toán tối ƣu toàn phƣơng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tối ƣu toàn phƣơng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Nghiên cứu toán tối ƣu toàn phƣơng Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu liên quan đến toán tối ƣu toàn phƣơng, đặc biệt báo [12] Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức công cụ giải tích, giải tích hàm, lí thuyết tối ƣu để tiếp cận giải vấn đề Thu thập, nghiên cứu tổng hợp tài liệu liên quan, đặc biệt báo vấn đề mà luận văn đề cập tới Dự kiến đóng góp luận văn Hy vọng luận văn tài liệu tổng quan tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học toán tối ƣu toàn phƣơng CHƢƠNG S-BỔ ĐỀ SUY RỘNG Chƣơng phát biểu chứng minh định lý minimax S-bổ đề, từ phát biểu S-bồ đề suy rộng 1.1 ĐỊNH LÍ MINIMAX Cho hàm số F : C ¡ số thực ¡ Điểm x C đƣợc gọi điểm cực tiểu địa phương F ( x) xác định tập hợp C ¡ n nhận giá trị tập C tồn hình cầu W có tâm x cho F ( x ) F ( x) với x W C Điểm x đƣợc gọi điểm cực tiểu toàn cục F ( x) C F ( x ) F ( x) với x C Mục tiêu đặt nghiên cứu toán tối ƣu toàn phƣơng (nói chung không lồi) dựa định lí minimax Các định lí minimax cổ điển thƣờng đƣợc phát biểu dựa giả thiết tính (tựa) lồi-lõm hàm số Các định lí không áp dụng đƣợc cho toán tối ƣu không lồi Vì vậy, để nghiên cứu toán tối ƣu không lồi, [12] phát biểu chứng minh định lí minimax dƣới dạng sau Định lý 1.1.1 (Định lý minimax, [12]) Giả sử C tập hợp đóng ¡ n , D khoảng (đóng mở) ¡ L( x, y) : ¡ n ¡ ¡ hàm liên tục Giả sử điều kiện sau đƣợc thoả mãn: (i) Với x ¡ (ii) Mọi điểm y D cực tiểu địa phƣơng L(., y ) C cực tiểu n L( x,.) hàm lõm; toàn cục L(., y ) C ; (iii) Tồn y* D cho L( x, y* ) Khi ta có đẳng thức minimax: x C, x (1.1) inf sup L( x, y) supinf L( x, y) x C x C y D y D Ngoài ra, inf sup L( x, y) x C tồn x C thoả mãn y D sup L( x , y) y D Chứng minh Đặt (1.2) minsup L( x, y) x C y D : inf sup L( x, y), x C : supinf L( x, y) x C y D Chúng ta giả thiết y D đẳng , ngƣợc lại, tức thức (1.1) hiển nhiên Thật vậy, giả sử Khi tồn : supinf L( x, y) x C y D dãy yn L( x, yn ) D cho inf x C , tức với x C n Suy với x C ta có sup L( x, y) ta có L( x, yn ) Suy y D hay : inf sup L( x, y) x C y D Nhƣ coi hiệu C ( y) : Lấy số thực x C | L( x, y) tuỳ ý với y D cố định, kí Đầu tiên chứng minh với đoạn a, b D điều kiện sau đƣợc thoả mãn: y C ( y) Ta luôn giả thiết y* (1.3) a, b Bởi inf L( x, y * ) supinf L ( x, y ) : x C x C y D nên tồn x C thoả mãn L( x , y* ) theo biến y, tồn u, v cho u theo tính liên tục hàm L( x , y ) y * v L( x , y ) với y u, v Hơn nữa, đặt s : sup y u, b | u z y C ( z) (1.4) với u Do L( x , z ) với u v y có s z v nên x u, b | u z y z v nên C ( z) : u z v C ( z ) hay u z v , tức C ( z) Mà s : sup y C ( z) chứa x x C : L( x, z) u, b | u z y nên ta C ( z) v Theo định nghĩa s , tồn dãy yk Z s cho Ck : Theo giả thiết (iii), C ( y* ) : tính liên tục hàm x C : L( x, y* ) Nếu xn ( xn ) Hơn nữa, C ( y* ) : ( x) lim ( xn ) x x C ( y) compact Thật vậy, theo ( x) : L( x, y* ) tập mức C ( y* ) : tập đóng xn C ( y* ) u y yk x C : L( x, y* ) x x C ( y * ) bị chặn x C : L( x, y* ) n Thật vậy, C ( y * ) không bị chặn tồn L( xn , y* ) mà xn xn C ( y * ), tức Nhƣng theo giả thiết (iii) ta có L( x, y* ) Vô lí Chứng tỏ C ( y * ) bị chặn hay C ( y * ) compact Do Ck : u y yk C ( y) (k 1, 2, ) tạo thành dãy tập đóng khác rỗng lồng tập hợp compact C ( y* ) Vì vậy, theo định lí giao tập compact lồng nhau, tồn x y u , s Bởi L( x , yk ) k Ck , nghĩa thoả mãn L( x , y ) với k , cho k hàm L( x , y ) theo y ta đƣợc L( x , s) y ; , theo tính liên tục Do L( x , y ) với u, s Ta khẳng định s b Thật vậy, giả sử s b L( x , s ) nên L( x , s) Thật vậy, L( x , s) tục hàm L( x , s ) tồn q s thoả mãn L( x , y ) theo tính liên với y Điều trái với (1.4) Vì vậy, s b ta phải có L( x , s) s, q 10 Hơn nữa, hình cầu W tâm x ta có vậy, tồn hình cầu W ( x , r ) mà L( x, s) Thật x C W L( x, s) theo giả thiết (ii) x C W ( x0 , r ) (cực tiểu địa phƣơng cực tiểu toàn cục) kéo theo theo chứng minh ta có Điều trái với L( x, s), nhƣng x C L( x , s) L( x, s), x C L( x , s) Suy : supinf L( x, y) inf L( x, s) x C x C y D Do tồn x k C cho x k Nếu với y s , b k ta có L( x k , y ) k x0 L( x , s) nên từ giả thiết (i) kéo theo L( x k , z ) L( x k , s ) nữa, L( x k , s) y tồn s q L( x k , y ) với z u, s Hơn , nên theo tính liên tục L( x k , y ) theo với y y cho L( x k , q) với k , với y (1.4) Vì vậy, L( x k , y ) , theo tính liên tục L( x, y ) theo x, ta có L( x , y ) s, q Mâu thuẫn với s , b Cho x k , với y x0 s ,b Điều chứng minh s b u y b Tƣơng tự, đặt t inf y nghĩa a y b C ( y) C ( y) a, v | a (1.5) ; z v C ( z) Ta chứng tỏ t a, , từ (1.3) đƣợc chứng minh Nhƣ chứng minh trên, theo giả thiết (iii), tập hợp C ( y * ) compact Bởi tập hợp hữu hạn E từ (1.3) họ C ( y ) D phải chứa đoạn ∆ nên suy C ( y * ), y D, có tính chất giao hữu hạn Do đó, tồn x C thoả mãn L( x, y ) với y D Lấy ta thấy rằng, với k 1,2, tồn x k k 1,2, ; k k C thoả mãn L( x , y ) với k 40 x1 x2 | x12 Với g1 ( x) x12 x22 1, g2 ( x) x1 , có x1 x2 0.5( x12 f ( x) tg1 ( x) x22 ) (t 0.5)( x12 x2 )2 (t 0.5)( x12 0.5( x1 x22 1, x1 x22 ) t x22 1) 0.5 Do w(t ) inf f ( x) tg1 ( x) | g ( x) x2 )2 (t 0.5)( x12 inf 0.5( x1 x22 1) 0.5 | x1 nÕu t 0.5 t nÕu t 0.5 Do 0.5 t arg max w(t ) Vì f ( x) tg1 ( x) 0.5( x1 t ¡ x2 ) 0.5 không hàm lồi ngặt nên áp dụng Định lý 2.2.1 Nhƣng với t x2 )2 