1 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục cụm từ viết tắt MỞ ĐẦU Chƣơng ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Tóm tắt lý thuyết 1.1 Tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng 1.1.1 Tọa độ điểm mặt phẳng 1.1.2 Tọa độ vectơ mặt phẳng 1.1.3 Các công thức vể tọa độ điểm tọa độ vectơ 1.2 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng 1.2.1 Vectơ phương đường thẳng 1.2.2 Vectơ pháp tuyến đường thẳng 1.2.3 Mối quan hệ vectơ phương vectơ pháp tuyến 1.3 Phương trình tham số đường thẳng 10 1.4 Phương trình tắc đường thẳng 10 1.5 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc 11 1.6 Phương trình tổng quát đường thẳng 11 1.7 Vị trí tương đối hai đường thẳng 12 1.8 Khoảng cách góc 13 1.8.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 13 1.8.2 Vị trí tương đối điểm đường thẳng 13 1.8.3 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng 13 1.8.4 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt 13 1.8.5 Góc hai đường thẳng 14 Một số toán đƣờng thẳng mặt phẳng tọa độ 14 2.1 Chuyển đổi dạng phương trình đường thẳng 14 2.2 Thiết lập phương trình đường thẳng 19 2.2.1 Phương trình đường thẳng qua điểm có phương cho trước 20 2.2.2 Phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc cho trước 22 2.2.3 Phương trình đường thẳng qua điểm song song vuông góc với đường thẳng cho trước 23 2.2.4 Phương trình đường thẳng qua điểm có điều kiện góc khoảng cách 25 2.2.5 Phương trình đường thẳng biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) điều kiện khoảng cách góc 32 2.2.6 Phương trình đường thẳng thiết lập phương pháp quỹ tích 33 2.2.7 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt 35 2.2.8 Các ví dụ tổng hợp 37 2.3 Vị trí tương đối 41 2.4 Xác định tọa độ điểm 45 2.5 Các toán cực trị 48 Chƣơng ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Tóm tắt lý thuyết 51 1.1 Phương trình đường tròn 51 1.2 Phương trình tiếp tuyến đường tròn 51 1.3 Phương tích, vị trí tương đối điểm đường tròn 52 1.4 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 52 1.5 Vị trí tương đối hai đường tròn 52 1.5.1 Trục đẳng phương hai đường tròn 52 1.5.2 Vị trí tương đối hai đường tròn 53 1.5.3 Tọa độ giao điểm hai đường tròn 54 Một số toán đƣờng tròn mặt phẳng tọa độ 55 2.1 Xác định tâm, bán kính điều kiện đường tròn 55 2 2.2 Lập phương trình đường tròn theo dạng x  y  2ax  2by  c  56 2.2.1 Lập phương trình đường tròn qua ba điểm 56 2.2.2 Chứng minh bốn điểm thuộc đường tròn, lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác 57 x  x0    y  y0  2.3 Lập phương trình đường tròn theo dạng  2  R2 58 2.3.1 Lập phương trình đường tròn cách xác định tâm bán kính 58 2.3.2 Lập phương trình đường tròn cách gọi tâm bán kính 60 2.4 Vị trí tương đối 70 2.4.1 Vị trí tương đối đường tròn đường tròn 70 2.4.2 Vị trí tương đối đường tròn đường thẳng 74 2.5 Tiếp tuyến đường tròn 75 2.5.1 Tiếp tuyến điểm với đường tròn 75 2.5.2 Tiếp tuyến qua điểm 76 2.5.3 Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn biết vectơ pháp tuyến, vectơ phương, hệ số góc 77 2.5.4 Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn 79 2.6 Đường tròn tập hợp điểm 84 2.6.1 Tập hợp tâm đường tròn 84 2.6.2 Tập hợp điểm đường tròn 86 Chƣơng MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO Chƣơng NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10 