de thi cao hoc DHQG

29 26 0
  • Loading ...
1/29 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/11/2016, 20:33

Tuyển tập đề thi cao học khoa học tự nhiên đầy đủ từ 2000 đến 2007. đề thi cao học nhằm mục đích phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm bài tập cho học viên thi cao học.Tuyển tập đề thi cao học khoa học tự nhiên đầy đủ từ 2000 đến 2007. đề thi cao học nhằm mục đích phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm bài tập cho học viên thi cao học. ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι M λ∝ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν χ⊇π n (n ≥ 1), τηχ, κη∂ νγη⇒χη Χηνγ mινη ρ≈νγ M λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν mα τρ⊄ν C ∈ M χ →⇒νη Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = C −1 AC λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ νηm Τ⋅m Im f , Ker f (ηαψ χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ →…νγ χ⊇υ) Χηνγ mινη ρ∝νγ ÷νη ξ≠ f1 : M → R⋆, f1 (A) = |A| λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm Τ⋅m Im f1 , Ker f1 Χ♥υ ΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ C⋆ λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν τη↔νγ τη↑νγ Ξ∠τ χ÷χ ÷νη ξ≠ f : C⋆ → C⋆, f (α) = α, g : C⋆ → C⋆, g(α) = α λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm, →←ν χ⊇υ, το∝ν χ⊇υ ηαψ κη↔νγ? Τ⋅m Im f , Ker f Χ♥υ ΙΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ πη∠π βι∏ν →ι τρχ γιαο τρ♠ν κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E λ∝m τη∝νη mτ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν (πη∠π ηπ τη∝νη), κ ηι√υ G Γι∂ σ g ∈ G ♣∅τ ÷νη ξ≠ ϕ : G → G, ϕ(f ) = g −1 f g Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →…νγ χ⊇υ νηm Χ♥υ Ις C[x] λ∝ ϖ∝νη ♣∅τ ÷νη ξ≠ ϕ : C [x] → C [x] , f (x) → f (x) (→↑χ ηιυ λ∝ a + a1 x + + anxn) Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm Χηνγ mινη ρ≈νγ R[x] λ∝ ϖ∝νη χον m∝ κη↔νγ ιδεαν Χ♥υ ς Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ mα τρ⊄ν →ι ξνγ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη νηm αβεν →ι ϖι πη∠π χνγ, κ ηι√υ νηm ν∝ψ λ∝ M Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = A′ (χηυψν ϖ⇒ χ〉α A) λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm Τ⋅m Im f , Ker f Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π M χ÷χ mα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη R−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← (ηαψ R−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον χ〉α κη↔νγ γιαν χ÷χ mα τρ⊄ν ϖυ↔νγ χ⊇π n) T λ∝ mα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη (κη↔νγ νη⊇τ τηι∏τ →ι ξνγ) Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = T −1 AT λ∝ →∑νγ χ⊇υ (τχ λ∝ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Τ⋅m η≠νγ χ〉α η√ ϖ∠χ τ← a1 , a2 , a3 ∈ R3 τηεο τηαm σ a a1 = (1, a, 1) , a2 = (1, 1, a) , a3 = (a, 1, 1) Τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α L = {a1, a2 , a3 } κηι a = −2 ηο∅χ a = Χ♥υ ΙΙ Βι∏τ R5 [x] λ∝ κη↔νγ γιαν χ÷χ →α τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν Χηο f (x) = + x + x3 + x4 Χηνγ mινη ρ≈νγ (1) ϖ∝ (2) λ∝ χ÷χ χ← σ χ〉α ν 1, x, x2 , x3 , x4 f (4) (x), f (3) (x), f ′′ (x), f ′ (x), f (x) Τ⋅m mα τρ⊄ν χηυψν χ← σ (1) σανγ (2) Τ⋅m το≠ → χ〉α f (x) = 34+33x+16x 2+5x3 +x4 τρονγ χ← σ (2) Χ♥υ ΙΙΙ Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρ♠ν κη↔νγ   A= −1 γιαν πηχ χ mα τρ⊄ν λ∝   χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? Χ τ∑ν τ≠ι πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη νγη⇒χη →∂ο f −1 ? Τ⋅m ϖ∠χ τ← ρι♠νγ ϖ∝ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ χ〉α f −1 Χ♥υ Ις Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν τηχ χ δ≠νγ A= a b 2b a ϖι a, b ∈ R λ⊄π τη∝νη ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη Mat(2, R), η〈ι ν χ λ∝ ιδεαν κη↔νγ? ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Χηνγ mινη ρ≈νγ Τ⊄π S1 χ÷χ σ πηχ χ m↔ →υν β≈νγ λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm νη♥ν χ÷χ σ πηχ κη÷χ ¸νη ξ≠ f : R → S1 χηο βι f (x) = cos(πx) + i sin(πx) λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡ νηm χνγ χ÷χ σ τηχ R ϖ∝ο S Χ♥υ ΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ mι κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ V →υ χ β τυψ∏ν τ⇑νη Πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α L χ δυψ νη⊇τ κη↔νγ? Τ⋅m σ χηιυ, mτ χ← σ ϖ∝ πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ γιαν R4 σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u1 = (1, −2, −1, 1), u2 = (−1, 3, 0, 2), u3 = (2, −5, −1, −1), u4 = (2, −4, −2, 2)} Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ   a d A =  d b d  −d c Ν∏υ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη τρονγ κη↔νγ γιαν R χ mα τρ⊄ν →ι ϖι χ← σ χη⇑νη τχ λ∝ A τη⋅ ϕ χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο? ςι a = 3, b = 4, c = ϖ∝ d = η•ψ τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο B = QT AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο Χ♥υ Ις Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ γι λ∝ λυ λινη β⊄χ p ν∏υ p λ∝ mτ σ νγυψ♠ν δ↑←νγ σαο χηο ϕp−1 = ϖ∝ ϕp = Γι∂ σ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ p τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V Χηνγ mινη ρ≈νγ Ν∏υ x λ∝ mτ ϖ∠χ τ← σαο χηο ϕp−1 (x) = τη⋅ η√ ϖ∠χ τ← x, ϕ (x) , ϕ2 (x) , , ϕp−1 (x) →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη p ≤ n ϕ χη¬ χ mτ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ λ = Ν∏υ E − A λ∝ mα τρ⊄ν χ〉α πη∠π βι∏ν →ι ϕ →ι ϖι χ← σ ν∝ο → τη⋅ mα τρ⊄ν A κη∂ νγη⇒χη (E λ∝ mα τρ⊄ν →←ν ϖ⇒) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π O(n) χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο χ⊇π n λ∝ mτ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν mα τρ⊄ν Χηο Q ∈ O(n), ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : O(n) → O(n) χηο βι f (A) = QT AQ τρονγ → QT λ∝ χηυψν ϖ⇒ χ〉α Q Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ →…νγ χ⊇υ νηm Χ♥υ ΙΙ Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ : R3 → R3 χηο βι ϕ (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 3x2 + 4x3 , 4x1 − 7x2 + 8x3 , 6x1 − 7x2 + 7x3 ) Τ⋅m γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α ϕ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 χ τ∑ν τ≠ι ηαψ κη↔νγ mτ χ← σ σαο χηο →ι ϖι χ← σ → mα τρ⊄ν χ〉α ϕ χ δ≠νγ →↑νγ χη∠ο Χ♥υ ΙΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ϖ∝ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L⊥ Γι∂ σ x = (4, −1, −3, 4) Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L ϖ∝ ϖ∠χ τ← z ∈ L⊥ σαο χηο x = y+z Χ♥υ Ις Χηνγ mινη ρ≈νγ η 1, x − a, (x − a)2 , , (x − a)n−1 ϖι a ∈ R λ∝ mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν Rn [x] χ÷χ →α τηχ η√ σ τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν n Τ⋅m το≠ → χ〉α f (x) ∈ Rn [x] →ι ϖι χ← σ → Χ♥υ ς Γι∂ σ f1 , f2 λ∝ χ÷χ δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ ϕ : V × V → K χηο βι ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν V Τ⋅m →ιυ κι√ν χ∩ν ϖ∝ →〉 → ϕ λ∝ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη →ι ξνγ Γι∂ σ V λ∝ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ Χηνγ mινη ρ≈νγ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη ϕ χ η≠νγ β≈νγ κηι ϖ∝ χη¬ κηι ϕ = ϖ∝ χ ηαι δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη f , f2 σαο χηο ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) ϖι mι x, y ∈ V ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη τ⌡ ϖ∝νη K ϖ∝ο ϖ∝νη K ′ , ϖ∝ A λ∝ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη G Χηνγ mινη ρ≈νγ h(A) λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K ′ Τρ♠ν τ⊄π χ÷χ σ νγυψ♠ν Z ξ∠τ ηαι πη∠π το÷ν ξ÷χ →⇒νη βι a⊕b =a+b−1 a ◦ b = a + b − ab Χηνγ mινη ρ≈νγ (Z, ⊕, ◦) λ∝ mτ ϖ∝νη γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒ Χ♥υ ΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g ξ÷χ →⇒νη βι g(u) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) ϖι u = (x, y, z) Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ ϖ∝ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α g Τ⋅m mτ χ← σ χ∂ κη↔νγ γιαν R σαο χηο →ι ϖι χ← σ → mα τρ⊄ν B χ〉α πη∠π βι∏ν →ι g χ χ÷χ πη∩ν τ  πη⇑α τρ♠ν →↑νγ χη∠ο χη⇑νη β≈νγ ςι∏τ mα τρ⊄ν B Χ♥υ ΙΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E ξ∠τ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , , un}, ϖ∝ mα τρ⊄ν G = ((ui, uj ))n×n Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , , un} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη κηι ϖ∝ χη¬ κηι det G = Χ♥υ Ις Γι∂ σ f λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ r τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V n−χηιυ Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον Vr = y τηυχ V : f (x, y) = →ι ϖι mι x τηυχ V , Vl = y τηυχ V : f (y, x) = →ι ϖι mι x τηυχ V Χηνγ mινη ρ≈νγ V r , Vl λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V r = dim Vl = n − r ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡ νηm G ϖ∝ο νηm G ′ , ϖ∝ H λ∝ νηm χον χ〉α νηm G Χηνγ mινη ρ≈νγ h(H) λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm G ′ Ξ∠τ ÷νη ξ≠ f τ⌡ νηm τυψ∏ν τ⇑νη τνγ θυ÷τ GL(n, R) ϖ∝ο νηm νη♥ν R ⋆ χ÷χ σ τηχ κη÷χ ξ÷χ →⇒νη βι f (A) = det A Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ το∝ν χ⊇υ Ξ÷χ →⇒νη νηm χον f (O(n)), ϖι O(n) λ∝ νηm χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο Χ♥υ ΙΙ Γι∂ σ L λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον p−χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E n−χηιυ Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π L∗ = {x ∈ E : (x, y) = 0, ∀y ∈ L}, λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον (n − p)−χηιυ ϖ∝ E = L L ⋆ Ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R σινη βι η√ ϖ∠χ τ← u1 = (1, 0, 2, 1), u2 = (2, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, −2, 1) Ξ÷χ →⇒νη mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ∗ Χ♥υ ΙΙΙ ς∏τ χ〉α mα τρ⊄ν A χ⊇π n τρ♠ν τρ↑νγ K λ∝ τνγ χ÷χ πη∩ν τ τρ♠ν →↑νγ χη∠ο χη⇑νη, →↑χ κ ηι√υ λ∝ Tr(A) Χηνγ mινη ρ≈νγ Tr(AB) = Tr(BA) ς∏τ χ〉α mα τρ⊄ν χ〉α mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ πη τηυχ ϖ∝ο ϖι√χ χην χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν Χ♥υ Ις Η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A = (aij )m×n →↑χ κ ηι√υ λ∝ r(A) Χηνγ mινη ρ≈νγ r(A + B) ≤ r(A) + r(B) Τ⇑νη r(A) ϖι A = (min{i, j})m×n ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⇑χη χ÷χ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ νηm f : G → G′ Χηνγ τ〈 ρ≈νγ ν∏υ G λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν τη⋅ Im(f ) χ∫νγ λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν Χηο mτ ϖ⇑ δ χηνγ τ〈 →ιυ νγ↑χ λ≠ι νι χηυνγ κη↔νγ →⌠νγ Χ♥υ ΙΙ Γι∂ σ L λ∝ κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u1 = (2, 3, 5) , u2 = (3, 7, 8) , u3 = (1, −6, 1)} ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (7, −1, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον L Χηνγ mινη ρ≈νγ τρονγ κη↔νγ γιαν χ÷χ η∝m σ τηχ λι♠ν τχ C (a, b) η√ ϖ∠χ τ← {1, cos x, cos2 x, , cosn x} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ →ι ξνγ   A =  −2  −2 Τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο Q T AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο ςι∏τ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο → Χ♥υ Ις Γι∂ σ u λ∝ mτ ϖ∠χ τ← χ〉α κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E Χηνγ mινη ρ≈νγ ϖι mι ϖ∠χ τ← x τηυχ E χ τη βιυ διν δυψ νη⊇τ δ↑ι δ≠νγ x = au + v τρονγ → ϖ∠χ τ← v τρχ γιαο ϖι ϖ∠χ τ← u Χηο E = R4 , u = (2, −1, 0, 2), x = (1, 1, 1, −1) Τ⇑νη a ϖ∝ v ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Τρονγ νηm G ξ∠τ ÷νη ξ≠ h : G → G ξ÷χ →⇒νη βι h(a) = a −1, ∀a ∈ G Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ h λ∝ mτ τ →…νγ χ⊇υ κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ mτ νηm Αβεν Χ♥υ ΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χηο βι η√ πη↑←νγ τρ⋅νη   2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 =   x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = Τ⋅m σ χηιυ ϖ∝ mτ χ← σ χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L ⋆ χ〉α κη↔νγ γιαν χον L Χηο ϖ∠χ τ← x = (7, −4, −1, 2) Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L, z ∈ L⋆ σαο χηο x = y + z Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη g : R4 → R3 →↑χ χηο βι g((x1 , x2 , x3 , x4 )) = (x1 − 2x2 + x4 , x1 + x3 − x4 , 2x2 + x3 − 2x4 ) Τ⋅m dim Ker g, dim Im g ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← y = (−1, 2, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον Im g Χ♥υ Ις