0.5 | x1 inf 0.5( x1 0.5 inf 0.5( x1 0.5 rõ ràng x2 ) 0.5 | x ¡ , Hơn nữa, hai toán có tập nghiệm tối ƣu, điều kiện (ii, a) Định lý 2.2.2 thoả mãn Theo Định lý 2.2.2, đối ngẫu mạnh xảy ra, mà ta thử trực tiếp nhƣ sau: Với y ¡ 0.5( x1 hàm L( x, y) x2 ) x1 x2 ( y1 0.5)( x12 x22 ) y1 ( x12 x22 1) y2 x1 y1 lồi y1 0.5 không lồi y2 x1 ngƣợc lại Hơn nữa, dễ dàng thấy L(., y ) lồi với y2 y1 , có inf L( x, y) x ¡ n supinf L( x, y ) supinf L( x, y ) sup( y1 ) y ¡ x ¡ Vì vậy, supinf L( x, y ) y ¡ x12 x ¡ n y1 0.5 x ¡ 0.5 y1 0.5 0.5 Mặt khác, với x1 supinf L( x, y ) y ¡ x2 ta có x1 0.5 Vì x22 1, x1 x2 x ¡ 0.5 inf x1 x2 | x12 x22 1, x1 0, 41 Bây ta trở toán tối ƣu toàn phƣơng tổng quát (QPm) f ( x) | x H , gi ( x) 0, i 1, , m với H đa tạp affine R n f ( x), gi ( x), i 1, , m hàm toàn phƣơng Trƣớc tiên ta có Bổ đề đơn giản sau Bổ đề 2.2.1 (Lemma 4, [12]) Trong (QPm) hàm m L( x, y) : f ( x) yi gi ( x) có điểm yên ngựa ( x , y ) H ¡ đối ngẫu m i mạnh thỏa mãn với m v(QPm) maxinf f ( x) x H y ¡ (2.31) yi gi( x) m i Đảo lại, (2.31) thỏa mãn x nghiệm tối ưu (QPm) ( x , y ) điểm yên ngựa L( x, y ) H ¡ m với m y arg max inf f ( x) x H y ¡ yi gi ( x) m i Chứng minh Ta biết (Mệnh đề 1.2, chƣơngVI, [8]), điểm yên ngựa L( x, y ) H ¡ m cặp ( x , y ) H ¡ m thoả mãn L( x , y ) L( x , y ) L( x, y ) với x H , với y ¡ m , (2.32) đƣợc đặc trƣng đẳng thức minimax max inf L( x, y ) sup L( x, y ) x H x H y ¡ m y ¡ m Mệnh đề đƣợc suy từ cách trực tiếp Nhận xét tồn điểm yên ngựa L( x, y ) H ¡ m tƣơng đƣơng với điều kiện sau đây: (*) Tồn y ¡ m m cho hàm L( x, y ) : f ( x) yi gi ( x) lồi H i điểm cực đại x H thoả mãn yi gi ( x ) 0, gi ( x ) với i 1, , m 42 Thật vậy, bất đẳng thức thứ hai (2.32) kéo theo L( x , y ) L( x, y ), x H hàm toàn phƣơng L( x, y ) bị chặn dƣới đa tạp affine H Vì vậy, L( x, y ) lồi H có x điểm cực đại H Từ bất đẳng thức đầu m m yi gi ( x ) tiên (2.32) suy i yi gi ( x ) với y ¡ m , i yi gi ( x ) 0, gi ( x ) với i 1, , m Từ (2.32) suy ta có (*) Điều khẳng định ngƣợc lại hiển nhiên Định lý 2.2.3 (Theorem 6, [12]) Trong (QPm) giả sử m L( x, y) f ( x) i yi gi ( x) giả thiết hàm lõm y a inf L( x, y) đạt giá x H ¡ trị lớn điểm y m cho L( x, y ) lồi ngặt H Khi ta có công thức đối ngẫu mạnh (2.31) Ví dụ 2.2.2 (Example 2, [12]) Xét toán x1 x2 0.7 x1 | x1 0, x2 0, x12 x22 x R x2 (2.33) Hàm Lagrange x2 ) L( x, y ) ( x1 lồi với y3 ( y3 0.5)( x12 0.5 lồi ngặt với y3 Hơn nữa, hàm L( x, y ) | y x22 ) ( y3 y2 ) x2 y3 (0.7 0.5 y1 ) x1 có hữu hạn ( x1 x2 ) (0.5 cực tiểu 0.5 y2 0.7 y1 với y1 ¡ , y2 0.5 y2 ) x2 đƣợc Nhƣ vậy, L( x, y) x ¡ (0.7 với y3 inf L( x, y) đạt đƣợc giá trị lớn y ta phải có y3 x ¡ ¡ 0.5 Do L( x, y ) Thật vậy, kiểm tra max L( x, y) max