Bài tập Xác suất - Thống kê Chương Biến cố xác suất biến cố Bài tập 1.1 Kiểm tra theo thứ tự lô hàng gồm N sản phẩm Các sản phẩm thuộc loại: tốt xấu Ký hiệu Ak (k = 1, 2, , N ) biến cố sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu Viết ký hiệu biến cố sau a Cả N sản phẩm xấu b Có sản phẩm xấu c m sản phẩm đầu tốt, sản phẩm lại xấu d Các sản phẩm theo thứ tự chẵn xấu, thứ tự lẻ tốt e Không gian biến cố sơ cấp có phần tử Bài tập 1.2 Bắn viên đạn vào bia Gọi Ai : “Viên đạn thứ i trúng bia” (i = 1, 2, 3) Hãy biểu diễn biến cố sau a Có viên đạn trúng bia b Có viên trúng bia c Cả viên không trúng bia Bài tập 1.3 Một khảo sát 1000 người hoạt động thể dục thấy có 80% số người thích 60% thích đạp xe buổi sáng, tất người tham gia hai hoạt động Chọn ngẫu nhiên người, hỏi xác suất gặp người thích xe đạp mà không bao nhiêu? Bài tập 1.4 Người ta thực khảo sát số lượng lớn người đàn ông 50 tuổi thành phố cho kết sau - Tỷ lệ đàn ông bị bệnh tiểu đường 0.02 - Tỷ lệ đàn ông bị bệnh tim 0.03 - Tỷ lệ không bị bệnh tim lẫn tiểu đường 0.96 Hãy tìm tỷ lệ đàn ông bị hai loại bệnh Bài tập 1.5 Thang máy tòa nhà tầng, xuất phát từ tầng với người khách Tính xác suất để: a Tất tầng bốn b Tất tầng c Mỗi người tầng khác Bài tập 1.6 Hai người ném bóng rổ, người ném Xác suất ném trúng rổ họ 0, 0, Tính xác suất cho: a Hai người điểm b Người thứ điểm người thứ hai Bài tập 1.7 Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, có 30 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng a Tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt b Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lô hàng Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy có sản phẩm tốt Bài tập 1.8 Hộp I đựng 30 bi trắng, bi đỏ, 15 bi xanh Hộp II chứa 10 bi trắng, bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tìm xác suất để bi lấy màu Bài tập 1.9 Một hộp thuốc có ống thuốc tốt ống thuốc chất lượng Từ hộp đó, chọn ngẫu nhiên không trả lại ống Tìm xác suất để a Cả hai ống thuốc chọn tốt b Chỉ ống thuốc chọn trước tốt c Trong hai ống thuốc chọn có ống thuốc tốt Bài tập 1.10 Một hộp gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh có kích thước trọng lượng Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại bi gặp bi đỏ dừng lại Tìm xác suất để a Được bi trắng, bi xanh bi đỏ b Không có bi trắng rút Bài tập 1.11 Một lô hàng có 100 sản phẩm, có 6% phế phẩm; khác hàng trước mua lô hàng chọn cách kiểm tra sau: chọn ngẫu nhiên sản phẩm kiểm tra (không hoàn lại) Nếu thấy có phế phẩm trả lại lô hàng Tính xác suất khách hàng chấp nhận mua lô hàng Bài tập 1.12 Một hộp gồm bóng, lần chơi người ta lấy chơi xong lại bỏ vào hộp Tìm xác suất để sau ba lần lấy bóng chơi bóng sử dụng Bài tập 1.13 Một máy có hai thành phần hoạt động độc lập nhau, máy bị hư hai thành phần bị hư Biết xác suất thành phần thứ hai bị hư gấp đôi thành phần thứ hai thành phần hoạt động độc lập Nếu xác suất bị hư máy 0.28, tìm xác suất thành phần thứ bị hư Bài tập 1.14 Một hộp 10 cầu đánh số từ đến 10 Chọn ngẫu nhiên cầu từ hộp Gọi R biến cố chọn cầu có số chẵn, S biến cố chọn cầu có số ≥ T biến cố chọn cầu có số ≤ Hãy xét độc lập cặp biến cố (R, S), (R, T ) (S, T ) ? Bài tập 1.15 Xét không gian biến cố sơ cấp gồm biến cố A, B, C, biết P (A) = 0.6, P (B) = 0.5, P (C) = 0.4, P (A ∪ B) = 1, P (A ∪ C) = 0.7, P (A ∪ C) = 0.7 Tính P (A ∩ B ∩ C|(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) Bài tập 1.16 Xét E1 , E2 , E3 biến có thỏa P (E1 |E2 ) = P (E2 |E3 ) = P (E3 |E1 ) = p, P (E1 ∩ E2 ) = P (E1 ∩ E3 ) = P (E2 ∩ E3 ) = r, P E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = s Hãy tìm xác suất có biến cố xảy Bài tập 1.17 Một người mua sổ số cào, người mua liên tiếp vé xổ số vé trúng thưởng dừng Tìm xác suất cho người mua đến vé thứ dừng biết xác suất trúng thưởng lần mua 0.01 Bài tập 1.18 Học kỳ sinh viên thi môn lý thuyết xác suất thống kê toán lần Xác suất để sinh viên thi đỗ lần thứ 0.5 Nếu thi trượt lần thứ xác suất để thi đỗ lần thứ 0.7 Còn nến thi trượt lần đầu xác suất thi đỗ lần thứ 0.9 Tìm xác suất để sinh viên thi đỗ học kỳ Bài tập 1.19 Có hai hộp đựng bóng bowling, hộp có bóng trắng bóng đen Chọn ngẫu nhiên bóng từ hộp bỏ qua hộp Rồi từ hộp chọn ngẫu nhiên bóng bỏ lại hộp Tìm xác suất để hộp giữ nguyên bóng trắng bóng đen Bài tập 1.20 Người ta biết cặp trẻ sinh đôi cặp sinh đôi trứng cặp sinh đôi không trứng Một cặp sinh đôi trứng đứa trẻ giới tính; sinh đôi khác trứng xác suất để chúng giới tính 0,5 Giả sử cặp trẻ sinh đôi trứng với xác suất p Tìm xác suất để cặp trẻ sinh đôi giới tính cặp sinh đôi trứng Bài tập 1.21 Có cửa hàng I, II, III kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A cửa hàng I, II, III 70%, 75% 50% Một khách hàng chọn ngẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A b Giả sử khách hàng mua sản phẩm loại A Hỏi khả người khách hàng chọn hàng nhiều Bài tập 1.22 60% số người học lái xe có lái xe Biết năm lái xe, xác suất người lái gây tai nạn 0.08 xác suất người có lái gây tai nạn 0.05 Nếu người lái xe không gây tai nạn năm đầu tiên, xác suất có lái bao nhiêu? Bài tập 1.23 Tại trung tâm xét nghiệm, biết kết xét nghiệm người mắc bệnh xác với xác suất 0.85 Tuy nhiên, sai sót kết 0.1 tức người không mắc bệnh xét nghiệm mà kết kết luận người mắc bệnh với xác suất 0.1 Biết 1% dân số bị mắc bệnh, hỏi xác suất người khỏe mạnh xét nghiệm cho kết bị bệnh bao nhiêu? Bài tập 1.24 Một nhà máy sản xuất chi tiết máy vi tính có tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn chất lượng 85% Trước xuất xưởng người ta dùng thiết bị kiểm tra để kết luận sản phẩm có đạt yêu cầu chất lượng hay không Thiết bị có khả phát sản phẩm đạt tiêu chuẩn với xác suất 0, phát sản phẩm không đạt tiêu chuẩn với xác suất 0, 95 Tính xác suất để sản phẩm chọn ngẫu nhiên sau kiểm tra: a Được kết luận đạt tiêu chuẩn lại không đạt tiêu chuẩn b Được kết luận với thực chất c Được kết luận đạt tiêu chuẩn Chương Biến ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Bài tập 2.1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bảng sau X P −2 1/8 −1 2/8 2/8 2/8 1/8 a Tìm hàm phân phối xác suất F (x) b Tính P (−1 ≤ X ≤ 1) P X ≤ −1 X = c Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y = X Bài tập 2.2 Một nhóm 10 người gồm nam, nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ nhóm người chọn Lập bảng phân phối xác suất X tính