Lê Đức Tình-Hạ Long-QN Chuyên đề2: Giải phơng trình trên tập số phức A. Đề bài : 1. Giải các phơng trình sau: a) iz+2- i = 0 b) (2+3i).z = z-1 c) (2-i). z - 4 = 0 d) z - 2 +3i = 0 2. Giải phơng trình tích : a) ( (2-i). z +3+i).(iz+ 1 2i ) = 0 b) (z-2i).(z+2i) = 0 3. Giải các phơng trình sau : a) z 2 =z+1 b) z 2 +(1-3i).z-2(1+i) = 0 c) z 2 +4 = 0 d) z 2 +2z+5 = 0 4. Giải phơng trình : z+ 1 z = k với k thứ tự bằng 1; 2 ; 2i . 5. Giải các phơng trình : a) z 3 +1 = 0 b) z 3 +i = 0 c) z 4 -1 = 0 d) z 4 +4 = 0 6. Tìm các số thực b, c để phơng trình ( ẩn z) : z 2 +bz+c = 0 nhận số phức z 0 = 1+i làm nghiệm. 7. Tìm các giá trị thực a, b, c để phơng trình : z 3 +az 2 +bz+c = 0 Nhận z 1 =1+i và z 2 =2 làm nghiệm. 8. Tìm các số thực a, b để có phân tích : 2z 3 -9z 2 +14z-5 = (2z-1)(z 2 -az+b) Rồi giải phơng trình : 2z 3 -9z 2 +14z-5 = 0. 9. Tìm các số thực a, b để có phân tích : z 4 -4z 2 -16z-16 =( z 2 -2z-4) (z 2 +az+b) Rồi giải phơng trình: z 4 -4z 2 -16z-16 = 0 10. Giải phơng trình : z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 bằng cách đặt ẩn phụ =z- 1 z 11. Giải các phơng trình sau : (z 2 +3z+6) 2 +2z(z 2 +3z+6)-3z 2 = 0 12. Tìm số thực a, b để có phân tích : f(z) =z 4 -4z 3 +7z 2 -16z+12 =(z 2 +4)(z 2 +az+b) Từ đó giải phơng trình : f(z) = 0 13. Giải phơng trình : z 4 -5z 3 +8z 2 -10z+12 = 0 14. Giải phơng trình : z -iz = 1-2i 15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : 1z z i - - = 1 và 3 1 z i z i - = + 16. Tìm số phức z thỏa mãn : 4 z i z i ổ ử + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - ố ứ = 1 B.H ớng dẫn giải và đáp số ; 1. a) đs : z= 1+2i b) z= 1 10 - (1-3i) 1c) Cách 1 : Gọi z=x+yi với x.y R. z =x-yi (2-i) (x-yi) -4=0 (2x-y-4)+(-x-2y)i = 0 2 4 2 0 x y x y ỡ ù - = ù ớ ù + = ù ợ 8 5 4 5 x y ỡ ù ù = ù ù ù ớ ù ù = - ù ù ù ợ Vậy z = 8 4 5 5 i- Cách 2 : sử dụng các kết quả : z 1 =z 2 1 2 z z= và 1 2 1 2 . .z z z z= , ta có : (2-i) z -4=0 (2 ). 4i z- = (2 ).i z- =4 (2+i).z=4z= 4 8 4 8 4 2 5 5 5 i i i - = = - + 1d) z -2+3i=0 z= 2 3i- z =2+3i 2a) ( (2-i) . z +3+i).(iz+ 1 2i ) = 0 (2 ). 