2 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, thầy giáo, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Nhân xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện, động viên giúp đỡ nhiều suốt trình học tập, nghiên cứu Vĩnh Phúc , ngày 26 tháng 06 năm 2013 Tác giả Lăng Thị Diệu Thúy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Xuân Hòa, ngày 26 tháng 06 năm 2013 Tác giả Lăng Thị Diệu Thúy MỤC LỤC Lời cảm ơn……………………………………………………………………2 Lời cam đoan……………………………………………………………… Mở đầu ……………………………………………………………………….6 CHƯƠNG KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ …8 1.1 Khái niệm không gian Banach thực………………………………… 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự……………………………….9 1.2.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự - Hai phần tử thông ước tập K  u0  ……………………………………………………… 1.2.2 Một số nón đặc biệt mối liên hệ chúng……………… 12 1.3 Không gian Eu0 ……………………………………………………… 15 1.3.1 Phần tử u0 - đo không gian Eu0 ……………………… 15 1.3.2 Một số định lý nón………………………………………….18 1.4 Một số không gian Banach thực………………………………………25 1.4.1 Không gian m ………………………………………………….25 1.4.2 Không gian L  a; b  …………………………………………….34 CHƯƠNG TOÁN TỬ  K , u0  - LÕM CHÍNH QUY CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN ………….………….47 2.1 Các định nghĩa……………………………………………………… 47 2.2 Một số tính chất đơn giản toán tử  K , u0  - lõm quy cực trị 48 2.3 Toán tử  K , u0  - lõm quy không gian L  a; b  ,  K , u0  - lõm quy cực trị không gian m ………………………………………55 2.3.1 Toán tử  K , u  - lõm quy……………………………… 55 2.3.2 Toán tử  K , u  - lõm quy cực trị ……………… 58 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ  K , u0  LÕM CHÍNH QUY CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN ……………………………………………………64 3.1 Định lý 3.1…………………………………………… ………64 3.2 Định lý 3.2 ………… ……………………………………….66 Kết luận ………………………………………………………………… 69 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………… 70 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhà toán học Nga tiếng M.A.Kraxnoxelxki nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định(1956), sau mở rộng cho toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định, nón tập nón lại (1962) GS-TSKH I.A.Bakhtin nghiên cứu toán tử (K, u0 )- lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định ( 1975), mở rộng cho toán tử (K, u0 )- lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định giao khác rỗng(1984) Các lớp toán tử mà GS Kraxnoxelxki Bakhtin nghiên cứu có chung tính chất u0 – đo Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến tác dụng không gian Banach thực với nón cố định: Toán tử lõm quy, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 – đo Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “điểm bất động toán tử (K, u0 )lõm quy cực trị không gian định chuẩn với hai nón” Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày toán tử (K, u0 )- lõm quy cực trị điểm bất động toán tử (K, u0 )- lõm quy cực trị không gian Banach thực với hai nón cố định giao khác rỗng, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 – đo Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu không gian Banach thực nửa thứ tự - Tìm hiểu toán tử (K, u0 )- lõm quy cực trị - Tìm hiểu điểm bất động toán tử (K, u0 )- lõm quy cực trị không gian định chuẩn với hai nón Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử (K, u0 )- lõm quy cực trị, điểm bất động toán tử (K, u0 )- lõm quy cực trị không gian