Các quan niệm sai lầm 110 Thực nghiệm 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT VTCP VTPT : Véctơ phương : Véctơ pháp tuyến a : Véctơ a : Véctơ : Khác : Song song : Vuông góc : Thuộc : Không thuộc : Chứa : Chứa : Giao : Tương đương : Suy : Phương trình tổng quát : Phương trình tham số : Phương trình tắc  //         PTTQ PTTS PTCT PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài “Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ” kiến thức trọng tâm chương trình hình học lớp 10 Kiến thức vấn đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Các toán thường phải áp dụng tính chất hình học trước sử dụng biến đổi đại số không kĩ thuật tính toán đại số thông thường trước Vì để học tốt nội dung này, học sinh cần có nỗ lực phối hợp nhiều thao tác tư phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, Tuy nhiên, học sinh lại có khả học tập, tiếp thu khác Hơn nữa, toán “Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ” thường khó nên việc vận dụng lý thuyết vào làm tập học sinh khó khăn Vì lý trên, chọn đề tài “Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ học sinh hiểu nắm kiến thức, đồng thời phát giúp em khắc phục sai lầm giải toán đường thẳng đường tròn hình học tọa độ Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10” cách đắn, đồng thời nhận sai lầm cách giải khắc phục sai lầm Giúp giáo viên mang lại hiệu dạy học hình học trường trung học phổ thông Khách thể đối tƣợng nghiên cứu 3.1 Khách thể nghiên cứu Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10 3.2 Đối tƣợng nghiên cứu Học sinh trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết Thu thập, phân loại, tổng hợp tài liệu có liên quan phần đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10 4.2 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn tập đường thẳng đường tròn hình học tọa độ để học sinh làm Sau đó, kiểm tra kết đúc kết sai lầm học sinh dễ mắc phải làm 4.3 Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia Gặp mặt, trao đổi xin ý kiến thầy cô khoa Toán - Ứng dụng trường đại học Sài Gòn đề tài nghiên cứu để thu thập thông tin cần thiết cho đề tài, thu lượm ý kiến đánh giá từ thầy cô trưởng Bộ môn thực trạng phương hướng giải vấn đề nghiên cứu 4.4 Phƣơng pháp ứng dụng toán học Sử dụng phương pháp thống kê xử lý số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa học đề tài Phạm vi nghiên cứu 5.1 Giới hạn nội dung Đề tài nghiên cứu đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10 5.2 Giới hạn địa bàn Thực nghiệm: - Thời gian: Ngày 30/03/2016 - Địa điểm: Trường THPT Lương Thế Vinh, Quận 1, TPHCM Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần mở đầu: Trình bày lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể đối tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu cấu trúc khóa luận Phần nội dung: Gồm bốn chương Chương 1: Đường thẳng mặt phẳng tọa độ Chương 2: Đường tròn mặt phẳng tọa độ Chương 3: Một số toán tổng hợp Chương 4: Nghiên cứu sai lầm học sinh giải toán đường thẳng đường tròn mặt phẳng tọa độ Phần kết luận - Trình bày kết nghiên cứu đạt - Hướng mở rộng cho nghiên cứu Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh cố gắng thể vấn đề sau: Ở chương có tóm tắt kiến thức bản, khái niệm kiến thức đề cập tới nhằm mục đích rõ mạch kiến thức mối liên quan vấn đề để người đọc tiện theo dõi, nắm tính hệ thống tài liệu nghiên cứu Sau phần khái niệm, kiến thức chương có số dạng toán phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ khái niệm nêu trước đó, nhằm giúp người đọc hiểu rõ Khi phân tích khái niệm, đặc biệt khái niệm khó, hầu hết dẫn dắt từ khía cạnh khác ví dụ cụ thể, minh hoạ hình học để người đọc dễ dàng nắm khái niệm Hệ thống dạng toán soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đa dạng mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết bước giải, nêu nhiều cách làm nhằm giúp em học sinh dễ hiểu, nắm cách trình bày phân tích toán Chúng có soạn thảo chương cho toán tổng hợp mức độ khó hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác giúp học sinh củng cố hiểu biết chưa thấu đáo với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại biết phải làm vậy?” cách thoả đáng Trong chương cuối, dự kiến số sai lầm học sinh mắc phải việc giải toán đường thẳng, đường tròn mặt phẳng toạ độ, dự kiến nguyên nhân dẫn đến sai lầm với phần thực nghiệm học sinh Cuối cùng, dù cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khoá luận này, việc thiếu sót điều khó tránh khỏi hiểu biết kinh nghiệm hạn chế từ Chúng mong nhận ý kiến, đóng góp quý báu từ quý thầy cô bạn đọc PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Tóm tắt lý thuyết 1.1 Tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng 1.1.1 Tọa độ điểm mặt phẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Vectơ OM biểu diễn theo i j hệ thức có dạng: OM  xi  y j với x, y  R Cặp số  x; y  gọi tọa độ điểm M Kí hiệu: M  x; y  M   x; y  Số x gọi hoành độ điểm M , số y gọi tung độ điểm M 1.1.2 Tọa độ vectơ mặt phẳng   Định nghĩa Đối với hệ trục tọa độ O; i, j , a  xi  y j cặp số  x; y  gọi tọa độ vectơ a , kí hiệu a   x; y  hay a  x; y  Số thứ x gọi hoành độ, số thứ hai y gọi tung độ vectơ a 1.1.3 Các công thức vể tọa độ điểm tọa độ vectơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a   x; y  , b   x ' , y '  , điểm A  xA ; y A  B  xB ; yB  , C  xC ; yC  số thực k Khi đó, cách tổng quát, ta có: a) a  b   x  x' ; y  y '  ; b) k a   kx; ky  ; '  x  x c) a  b   ; '  y  y d) Vectơ b phương vectơ a  tồn số thực k cho x' y ' x  kx y  ky hay  x  y  ; x y ' ' e) AB   xB  xA ; y B  y A   AB   xB  xA    yB  yA  2 ; x  xB  xI  A  f) I trung điểm AB   ;  y  y A  yB I   x A  xB  xC  x  G  g) G trọng tâm tam giác ABC   y  y  y B C y  A G   1.2 Vectơ phƣơng vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng 1.2.1 Vectơ phƣơng đƣờng thẳng Định nghĩa Vectơ u khác , có giá song song trùng với đường thẳng  d  gọi vectơ phương đường thẳng  d  Nhận xét i Nếu u vectơ phương đường thẳng  d  vectơ ku khác vectơ vectơ phương đường thẳng  d  ; ii Nếu u   a; b  (với a  ) vectơ phương đường thẳng  d  hệ số góc đường thẳng  d  k  iii b ; a Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà qua vectơ phương 1.2.2 Vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng Định nghĩa Vectơ n khác , có giá vuông góc với đường thẳng  d  gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng  d  Nhận xét i Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng  d  vectơ k n khác vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng  d  ; ii Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà qua vectơ pháp tuyến 1.2.3 Mối quan hệ vectơ phƣơng vectơ pháp tuyến 10 i Nếu đường thẳng  d  có vectơ pháp