ổ tọ ỏ t ỡ s s tợ P trữớ sữ ữợ t t tổ t ổ t ỡ ổ trữớ ữ tr tử tự tổ tr sốt q tr t ứ q ổ ỡ ỡ q ỗ s ú ù t t ủ tổ t t ứ ụ ữủ t t trữớ sữ ữợ sỹ ữợ P ổ t q ự r tổ tr q tr ự t tổ tứ t q ợ sỹ tr trồ t ỡ tổ t tr tr ữủ ró ỗ ố t ứ ụ ử ỡ ởt số tự ổ t tử t số ỗ ỗ t tố ữ ỗ s rở tỹ ỗ ỗ ố q ỳ ỳ ỗ s rở ỵ tt tố ữ t tố ữ ợ r t tố ữ õ r t tự t t R Rn R = R {, +} f :XR int A A dom(f ) epi(f ) (x) f (x) (x) f (x) ||.|| |x| af f (A) coA (x, y) = {x + (1 )y | (0, 1)} (x, y] = {x + (1 )y | (0, 1]} [x, y] = {x + (1 )y | [0, 1]} L(f, ) = {x X | f (x) } ữớ t tỹ ổ t số tỹ s rở tứ R tr A õ A ỳ f tr ỗ t f t x rt f t x varphi t x tr ss f t x tr ổ Rn tr tt ố số x ỗ A ỗ A t ố x y t ố x y t õ ố x y t ự ữợ é ỵ t ỗ ỗ s rở õ ởt trỏ q trồ tr ỵ tt tố ữ ỳ t tr tr õ ỗ s rở ữủ t q t ự t ữủ t q s s tỹ ỗ ỗ ữủ sr tr tr ss ự t t trữ tỹ ỗ ỗ ổ trỡ q t tỹ ỡ ỡ ữợ õ ố q ỳ tr s ss ự tỹ ỗ t tỹ ỗ t ổ trỡ ữủ ỳ tự t ợ ố t s ỡ ỳ tự ố q ự ú tổ t ự ỗ s rở ự ự t tờ q ỗ s rở ữủ ỳ t t ỡ ỗ s rở ỳ ự tố ữ õ ự ỗ s rở ỳ t t ỡ ỗ s rở ỳ ự ỗ s rở t tự tố ữ õ ố tữủ ự ỗ s rở tr ổ Pữỡ ự t t ỗ ỗ s rở t tờ ủ ữủ ởt ự tờ q ỗ s rở ự ỹ õ õ ợ t ự tờ q ỗ s rở ự ữỡ ởt số tự r ữỡ ú t s tr ỳ ỡ t t ỗ ỗ tr ổ Rn ũ ợ ỳ t t trữ õ ỳ tự tr tr ữỡ ữủ tứ t ổ t ủ Rn := {x = (x1 , , xn )T : x1 , , xn R}, tr õ x1 x x = (x1 , , xn )T := xn ợ t (x1 , , xn )T + (y1 , , yn )T := (x1 + y1 , , xn + yn )T (x1 , , xn )T := (x1 , , xn )T , R t ởt ổ tỡ t n x = (x1, , xn)T Rn t xi t tồ tự i x tỡ ổ ổ ố Rn ữủ ỡ = (0, , 0)T r Rn t t ổ ữợ t , ữ s ợ x = (x1 , , xn )T , y = (y1 , , yn )T Rn n x, y = õ ợ x = (x1, , xn)T xi y i i=1 Rn t n x := (xi )2 x, x = i=1 tỡ x x0 Rn > t t B(x0 , ) := {x Rn : x x0 < } tr Rn õ t t x0 U Rn ợ x0 U tỗ t > s B(x0 , ) U F Rn õ U := Rn \ F V Rn x Rn tỗ t > s B(x, ) V tử t số f ữủ ỷ tử ữợ t x Rn ợ f (x) < ợ > tỗ t U x s f (x) f (y) (y U ) f (x) = + t ữủ ỷ tử ữợ t x ợ N > tỗ t U x s f (y) N (y U ) f ữủ ỷ tử ữợ f ỷ tử ữợ t x Rn f : X R õ f tử t x0 X ợ > tỗ t > s ợ x X B(x0, ) t õ f (x0 ) B(x0 , ) õ f tử tr X f tử t x0 X U Rn t số f : U R x0 = (x01 , , x0n )T U õ tỗ t > s ợ h R |h| < t õ x(h) = (x0 , , x0i1 , x0i + h, x0i+1 , , x0n ) U tỗ t ợ f (x0 , , x0i1 , x0i + h, x0i+1 , , x0n ) f (x0 ) lim h h0 t t õ r t xi f t x0 f (x ) xi fxi (x0 ) f f õ r x (x0 ) i = 1, , n t tỡ i ( f f T (x ), , (x )) x1 xn rt f t x0 ữủ f (x0 ) = ( f f T (x ), , (x )) x1 xn f f r x (x) tỗ t t x U t t õ x :U f R q t x x (x) tỗ t r t i i i f (x) < f ( x) = f ( x) < f ( x), t õ ổ tỗ t x ữ t t õ f tỹ ỗ tr X s r r ữủ tr ỵ ổ ú f : R R x ợ x f (x) = ợ < x < x ợ x õ f tỹ ỗ tr R ữ ợ x = 1/2 y = 1/2 = 1/10 t õ f (x) < f (y) f (x + (1 )y) = f (y) ỗ r ú t t ỳ ỗ õ t ũ s f : X R tr t X Rn õ f ỗ tr X x, y X, (x y), f (y) = f (x) f (y), ởt tữỡ ữỡ x, y X, f (x) < f (y) = (x y), f (y) < f ó f ỗ f : R R f (x) = x3 x ỗ tr R ỳ ổ ỗ ữ ỵ r ỗ tr trữớ ủ tờ qt ữ s tữỡ ữỡ ợ tr tr trữớ ủ õ f : X R ỗ tr t ỗ X Rn t õ ợ x, y X (0, 1) f (x) < f (y) = f (x + (1 )y) f (y) (1 )(x, y), tr õ (x, y) ởt số ữỡ tở x y f : X R tr t ỗ X Rn õ f ỗ tr X x X, y = 0, y, f (x) = = g(t) = f (x + ty), ợ t t ỹ t ữỡ t t = ự sỷ f ỗ tf (x) ợ t õ t õ f (x + ty) f (x) g(t) = f (x + ty) t ỹ t t t = ữủ sỷ ỵ ữủ tọ (x y), f (y) s r r f (y) f (x) t g(t) = f (y +t(xy)), t [0, 1] sỷ ự r f (x) < f (y) g(1) < g(0) g (0) > (xy), f (y) > t g t ỹ t ởt t0 (0, 1) õ g (t0) = (x y), f (y + t0 (x y)) = t0 ổ ỹ t ữỡ g t ợ tt g (0) = (x y), f (y) = t t tt t = ỹ t ữỡ g y ỹ t ữỡ f ữ õ ũ ợ tt ự g(1) < g(0) s s r sỹ tỗ t ởt ỹ ữỡ t0 (0, 1) g g (t0) = t ữủ t ợ tt f : X R tử tr t ỗ X Rn õ f ỗ tr X ợ x X f (x) = = y, 2f (x)y ữ f (x) = t f õ ỹ t ữỡ t x ự f : X R tr t ỗ X f f ỗ t t õ f t t Rn f : X R tr õ X Rn ởt t ỗ õ s tữỡ ữỡ f t t ợ tũ ỵ x, y X (xy), f (y) = f (x) = f (y) ự sỷ f t t õ t t õ (x y), f (y) = = f (x) = f (y) f ụ tỹ t t t õ f (x) = f (y) = (x y), f (y) = õ t t ữợ y, f (x) = f (x + ty) = f (x), t : x + ty X, y, f (x) = g(t) = f (x + ty) t ỹ t t t = ữ f f ỗ t õ f t t f : X R tr t X Rn õ f ỗ t tr X x, y X, x = y f (x) f (y) = (x y), f (y) > , ởt tữỡ ữỡ x, y X, x = y (x y), f (y) = f (x) < f (y) t t ỗ t s r t ỗ f : X R tr t ỗ X Rn õ f ỗ t tr X x X y = 0, y, f (x) = = g(t) = f (x + ty), ợ t t ỹ t ữỡ t t t = ự ữỡ tỹ ữ ự tr ỵ f : X R tử tr t ỗ X Rn õ f ỗ t tr X x X, y = 0, y, f (x) = = g(t) = f (x + ty), ợ t t = ự y, f (x)y > y, f (x)y = t ỹ t ữỡ t t ố q ỳ ỳ ỗ s rở f : X R t f ỗ t f ỗ f ỗ t f ỗ f tỹ ỗ t f tỹ ỗ ỷt f tỹ ỗ õ i) ii) iv) vi) f ỷ tử ữợ vii) i) iii) iv) v), iv) vi) v) vi) ự t r õ s ổ f ỗ f tỹ ỗ ỷt f tỹ ỗ ỷt ỷ tử ữợ f tỹ ỗ ự sỷ f ỗ tr X x, y X tr õ X t ỗ tr Rn ợ f (x) < f (y) sỷ tỗ t (0, 1) s + (1 )y) f (y) f (x ỹ h() = f (x + (1 )y) (0, 1) õ t õ ợ x0 = 0x + (1 0)y h (0 ) = x y, f (x0 ) = f (x) < f (x0) tứ t ỗ f t õ x x0 , f (x0 ) < ữ x x0 = (1 0)(x y), (0, 1) t ữủ x y, f (x0 ) < t ợ h (0 ) = tr ỵ ữợ ởt số s t tr R f1 (x) = x + x3 f2 (x) = x3 f3 = f4 = x2 x ợ ợ ợ (x 1)2 