định chuẩn với hai nón Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến điểm bất động toán tử (K, u0 )- lõm quy cực trị không gian định chuẩn với hai nón Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu báo điểm bất động toán tử (K, u0 )lõm quy cực trị không gian định chuẩn với hai nón - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Những đóng góp luận văn Trình bày cách hệ thống kiến thức có liên quan đến “điểm bất động toán tử (K, u0 )- lõm quy cực trị không gian định chuẩn với hai nón”.Vận dụng lý thuyết chung vào không gian Banach thực m, L[a;b] Chương KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ 1.1.Khái niệm không gian Banach thực Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến tính định chuẩn thực) không gian tuyến tính X trường số thực R với ánh xạ từ X vào tập R, kí hiệu (đọc chuẩn) , thỏa mãn điều kiện sau đây: C1)  x  X  x  0, x   x   (Phầntử không không gian X ); C2)  x  X    P   x   x ; C 3)   x , y  X  x  y  x  y Số x gọi chuẩn véctơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng X Các tiên đề C1, C2, C3 gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x  X , : lim xn  x  n  Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm  xn  nếu:  n 1 không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim xn  xm  m,n hay      n0  N *  cho  n, m  n0  ta có xn  xm   Định nghĩa 1.1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ phần tử thuộc không gian X 1.2.Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.2.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự - Hai phần tử thông ước tập K  u0  1.2.1.1 Định nghĩa nón Cho không gian Banach thực E Tập tập khác rỗng K  E gọi nón , K thỏa mãn điều kiện sau đây: N 1) K tập đóng không gian E ; N 2) x  K , y  K  x  y  K ; N ) x  K , t   tx  K ; N 4) x  K , x     x  K 1.2.1.2 Quan hệ thự thự Giả sử E không gian Banach thực , K nón không gian E Ta đưa quan hệ thứ tự vào không gian E sau: Với x, y  E , ta viết x  y, y  x  K Khi quan hệ “  ” quan hệ thự E Thật vậy: + (x  E ) x  x , x  x    K  Quan hệ “≤” có tính chất phản xạ + (x, y, z  E : x  y , y  z )  y  x  K , z  y  K Do đó: z  x  ( z  y)  ( y  x)  K  x  z  Quan hệ “≤” có tính chất bắc cầu + (x, y  E : x  y , y  x ) x  y , x  y y  x   Do y  x  K nên x  y  K , mâu thuẫn với giả thiết y  x  Quan hệ “≤” có tính chất phản đối xứng Nên, quan hệ “≤” quan hệ thứ tự không gian E với nón K 10 Lúc này, ta nói không gian E với nón K trở thành không gian Banach thứ tự phận hay không không gian Banach nửa thứ tự theo nón K Từ định nghĩa , dễ dàng suy tính chất đơn giản sau (ngoài tính chất khái niệm biết lí thuyết tập hợp): Tính chất 1.2.1   Nếu  xn  n 1  E ,  y n  n 1  E , xn  y n ,  n  1, 2, x n  x , lim y n  y không gian E x  y lim n  n  Thật vậy, yn  xn  K , n  1,2, ,lim  yn  xn   y  x K tập đóng n  nên y  x  K  x  y Tính chất 1.2.2 Giả sử u0  K , x  E Khi đó, x  tu0 x   u0 ,   R,   t Thật vậy: tuo  x  K ,   R,   t    t   (  t )u o  K   uo  x  (  t )uo  (tuo  x)  K  x   uo ,   R ,   t Tính chất 1.2.3 Giả sử u  K \   , x  K cho t0  R , x0  t0u Khi đó, tồn số thực nhỏ t cho x0  t1u0 Thật : Xét ánh xạ f :R K t  f (t )  tu0  x0 Do tính chất liên tục hai phép toán cộng hai phần tử nhân số với phần tử không gian Banach E , nên f liên tục Từ từ tính đóng nón K không gian E suy f 1 ( K ) tập đóng không gian E Hiển nhiên , t0  f 1 ( K ) 11  1 Giả sử inff 1 ( K )   Khi  tn n1  f ( K ) cho: lim tn   n  Với n đủ lớn tn  ta có