tuyến n vectơ phương u ii Nếu n   a; b  vectơ pháp tuyến đường thẳng  d  u   b; a  n.u  0; u   b; a  vectơ phương đường thẳng  d  ; iii Nếu u   a; b  vectơ phương đường thẳng  d  n   b; a  n   b; a  vectơ pháp tuyến đường thẳng  d  ; iv Hai đường thẳng song song có vectơ phương vectơ pháp v Hai đường thẳng vuông góc vectơ phương đường thẳng tuyến; vectơ pháp tuyến đường thẳng ngược lại 1.3 Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Định lý Trong mặt phẳng  Oxy  , đường thẳng  d  qua điểm M  x0 ; y0  nhận vectơ u   a; b  làm vectơ phương có phương trình tham số  x  x0  at  y  y0  bt d  :  t  R  Nhận xét  x  x0 t  R  Khi đó,  y  y0  bt Nếu a  b  phương trình tham số  d    d  đường thẳng vuông góc với trục Ox , cắt Ox điểm có hoành độ x0 ;  x  x0  at t  R  Khi đó, y  y  Nếu b  a  phương trình tham số  d    d  đường thẳng vuông góc với trục Oy , cắt Oy điểm có tung độ y0 1.4 Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng Định lý Trong mặt phẳng  Oxy  , đường thẳng  d  qua điểm M  x0 ; y0  nhận vectơ u   a; b  d  :  a  0, b   làm vectơ phương có phương trình tắc x  x0 y  y0  a b 107 bx  ay  4b  Mặt khác, tam giác AMN cân A nên ta có AM  AN , từ ta tìm tọa độ điểm A Do ABCD hình vuông nên khoảng cách từ A đến hai đường thẳng  BC  ,  CD  nhau, nghĩa ta có d  A,  BC    d  A,  CD    5b  5a a  b2 a  7b  a  b2 Giải phương trình ta tìm a, b , từ suy phương trình đường thẳng  BC  Các bƣớc giải Bước Tam giác AMN cân A , suy AM  AN Tìm tọa đô điểm A ; Bước Viết phương trình đường thẳng  CD  qua điểm N  0;2  ; Bước Viết phương trình đường thẳng  BC  qua M vuông góc với đường thẳng  CD  ; Bước ABCD hình vuông nên d  A,  BC    d  A,  CD   Ta phương trình hai ẩn a b Giải phương trình tìm a, b Từ đó, suy phương trình đường thẳng  BC  Kết luận Bài giải A   d  : x  y    A t; t  4 Ta có: Tam giác AMN cân A  AM  AN  AM  AN   t     t    t   t    t  1 2  A  1; 5 Đường thẳng  CD  qua N  0;2  nên phương trình  CD  có dạng: ax  by  2b   a  b2   Đường thẳng  BC  qua M  4;0  vuông góc với  CD  có dạng: bx  ay  m  M  4;0    BC   4b  m   m  4b Suy phương trình đường thẳng  BC  : bx  ay  4b  Ta có: ABCD hình vuông  d  A,  BC    d  A,  CD    5b  5a a  b2  3a  b   5b  5a   a  7b   a2  b2  a  3b   a  7b Nếu 3a  b  , chọn a  (vì a  b2  )  b  3 Suy phương trình đường thẳng  BC  : 3x  y  12  Nếu a  3b  , chọn a  (vì a  b2  )  b  108 Suy phương trình đường thẳng  BC  : x  y   Vậy  BC  : 3x  y  12   BC  : x  y   Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  :  x  1   y    2 điểm N  2;1 Tìm đường thẳng  d  : x  y   điểm M cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến  C  (với A, B hai tiếp điểm) đường thẳng  AB  qua N Phân tích Điểm M thuộc đường thẳng  d  : x  y   nên M  t; 2  t  Nếu T  x; y  T   C  tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C   , ta có hệ phương  MT IT  2   x  1   y    1 trình    x  t  x  1   y   y   t    2 * Từ hệ phương trình ta trừ vế với vế 1 cho   , ta  t  1 x   t   y  t   , tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C  thỏa mãn * A, B hai tiếp điểm hai tiếp tuyến MA, MB kẻ từ M đến đường tròn  C  nên  t  1 x   t   y  t   phương trình đường thẳng  AB  Mặt khác, N  2;1 thuộc đường thẳng  AB  nên ta thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng  AB  để tìm t Từ suy tọa độ điểm M Các bƣớc giải Bước M   d  : x  y    M  t; 2  t  ; 