E(X), V ar(X), mod(X) Bài tập 2.3 Tung đồng xu lần, sấp được đồng, ngửa thua đồng Gọi X số tiền thu sau lần tung Tính E(X), V ar(X) Bài tập 2.4 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất tương ứng X P −1 0.2 0.3 0.3 0.2 −1 0.3 Y P 0.4 0.3 Tìm phân phối xác suất X , X + Y Tính kỳ vọng, phương sai X , X + Y Bài tập 2.5 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) cho sau f (x) = kx(2 − x) < x < nơi khác a Xác định giá trị k để f (x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X Với k vừa tìm tính kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên X b Tìm hàm phân phối F (x) biến ngẫu nhiên X c Tìm hàm phân phối G(y) biến ngẫu nhiên Y = X Bài tập 2.6 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) = e−x x > x ≤ a Tính P (X ≥ 3) b Tìm giá trị a cho P (X ≤ a) = 0, c Xác định hàm phân phối mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Y = √ X Bài tập 2.7 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x) = x(2 − x) ≤ x ≤ nơi khác a Xác định hàm phân phối xác suất F (x) biến ngẫu nhiên X b Tính E(X), Var (X) trung vị biến ngẫu nhiên X √ c Đặt Y = X, xác định hàm phân phối hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Y Bài tập 2.8 Tuổi thọ loại côn trùng biến ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ f (x) = kx2 (4 − x) ≤ x ≤ nơi khác a Tìm số k b Tìm F (x) c Tìm E (X), Var (X) M od(X) d Tính xác suất để côn trùng chết trước tháng tuổi Bài tập 2.9 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) = kx2 e−2x x ≥ nơi khác a Tìm số k b Tìm hàm phân phối xác suất F (x) c Tìm E (X), Var (X) M od(X) Bài tập 2.10 Một mẫu gồm có biến ngẫu nhiên X1 , X2 , X3 , X4 Mỗi biến ngẫu nhiên Xi , i = 1, , có hàm mật độ sau f (x) = 2x < x < nơi khác Đặt Y = max{X1 , X2 , X3 , X4 } Z = min{X1 , X2 , X3 , X4 } Hãy tìm hàm mật độ Y Z Bài tập 2.11 An Bình hai người thi Bài thi trắc nghiệm gồm câu, câu có đáp án có đáp án Do chưa học nên An Bình chọn đáp án cách ngẫu nhiên a Xác suất An làm hết câu bao nhiêu? b Xác suất hai người có số câu làm bao nhiêu? Bài tập 2.12 Trong hệ thống, xác suất máy bị hư ngày 0.2 độc lập với ngày khác Một máy hư lần ngày Hỏi 10 ngày, khả máy bị hư lần bao nhiêu? Bài tập 2.13 Mỗi khách uống cafe quán cafe Đông Hồ ngày phát ngẫu nhiên vé bốc thăm, xác suất khách hàng trúng thăm 0.1 Nếu khách hàng trúng thăm liên tục năm ngày (từ thứ hai đến thứ sáu) nhận 100$ An uống cafe liên tục quán tuần liên tiếp Gọi X số tiền An thưởng bốc thăm Tính EX, V arX Bài tập 2.14 Một học sinh làm thi trắc nghiệm có 10 câu, câu có đáp án có đáp án Học sinh đánh ngẫu nhiên câu làm a Trung bình học sinh làm câu? b Xác suất học sinh câu bao nhiêu? Bài tập 2.15 Công ty bảo hiểm sử dụng phân phối Poisson với trung bình cho số yêu cầu bảo hành hàng tháng sản phẩm Mỗi yêu cầu bảo hành công ty trả khoản bồi thường Tìm xác suất để số khoản bồi thường số yêu cầu bảo hành trung bình cộng với độ lệch tiêu chuẩn Bài tập 2.16 Một công ty bảo hiểm có hợp đồng bảo hiểm nhận thọ độc lập năm Giá trị hợp đồng 100, 000$ Xác suất công ty phải trả tiền bồi thường cho hợp đồng năm 0.2 Hãy tìm xác suất mà công ty phải trả nhiều số tiền bồi thường trung bình tổng cộng cho