tn u0  x0  K   (tn u0  x0 )  K ( n  1,2, ) tn  u0  x0  K tn Cho qua giới hạn biểu thức u0  x0 n   ta u0  K , tn mâu thuẫn với tính chất nón K ( u0  K \   ) Do inf f 1 ( K )  t1   Do f 1 ( K ) tập đóng, nên t1  f 1 ( K ) , nghĩa t1  f 1 ( K ) Vì vậy, t1 nhỏ cho t1u0  x0  K  x0  t1u0 Tính chất 1.2.4 Giả sử u0  K \   , x0  E cho t0  0, x0  t0u0 Khi đó, tồn số thực nhỏ t cho x0  tu0 Thật vậy, x0  E   x0  E Khi ,với u  K \   t0  0, xo  t0uo   xo  t0uo Theo tính chất 1.2.3, tồn số thực t nhỏ cho  x0  tu0 hay tồn số thực nhỏ t , cho x0  tu0 1.2.1.3 Hai phần tử thông ước tập K  u0  Cho không gian Banach thực E Phần tử x  E gọi thông ước với phần tử y  E ,    ( x)  0,    ( x)  cho  y  x   y 57  2a  b  +)Trên  ; b ,   A x (t )   x(t )  1,  Ax (t )   x(t )     x(t )    x(t )    x(t )   Do A x   Ax * x , y  K (u0 ) , với    0,1 mà x   y  Ta có : +) x   y  K \   , x (t )   y (t )  h.k.n  a , b  , M   a, b  mà  ( M )  cho : x(t )   y (t )  0, t  M  x(t )   y (t ) h.k.n  a, b  2a  b  y (t )  * x, y  K (u0 ) : x (t )  h.k.n  a; h.k.n ,    2a  b   a;   2a  b  +)Trên  ; b  , m1 , M1 , m2 , M  R* cho   m1  x (t )  M h.k.n, m2  y (t )  M h.k.n  2a  b  +)Trên  ; b  : Ax (t )   Ay (t )    x(t )      y (t )     y (t )    y (t )    y (t )(    )     Chọn     m2 (    )  (1   ) , ta  2a  b   , Ax (t )   Ay (t )      u0 (t ) ,    a;  m2 (    )  (1   ) u0 58  2a  b  ; b  , Ax (t )   Ay (t )   u0    Do đó, Ax   Ay   u0 Vậy A toán tử ( K , u0 ) -lõm quy 2.3.2 Toán tử  K , u  -lõm quy cực trị không gian m Cho không gian banach thực m nửa thứ tự theo nón K K xác định công thức (1.10) (1.11), phần tử u0 tập I1, I mục 1.4.1.4 Xét toán tử A: m  m k  I 0  x   xk k 1  Ax  ( yk ), yk     xk     k  I1     Ta chứng minh A toán tử  K , u  -lõm quy Thật vậy: +)  x  K  x1  x2 , xk  0, k  3, k  N  ; k  I 0  Ax  yk     xk     k  I1    x k 1 Ta có: xk  0, k  1,3      4 x 1 k      0, k  N  , k  1,3 4  Ax  K  AK  K  A toán tử dương nón K +) x, y  K , x1  x2 ; xk  0, k  3,4, ; 59 y1  y2 ; yk  0, k  3,4, ; cho x  y y  x  K  yk  xk  k  1,3  yk  xk  , k  1,3, x y k k 1 1       , k  1,3, 4 4 x y 1 k 1 k         , k  1,3,  Ax  Ay 4 4  A toán tử đơn điệu nón K0   x  K \   , x   xk k 1 Theo giả thiết: I  k  N  : u k  0 hữu hạn khác  ,   I  N  \ I1  k  N * uk  , u1  u2 , cho k   I * Với k  I  uk  xk  * Với k  I1  uk  0, xk  0  tAx      xk t         k  I 0  Ta có Atx    txk ;  k  I 4      1 Với k  I có    4    xk t   4 4  txk  1 4  5  1   t   1  t   4  (do t   0,1 ) txk 1 Với k  I1 ta xét hàm f  xk      4 1  t  t  4 xk k  I2    k  I1 60    xk  txk   1  t   t             x k 1 1 Đặt g  xk   t      4 4 txk với xk  xk tx x tx   k   k   k  1 g  xk   t   ln  t   ln        t ln  (do txk  xk ) 4   4    , xk Nên g  xk  1 1 đồng biến g  xk   g   hay t      4 4 txk  t 1 1  t   t   1  t   4 Do f  xk   txk 1 Suy    4    xk  t      4     +) Với k  Atxk  tAxk  0, x1  0, xk  0, k  3,4, xk0  0, k0  1,3, 4, 1    4 txk0    xk0 t    4 4      Atx  tAx Vì Atx  tAx  x, y  K  u0  t   0,1 cho x  ty   tìm     x, y, t , u0   cho Ax  tAy   u0 Ta có: +) xk  với  k  I  , xk  với  k  I1  ; yk  với  k  I  , yk  với  k  I1  61 au0  x  bu0  au k  xk  buk (k  1,2,3, )  cu0  y  du0 cuk  yk  duk (k  1,2,3, ) * +) a, b, c, d  R :  +) x  ty    xk  tyk   xk  tyk , k  1,2,3, k0  1,2,3,  cho xk0  tyk0   xk  tyk  với k  1,2,3, 0  yk +) Ax  tAy     xk 1      t  t        k  I2 k  I1 x yk yk   tyk 1 k 5 1 1      t  t    1  t        t    Ta có 4 4 4        u 1 1  t   