109 Bước Giả sử T  x; y  tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C  Giải hệ T   C  ;  MT IT   Bước A, B hai tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C  , suy phương trình đường thẳng  AB  ; Bước N   AB  Thay tọa độ N vào phương trình đường thẳng  AB  , tìm t ; Bước Suy tọa độ điểm M cần tìm kết luận Bài giải Đường tròn  C  có tâm I 1;2  , bán kính R  Ta có: M   d  : x  y    M  t; 2  t  Giả sử T  x; y  tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C  MT   x  t ; y   t  , IT   x  1; y   T  x; y  tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C   x  12   y  2  1 T   C    MT IT    x  t  x  1   y   y   t    2 Trừ vế với vế 1 cho   ta  t  1 x   t   y  t   * Ta có: A, B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C  Suy tọa độ A, B thỏa mãn * nên phương trình đường thẳng  AB   AB  :  t  1 x  t  4 y  t   N  2;1   AB    t  1   t    t    t  1 5 Vậy M  ;   2 2 110 CHƢƠNG NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10 Trong chương này, dự kiến sai lầm học sinh mắc phải việc giải số toán đường thẳng đường tròn mặt phẳng tọa độ Sau đó, tiến hành thực nghiệm ở lớp 10 để kiểm chứng sai lầm dự đoán, đồng thời tìm hiểu, phân tích quan niệm sai lầm học sinh làm rõ nguyên nhân sai lầm Các quan niệm sai lầm Xuất phát từ phân tích dạng toán, dự đoán quan niệm sai lầm sau học sinh Quan niệm sai lầm Học sinh áp đặt điều kiện cho số hạng c phương trình ax  by  c  toán lập phương trình đường thẳng qua điểm vuông góc với đường thẳng cho trước Bài toán Viết phương trình đường thẳng  d  biết  d  qua A  2;3 vuông góc với đường thẳng  d1  : 3x  y   Vì  d  vuông góc với  d1  nên  d  có dạng x  y  c  ,  c  1 Ta có A  2;3   d   4. 2   3.3  c   c  1 (nhận) Vậy phương trình đường thẳng x  y   Nguyên nhân dự kiến Học sinh áp dụng điều kiện c  c ' hai đường thẳng song song  d  : ax  by  c   d ' : ax  by  c '  tương tự cho điều kiện vuông góc hai đường thẳng Quan niệm sai lầm Học sinh quan niệm VTPT đường thẳng Bài toán Cho A  2;3 đường thẳng  d2  : x  y   Tìm hình chiếu A lên  d  Gọi I  xI ; yI  hình chiếu A lên  d   AI VTPT  d  111  AI  1;1  xI    xI  1   y    I  yI   I  1;4  Nguyên nhân dự kiến Học sinh quan niệm đường thẳng có VTPT Quan niệm sai lầm Học sinh quan niệm góc hai đường thẳng góc hai VTPT hai đường thẳng Bài toán Cho đường thẳng  d1  : 3x  y    d2  : x  y   Tính góc hai đường thẳng  d1   d   d1  : 3x  y   có VTPT n1   3; 4   d2  : x  y   có VTPT n2  1;1     cos n1 , n2  3.1  4.1 32   4  12  12  10  d1 , d  82o Nguyên nhân dự kiến Học sinh không phân biệt khái niệm góc hai đường thẳng góc hai VTPT hai đường thẳng Quan niệm sai lầm 4: Học sinh không quan tâm đến điều kiện để phương trình x  y  2ax  2by  c  phương trình đường tròn Bài toán Viết phương trình đường tròn  C  qua hai điểm A  2;3 B 1; 1 biết tâm I đường tròn nằm đường thẳng    : x  y  11  Gọi I  a; b  tâm đường tròn I  a; b       a  3b  11   a  3b  11 (1) Giả sử  C  : x  y  2ax  2by  c  A  2;3   C     4a  6b  c  (2) B 1; 1   C     2a  2b  c  (3) 121  a  14 a  3b  11  11   Từ 1 ,   ,  3  4a  6b  c  13  b  14 2a  2b  c  2    118 c   112 121 11 118 x y 0 7 Nguyên nhân dự kiến Học sinh quan niệm tất phương trình dạng x  y  2ax  2by  c  Vậy  C  : x  y  cho giáo viên phương trình đường tròn Thực nghiệm 2.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm học sinh nhằm kiểm chứng tồn học sinh bốn quan điểm sai lầm nêu 2.2 Tổ chức thực nghiệm Chúng tiến hành thực nghiệm với 126 học sinh lớp 10A3, 10A4 10A5 trường THPT Lương Thế Vinh (TPHCM) sau học xong chương “Phương pháp tọa độ mặt phẳng” Thực nghiệm tổ chức dạng giải toán hình thức kiểm tra viết Học sinh làm cá nhân tờ giấy làm bài, làm học sinh thu lại để phân tích 2.3 Nội dung thực nghiệm Bài toán Viết phương trình đường thẳng  d  biết  d  qua A  2;3 vuông góc với đường thẳng  d1  : 3x  y   Mục đích: Chúng muốn kiểm chứng tồn sai lầm học sinh Bài toán Cho A  2;3 đường thẳng  d2  : x  y   Tìm hình chiếu A lên  d  Mục đích: Chúng muốn kiểm chứng tồn sai lầm học sinh Bài toán Cho đường thẳng  d1  : 3x  y    d2  : x  y   Tính góc hai đường thẳng  d1   d  Mục đích: Chúng muốn kiểm chứng tồn sai lầm học sinh Bài toán Viết phương trình đường tròn  C  qua hai điểm A  2;3 B 1; 1 biết tâm I đường tròn nằm đường thẳng    : x  y  11  Mục đích: Chúng muốn kiểm chứng tồn sai lầm học sinh 2.4 Kết thực nghiệm 113 Sau tổ chức thực nghiệm, thống kê số liệu để dựa vào đưa đánh giá, nhận xét chung việc giải toán hình học mặt phẳng toạ độ Oxy em học sinh sau tiếp thu tri thức Đối với thực nghiệm, quan tâm đến quan niệm sai lầm nêu mà không quan tâm đến kết sai lời giải Kết thực nghiệm toán Sai lầm Khác Không trả lời Số học sinh 88 38 Tỷ lệ 69,84% 30,16% 0% Với kết 88 học sinh mắc sai lầm (chiếm tỉ lệ 69,84%) 38 học sinh có câu trả lời khác (chiếm tỉ lệ 30,16%), nhận thấy phần lớn học sinh bị ảnh hưởng kiến thức tương đồng với nhau, cụ thể THCS học sinh học mối quan hệ song song vuông góc dẫn đến hình thành quan niệm lập phương trình đường thẳng có quan hệ song song tương tự với việc lập phương trình đường thẳng có quan hệ vuông góc Qua đó, đề xuất số biện pháp khắc phục sau: i Cho phương trình đường thẳng có dạng: ax  by  c  Nếu hai đường thẳng song song ta cần quan tâm đến hệ số a, b, c Nếu hai đường thẳng vuông góc ta cần quan tâm đến hệ số a, b ; ii Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu ý Kết thực nghiệm toán Sai lầm Khác Không trả lời Số học sinh 54 48 24 Tỷ lệ 42,86% 38,1% 19,04% Với kết 54 học sinh mắc sai lầm (chiếm tỉ lệ 42,86%) , 48 học sinh có câu trả khác (chiếm tỉ lệ 38,1%) 24 học sinh không trả lời (chiếm tỉ lệ 19,04%) , nhận thấy học sinh áp đặt tính cho VTPT đường thẳng Qua vấn lấy ý kiến từ em mắc sai lầm này, nhận đa số câu trả lời dẫn đến nguyên 114 nhân sai lầm là: kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng VTPT đường thẳng có Qua đó, đề xuất số biện pháp khắc phục sau: i Chỉ phương trình đường thẳng có nhiều phương trình tương đương ta nhân hai vế cho số khác từ rút kết luận: đường thẳng có vô số VTPT; ii Nếu n '  k.n  k   n VTPT đường thẳng n ' VTPT đường thẳng đó; ii Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu ý Kết thực nghiệm toán Sai lầm Khác Không trả lời Số học sinh 65 46 15 Tỷ lệ 51,59% 36,51% 11,9% Với kết 65 học sinh mắc sai lầm (chiếm tỉ lệ 51,59%) , 46 học sinh có câu trả lời khác (chiếm tỉ lệ 36,51%) 15 học sinh không trả lời (chiếm tỉ lệ 11,9%) , nhận thấy học sinh nhập nhằn quan niệm góc hai đường thẳng góc hai vectơ, dẫn tới việc quan niệm góc hai VTPT góc hai VTCP đường thẳng góc hai đường thẳng Qua đó, đề xuất số biện pháp khắc phục sau: i Cho học sinh so sánh khác góc hai đường thẳng, góc hai vectơ; ii Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu ý Kết thực nghiệm toán Sai lầm Khác Không trả lời Số học sinh 101 25 Tỷ lệ 80,16% 19,84% 0% Với kết 101 học sinh mắc sai lầm (chiếm tỉ lệ 80,16%) 25 học sinh có câu trả lời khác (chiếm tỉ lệ 19,84%), nhận thấy phần lớn học sinh cho phương trình dạng x  y  2ax  2by  c  phương trình đường thẳng phương trình dạng mà giáo viên đưa lớp phương trình 115 đường tròn tập kiểm tra tồn đường tròn phương trình Hơn nữa, học sinh quan tâm cách giải mà không quan tâm đến điều kiện kèm theo Qua đó, đề xuất số biện pháp khắc phục sau: i Lưu ý học sinh xét điều kiện tồn đường tròn xem xét phương trình x  y  2ax  2by  c  ; ii Cho ví dụ không tồn đường tròn để học sinh ghi nhớ sâu; Nhận xét Qua bảng số liệu trên, bốn quan niệm sai lầm đưa tồn Trong đó, sai lầm xảy nhiều (80,16%), sai lầm (69,84%), sai lầm (51,19%) sai lầm (42,86%) Điều chứng tỏ học sinh tồn nhiều nhận biết sai lệch kiến thức, quan niệm “phương trình x  y  2ax  2by  c  phương trình đường tròn” chiếm tỉ lệ cao Học sinh quan tâm việc viết phương trình đường tròn mà không quan tâm đường tròn có tồn hay không Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm là: i Hầu hết tập phương trình dạng x  y  2ax  2by  c  mà giáo viên cho lớp phương trình đường tròn; ii Sách giáo khoa có tập dạng này; iii Quan niệm chủ quan học sinh “phương trình x  y  2ax  2by  c  phương trình đường tròn” Tiếp theo tồn kiểu sai lầm quan niệm sai lầm 1, học sinh quan niệm “hai đường thẳng  d  : ax  by  c   d ' : ax  by  c '  song song có điều kiện c  c ' nên hai đường thẳng vuông góc có điều kiện này”; kiểu sai lầm quan niệm sai lầm 3, học sinh quan niệm “góc hai VTPT đường thẳng góc hai đường thẳng đó”; kiểu sai lầm quan niệm sai lầm 2, học sinh quan niệm “một đường thẳng có VTPT nhất” 116 KẾT LUẬN Những kết nghiên cứu đạt đƣợc Trong khoá luận này, làm việc sau đây: i Trình bày dạng toán viết phương trình đường thẳng đường tròn mặt phẳng thường gặp toán THPT, đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng; ii Đưa hướng phân tích, phương pháp giải ví dụ cho dạng toán cụ thể; iii Dự đoán số sai lầm học sinh giải tập hình học toạ độ phẳng, đồng thời kiểm chứng tồn sai lầm làm rõ nguyên nhân chúng Tuy nhiên, bên cạnh kết đạt dược, chắn tồn số hạn chế chưa nghiên cứu đầy đủ dạng toán đường thẳng đường tròn hạn hẹp thời gian Hƣớng mở rộng cho nghiên cứu Có phải tất toán liên quan đến đường thẳng đường tròn mặt phẳng toạ độ giải cách áp dụng công thức học? Học sinh xử lí không tìm mối liên hệ từ kiện cho? 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa hình học 10 bản, nhà xuất giáo dục [2] Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao, nhà xuất giáo dục [3] Các đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học cao đẳng năm [4] Diễn đàn toán học, http://www.vnmath.com 118 PHỤ LỤC Một số làm học sinh 119 120 121 [...]... song có cùng vectơ chỉ phương và cùng vectơ pháp tuyến Hai đường thẳng vuông góc có vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại Ví dụ 1 Viết phương trình đường thẳng  d  biết  d  đi qua A  1;2  và song song với đường thẳng    : 2 x  3 y  1  0 Phân tích Đường thẳng  d  song song với đường thẳng    nên hai đường thẳng có cùng vectơ pháp tuyến... Vậy đường thẳng  d  đi qua điểm P và trung điểm của MN Ví dụ 3 Cho hai đường thẳng  d1  : x  y  1  0 và  d2  : 2 x  y  2  0 Viết phương trình đường thẳng  