L( x, y) y ¡ y ¡ x ¡ Điều 0.5, nghĩa lồi ngặt đối ngẫu mạnh đƣợc suy từ Định lí 2.2.3 x ¡ y1 ) x1 0.7878, 43 đạt đƣợc y (0,0,0.5634) x (0.8362, 0.2421)T với x điểm chấp nhận đƣợc (2.33) điều kiện bù yi gi ( x ) 0, i 1,2,3 Hiển nhiên y không điểm tập hợp y ¡ mà với chúng L( x, y ) lồi ngặt Ta nhận đƣợc mở rộng Định lý 2.2.3, xét k 1, , m định nghĩa l : m k , hj ( x) : gk j ( x) ( j 1, , l ) k Lk ( x, t ) : f ( x) ti g i ( x ) : H ¡ ¡ k i w(t ) inf Lk ( x, t ) | x H , h j ( x) 0, j 1, , l (2.34) Định lý 2.2.4 (Theorem [12]) Trong (QPm) giả sử ta có: (i) Tồn t arg max w(t ) cho Lk ( x, t ) lồi ngặt H ; k t ¡ (ii) Hàm h1 ( x), , hl ( x) lồi tồn u ¡ l cho l w( t ) inf Lk ( x, t ) x H u j h j ( x) (2.35) j Khi ta có đối ngẫu mạnh toán (QPm): m v(QPm) max inf f ( x) x H y ¡ yi gi ( x) m (2.36) i Chứng minh Với giả thiết (i) Lk ( x, t ) lồi ngặt H , theo giả thiết (ii), hj ( x) , j 1, , l lồi Vì với u ¡ l l hàm Lk ( x, t ) u j h j ( x) j lồi ngặt H Theo công thức (2.34) (2.35) ta viết l w( t ) w(t ) supinf Lk ( x, t ) x H u ¡ Do đó, l u j h j ( x) với t ¡ k j 44 l inf Lk ( x, t ) x H l u j h j ( x) inf Lk ( x, t ) x H j u j h j ( x) với t ¡ k, j với u ¡ l Đặt yi ti với i 1, , k yk u j với j 1, , l có j m inf f ( x) x H m yi gi ( x) inf f ( x) x H i m yi gi ( x) với y ¡ , nghĩa i m inf f ( x) x H m yi gi ( x) l yi g i ( x) i y ¡ i m Vì f ( x) max inf f ( x) x H Lk ( x, t ) yi g i ( x) m i u j h j ( x) lồi ngặt, nên tất điều kiện j Định lý 2.2.3 thoả mãn Do đó, Định lý 2.2.4 đƣợc chứng minh Chú ý 2.2.2 (Remark 7, [12]) Định lý 2.2.3 xét nhƣ trƣờng hợp đặc biệt Định lý 2.2.4 k m, nghĩa l Rõ ràng m w( t ) max inf f ( x) x H y ¡ Do vectơ y yi gi ( x) m i (t , u ) nghiệm tối ƣu toán đối ngẫu (mà ¡ n ) Sau giải toán đối ngẫu để đƣợc ( t , u ) Định toán (SDP) H lý 2.2.4 cho cách tìm giá trị tối ƣu toán đối ngẫu, đồng thời cho giá trị tối ƣu toán ban đầu: để có điều hàm Lk ( x, t ) phải lồi ngặt H u phải thoả mãn (2.35) Từ Định lý 2.2.4 trƣờng hợp k m k ta có mệnh đề sau Hệ 2.2.1 (Corollary 11, [12]) Trong (QPm) giả thiết rằng: (i) Tồn t ¡ m m cho hàm f ( x) ti gi ( x) lồi ngặt H i t arg max w(t ), w(t ) : inf f ( x) t ¡ m ti g i ( x ) | x H , g m ( x ) ; m i 45 (ii) gm ( x) lồi g m ( x* ) với vài x* H Khi đối ngẫu mạnh cho (2.36) Chứng minh Vì f ( x) m ti gi ( x) lồi ngặt H điều kiện (ii) thỏa i mãn, theo định lý đối ngẫu mạnh toán lồi m inf f ( x) x H tồn u ¡ ti gi ( x) | g m ( x) , i cho m w( t ) inf f ( x) ti gi ( x) ug m ( x) i Do kết luận suy từ Định lý 2.2.4 với k m Hệ 2.2.2 (Corollary 12 [12]) Trong (QPm) giả sử ta có: (i) t Tồn t ¡ cho hàm f ( x) tg1 ( x) lồi ngặt H arg max w(t ), t ¡ w(t ) : inf f ( x) tg1 ( x) | x H , gi ( x) 0, i 2, , m ; (ii) g2 ( x), , gm ( x) lồi g ( x* ) 0, , g m ( x* ) với x* H Khi đối ngẫu mạnh cho công thức (2.36) Chứng minh Vì hàm f ( x) tg1 ( x), gi ( x), i 2, ,m lồi, theo định lý đối ngẫu quy hoạch lồi, tồn u (u2 , , um ) thoả mãn m inf f ( x) tg1 ( x) | gi ( x) 0, i 2, , m inf f ( x) tg1 ( x) ui g i ( x ) i Kết luận suy từ Định lý 2.2.4 với k Định lý 2.2.5 (Theorem 8, [12]) Trong (QPm) H tạp affine, giả sử rằng: ¡ n thay đa 46 ¡ (i) Với y m tập hợp khác trống I 1, , n , cực tiểu m địa phương hàm L( x, y ) : f ( x) yi gi ( x) i ¡ I: 0, i I cực tiểu toàn cục ¡ n x ¡ n | xi ¡ (ii) Tồn y m x ¡ n , x cho L( x, y ) inf f ( x) | x ¡ n , g i ( x) 0, i 1, , m Chứng minh Với y ¡ n Nếu x int ¡ n ¡ m Khi ta có supinf L( x, y) y ¡ m x ¡ (2.37) n giả sử x cực tiểu địa phƣơng L( x, y ) cực tiểu toàn cục Mặt khác I x cực tiểu địa phƣơng L( x, y ) ¡ i | xi theo giả thiết cực I tiểu toàn cục L( x, y ) ¡ n Nhƣ vậy, điều kiện (ii) Định lý 1.1.1 thoả mãn Vì tất điều kiện khác định lý hiển nhiên, nên đối ngẫu mạnh đƣợc chứng minh Ví dụ 2.2.3 (Example 3, [12]) Xét toán x1 x2 | x1 0, x2 0, x12 x22 (2.38) Nếu tất hạn chế đƣợc đối ngẫu hóa hàm Lagrange L ( x, y ) x1 x2 y1 x1 y2 x2 y3 ( x12 x22 1) (2.39) dẫn đến khoảng cách đối ngẫu dƣơng, nghĩa sup L( x, y ) x ¡ y ¡ 0.5 supinf L( x, y ) y ¡ x ¡ (2.40) Thật vậy, L( x, y) 0.5( x1 với y3 Vì vậy, x22 ) y3 y1 x1 0.5 không lồi trƣờng hợp khác sup inf L( x, y) y ¡ Với y3 x2 ) ( y3 0.5)( x12 0,0.5 x ¡ 0.5 ta viết y2 x2 , hàm L(., y ) lồi 47 x2 ) sup inf 0.5( x1 ( y1 , y2 ) ¡ x ¡ 2 ( y3 0.5)( x12 x2 )2 ( y3 0.5)( x12 inf 0.5( x1 x22 ) y3 y1 x1 x22 ) y3 | x1 0, x2 y2 x2 Do đó, supinf L( x, y) y ¡ x ¡ sup inf L( x, y) y ¡ x ¡ 0.5, supinf 0.5( x1 x2 )2 ( y3 0.5)( x12 x22 ) y3 | x1 0, x2 y3 0.5 sup( y3 ) (2.41) 0.5 y3 0.5 Nhƣng hạn chế không lồi x12 x22 đƣợc đối ngẫu hóa, hàm Lagrange có dạng L( x, y) x1 x2 y( x12 x22 1) ¡ ¡ Có thể thấy (xem Example 12, [12]), supremum đạt đƣợc y Ví dụ 2.2.4 (Example 4, [12]) Xét toán f ( x) : x ¡ x2 x1 x2 | x2 x14 8x13 8x12 2, x14 32 x13 88 x12 96 x1 36, x1 3,0 x2 (2.43) Ta đƣa vào thêm biến x3 x12 viết lại ràng buộc đa thức nhiều biến: x32 x1 x3 x3 x2 0, x32 32 x1 x3 88 x3 96 x1 x12 3x1 0, x22 x2 x12 x3 x2 36 (2.44) 0, (2.45) Vì x32 (2.44) – (2.45) hệ số không dƣơng nên hàm Lagrange tƣơng ứng L( x, y ) dƣơng ngặt với y ¡ Bây thay buộc (2.45) cuối 48 x12 0.11x32 x3 0, (2.46) Ta có thấ thấy L( x, y ) lồi ngặt với y ¡ Nói cách khác, thay (2.43) ta xét toán cải biên x ¡ x1 x2 | (2.44),(2.46) (2.47) Có thể kiểm tra max L( x, y) đạt đƣợc y y ¡ x ¡ (0,0,0,0.5,0.6632)T với L( x, y ) lồi ngặt, theo Định lý 2.2.3 ta có đối ngẫu mạnh Thật ra, x (0.7539,2.0001,2.2727)T