t   1  t   1  t  k 4 max u k kI1 Do chọn  1 1  t   >0 Ax  tAy   u0 max uk kI1 Vậy A toán tử  K , u0  - lõm quy  Ta chứng minh A toán tử cực trị    Giả sử xk n k 1  K dãy không giảm, bị chặn u *  K bị chặn theo chuẩn, nghĩa (C  0)(n  N * ) cho x Ký hiệu: x  n    n  xk u *   uk*   k 1  n  1,2,3, k 1   , Ax    y    yk n n n  k 1 (n  N * ) , n  C 62    xk    k  I1      k  I 0 n  n yk Ta có: x1   x2  , xk  k   n  N*  , n n u1*  u2* , uk*  k  , x   u *  n  N *  hay x k   uk* n  n,k  N  n * Theo định nghĩa toán tử A : +) Với k  I1 ta có  x   1   yk  1   4  x   k  1   4 k  2  yk ,  x    2 yk  1  yk 3   yk n     4   Suy với k  I1 dãy yk n  n  k nên  lim yk n   x   n k 1   4 k   1 u  * k  k   4  dãy số thực không giảm, bị chặn k 1  yk   k n * +) Với k  I ,  I ta có yk  n  N  yk     Đặt y   yk k 1 ta yk  với k  I yk  với k  I1 ,  yk   k 1 Vì  k     4 u  * k  k  N   5 n   0;  , nên y  K sup Ax    y  K n  4 * 63   Chứng minh tương tự với dãy w kn   k 1  K dãy không tăng, bị chặn u **  K bị chặn theo chuẩn, nghĩa (D  0)(n  N * ) cho x n  D Ký hiệu:  w    w k  n n u **   u k**   n  n  1,2,3, k 1   , Aw    t    tk n k 1 tk  n   tk n         0   Ta có với k  I1 dãy tk n n  (n  N * ) , k 1 k  I1 k  I  dãy số thực không tăng, bị chặn k 1  n  k nên  lim tk  tk   k n  n * +) Với k  I ,  I ta có tk  n  N  t k     Đặt t   tk k 1 ta tk  với k  I tk  với k  I1 ,  tk   k 1 Vì  k     4 u  ** k  5 n   0;  , nên t  K inf Aw    t  K n  4 Vậy A toán tử cực trị Vậy k  N  A toán tử  K , u0  -lõm quy cực trị * 64 Chương SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ ( K , u0 ) -LÕM CHÍNH QUY CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN Giả sử E không gian Banach thực , K K hai nón cố định không gian E K0  K  , u0  ( K0  K ) \  , A : E  E toán tử ( K , u0 ) - lõm quy Không gian E trở thành không gian Banach thực nửa thứ tự nhờ nón K 3.1 Định lí 3.1 Giả sử toán tử ( K , u0 ) lõm quy, A thỏa mãn điều kiện: 1, A toán tử cực trị 2, x0  K (u0 ) cho x0  Ax0 , dãy xn  Axn1 (n  1,2, ) bị chặn u0 bị chặn theo chuẩn Khi toán tử A có điểm bất động K (u0 ) Chứng minh: Ta có x0  K  u0        u0  x0 Lập dãy xn  Axn1  n  1,2,3,  , ta có  u0  x0  Ax0  x1  x2   xn  Ax n1  u0  n  1,2,    xn   K  u0       n  N   xn  Axn1     Vì A toán tử cực trị, nên dãy xn  Ax n1  n  1,2,  chứa dãy xnk hội tụ tới x không gian E Dễ dàng thấy x  sup  xn   K  u0  Ta chứng minh Ax   x 65  Hiển nhiên, xn  x  n  1, 2,  (3.1)  n  1,2,   x  Ax Mặt khác, xn  x n1  Ax n  Ax  (3.2)  Vì xn , x  K  u0   n  1, 2,  , nên tồn   0,  n  cho x   u0 , xn   nu0  xn   n 1 x  xn   n 1 x   1 Trong  n  Ta thấy  n 1  , n 1   n   xn   n 1 x  x , mâu thuẫn với hệ thức (3.1) Theo bổ đề 2.1.1, tồn số lớn tn   0,1  cho: xn  tx    n  1, 2,   Ta lại có: xn 1  xn  tn x  tn1  tn  n  1, 2,  Dãy  tn  không giảm bị chặn nên tồn lim tn  t  n  Ta chứng minh, t     Thật vậy, giả sử số t  , Atx  tAx  tx  Atx  tx   Atx   K  u0     Do   cho A tx  tAx   u0   x  A2 tx  tAx    x   t    x  xn2  A2 xn  A2 tn x  A2  tn t 1tx   tn t 1 A2 tx  tn t 1  t    x  tn 1   t 1  x  tn  tn 1   t 1  x ,   n  1,2,   n  1, 2,    Đặc biệt, t2 k 1    t 1 t2 k 1     t 1  k t1  k  1,2,  Do đó, t  lim tn  lim t k 1   , điều mâu thuẫn với giả sử t  Vậy, lim tn  n  66 Từ hệ thức tn Ax   At n x   Axn  xn 1  x   n  1,2,   Cho n   ta Ax  x  (3.3)   Kết hợp (3.2) (3.3) ta Ax  x 3.2 Định lí 3.2 Giả sử toán tử ( K , u ) lõm quy, A thỏa mãn điều kiện: 1, A toán tử cực trị 2, y0  K (u ) cho Ay0  