hợp đồng Bài tập 2.17 Một trung tâm bưu điện nhận trung bình 300 lần gọi điện thoại Tìm xác suất để trung tâm nhận lần gọi phút Bài tập 2.18 Xét X biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình λ Hãy tính giá trị λ P (X = 1|X ≤ 1) = 0.8 Bài tập 2.19 Xác suất người gặp phản ứng tiêm huyết 0,001 Tìm xác suất cho 2000 người có a Đúng người bị phản ứng b Có nhiều người Bài tập 2.20 Chi phí đầu tư cho máy 3000$ Trung bình máy sử dụng năm Nhà sản xuất cung cấp loại bảo hành Loại I trả 3000$ máy bị hư năm đầu tiên, 2000$ máy bị hư năm thứ hai 1000$ máy bị hư năm thứ ba không chi trả từ năm thứ ba trở Loại II trả khoản tiền 3000 × e−t $ máy bị hỏng năm thứ t (tính từ thời điểm mua) Hãy tính số tiền bảo hành trung bình mà nhà sản xuất phải trả theo loại hợp đồng Bài tập 2.21 Trọng lượng cừu đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với giá trị trung bình 25 kg độ lệch tiêu chuẩn kg Chọn ngẫu nhiên cừu Tính xác xuất để cừu chọn có trọng lượng a Nặng 30 kg b Nhẹ 18 kg c Lớn 20 kg bé 27 kg Bài tập 2.22 Trọng lượng loại sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lương trung bình 50 kg phương sai 100 kg Một sản phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 45 kg đến 55 kg Tính tỉ lệ sản phẩm loại A loại sản phẩm Bài tập 2.23 Tuổi thọ loại sản phẩm biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với tuổi thọ trung bình 11 năm độ lệch tiêu chuẩn năm a Nếu nhà sản xuất quy định thời gian bảo hành 10 năm tỷ lệ sản phẩm bảo hành bao nhiêu? b Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm bảo hành 10% phải quy định thời gian bảo hành năm? Bài tập 2.24 Một người cân nhắc việc mua cổ phiếu công ty A công ty B hoạt động hai lĩnh vực độc lập Biết lãi suất cổ phiếu (tính %) hai công ty đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với tham số đặc trưng sau Công ty A Công ty B Trung bình Độ lệch tiêu chuẩn 12 3.5 11 2.8 a Nếu người muốn đạt lãi suất tối thiểu 10% nên mua cổ phiếu công ty nào? b Nếu người muốn hạn chế rủi ro cách mua cổ phiếu hai công ty nên mua theo tỷ lệ để mức độ rủi ro lãi suất nhỏ nhất? Bài tập 2.25 Xác suất sinh trai 0.51 Khảo sát 1000 ca sinh (mỗi ca sinh con) bệnh viện, xác suất số ca sinh trai gái bao nhiêu? Bài tập 2.26 Trọng lượng loại sản phẩm quan sát đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50 kg độ lệch tiêu chuẩn 10 kg Nhưng sản phẩm có trọng lượng từ 45 kg đến 70 kg xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong nhiều sản phẩm) Tính xác suất để a Có 70 sản phẩm loại A b Có không 60 sản phẩm loại A c Có 65 sản phẩm loại A Bài tập 2.27 Sản phẩm nhà máy sản xuất đóng thành kiện Mỗi kiện 10 sản phẩm, có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện chọn ngẫu nhiên sản phẩm; thấy có sản phẩm tốt nhận kiện đó, ngược lại loại kiện Kiểm tra 140 kiện hàng số nhiều kiện Tính xác suất để có a 93 kiện nhận b Từ 90 đến 110 kiện nhận Chương Vectơ ngẫu nhiên Bài tập 3.1 Véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) có phân phối đồng thời cho bảng 3.1 Xác định phân phối lề biến ngẫu nhiên X Y ❍❍ ❍ X Y ❍❍ ❍ 4 16/136 3/136 2/136 13/136 5/136 10/136 11/136 8/136 9/136 6/136 7/136 12/136 4/136 15/136 14/136 