arg L( x, y ) x ¡ L( x , y ) max L( x, y) y ¡ x ¡ 5.5076 Ví dụ 2.2.5 (Example 5, [12]) Xét toán cực tiểu hàm toàn phƣơng lõm với ràng buộc tuyến tính sau đây: 50 x A x ¡ 10 6 cT x | Ax b, xi 3 9 0,1 , i 1,2, ,10 , 8 9 9 3 (2.48) c (48,42,48,45,44,41,47,42,45,56)T , b ( 4,22, 3, 23, 12)T Đây cải biên toán 2.6 [10] cách thay b3 2.6 [10] b3 toán nhƣ Hạn chế xi 1, i 1,2, ,10, viết thành 10 ràng buộc toàn phƣơng xi2 xi , i 1,2, ,10, tổng cộng ta có 15 ràng buộc (2.48) Giải SDP, kiểm tra max inf L( x, y) đạt đƣợc y cho y ¡ 15 x ¡ 10 L( x, y ) lồi ngặt đạt đƣợc cực tiểu x (1,1,0,1,1,1,0,1,1,1)T , mà điểm 49 chấp nhận đƣợc (2.48) Giá trị tối ƣu -47 đối ngẫu mạnh đạt đƣợc theo Định lý 2.2.3 Bổ đề 2.2.2 (Lemma [12]) Ma trận R ¡ hệ số đường chéo rij 0, i với hệ số đường chéo rii d d j Giả thiết y RT y 0 cho (2.49) Khi ma trận nghịch đảo R có tất phần tử dương Chứng minh Định nghĩa ma trận đƣờng chéo dƣơng D : diag rii ma trận không âm G : Dy GT y i 1,2, , d D R hay R D G Khi (2.49) có nghĩa D 1GT y y D y Không hạn chế tổng quát, ta giả thiết rij 0, ma trận GD bất khả qui Giả sử giá trị riêng lớn ma trận Hiển nhiên D 1GT max không âm, theo Định lý Perron – Frobenius [9, p.64] max GD 1 D G max T ( D 1GT y)i max y i 1,2, , d yi (D 1GT y)i max i 1,2, , d yi Cũng theo Định lý Perron – Frobenius [9, p.69], ma trận I nghịch ma trận nghịch đảo I R D I GD 1 GD 1 GD khả dƣơng Khi rõ ràng dƣơng Bài toán toàn phƣơng không lồi xuất từ toán sau đây: d xi ¡ Ni ,i 1,2, , d i xi : xiT Rii xi xTj Rij x j i 0, i 1,2, , d , (2.50) j i i , Rij RN Với xi vectơ ¡ i Ni Ni , i, j 1,2, , d (2.51) , Rij ma trận nửa xác định dƣơng Ni Ni chiều Định lý 2.2.6 (Theorem 9, [12]) Từ toán (2.50) ta có đối ngẫu Lagrange 50 xi ¡ Ni sup L( x, y ) ,i 1,2, , d y ¡ max d y ¡ d Ni xi ¡ ,i 1,2, , d d Ở L( x, y ) (2.52) L( x, y ) d T i x (I i y j R ji yi Rii ) xi i j i yi i Chứng minh Đặt d : sup y ¡ d xi ¡ d xiT ( I Ni ,i 1,2, , d y j R ji i yi Rii ) xi j i i yi , i Nghĩa d : sup y ¡ i d yi | I yi R ji i ¡ Do nghiệm tối ƣu y x ¡ x1 , , xd yi Rii 0, i 1,2, , d , (2.53) j i ¡ N1 Nd (2.53), hàm L( x, y ) lồi tập d Để chứng minh (2.52) ta cần chứng tỏ điều kiện (*) Bổ đề 2.2.1 ¡ thỏa mãn, nghĩa tồn y d ( x1 , , xd ) arg xi ¡ Ni ,i 1, ,d L( x, y ) cho ( x1 , , xd ) thoả mãn (2.10) yi xiT Rii xi x jT Rij x j 0, i 1,2, , d i (2.54) j i ¡ Chú ý nghiệm tối ƣu y I y j R ji yi Rii 0, i d (2.53) phải thoả mãn (2.55) 1,2, , d j i Thực vậy, với i ta có I y j R ji yi Rii j i Khi ta lấy y%i yi , cho I y j R ji yi Rii j i Đặt y%j d yj j i y%i j i d y i i i i i y% ¡ d nghiệm chấp nhận đƣợc (2.53) thoả mãn y%i , y nghiệm tối ƣu (2.53) 51 Vì vậy, điểm tối ƣu ma trận I yi Rii phải suy biến Do