y0 , dãy yn  Ayn 1 ( n  1, 2, ) bị chặn u0 bị chặn theo chuẩn Khi toán tử A có điểm bất động K (u0 ) Chứng minh: Theo giả thiết,      u0  y0 Lập dãy yn  Ayn1  n  1,2,  Ta có:  u0  y0  Ay0  y1  y2   yn  Ayn1   u0   yn   K  u0  Đồng thời  L   yn  L Vì A toán tử cực trị, nên dãy yn  Ayn 1  n  1,2,   n  0,1, 2,   n  1, 2,    chứa dãy ynk hội tụ tới y   K  u0  Hiển nhiên, y   inf  yn   yn  y  yn  yn 1  Ayn  Ay   n  0,1, 2,  (3.4)  n  0,1,2,   y  Ay  (3.5) Vì yn , y   K  u0   n  0,1, 2,  , nên   0, y    u0 , y n   n u0  n  1,2,    n  1 y   yn    n  1,2,  ,  n  cho 67 1  n  Dễ dàng thấy  n  1  ,  n 1  yn   n  1 y   y  , mâu thuẫn với (3.4) l:R  K Xét ánh xạ t  l  t   ty   yn Theo lập luận trên, (t  1)  n  1, 2,  l t   K Nhờ tính liên tục hai phép toán cộng hai phần tử nhân số với phần tử không gian E Nên l 1 ( K ) tập đóng theo chứng minh trên, l 1  K  bị chặn Khi  l 1  K    n   Mặt khác,  n y  yn  yn 1   n 1   n  n  1,2,  Do đó,  lim n    Ta chứng minh   Thật vậy: Giả sử,  Khi đó, theo tính chất toán tử A: 1  Ay   A   y    A y   Ay   A y        Hiển nhiên, Ay  A y  thuộc K0  u0  Nên    0,   A2 y    A  y   u0  Nhưng, A2 y    u0 , nên chọn   u0   1      ta       A2 y   1    Suy ra, A2 y     1 Ay  A2 y   A2 y   A2 y    1    1    68  A2 y     A2 y   Ay   y 1 1       yn  A2 yn  A2 n yn  A2  n  y    n A2 y   n y        n2  n  Đặc biệt,  k 1   n  1,2,   k 1 1   k 1 1     k  1,2,  Từ đó,   lim n  lim  k 1  , mâu thuẫn với điều giả sử   Vậy   lim  n     Ta lại có, y  yn 1  Ayn  A n y   n Ay   Cho n   ta y  Ay  n  1, 2,  (3.6)   Kết hợp (3.5) (3.6) ta Ay  y 69 III KẾT LUẬN Bước đầu tìm hiểu đề tài: “Điểm bất động toán tử ( K , u ) - lõm quy cực trị không gian định chuẩn thực với hai nón”, với mục đích đề ra, đề cương luận văn dự kiến chi tiết vấn đề nghiên cứu chương : - Chương 1: Hệ thống kiến thức không gian Banach thực , không gian Banach thực nửa thứ tự, không gian Eu0 Giới thiệu số không gian Banach thực nửa thứ tự - Chương 2: Trình bày số định nghĩa, số tính chất không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón số tính chất điểm bất động toán tử ( K , u ) – lõm quy cực trị không gian Banach thực với hai nón - Chương 3: Trình bày chứng minh định lý tồn điểm bất động toán tử ( K , u ) - lõm quy cực trị không gian Banach thực với hai nón Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 70 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các vectơ riêng toán tử lõm quy”, Tạp chí toán học., tập 15(số 2), (17-23) [4] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các điểm bất động toán tử lõm quy”, Tạp chí toán học., tập 15(số 1), (27-32) [5] Nguyễn Phụ Hy (1991), “Một số định lý nón không gian định chuẩn”, Thông tin khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), (2-8) [6] Nguyễn Phụ Hy (1989), “Về lớp phương trình phi tuyến”, Thông tin khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), (23-30) [7] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [8] Lê Hồng Sơn (2008), Vectơ riêng lớp toán tử phi tuyến d- cực trị, Luận văn thạc sĩ [9] Trần Thị Thúy Vân (2009), Mối liên hệ toán tử lõm toán tử giả lõm, Luận văn thạc sĩ B Tài liệu tiếng Nga [10] Bakhtin M.A (1984), Các nghiệm dương phương trình phi tuyến với toán tử lõm, Vôrônegiơ, (tiếng Nga) [11] Kraxnôxelxki M.A (1956), Các phương pháp tôpô lý thuyết phương trình tích phân, Matxcơva, (tiếng Nga) [12] Kraxnôxelxki M.A (1962), Các nghiệm dương phương trình toán tử, Matxcơva, (tiếng Nga) 71