d3  đối xứng với  d 2  qua  d1  Phân tích Nhận thấy hai đường thẳng  d1  và  d 2  cắt nhau, vì đường thẳng  d3  đối xứng với đường thẳng  d 2  qua đường thẳng  d1  nên giao điểm của hai đường thẳng  d1  và  d2 ... hai đường thẳng  d1  ,  d2  và có vectơ pháp tuyến n  3 2 d d Các bƣớc giải Bước 1 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  d1  và  d 2  , ta được hai đường thẳng  d1  và  d 2  cắt nhau; Bước 2 Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng  d1  và  d 2  , tìm tọa độ điểm I bằng cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng  d1  và  d 2  Suy ra I cũng thuộc đường thẳng. .. M và N cùng phía với đường thẳng  d  mà hai điểm M , N cách đều đường thẳng  d  nên MN song song với đường thẳng  d  Kết hợp với giả thiết đường thẳng  d  đi qua điểm P , ta lập được phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm P và song song với MN Trường hợp 2 29 M và N khác phía với đường thẳng  d  mà hai điểm M , N cách đều đường thẳng  d  nên  d  đi qua trung điểm của MN Vậy đường. ..  d2  cũng thuộc đường thẳng  d3  Vì đường thẳng  d3  đối xứng với đường thẳng  d 2  qua đường thẳng  d1  nên mọi điểm thuộc đường thẳng  d1  đều cách đều hai đường thẳng  d 2  và  d3  Giả sử M   d1  , ta có d  M ,  d    d  M ,  d   , giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến n  của đường thẳng  d3  Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng  d3  đi qua...  1 2 Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ 2.1 Chuyển đổi các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng Ví dụ 1 Cho đường thẳng  d  : y  2 x  5 a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d  b) Viết phương trình tham số của đường thẳng  d  c) Viết phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng  d  15 Phân tích a) Phương trình tổng quát của đường thẳng  d  : Ax  By  C  0 với... số của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó Trong ví dụ này, đường thẳng  d  qua N  3;2  và có vectơ chỉ phương u  1; 2  , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tham số của đường thẳng 21 Các bƣớc giải Bước 1 Xác định điểm N  3;2 thuộc đường thẳng  d  ; Bước 2 Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  ;... 1 và N 1;9  Phân tích Đường thẳng  d  là đường trung trực của đoạn thẳng MN nên đường thẳng  d  đi qua trung điểm của đoạn MN và vuông góc với MN Do đó, vectơ pháp tuyến của  d  là vectơ chỉ phương của đường thẳng MN Để lập phương trình đường thẳng ta cần thêm một điểm thuộc đường thẳng  d  , điểm đó là trung điểm của MN 25 Các bƣớc giải Bước 1 Gọi I là trung điểm của MN , tìm tọa độ. .. Viết phương trình đường thẳng    cách đều  d1  và  d 2  Phân tích Đường thẳng    cách đều hai đường thẳng  d1  ,  d2  nên khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng    đến hai đường thẳng  d1  ,  d2  là bằng nhau Từ đó, sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta tìm được một phương trình hai ẩn x và y Đó chính là phương trình đường thẳng    cần... Phương trình đường thẳng  d  đi qua M  x0 ; y0  và có hệ số góc k có dạng: y  y0  k  x  x0  1.6 Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng Định lý Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng Ax  By  C  0 với A2  B 2  0 Trong mặt phẳng  Oxy  , phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và có vectơ pháp tuyến n   A; B   0 là  d  : A