y j R ji j i yi 0, i ¡ 1,2, , d tồn x% i x%iT I Ni , x% 1, i 1,2, , d cho i yi Rii x%i , i 1,2, , d , y j R ji (2.56) j i định nghĩa R RT y (1,1, ,1)T rij i , j 1,2, , d với rii : x%iT Rii x%i rij : x%Tj Rij x%j , i j, Theo Bồ đề 2.2.2, R dƣơng với p R , mà nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính T pi x% Rii x% i i p j x%Tj Rij x%j i , i 1,2, , d (2.57) j i Với p đó, rõ ràng xi : pi x% , i 1,2, , d chấp nhận đƣợc (2.50) i thoả mãn (2.52), (2.54) đƣợc chứng minh hoàn toàn 52 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chủ yếu dựa tài liệu [12], trình bày toán tối ƣu toàn phƣơng, trọng tâm toán tối ƣu toàn phƣơng không lồi Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn học góp ý để luận văn đƣợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Trọng Bắc, S-Bổ đề (Luận văn Thạc sĩ toán học), Viện Toán học, Hà Nội, 2010 [2] Hà Thị Duyên, Bổ đề S ứng dụng (Luận văn Thạc sĩ toán học), Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, 2013 Tiếng Anh [3] A Beck, Y.C Eldar, Strong duality in nonconvex quadratic optimization with two quadratic constraints, SIAM J Optim, 17(2006), 844-860 [4] S Boyd and L Vandenbergen, Convex Optimization, Cambridge Univ Press, 2006 [5] G M Lee, N N Tam, N D Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: “Nonconvex Optimization and its Applications”, Vol 78, Springer, New York, 2005 [6] I Ekeland and R Temam, Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, American Elsevier, 1976 [7] P Finsler, Uber das vorkommen definiter und semidefiniter formen in scharen quadratischer formen, Comment Math Helv., (1936-37), 188-192 [8] C Floudas and P Pardalos, A Collection of Test Problems for Constrained Global Optimization Algorithms, Lecture Notes in Comput Sci, Vol 455, Springer [9] F R Gantmacher, The Theory of Matrices, Volume 2, Chelsea Publising Company, 1960 54 [10] H G Hoang, H D Tuan and P Apkarian, A Lyapunov variable-free KYP lemma for SISO continuous systems, IEEE Trans Automatic Control, 53(2008), 2669-2673 [11] V Jeyakumar, G M Lee and G Y Li, Alternative theorems for quadratic inequality systems and global quadratic optimization, SIAM J Optim., 20(2009), 983-1001 [12] H Tuy and H D Tuan, Generalized S-Lemma anh strong duality in nonconvex quadratic programming, J Global Optimization DOl 10.1007/s10898-012-9917 – [13] Y Ye, S Zhang, New results on quadratic optimization, SIAM J Optim, 14,(2003), 245-267 [14] Y Yuan, On a subproblem of trust region algorithms for constrained optimization, Math Program, 47(1990), 53-83 [15] Yan Zi-Zong and Guo Jin-Hai, Some equivalent results with Yakubovich’s S-Lemma, SIAM J Control Optim 48(2010), 4474-4480