3 0 1 0 2 i z i iz i ộ - + + = ờ ờ ờ + = ờ ở Để giải phơng trình : (2-i). z +3+i =0 ta sử dụng kết qủa : 1 2 1 2 z z z z+ = + (2-i). z +3+i =0 (2+i).z+3-i = 0 z = 3 2 i i - + + z =-1+i Phơng trình : iz+ 1 2i =0 -z+ 1 2 =0 z = 1 2 đs : z 1 =2+3i , z 2 = 1 2 2b) đs: z= 2i 3. a) đs : z = 1 2 5 2 b) D =(1-3i) 2 +8(1+i)=2i =(1+i) 2 . một căn bậc hai của D bằng 1+i phơng trình có hai nghiệm là z= 1 3 (1 ) 2 i i- + + hay 1 2 1 2 z i z i ộ = - + ờ ờ = ờ ở c) z 2 +4 = 0 z 4 -4i 2 = 0 (z 2 -2i)(z 2 +2i) = 0 2 2 2 2 z i z i ộ = ờ ờ = - ờ ở vậy z 1 =1+i, z 2 =-1-i, z 3 = 1-i, z 4 =-1+i d) z 2 +2z+5 = 0 z 2 +2z+1=-4(z+1) 2 =4i 2 z 1 =- 1+2i, z 2 =- 1-2i Có thể tính : D =1-5 =-4. =z+yi là một căn bậc hai của D 2 =-4 2 2 4 2 0 x y xy ỡ ù - = - ù ù ớ ù = ù ù ợ 2 2 2 2 4 ( 4) 0 y x x x ỡ ù = + ù ù ớ ù + = ù ù ợ 0 2 x y ỡ ù = ù ớ ù = ù ợ =2i Vậy z 1 =-1+2i, z 2 = -1-2i 4. z+ 1 z = k z 2 -kx +1=0 (z- 2 k ) 2 = 2 4 4 k - z= 2 k 2 ả Với là một căn bậc hai của k 2 -4 2 =k 2 -4 Với k=1 thì 2 =-3=3i 2 =i 3 . Vậy z= 1 2 3 2 i Với k= 2 thì 2 =-2 =2i 2 =i 2 . Vậy z = 2 2 (1i) Với k=2i thì 2 =-8=8i 2 =2 2 i. Vậy z = i 2 i hay z = (1 2 )i 5. a) z 3 +1 = 0 (x+1)(z 2 -z+1) = 0 (z+1)[ (z- 1 2 ) 2 + 3 4 ] = 0 1 1 3 2 2 z z i ộ = - ờ ờ ờ = ờ ở b) đs : z 1 =i , z 2 = 3 2 - 1 2 i , z 3 =- 3 2 - 1 2 i c) đs : z = 1 , z = i d) đs : z 1,2 =1i , z 3,4 =-1i 6. Giải : vì z 0 =1+i là nghiệm của phơng trình , nên ta có : (1+i) 2 +b(1+i) +c = 0 (b+c)+(2+b)i = 0 0 2 0 b c b ỡ ù + = ù ớ ù + = ù ợ b=-2; c=2 7. Xác định a, b , c từ hệ phơng trình: 3 2 (1 ) (1 ) (1 ) 0 8 4 2 0 i a i b i c a b c ỡ ù + + + + + + = ù ù ớ ù + + + = ù ù ợ Trừ từng vế hai phơng trình, ta đợc: (1+i)[2i+(1+i)a+b]=8+4a+2b (-3a-b-8)+(2a+b+2)i=0 3 8 2 2 a b a b ỡ ù + = - ù ớ ù + = - ù ợ 6 10 a b ỡ ù = - ù ớ ù = ù ợ Thay các kết quả của a, b vào phơng trình 2 , ta đợc : c=-4 đs : a=-6 ; b=10 ; c= -4. 8. a) đs : a=-4; b=5 b) phơng trình :(2z-1)(z 2 -4z+5) = 0 có ba nghiệm là z=2i và z= 1 2 9. a) đs : a=2; b=4. b) z 4 -4z 2 -16z-16=0 (z 2 -2z-4)(z 2 +2z+4)=0 2 2 ( 1) 5 1 5 ( 1) 3 1 3 z z z z i ộ ộ - = = ờ ờ ờ ờ + = - ờ = - ờ ở ở 10. z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 (z 4 +1)-(z 3 -z)+ 2 2 z =0. Chia cả hai vế cho z 2 , ta đợc : (z 2 + 2 1 z ) (z- 1 z ) + 