Γι∂ σ f λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ n (τχ λ∝ f n−1 = 0, f n = 0) τρονγ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V Χηνγ mινη ρ≈νγ Ν∏υ x ∈ V : f k(x) = τη⋅ η√ ϖ∠χ τ← {x, f (x), , f k(x)} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη n ≤ dim V Ν∏υ n = dim V τη⋅ →α τηχ →∅χ τρ↑νγ χ〉α πη∠π βιν →ι f χ δ≠νγ p(λ) = (−1)nλn ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Γι∂ σ (G, ◦) λ∝ mτ νηm χ ηυ η≠ν πη∩ν τ, →←ν ϖ⇒ e Χηνγ mινη ρ≈νγ ♣ι ϖι mι πη∩ν τ a ∈ G τ∑ν τ≠ι σ νγυψ♠ν k ≥ σαο χηο a k = e (σ νγυψ♠ν δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ χ τ⇑νη χη⊇τ → γι λ∝ χ⊇π χ〉α πη∩ν τ a) Ν∏υ a λ∝ πη∩ν τ χ⊇π n τη⋅ A = {a, a2 , , an} λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm (G, ◦) Χ♥υ ΙΙ Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ   a b+c A =  b a + c  c a+b Χηνγ τ〈 mα τρ⊄ν A κη↔νγ κη∂ νγη⇒χη Τ⇑νη η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A τηεο γι÷ τρ⇒ χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b, c Χ♥υ ΙΙΙ Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 →↑χ χηο βι f (x, y, z) = (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z) Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f Πη∠π βι∏ν →ι f χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο? Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν R3 σαο χηο mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ mα τρ⊄ν ταm γι÷χ Χ♥υ Ις Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R n λ∝ mτ κη↔ν γιαν χον κηι ϖ∝ χη¬ κηι L λ∝ τ⊄π νγηι√m χ〉α mτ η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν νη⊇τ τρ♠ν R ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Γι∂ σ X λ∝ mτ ϖ∝νη Χηνγ mινη ρ≈νγ ♣ι ϖι mι σ νγυψ♠ν n ≥ 0, τ⊄π nX = a = nx = x + x + + x : x ∈ X n λ∩ν λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη X (ϖι θυψ ↑χ 0x = 0) Χ÷χ τ⊄π δ≠νγ nZ ϖι n = 0, 1, 2, λ∝ τ⊇τ χ∂ χ÷χ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη σ νγυψ♠ν Z Χ♥υ ΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u1 = (1, a, −1, −2) , u2 = (2, −1, a, 5) , u3 = (1, 10, −6, 1)} Τ⇑νη dim L τηεο τηαm σ a Γι∂ σ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , u2 , , un} λ∝ mτ χ← σ χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V ♣∅τ vk = uk + + un ϖι k = 1, 2, , n Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ {v1 , v2 , , vn} λ∝ mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν V Χ♥υ ΙΙΙ Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R →↑χ χηο βι g((x1 , x2 , x3 )) = (x1 − 3x2 − x3 , −3x1 + x2 + x3 , −x1 + x2 + 5x3 ) Χηνγ τ〈 ρ≈νγ g λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ Τ⋅m mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α g Χ♥υ Ις Γι∂ σ f λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ k τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← K n Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον Vr = y ∈ Kn : f (x, y) = →ι ϖι mι x ∈ K n , Vl = y ∈ Kn : f (y, x) = →ι ϖι mι x ∈ K n Χηνγ mινη ρ≈νγ V r , Vl λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V r = dim Vl = n − k ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2007 →τ Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) γι λ∝ χ χ⊇π ηυ η≠ν p ν∏υ p λ∝ σ νγυψ♠ν δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ σαο χηο a p = e Γι∂ σ G λ∝ mτ τ⊄π ηπ ηυ η≠ν χ n πη∩ν τ Χηνγ mινη ρ≈νγ Μι πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) →υ χ χ⊇π ηυ η≠ν ςι mι a, b τηυχ νηm (G, ◦, e) χ÷χ πη∩ν τ a ◦ b ϖ∝ b ◦ a χ χ⊇π β≈νγ νηαυ Χ♥υ ΙΙ Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√m N χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαm σ τηχ a x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0, 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = Χηο a = 3, τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α N0 τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R4 Χ♥υ ΙΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R3 ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f χηο βι f ((x1 , x2 , x3 )) = (3x1 + 2x2 , 2x1 + 4x2 − 2x3 , −2x2 + 5x3 ) Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχιλδ R λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f