1/136 Bảng 3.1 Bài tập 3.2 Phân phối xác suất đồng thời véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) cho bảng 3.2 ❍❍ ❍ X Y ❍❍ ❍ -1 P (Y = y) 1/2 1/6 2/3 1/6 P (X = x) 1/2 1/2 Bảng 3.2 a Hoàn thành bảng phân phối b Xét tính độc lập X Y c Xác định E(XY ), Var(X + Y ) Var(X − Y ) Bài tập 3.3 Phân phối lề biến ngẫu nhiên X Y cho bảng 3.3 Cho biết giá trị xác suất đồng thời P (X = x, Y = y) 1/14 Xác định phân phối đồng thời véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) Bài tập 3.4 Cho η số thực, xác suất đồng thời P (X = x, Y = y) véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) cho bảng 3.4 10 ❍ ❍❍ X Y ❍ ❍❍ P (Y = y) 2/14 5/14 4/14 2/14 1/14 P (X = x) 5/14 4/14 2/14 2/14 1/14 Bảng 3.3 ❍❍ ❍ X Y -1 ❍❍ ❍ η− η+ 16 16 −η 16 16 −η Bảng 3.4 a Xác định giá trị η b Có giá trị để X Y độc lập Bài tập 3.5 Giả sử véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có phân phối xác suất đồng thời F (x, y) = − e−2x − e−y + e−(2x+y) x > 0, y > nơi khác a Xác định hàm phân phối xác suất lề biến ngẫu nhiên X Y b Xác định hàm mật độ xác suất đồng thời véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) c Xét tính độc lập X Y Bài tập 3.6 Cho véctơ ngẫu nhiên liên tục (X, Y ) với hàm mật độ xác suất đồng thời f (x, y) = a Tìm xác suất P 12 xy(1 + y) ≤ x ≤ ≤ y ≤ nơi khác 1 ≤X≤ , ≤Y ≤ 3 b Xác định hàm phân phối đồng thời F (x, y) véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) x, y thuộc đoạn [0, 1] c Sữ dụng câu b, tìm hàm phân phối lề FX (x) biến ngẫu nhiên X x thuộc đoạn [0, 1] 11 d Xét tính độc lập X Y e Tính xác suất P (X < Y ) Bài tập 3.7 Hàm mật độ đồng thời véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) f (x, y) = k(3x2 + 8xy) ≤ x ≤ ≤ y ≤ nơi khác a Xác định k b Tính xác suất P (2X ≤ Y ) c Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) d Tìm hàm phân phối xác suất lề X Y e Tìm hàm mật độ xác suất lề X Y f Tính E(X), E(Y ) E (X + Y ) g Tính E(XY ) ρ(X, Y ) h Tính E (X ) , E (Y ) E ([X + Y ]2 ) i Tính Var(X + Y ), Var(X), Var(Y ) kiểm tra phát biểu Var(X + Y )) không với Var(X) + Var(Y ) Bài tập 3.8 Véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời f (x, y) = k(x2 + y) ≤ y ≤ − x2 nơi khác a Xác định số k b Tính xác suất P ≤ X ≤ , P (Y ≤ X + 1) P (Y ≤ X ) Bài tập 3.9 Cho hàm mật độ đồng thời véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) f (x, y) = c(x + y ) ≤ x ≤ ≤ y ≤ nơi khác a Xác định số c b Tìm FX (x|y) tính P X < 1 Y = 2 Bài tập 3.10 Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập, chứng minh E(XY ) = E(X)E(Y ) 12 Bài tập 3.11 Chứng minh công thức tính hiệp phương sai Bài tập 3.12 Cho hai biến ngẫu nhiên X Y so cho E(X) = 2, E(Y ) = 3, Var(X) = a Tính E (X ) b Tính E (−2X + Y ) Bài tập 3.13 Cho hai biến ngẫu nhiên X Y có hàm mật độ đồng thời f (x, y) = (2x2 y + xy ) 75 với ≤ x ≤ ≤ y ≤ nơi khác a Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) b Tìm hàm phân phối xác suất lề X Y c Tìm hàm mật độ xác suất lề X Y d Kiểm tra tính độc lập X Y e Tính E(X), E(Y ) E (X + Y ) f Tính E(XY ) ρ(X, Y ) g Tính E (X ) , E (Y ) E ([X + Y ]2 ) h Tính Var(X + Y ), Var(X), Var(Y ) kiểm tra phát biểu Var(X + Y )) không với Var(X) + Var(Y ) 13