1 2 =0 2 1 5 0 2 z z w w w ỡ ù ù = - ù ù ù ớ ù ù - + = ù ù ù ợ 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 i i w w ỡ ù ù = + ù ù ù ớ ù ù = - ù ù ù ợ Phơng trình : z- 1 z = 1 2 + 3 2 i cho nghiệm z 1 =1+i ; z 2 =- 1 2 (1-i) Phơng trình : z- 1 z = 1 2 - 3 2 i cho nghiêm z 3 =- 1 2 (1+i) ; z 4 = 1-i 11. (z 2 +3z+6) 2 +2z(z 2 +3z+6)-3z 2 = 0 Ta thấy z0 ( vì sao ?). Chia cả hai vế cho z 2 và đặt 2 2 3 6z z t z + + = , Dẫn tới phơng trình : t 2 +2t-3 = 0 t=1 hoặc t=-3. Với t=1 , ta có : z 2 +3z+6 = z z 2 +2z+6 = 0 z = -1 5 i Với t=-3 , ta có : z 2 +3z+6 = -3z z 2 +6z+6 = 0 z = -3 3 12. đs : a = -4 ; b = 3. Phơng trình : (z 2 -4z+3)(z 2 +4) = 0 2 1 2 2 3 4 4 3 0 1; 3 2; 2 4 0 z z z z z i z i z ộ ộ - + = = = ờ ờ ờ ờ = = - + = ờ ờ ở ở 13. z 4 -5z 3 +8z 2 -10z+12 = 0 (z 4 -5z 3 +6z 2 )+(2z 2 -10z+12) = 0 z 2 (z 2 -5z+6) +2(z 2 -5z+6) = 0 (z 2 -5z+6)(z 2 +2) = 0 Phơng trình có bốn nghiệm là : z 1 =2 ; z 2 =3; z 3 =1+i ; z 4 =-1-i 14. z -iz = 1-2i z = 1+(z-2)i Z=x+yi , với x, y ẻ R . z = 1+(z-2)i 2 2 2 2 1 ( 2) (1 ) ( 2) x y x yi i x y y x i + = + + - + = - + - Vì 2 2 x y+ là một số thực dơng , nên (1-y)+(x-2)i là số thực dơng. Suy ra : 2 2 2 2 2 2 2 0 (1 ) 2 2 2 1 2 3 2 x x y y x y y y x y ỡ ù - = ù ù ớ ù + = - ù ù ợ ỡ ù = ù ù ớ ù + = - + ù ù ợ ỡ ù = ù ù ù ớ ù = - ù ù ù ợ Vậy : z =2- 3 2 i 15. a) 1z z i - - = 1 1 ( 1) ( 1)z z i x yi x y i- = - - + = + - (x-1) 2 +y 2 = x 2 +(y-1) 2 x=y (a) 3 1 3 ( 3) ( 1) z i z i z i z i x y i x y i - = - = + + + - = + + x 2 +(y-3) 2 = x 2 +(y+1) 2 y = 1 (b) Từ (a) và (b) : z = 1+i 16. 4 z i z i ổ ử + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - ố ứ = 1 (z+i) 4 = (z-i) 4 (z+i) 4 -(z-i) 4 =0 [(z+i) 2 +(z-i) 2 ].[(z+i) 2 -(z-i) 2 =0 (2z 2 -2)(4zi) = 0 8z 3 i-8zi = 0 8i(z 3 -z) = 0 z(z 2 -1) = 0 z = 0; z = 1 Hạ long :15/01/2009. . đề2: Giải phơng trình trên tập số phức A. Đề bài : 1. Giải các phơng trình sau: a) iz+2- i = 0 b) (2+3i).z = z-1 c) (2-i). z - 4 = 0 d) z - 2 +3i = 0 2. Giải. +az+b) Rồi giải phơng trình: z 4 -4z 2 -16z-16 = 0 10. Giải phơng trình : z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 bằng cách đặt ẩn phụ =z- 1 z 11. Giải các phơng trình sau