ợ x s f (x0 ) f (x) ợ x B(x0 , ) tr õ B(x0 , ) t x0 ) sỷ r tỗ t x1 X ữ ổ tở B(x0 , ) s f (x1 ) < f (x0 ) f tỹ ỗ t t õ f (x1 + (1 )x0 ) < f (x0 ), (0, 1) ữ ợ < / x1 x0 t õ x1 + (1 )x0 X B(x0, ) õ f (x0) f (x1 + (1 )x0) ợ < < / x1 x0 t ợ x0 t sỷ r f tỹ ỗ t tr X õ x0 ỹ t ữỡ (P1) t x0 ỹ t ữỡ t ỹ t t t (P1) ự sỷ x0 x ỹ t ữỡ (P1) f (x0) f (x) õ f tỹ ỗ t tr X t õ f (x0 + (1 )x) < f (x) ợ (0, 1) x ổ ữỡ ữ õ t ởt ỹ t ữỡ f tỹ ỗ ỷt ữỡ x0 t sỷ r f tỹ ỗ tr X õ x0 ỹ t ữỡ t (P1) t x0 ỹ t t t t (P1) ự sỷ x0 ỹ t ữỡ t (P1) tỗ t U x0 tr Rn s ợ x U X x = x0 t õ f (x0 ) < f (x) sỷ r x0 ổ ỹ t t t õ tỗ t x X x = x0 s f (x) f (x0) f tỹ ỗ t õ f ( x + (1 )x0 ) f (x0 ), [0, 1] ữ ợ ọ t õ x + (1 )x0 U X t ợ x0 ữỡ t sỷ r f ỗ tr t D X D õ x0 ỹ t ữỡ t (P1) (x x0 ), f (x0 ) 0, x X ự x0 (P1) t () = f (x0 +(xx0)) t ỹ t tr [0, 1] t = õ (x x0 ), f (x0 ) = (0) ữủ s r trỹ t tứ ỗ f ỗ tr t ỗ X t x0 (P1) f (x0) = q sỷ r f tr t D ự X t (P1) Sol(P1) f tỹ ỗ tr X t Sol(P1) t ỗ f ỗ t tỹ ỗ t tr X t Sol(P1) ự t ởt tỷ x0 Sol(P1) = Sol(P1) = {x0} õ Sol(P1) = t õ õ ởt tỷ ự ợ = min{f (x) | x X} t õ Sol(P1) = L(f, ) f tỹ ỗ L(f, ) ỗ õ Sol(P1) ỗ ợ f ỗ t tỹ ỗ t tr X t q s r tứ ỵ ỵ f ỗ t tr t ỗ X t t õ Sol(P1 ) = {x0 } f (x0 ) = q X Rn õ x0 ỹ t t t t r t (P1) ợ y Rn x0 ỹ t t ọ t f tr t X {x Rn | x = x0 + y, 0} X Rn õ x0 ỹ t ữỡ t t r t (P1) ợ y Rn tỗ t (y) s f (x0 ) ỹ t t ọ t f tr t X {x Rn | x = x0 + y, (0, (y))} ữ ỵ r ỹ t ữỡ t t ổ t tt ỹ t ữỡ t s P f : R2 R f (x, y) = (y x2 )(y 2x2 ) õ ữỡ t t t x0 (0, 0) ữ x0 = (0, 0) ổ ỹ t ữỡ ợ ỳ tỹ ỗ tr t ỗ X Rn t õ t t (P1) f tỹ ỗ tr X t ỹ t ữỡ t t ỹ t ữỡ ự t t (P1) f tỹ ỗ ỷ t tr X t x0 ỹ t t x0 ỹ t ữỡ t t ự t tố ữ õ r t tự t t t t {f (x) | x X, gi (x) 0, i = 1, , m} , (P2 ) tr õ X Rn t ỗ f, gi : Rn R i = 1, , m x ởt (P2) t I(x) = {i | gi(x) = 0} t số r t sỷ f tr (P2) tỹ ỗ ỷ t tr X ợ i / I(x) gi tỹ ỗ tr X ợ i / I(x) gi tử t x õ min{f (x) | x X, gi (x) x 0, i I(x )} = f (x ) ự sỷ ự r tỗ t x0 X s gi(x0) ợ i I(x) f (x0) < f (x) õ ợ ộ (0, 1) t õ x = x0 + (1 )x X f (x ) < f (x ), gi (x ) max{gi (x ), gi (x )}, i I(x ) ợ ộ i / I(x) gi(x) < gi tử t x t õ gi(x) < ợ ọ õ x tọ r t (P2 ) t ợ x tố ữ t ữỡ tr ự ỳ t t ỗ s rở ự ỳ t t t tố ữ t tr ởt õ tố s ởt số ỳ t t ỡ ỗ ỗ s rở ởt số ự t t ỗ s rở ự t tố ữ t t t ộ ữ P t ỗ tt ý Pũ t ỗ t t P r r rtr r qs t st rtss rss t Pr r rt r s qs r rr Prs r qs ts s r trt qs ts t tt rr t rr s rr t sr r rr r r t rtrt qs ts r Pst s t s Pr rrts r ts s