ϖ∝ χηο βι∏τ mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ → Χ♥υ Ις Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ συψ βι∏ν g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V Γι∂ σ ρ≈νγ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g1 τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον r−χηιυ F χηο βι g1 (x, y) = g(x, ) ϖι mι x, y τηυχ F λ∝ mτ δ≠νγ κη↔νγ συψ βι∏ν Ξ∠τ τ⊄π F ⋆ = {x ∈ V : g (x, y) = ϖι mι y ∈ F } Χηνγ mινη ρ≈νγ F ⋆ λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ F ⋆ ∩ F = {0} V = F ⊕ F ⋆ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m σ mτ βι∏ν σ λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] τη⋅ λι♠ν τχ →υ τρ♠ν → √ − cos x Χηο η∝m σ f (x) = Η•ψ ξ∠τ σ λι♠ν τχ →υ χ〉α ν τρ♠ν χ÷χ τ⊄π δ↑ι x →♥ψ: (α) Τρ♠ν (0, 1) (β) Τρ♠ν (−1, 0) (χ) Τρ♠ν (−1, 0) ∪ (0, 1) Χ♥υ ΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ mτ δ•ψ σ →←ν →ι√υ χ mτ δ•ψ σ χον ηι τ τη⋅ ν χ∫νγ λ∝ mτ δ•ψ ηι τ Χηνγ τ〈 ρ≈νγ δ•ψ σ {xn} ϖι 1 xn = + + · · · + − ln(n) , n λ∝ mτ δ•ψ ηι τ n≥1 Χ♥υ ΙΙΙ Τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α mιν ν≈m τρονγ m∅τ πη…νγ το≠ → xOy →↑χ γιι η≠ν βι τρχ ηο∝νη ϖ∝ mτ νη⇒π χψχλοιδ x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t) (0 ≤ t < 2π, a > 0) Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ (x + 1)α sin x (x − 1)β dx, τρονγ → α, β λ∝ χ÷χ τηαm σ Χ♥υ Ις Χηο χηυι η∝m +∞ enx n=1 + n2 (α) Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m (β) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α τνγ χηυι η∝m τρονγ mιν ηι τ Χηο f (x) λ∝ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν (−∞, +∞) ςι n νγυψ♠ν δ↑←νγ →∅τ 1 n fn(x) = f (x + ) + f (x + ) + · · · + f (x + ) n n n n Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ η∝m {f n(x)} ηι τ →υ τρ♠ν mι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ (χ⇓ν γι λ∝ τι♠υ χηυ∪ν Χαυχηψ) Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {xn} τρονγ → xn = sin + sin 1 + + sin 12 n2 Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν Χηο f (x) λι♠ν τχ τρ♠ν [0, +∞) Βι∏τ ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι γιι η≠ν ηυ η≠ν χ〉α f (x) κηι x → +∞ Χηνγ mινη ρ≈νγ f (x) λι♠ν τχ →υ τρ♠ν [0, +∞) Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m +∞ n=1 nx + n x2 τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, +∞) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ +∞ e−n x S (x) = n=0 Χ♥υ Ις (x2 + y ) dxdy ϖι D = {(x, y) ∈ R2 : x4 + y Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν 1} D Χηο f (x) ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ →≠ο η∝m ηυ η≠ν f ′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (a, b) Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ f ′(x) = ϖι ∀x ∈ (a, b) τη⋅ f (x) →←ν →ι√υ τρ♠ν κηο∂νγ (a, b) Χ♥υ ς Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν +∞ sin2 2x dx x Βι∏τ ρ≈νγ f (x) κη∂ ϖι λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ f (a) − f (b) = Χηνγ mινη ρ≈νγ b ′ max |f (x)| a x b (b − a)2 |f (x)| dx a ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Βολζανο−Wειρεστρασσ ϖ γιι η≠ν χ〉α δ•ψ σ Γι∂ σ a0 λ∝ σ τηχ τηο∂ m•ν θυψ τχ a1 = a0 , a2n = ϖ∝ {an} λ∝ δ•ψ σ τηχ ξ÷χ →⇒νη τηεο a0 a2n−1 a2n+1 = , (1 + a2n) Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ {a n} χη¬ χ γιι η≠ν ρι♠νγ λ∝ , n ϖ∝ 23 Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ →⇒νη λ Χαυχηψ ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ β⋅νη χ〉α τη↑←νγ ηαι η∝m κη∂ ϖι Χηο f (x) = x2 + x, g (x) = x3 Η〈ι χ τη ÷π δνγ →↑χ →⇒νη λ Χαυχηψ τρ♠ν [−1, 1] χηο τη↑←νγ ηαι η∝m ν∝ψ κη↔νγ? Τ⋅m σ c → f (1) − f (−1) f ′ (c) = ′ g (1) − g (−1) g (c) Χ♥υ ΙΙΙ Χηο η∝m βι∏ν f (x, y) =   √ xy x2 +y2  ν∏υ (x, y) = (0, 0) , ν∏υ (x, y) = (0, 0) Χηνγ mινη ρ≈νγ τρονγ mτ λ♥ν χ⊄ν χ〉α →ιm (0, 0) η∝m f λι♠ν τχ ϖ∝ χ χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ γιι νι νη↑νγ f κη↔νγ κη∂ ϖι τ≠ι →ιm (0, 0) Χ♥υ Ις Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ sin2 2x x dx Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m +∞ x2 e−nx, x < +∞ n=0 Χ♥υ ς Χηνγ mινη ρ≈νγ → δ∝ι l χ〉α →↑νγ ελιπ π (a + b) l π x2 a2 + y2 b2 = τηο∂ m•ν β⊇τ →…νγ τηχ (a2 + b2 ) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ δ•ψ →←ν →ι√υ χ mτ δ•ψ χον ηι τ τη⋅ δ•ψ → χ∫νγ ηι τ Χ♥υ ΙΙ Χηο f (x) λ∝ η∝m σ ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ χ÷χ →≠ο η∝m ηυ η≠ν f ′(x), f ′′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, 0) Η•ψ ξ÷χ →⇒νη χ÷χ η≈νγ σ a, b, c → η∝m σ f (x) ax + bx + c F (x) = ϖι x 0, ϖι x > 0, χ →≠ο η∝m F ′(x), F ′′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, +∞) Χ♥υ ΙΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ η∝m σ f (x, y) λι♠ν τχ τηεο τ⌡νγ βι∏ν x ϖ∝ y τρονγ mιν D, →←ν →ι√υ τηεο mτ τρονγ ηαι βι∏ν → τη⋅ ν λι♠ν τχ τηεο ηαι βι∏ν (x, y) τρονγ D Χ♥υ Ις Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι λυ τη⌡α +∞ n=1 4n + (−3) n n Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α δ•ψ η∝m fn (x) = n (x − 1)n √ n x − τρ♠ν →ο≠ν [1, 2] Χ♥υ ς Χηο f (x) λ∝ η∝m σ κη∂ ϖι τρ♠ν →ο≠ν [0, 1] ϖ∝ τηο∂ m•ν →ιυ κι√ν f ′(0)f ′(1) < Χηνγ mινη ρ≈νγ f (x) →≠τ χ⊄ν τρ♠ν →⌠νγ ηο∅χ χ⊄ν δ↑ι →⌠νγ τ≠ι mτ →ιm τρονγ κηο∂νγ (0, 1) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ η∝m σ λι♠ν τχ →υ τρ♠ν κηο∂νγ ηυ η≠ν (a, b) τη⋅ χ τη β συνγ γι÷ τρ⇒ η∝m τ≠ι ηαι →∩υ m⌠τ → τρ τη∝νη η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν [a, b] Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη κη∂ τ⇑χη χ〉α η∝m γιι η≠ν χ〉α mτ δ•ψ η∝m ϖ∝ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν δ↑ι δ⊇υ τ⇑χη πη♥ν Χ♥υ ΙΙΙ Τ⇑νη − (cos x)sin x lim √ x→ + x3 − Τ⋅m χχ τρ⇒ χ〉α η∝m σ u = xyz ϖι →ιυ κι√ν x + y + z = τρονγ mιν x > 0, y > 0, z > Χ♥υ Ις Τ⋅m mιν ηι τ ϖ∝ ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m ∞ (−1)n n=1 n + − sin 2x Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ ∞ xα sin 2x + x2 dx τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ Χ♥υ ς Χηο δ•ψ σ {an} Βι∏τ lim a2k = α, lim a2k+1 = β; α, β λ∝ ηαι σ ηυ η≠ν k→ ∞ Τ⋅m liman, liman k→ ∞ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν τ⌡νγ σ η≠νγ χ〉α mτ χηυι η∝m Χηο χηυι η∝m + ∞ n= n2 x2 x2 + n + n2 (−1)n n Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α τνγ χηυι η∝m → τρ♠ν mιν ηι τ χ〉α ν Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Λαγρανγε ϖ η∝m κη∂ ϖι Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ η∝m κη∂ ϖι τρ♠ν κηο∂νγ ηυ η≠ν (a, b) ϖ∝ κη↔νγ γιι νι τρ♠ν κηο∂νγ → τη⋅ →≠ο η∝m χ〉α ν χ∫νγ κη↔νγ γιι νι τρ♠ν κηο∂νγ → Τ⇑νη lim x→0 √ √ cos x − cos x x2 Χ♥υ ΙΙΙ Χηο η∝m σ f (x, y) =  (x2 + y ) sin x2 + y2 ν∏υ x2 + y = 0  ν∏υ x2 + y = 0, Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m σ χ →≠ο η∝m ρι♠νγ τ≠ι mι →ιm νη↑νγ χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ ν∝ψ κη↔νγ λι♠ν τχ τ≠ι →ιm (0, 0) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ τ≠ι (0, 0) Χ♥υ Ις Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ √ x ln2 x + xα dx τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ Χ♥υ ς Χηο f λ∝ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν (−∞, ∞) ςι n νγυψ♠ν δ↑←νγ →∅τ fn(x) = n f (x + n ) + f (x + n ) + · · · + f (x + n n ) Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ η∝m {f n(x)} ηι τ →υ τρ♠ν mι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Χαντορ ϖ δ•ψ →ο≠ν λ∑νγ νηαυ τητ λ≠ι τρ♠ν R Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {an} ϖι an = sin − sin + sin − sin + ··· + sin n − sin(n + 1) n Χ♥υ ΙΙ Τ⇑νη (1 + x)x − x→0 x2 lim Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ f (x, y) =      x4 y + x4 ν∏υ x2 + y > 0, y4 ν∏υ x = y = Χ♥υ ΙΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν χ〉α mτ χηυι η∝m +∞ +∞ Un(x) = lim x→x0 lim Un(x) x→x0 n=1 n=1 Χηο χηυι η∝m +∞ S(x) = n=1 (n − x)2 Τ⋅m mιν τ∑ν τ≠ι χ〉α S(x) ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α S(x) τρ♠ν mιν → Χ♥υ Ις Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ ln2 x xα dx τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ f (x) λ∝ η∝m κη∂ ϖι τρ♠ν (a, +∞) ϖ∝ lim f ′(x) = τη⋅ x→+∞ lim x→+∞ f (x) x = ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Ρολλε ϖ η∝m κη∂ ϖι Χηνγ mινη ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ mτ η∝m λι♠ν τχ y = y(x), x ∈ (−∞, +∞) τηο∂ m•ν πη↑←νγ τρ⋅νη y = x + ε sin y, ≤ ε < Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Βολζανο−Wειερστρασσ ϖ γιι η≠ν δ•ψ σ Τ⋅m lim n n2 + n→+∞ Χ♥υ ΙΙΙ Χηο χηυι η∝m + +∞ n=1 n2 + 22 x n (1 + nx2 ) + + n2 + n2 Ξ÷χ →⇒νη mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m Ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α χηυι η∝m τρονγ mιν ηι τ χ〉α ν Χ♥υ Ις ¸π δνγ τ⇑χη πη♥ν ηαι λπ τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α η⋅νη γιι η≠ν βι χ÷χ →↑νγ χονγ xy = a2 , xy = 2a2 , y = αx, y = βx τρονγ → < α < β Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν x2 + y dxdydz V τρονγ → V λ∝ mιν γιι η≠ν βι χ÷χ m∅τ z = x2 + y , x2 + y + z = 2az, a > Χ♥υ ς Χηο η∝m g(x) ξ÷χ →⇒νη τρ♠ν κηο∂νγ [0, +∞) →←ν →ι√υ δ∩ν ϖ κηι x → +∞ Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ τ⇑χη πη♥ν +∞ +∞ g (x) sin xdx ϖ∝ χνγ ηι τ ηο∅χ χνγ πη♥ν κ g (x) dx ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν χ γι÷ τρ⇒ ηαι →∩υ m⌠τ →ο≠ν → τρ÷ι δ⊇υ νηαυ τη⋅ →∑ τη⇒ χ〉α ν σ∉ χτ τρχ ηο∝νη Τ⋅m τηαm σ a → η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν ,1   sin πx f (x) = sin πx3  a ν∏υ x ∈ ν∏υ x = 1, ,1 , Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m γιι η≠ν χ〉α mτ δ•ψ η∝m Χηο χηυι η∝m +∞ f (x) = n=1 |x| n + x2 Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α η∝m f ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α ν τρ♠ν mιν → Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ − e f (x, y) = x +y 2 Τ⇑νη ν∏υ x2 + y > 0, ν∏υ x2 + y = x lim x→+∞ arctg2 xdx √ x2 + Χ♥υ Ις Τ⋅m χ÷χ γιι η≠ν ρι♠νγ χ〉α δ•ψ σ {a n} ϖι an = 1+ n n + (−1)n sin nπ Γι∂ σ f λ∝ η∝m κη∂ ϖι ηαι λ∩ν τρ♠ν [1, +∞) ϖ∝ f (1) > 0, f ′(1) < χ⇓ν f ′′(x) ≤ 0, ∀x > Χηνγ mινη ρ≈νγ πη↑←νγ τρ⋅νη f (x) = χ δυψ νη⊇τ νγηι√m τηυχ [1, +∞) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι ♣⇒νη νγη⇐α τνγ Dαρβουξ τηεο mτ πη♥ν ηο≠χη τρ♠ν →ο≠ν [a, b] χ〉α mτ η∝m ξ÷χ →⇒νη τρ♠ν → Τ⌡ → πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χ∩ν ϖ∝ →〉 → mτ η∝m κη∂ τ⇑χη τρ♠ν [a, b] b Χηο f λ∝ mτ η∝m κη∂ τ⇑χη τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ f (x) dx > Χηνγ mινη ρ≈νγ a τ∑ν τ≠ι mτ →ο≠ν [α, β] ⊂ [a, b] σαο χηο f (x) > 0, ∀x ∈ [α, β] Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν ϖ∝ γι÷ τρ⇒ χ〉α η∝m σ τ≠ι ηαι →∩υ m⌠τ χ〉α →ο≠ν → τρ÷ι δ⊇υ νηαυ τη⋅ →∑ τη⇒ η∝m σ λυ↔ν χτ τρχ ηο∝νη Τ⋅m χχ τρ⇒ χ〉α η∝m σ u = xy z ϖι →ιυ κι√ν x + 2y + 3z = 6, x > 0, y > 0, z > Χ♥υ ΙΙΙ Χηο χηυι η∝m +∞ n=2 xn−1 (1 − xn) (1 − xn+1 ) (α) Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m (β) Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρ♠ν →ο≠ν [−a, a] τρονγ → a λ∝ τηαm σ τηο∂ m•ν < a < Ξ∠τ σ ηι τ τυψ√τ →ι ϖ∝ β÷ν ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ a sin x (x − a) (x − b) Χ♥υ Ις Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ χηυι σ +∞ dx ϖι b > a > an ηι τ τυψ√τ →ι τη⋅ χηυι σ +∞ an χη¬ β÷ν ηι τ τη⋅ χ τη νι n=1 ηαψ κη↔νγ? Ν∏υ κη↔νγ →⌠νγ τη⋅ η•ψ χηο mτ ϖ⇑ δ a3n χ∫νγ n=1 n=1 ηι τ τυψ√τ →ι Ν∏υ +∞ +∞ n=1 a3n ηι τ τυψ√τ →ι →↑χ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Χαντορ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α η∝m σ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] √ − cos x Χηο η∝m σ f (x) = Η•ψ ξ∠τ σ λι♠ν τχ →υ χ〉α ν τρ♠ν χ÷χ τ⊄π δ↑ι x →♥ψ: (α) Τρ♠ν (0, 1) (β) Τρ♠ν (−1, 0) (χ) Τρ♠ν (−1, 0) ∪ (0, 1) Χ♥υ ΙΙ Ξ∠τ σ ηι τ τυψ√τ →ι χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ √ x cos x3 x + 10 Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν √ dx xydxdy D τρονγ → D λ∝ mιν →↑χ γιι η≠ν βι χ÷χ →↑νγ χονγ y = ax 2, y = bx2 , xy = p, xy = q (0 < a < b, < p < q) Χ♥υ ΙΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α τνγ χηυι η∝m Χηο χηυι η∝m +∞ √ xe−nx n=1 Ξ∠τ τ⇑νη ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρονγ χ÷χ κηο∂νγ (α) [0, +∞) (β) [δ, +∞), δ > Χ♥υ Ις Χηο η∝m σ f (x) λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ τηο∂ m•ν →ιυ κι√ν b xnf (x) dx = ϖι mι n = 1, 2, , N a Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m f χ ⇑τ νη⊇τ N + κη↔νγ →ιm τρονγ κηο∂νγ (a, b) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ τι♠υ χηυ∪ν ηι τ χ〉α δ•ψ σ ¸π δνγ νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ξ∠τ τ⇑νη ηι τ χ〉α δ•ψ σ +∞ an = k=2 √ , k ln k n Χ♥υ ΙΙ Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ xα sin x 1+x dx ϖι α λ∝ τηαm σ Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν βα λπ z − x2 + y dxdydz V τρονγ → V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 1, 1} z Χ♥υ ΙΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Ρολλε ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ β⋅νη χ〉α η∝m σ κη∂ ϖι τρονγ mτ κηο∂νγ Χηο f (x) λι♠ν τχ τρονγ [0, 1], κη∂ ϖι τρονγ (0, 1) ϖ∝ f (0) = e, f (1) = Β≈νγ χ÷χη ξ∠τ η∝m g (x) = exf (x) χηνγ mινη ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι c ∈ (0, 1) σαο χηο f ′(c) = −f (c) Χ♥υ Ις Χηο {rn} λ∝ mτ δ•ψ χ÷χ σ ηυ τ τηυχ →ο≠ν [0, 1] Ξ∠τ χηυι +∞ |x − rn| n=1 3n , x Χηνγ mινη ρ≈νγ (α) Χηυι ηι τ ϖι mι x ∈ [0, 1] ϖ∝ τνγ S(x) λ∝ mτ η∝m λι♠ν τχ τρονγ →ο≠ν [0, 1] (β) S(x) κη∂ ϖι τ≠ι mι →ιm ϖ↔ τ νη↑νγ κη↔νγ κη∂ ϖι τ≠ι χ÷χ →ιm ηυ τ τηυχ [0, 1] Χηο δ•ψ η∝m fn (x) = nαxe−nx, n (α) Ηι τ τρ♠ν →ο≠ν [0, 1] (β) Ηι τ →υ τρ♠ν →ο≠ν [0, 1] ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α α τη⋅ δ•ψ η∝m ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Χαντορ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α η∝m σ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] Χηο η∝m σ f (x) ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ λι♠ν τχ τρονγ κηο∂νγ (a, +∞), (−∞ < a < +∞) Γι∂ τηι∏τ τ∑ν τ≠ι χ÷χ γιι η≠ν ηυ η≠ν lim f (x) = L , x→a+0 lim f (x) = K x→+∞ Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m f (x) λι♠ν τχ →υ τρονγ (a, +∞) Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α τνγ χ〉α χηυι η∝m Χηο un (x), n = 1, 2, λ∝ χ÷χ η∝m ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ →←ν →ι√υ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] Γι∂ τηι∏τ ρ≈νγ χηυι η∝m mινη ρ≈νγ χηυι η∝m +∞ n=1 +∞ un (x) ηι τ τψ√τ →ι τ≠ι x = a ϖ∝ x = b Χηνγ un (x) ηι τ →υ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] n=1 Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ τ⇑νη ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ e− x − e− x dx Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⇑χη πη♥ν +∞ sin (f (x)) dx ηι τ ν∏υ f ′(x) →←ν →ι√υ τ♦νγ ϖ∝ δ∩ν ρα +∞ κηι x → +∞ Χ♥υ Ις Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν x2 + y + z dxdydz I= V τρονγ → V λ∝ mιν →↑χ γιι η≠ν βι m∅τ (x + y ) + z = 3a2 Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m +∞ n=0 n k! anxn τρονγ → an = k=0 ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2007 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη χ÷χ →⇒νη λ Βολζανο−Χαυχηψ τη νη⊇τ ϖ∝ τη ηαι ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ γιαν χ〉α η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν Χηο X λ∝ mτ κηο∂νγ σ τηχ: X ⊂ R, f : X → R λ∝ mτ η∝m λι♠ν τχ, Y = {f (x) : x ∈ X} λ∝ τ⊄π γι÷ τρ⇒ χ〉α η∝m f τρ♠ν X Χηνγ mινη ρ≈νγ Y χ∫νγ λ∝ mτ κηο∂νγ Χ♥υ ΙΙ Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν σαυ (ln x + ln y) dxdy τρονγ → D λ∝ mιν →↑χ γιι η≠ν βι D χ÷χ →↑νγ χονγ σαυ: x = y, x2 = 2y, y2 = x, y2 = 2x Ξ∠τ τ⇑νη ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ σαυ +∞ sin 2x xα + xβ dx , α > 0, β > Χ♥υ ΙΙΙ +∞ Χηο χηυι η∝m un (x), x ∈ X ⊂ R n=1 • Πη÷τ βιυ →⇒νη νγη⇐α τ⇑νη ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρ♠ν τ⊄π ηπ X • Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Wειερστρασσ ϖ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρ♠ν τ⊄π ηπ X Χηο {un (x)}+∞ n=1 λ∝ δ•ψ η∝m ξ÷χ →⇒νη τρ♠ν →ο≠ν [a, b] σαο χηο +∞ (α) Χ÷χ χηυι |un (a)|2 , n=1 +∞ |un (b)|2 ηι τ n=1 (β) un(x) λ∝ χ÷χ η∝m κη∂ ϖι λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ u ′n (x) = ϖι mι x ∈ [a, b], n = 1, 2, Χηνγ mινη ρ≈νγ χηυι +∞ n=1 x un (x) sin n ηι τ →υ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] Χ♥υ Ις Χηο η∝m σ f (x, y) =  (x2 + y ) sin  Η•ψ τ⇑νη χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ →ο≠ν τ≠ι →ιm (0, 0) x2 + y ∂f ∂x ϖ∝ ∂f ∂y ν∏υ x2 + y = 0, τ≠ι →ιm (0, 0) Χηνγ mινη χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m f (x, y) κη∂ ϖι τ≠ι →ιm (0, 0) ∂f ∂f , ∂x ∂y γι÷ν
- Xem thêm -

Xem thêm: de thi cao hoc DHQG, de thi cao hoc DHQG, de thi cao hoc DHQG

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Từ khóa liên quan

Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập