SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN I/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi giảng dạy cho em học sinh bậc THCS mơn Tốn, tơi nhận thấy em học sinh lớp gặp nhiều khó khăn giải dạng tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Mặc dù em biết cách giải dạng tốn đố Tiểu học, tốn số học lớp 6, 7, dạng phương trình lớp 8, giải hệ phương trình lớp 9, phương trình bậc hai lớp Nhưng gặp tốn giải cách lập phương trình, hệ phương trình em lại thấy khó em nắm quy tắc chung (các bước giải) Có nhiều em nắm rõ bước giải lại khơng biết vận dụng vào giải tập em khơng biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải khơng biết tìm liên quan đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình Mà dạng tốn dạng tốn bản, thường xuất kiểm tra học kỳ, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, đại đa số học sinh bị điểm khơng nắm cách giải, có học sinh biết cách làm khơng đạt điểm tối đa thiếu nhiều ý Trong phân phối chương trình mơn Tốn THCS lớp số lượng tiết học giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình tiết nên thân giáo viên học sinh chưa có tìm hiểu cách thấu đáo, sách tài liệu tham khảo trường dạng tập thiếu Trường tơi giảng dạy trường vùng cao nên đa số em đồng bào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu hạn chế đặc biệt mơn khoa học tự nhiên, nhiều em đọc viết chậm lên lớp q trình tiếp thu mơn Tốn em tương đối yếu, chậm Từ vài kinh nghiệm thân giảng dạy “Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình mơn Tốn lớp 9” thơi thúc tơi ý tưởng trình bày sáng kiến để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp q trình dạy học mơn Tốn Mục đích nghiên cứu Để giảng dạy học sinh lớp thực dễ dàng việc “Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình mơn Tốn lớp 9”, ứng dụng Tốn học sống, kích thích u thích, tìm hiểu mơn Tốn mơn khoa học khác Thời gian – Địa điểm Đề tài nghiên cứu áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS lớp sở tốn “Giải tốn cách lập hệ phương trình” Chương III - Đại số Tốn tập 2, tốn “Giải tốn cách lập phương trình” Chương IV - Đại số Tốn tập 2, tốn giải cách lập phương trình hệ phương trình sách tham khảo Đóng góp mặt thực tiến Kinh nghiệm “Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình mơn Tốn lớp 9” vận dụng q trình giảng dạy mơn Tốn lớp bước đầu giúp cho học sinh hứng thú việc học Tốn Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy mơn Tốn, đặc biệt học sinh lớp 8, lớp giúp cho học sinh dễ dàng việc giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình qua kích thích lòng say mê tìm hiểu mơn Tốn, u thích mơn Tốn mơn khoa học khác II/ NỘI DUNG Tổng quan 1.1 Cơ sở lý luận Tốn học có vai trò quan trọng đời sống ngành khoa học Ngay từ kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R Bêcơn (R Bacon) nói rằng: “Ai khơng hiểu biết tốn học khơng thể hiểu biết khoa học khác khơng thể phát dốt nát thân mình.” Đến kỉ 20, nhà vật lí học tiếng (P.Dirac) khẳng định xây dựng lí thuyết vật lí “khơng tin vào quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ tốn học, sơ đồ đầu khơng liên hệ với vật lí cả.” Sự phát triển khoa học chứng minh lời tiên đốn C.Mac (K Marx): “Một khoa học thực phát triển sử dụng phương pháp tốn học.” Mục tiêu Giáo dục nói chung, Nhà trường nói riêng đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với u cầu thực tế Để thực mục tiêu đó, trước hết phải biết áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào q trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Đồng thời thân giáo viên phải tự giác, tích cực tìm phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh mơn học, đặc biệt mơn học có tính đặc thù cao mơn Tốn 1.2 Cơ sở thực tiễn Trong thời đại nay, giáo dục nước ta tiếp cận với khoa học đại Các mơn học đòi hỏi tư sáng tạo đại học sinh Đặc biệt mơn Tốn, đòi hỏi tư tích cực học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức cách xác, khoa học đại Vì để giúp em học tập mơn tốn có kết tốt giáo viên khơng có kiến thức vững vàng, tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh cách dễ hiểu Nội dung vấn đề nghiên cứu 2.1 Thực trạng Chương trình mơn Tốn bậc THCS rộng đa dạng, em lĩnh hội nhiều kiến thức Trong có nội dung kiến thức theo em suốt q trình học tập phương trình Ngay từ ngày cắp sách đến trường, học sinh giải phương trình Đó phương trình đơn giản dạng điền số thích hợp vào trống cao tìm số chưa biết đẳng thức cao em phải làm số tốn phức tạp Đến lớp 8, lớp đề tốn chương trình đại số phương trình tốn có lời Các em vào lời tốn cho phải tự thành lập phương trình, hệ phương trình giải phương trình, hệ phương trình Kết tìm khơng phụ thuộc vào kỹ giải phương trình, hệ phương trình mà phụ thuộc nhiều vào việc thành lập phương trình, hệ phương trình Đó dạng tốn “Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình” Dạng tốn tương đối khó mẻ, mang tính trừu tượng cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức số học, đại số, hình học, vật lí phải biết tìm mối liên hệ yếu tố tốn cho với thực tiễn đời sống Nhưng thực tế cho thấy phần đơng học sinh khơng đáp ứng khả nên khơng giải dạng tốn lập phương trình Việc giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình học sinh THCS việc làm mẻ Đề cho khơng phải phương trình, hệ phương trình có sẵn mà đoạn văn mơ tả mối quan hệ đại lượng, học sinh phải chuyển đổi mối quan hệ đại lượng mơ tả lời văn sang mối quan hệ tốn học Hơn nữa, nội dung tốn này, hầu hết gắn bó với hoạt động thực tế người, xã hội tự nhiên,… Do q trình giải học sinh thường qn, khơng quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vơ lý Một đặc thù riêng loại tốn hầu hết tốn gắn liền với nội dung thực tế Chính mà việc chọn ẩn số thường số liệu có liên quan đến thực tế Do giải tốn học sinh thường mắc sai lầm ly thực tế Từ lý mà học sinh ngại làm loại tốn Mặc khác, q trình giảng dạy lực, trình độ giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà chưa biết phân loại tốn, chưa khái qt cách giải cho dạng Kỹ phân tích tổng hợp học sinh yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ liệu tốn, dẫn đến việc học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề giải loại tốn Đối với việc giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình em học nên chưa quen với dạng tốn tự làm phương trình, hệ phương trình Xuất phát từ thực tế nên kết học tập em chưa cao Nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải tập lại khơng làm Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ lập phương trình để giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập Xuất phát từ thực tế em học sinh ngại khó giải tốn, tơi thấy cần phải tạo cho em có niềm u thích say mê học tập, ln tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời Khi gặp tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả q trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn cảm thấy dễ dàng việc “Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp tơi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình giải phương trình, hệ phương trình cách kỹ càng, u cầu học sinh có kỹ thực hành giải tốn phần cẩn thận Việc hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải tốn phù hợp với dạng vấn đề quan trọng, phải tích cực quan tâm thường xun, khơng giúp em nắm lý thuyết mà phải tạo cho em có phương pháp học tập cho thân, rèn cho em có khả thực hành Nếu làm điều chắn kết học tập em đạt mong muốn Từ lí nêu trên, giáo viên khơng truyền thụ cho học sinh kiến thức sách giáo khoa (SGK) mà dạy cho học sinh cách giải tập Giáo viên hướng dẫn cho học sinh giải tốn dạng phải dựa quy tắc chung là: u cầu giải tốn, quy tắc giải tốn cách lập phương trình, phân loại dạng tốn, làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình dễ dàng Và lập phương trình đòi hỏi phải giải cho xác, tìm kết sau kết luận tốn Đây bước đặc biệt quan trọng khó khăn khơng học sinh mà giáo viên Do giáo viên khơng cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lòng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng tâm lý ngại ngùng việc giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình 2.2 Các giải pháp 2.2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng tốn “Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình” Từ khó khăn học sinh yếu tố khách quan khác, tơi cố gắng tìm giải pháp khắc phục nhằm đạt hiệu cao cơng tác Nắm bắt tình hình học sinh ngại khó giải tốn cách lập phương trình nên tơi đưa dạng tập khác để phân loại cho phù hợp với khả nhận thức đối tượng Các tập dạng từ thấp đến cao để em nhận thức chậm làm tốt tốn mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tòi sáng tạo học sinh khá, giỏi Bên cạnh tơi thường xun hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến em Cho học sinh ngồi làm việc cá nhân phải tham gia trao đổi nhóm cần thiết Tơi u cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với thân tập thể Mặc dù khả nhận thức suy luận học sinh lớp chưa đồng giải tốn cách lập phương trình tất phải dựa vào quy tắc chung: Đó bước giải tốn cách lập phương trình Cụ thể sau : Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm cơng việc sau - Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) đặt điều kiện cho ẩn; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) - Tùy phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn phù hợp Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem nghiệm phương trình ( nghiệm hệ phương trình), nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm khơng kết luận) Lưu ý: Trước thực bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng tốn dạng tốn nào, sau tóm tắt đề giải Bước có tính chất định Thường đầu hỏi số liệu ta đặt ẩn số Xác định đơn vị điều kiện ẩn phải phù hợp với thực tế sống 2.2.2 Phân tích, tìm hiểu u cầu giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Tuy có quy tắc người giáo viên q trình hướng dẫn cần đảm bảo cho học sinh thực theo u cầu sau : u cầu : Lời giải khơng phạm sai lầm khơng có sai sót nhỏ Để học sinh khơng mắc phải sai lầm người giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề tốn Do trước giải giáo viên phải u cầu học sinh đọc thật kỹ đề bài, đọc lại đề nhiều lần, câu, chữ đề để nắm đề cho gì, u cầu tìm Từ giúp học sinh hiểu kỹ đề tốn q trình giải khơng có sai sót nhỏ khơng phạm sai lầm Việc hiểu kỹ nội dung đề tiền đề quan trọng việc giải tập tốn Nó giúp học sinh nhiều việc chọn ẩn, đặt điều kiện ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ tính tốn, … Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn đối chiều với điều kiện ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót kết luận tốn Ví dụ : Bài tập 37 SBT Tốn tập - trang 09 Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho Phân tích : Học sinh cần phải nắm cấu tạo số hệ thập phân: + số có hai chữ số ab biểu diễn 10a + b Ta thấy hai đại lượng chưa biết chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số cần tìm Theo giả thiết, viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta số có hai chữ số Điều chứng tỏ hai chữ số phải khác Giải : Gọi chữ số hàng chục số cần tìm x (ĐK : < x ≤ ) chữ số hàng đơn vị số cần tìm y (ĐK : < y ≤ ) Theo đề ta có : Số ban đầu cần tìm : xy = 10 x + y Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta số : yx = 10 y + x Theo điều kiện đề ta có hệ phương trình : ( 10 y + x ) − ( 10 x + y ) = 63 − x + y = ⇔  x + y = ( 10 x + y ) + ( 10 y + x ) = 99 x = Giải hệ ta :  y = Vậy số ban đầu cần tìm : 18 x = Sau tìm  , giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu y = đề xem thỏa mãn điều kiện chưa u cầu : Lời giải phải có xác Khi giải tốn cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luận phải có phải xác, khoa học Vì câu lập luận giải liên quan đến ẩn số kiện cho đề tốn Do giáo viên cần phải giúp học sinh hiểu đâu ẩn số, đâu kiện cho tốn, để từ dựa vào yếu tố mối liên quan đại lượng cho ẩn số để lập luận lập nên phương trình Vì thế, trước hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập phương pháp biểu diễn tương quan đại lượng biểu thức chứa ẩn, ẩn số đại diện cho đại lượng chưa biết Học sinh sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngồi giấy nháp) để biểu diễn đại lượng chưa biết biểu thức ẩn với quan hệ chúng Ví dụ : Bài tốn SGK tốn tập - trang 22 Hai đội cơng nhân làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi làm đội làm xong đoạn đường ? Phân tích : Từ giả thiết hai đội làm 24 ngày xong đoạn đường (và xem xong cơng việc), ta suy ngày hai đội làm chung cơng việc Tương 24 tự, số phần cơng việc mà đội làm ngày số ngày cần thiết để đội hồn thành cơng việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch Khi gọi : + x số ngày để đội A làm một hồn thành tồn cơng việc + y số ngày để đội B làm một hồn thành tồn cơng việc Ta có bảng sau : Cơng việc Đội A Đội B Cả hai đội Năng suất Thời gian x y x ngày (x > 0) y ngày (y > 0) 1 + = x y 24 24 ngày 1 1  x + y = 24  1 =  x y Hệ PT Trong ví dụ trên, chọn ẩn số theo cách khác : Nếu gọi : + x số phần cơng việc làm ngày đội A + y số phần cơng việc làm ngày đội B Ta có bảng sau : Cơng việc Năng suất Đội A x Đội B y Cả hai đội Hệ PT x+ y= Thời gian ngày (x > 0) x ngày (y > 0) y 24 24 ngày   x + y = 24  x = y  Qua ta thấy chọn ẩn “thời gian” hệ phương trình phức tạp so với chọn ẩn “năng suất làm việc” Do giải cần ý đến việc chọn ẩn u cầu : Lời giải phải đầy đủ mang tính tồn diện Giáo viên giảng dạy cho học sinh giải loại tốn cần phải ý đến tính tồn diện giải Nghĩa lời giải tốn phải đầy đủ, xác, khơng thừa khơng thiếu Phải sử dụng hết tất kiện đề bài, khơng bỏ sót kiện, chi tiết dù nhỏ, sử dụng hết tất kiện tốn, lập phương trình, giải tìm kết cuối em phải ý đối chiếu kết với điều kiện ẩn thử lại kết để trả lời, kết luận tốn cho xác Có thể tính đầy đủ tồn diện Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Tốn tập 2- trang 22 Một tơ từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính độ dài qng đường AB thời điểm xuất phát ơtơ A Hướng dẫn giải : Gọi độ dài qng đường AB x (km) thời gian dự định từ A đến B y (giờ) Ta có bảng sau : Dự định Qng đường (km) x (x > 0) Vận tốc (km/h) - Đi chậm x 35 km/h Đi nhanh x 50 km/h Thời gian (giờ) y (y > 0) x  35 + = y   x −1 = y  50 Hệ PT  x = 350 Giải hệ ta :  y = Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát ơtơ : 12 – = sáng u cầu 4: Lời giải tốn đơn giản tốt x 35 x 50 Bài giải phải đảm bảo u cầu khơng sai sót, có lập luận, mang tính tồn diện phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh hiểu làm Ví dụ 4: Bài tốn cổ SGK tốn tập - trang 24 “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi có gà, chó?” Hướng dẫn : Gọi số gà cần tìm x ( x ∈ Z + ,0 < x < 36 ) số chó cần tìm y ( y ∈ Z + ,0 < y < 36 )  x + y = 36 Theo đề ta có hệ phương trình :   x + y = 100 Nếu ta giải tốn theo hướng lời giải ngắn gọn, hệ phương trình dễ giải Nhưng ta chọn ẩn số sau : Gọi số chân gà x ( x ∈ Z + ,0 < x < 100 ) số chân chó y ( y ∈ Z + ,0 < y < 100 )  x + y = 100  Theo đề ta có hệ phương trình :  x y  + = 36 Nếu ta giải tốn theo hướng việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai lầm u cầu : Lời giải phải trình bày khoa học Khi giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình cần lập luận dựa vào kiện đề Tuy nhiên lập luận trình bày lời giải cần phải có thứ tự, vấn đề cần lập luận trước, vấn đề cần lập luận sau Giữa bước lập luận biểu diễn tương quan đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau kế thừa bước trước, bước trước nêu nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối Khơng nên diễn giải lung tung, khơng có trình tự, dài dòng bước Trên u cầu quan trọng thực giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh Ngồi việc nhắc nhở học sinh nắm vững bước giải tốn cách lập hệ phương trình, phương trình, nắm vững u cầu đặt việc giải tốn, học sinh đối tượng để giải tốt tập, việc quan trọng thành cơng dạy học người giáo viên Để học sinh học tốt, hiểu bài, vận dụng lý thuyết để giải tập trước hết giáo viên phải soạn thật tốt, chuẩn bị hệ thống câu hỏi phù hợp, số tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với đối tượng học sinh Phân tích thật rõ ràng tỉ mỉ ví dụ sách giáo khoa tiết dạy lớp phân tích thật kĩ tập mẫu cho học sinh qua học tự chọn để làm tảng cho học sinh giải tập khác Mặt khác giáo viên chia học sinh thành nhóm nhỏ, nhóm có nhóm trưởng tổ chức thảo luận tập mẫu để em học sinh yếu hiểu cách sâu hơn, giúp em giải số tập tương tự, làm cho em khơng chán nản, khơng ngại khó giải tập giải tốn cách lập phương trình Từ giúp em có hứng thú giải tập dạng khó Do giáo viên cần phải cho học sinh tập tương tự để em tự làm cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh dạng tốn giải tốn cách lập phương trình để từ học sinh chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn 2.2.3 Phân loại hướng dẫn giải dạng tốn cụ thể giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình 2.2.3.1 Dạng tốn chuyển động - Phương pháp giải Tốn chuyển động gồm đại lượng: Qng đường, vận tốc, thời gian S = v.t qng đường = vận tốc ´ thời gian t= S v thời gian = qng đường : vận tốc v= S t vận tốc = qng đường : thời gian Đi nhanh vận tốc lớn hơn; Đi chậm vận tốc nhỏ hơn; Đến sớm (đến trước) thời gian hơn; Đến muộn ( đến chậm, đến sau) thời gian nhiều Thường chọn vận tốc làm ẩn phương trình phương trình thời gian - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa + Dạng “Khởi hành lúc, nơi chiều” : Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK) Bác Hiệp Liên xe đạp từ làng lên tỉnh qng đường dài 30 km, khởi hành lúc Vận tốc xe Bác Hiệp lớn vận tốc xe Liên km/h nên bác Hiệp đến tỉnh trước Liên nửa Tính vận tốc xe người + Dạng thực, tìm vận tốc Đk: x > S(km) v(km/h) Bác Hiệp (nhanh) 30 x Cơ Liên (chậm) 30 x+3 Phương trình 30 30 − = x+3 x t(h) 30 x 30 x+3 “Tìm xi dòng”: Vận tốc thực : Là vận tốc vật dòng chảy đứng n vxi = vthực + vdòng vdòng = (vxi - vngược ) : Ví dụ 6: Bài 52 /Trang 60 (SGK) vngược = vthực - vdòng vthực = (vxi + vngược ) : vận tốc (ngược) Khoảng cách hai bến sơng A B 30 km Một canơ từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút bến B quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến tới bến A hết tất Hãy tìm vận tốc canơ nước n lặng, biết vận tốc nước chảy km/h Đk: x > S(km) v(km/h) t(h) x Ca nơ nước đứng n Khi xi dòng 30 x+3 30 x+3 Khi ngược dòng 30 x−3 30 x−3 30 30 + + =6 x+3 x −3 Phương trình + Dạng “có nghỉ dọc đường thay đổi vận tốc”: Ví dụ 7: Bài 43/Trang 58 (SGK) Một xuồng du lịch từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo đường sơng dài 120 km Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại thị trấn Năm Căn Khi về, xuồng theo đường khác dài đường lúc km với vận tốc nhỏ vận tốc lúc km/h Tính vận tốc xuồng lúc đi, biết thời gian thời gian Đk: x >0 S(km) v(km/h) Lúc (nhanh) 120 x Lúc (chậm) 125 x−5 Phương trình 120 125 +1 = x x −5 2.2.3.2 Loại tốn “lao động sản xuất” - Phương pháp giải t(h) 120 x 125 x −5 Tổng số lượng cơng việc = số đối tượng × lượng c.việc đối tượng Lượng c.việc đối tượng = (Tổng số lượng c việc) : (số đối tượng) Lượng cơng việc : số hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,… Đối tượng : số xe, số người, số tàu,… Thường chọn số đối tượng làm ẩn - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 8: Trong buổi lao động trồng cây, tổ học sinh giao nhiệm vụ trồng 56 Vì có bạn tổ phân cơng làm việc khác nên để trồng đủ số giao, bạn lại tổ trồng tăng thêm so với dự định lúc đầu Hỏi tổ học sinh có bạn, biết số phân cho bạn trồng (ĐS: h/s) Đk: x Lúc đầu Lúc sau Số Số h/s Số h/s (cây) (nguời) (cây/ người) x  56 x  x −1  56 x −1  56 56 Phương trình 56 56 − =1 x −1 x 2.2.3.3 Loại tốn “cơng việc” - Phương pháp giải Năng suất lao động : lượng cơng việc làm đơn vị thời gian Lượng cơng việc = thời gian ´ suất ⇒ Năng suất = lượng cơng việc : thời gian Năng suất thời gian tỉ lệ nghịch với Thường chọn thời gian làm ẩn “Cơng việc” = Làm nhanh ( suất cao hơn) thời gian hơn; làm chậm ( suất thấp hơn) nhiều thời gian cơng việc = thời gian × suất Năng suất = cơng việc : thời gian Thường chọn thời gian làm ẩn x Đk : x > thời gian hai Phương trình thường : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất hai - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 9: Hai đội học sinh tham gia ngày “Lao động xây dựng Tổ quốc” làm chung xong cơng việc phân cơng Nếu để đội làm đội I làm nhanh đội II Tính xem đội làm phải thời gian xong cơng việc (Đáp số: 12 giờ) Đk : x > Cơng việc Thời gian (giờ) Năng suất ( cv/giờ) Đội I (nhanh) x  Đội II (chậm) x+6  Cả hai đội Phương trình 1 + = x x+6 x x+6   2.2.3.4 Loại tốn “liên quan đến hình học” - Phương pháp giải Nên vẽ hình (ngồi nháp được) Các kích thước hình: độ dài cạnh hình Phải thuộc hệ thức, cơng thức, định lý, hệ … liên quan đến hình để vận dụng vào tốn Đối với hình chữ nhật: diện tích = dài ´ rộng chu vi = ( dài + rộng) ; Þ Dài = chu vi - rộng ; Rộng = chu vi - dài Nếu chọn chiều rộng ẩn điều kiện là: < rộng < Nếu chọn chiều dài làm ẩn điều kiện là: chu vi chu vi chu vi < dài < : Đối với tam giác vng: Nếu chọn cạnh góc vng làm ẩn x Đk là: < x < cạnh huyền Diện tích tam giác = đáy ´ cao - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 10: Cạnh huyền tam giác vng 10 m Hai cạnh góc vng m Tìm cạnh góc vng tam giác Giải Gọi độ dài cạnh góc vng nhỏ x (m),( < x < 10 ); Độ dài cạnh góc vng lớn x + (m) Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)2 + x2 = 102 Ví dụ 11 : Bài 48/Trang 59 (SGK) Từ miếng tơn hình chữ nhật người ta cắt góc bốn hình vng có cạnh dm để làm thành thùng khơng nắp có dung tích 1500 dm Hãy tính kích thước miếng tơn lúc đầu, biết chiều dài gấp đơi chiều rộng Giải dm Gọi chiều rộng miếng tơn x (dm), (x > 10) dm dm Chiều dài miếng tơn 2x (dm) x Chiều rộng thùng x – 10 (dm) dm Chiều dài thùng 2x – 10 (dm) Vì thể tích thùng = dài ´ rộng ´ cao nên ta có phương trình: 2x 1500 = (2x – 10).(x – 10) (ĐS: rộng= 20dm dài =40 cm) 2.2.3.5 Loại tốn “liên quan vật lí, hóa học” - Phương pháp giải Cần nắm vững cơng thức vật lý, hóa học cơng thức suy để vận dụng vào tốn D= M V ìï D : khối lượng riêng (kg/m3 ) ïï ïí M : khối lượng (kg) Þ ïï ïï V : thể tích (m3 ) : ỵ V= M D M = V D Ví dụ dung dịch: Nồng độ dung dịch muối 12 % ta nên hiểu: Trong 100 gam dung dịch có 12 gam muối mdd = mct + mH 2O C% = mct 100% mdd Nếu đơn vị đo đại lượng chưa đơn vị phải đổi đơn vị - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 12 : Bài 50/Trang 59 (SGK) Miếng kim loại thứ nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g Thể tích miếng thứ nhỏ thể tích miếng thứ hai 10 cm 3, khối lượng riêng miếng thứ lớn khối lượng riêng miếng thứ hai g/cm Tìm khối lượng riêng miếng kim loại (ĐS: 8,8 g/cm3 7,8 g/cm3) dụ Đk: x > Khối lượng (M) (g) Miếng thứ 880 Miếng thứ hai 858 Phương trình 858 880 − = 10 x −1 x Thể tích (V) Khối lượng riêng (D) (cm3) (g/cm3) 880 x x Ví x −1 858 x −1 13 : Bài 51/Trang 59(SGK) Người ta đổ thêm 200 g nước vào dung dịch chứa 40 g muối nồng độ dung dịch giảm 10% Hỏi trước đổ thêm nước dung dịch chứa nước ? Đk: x > Số gam nước Lúc đầu x Lúc sau x + 200 Phương trình Số gam muối 40 Nồng độ dung dịch 40 x + 40 40 40 = x + 200 + 40 x + 240 40 40 10 − = x + 40 x + 240 100 40 2.2.3.6 Loại tốn “Quan hệ số” - Phương pháp giải Cần phân biệt tổng bình phương với bình phương tổng + Tổng bình phương hai số a b a2 + b2 + Bình phương tổng hai số a b (a + b)2 a b nghịch đảo Số x có nghịch đảo b a x Phân tích số hai thừa số biến đổi số thành hai số khác nhân với Ví dụ: = Cho tổng hai số : Nếu gọi số thứ x, số thứ hai là: Tổng – x Cho hiệu hai số : Nếu gọi số lớn x, số nhỏ : x – hiệu Nếu gọi số nhỏ x, số lớn : x + hiệu - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 14: Bài 41/Trang 58 (SGK) Trong lúc học nhóm, bạn Hùng u cầu bạn Minh bạn Lan người chọn số cho hai số tích chúng phải 150 Vậy hai bạn Minh Lan phải chọn số ? (ĐS: 10 15 hoặc: – 10 –15) Giải Gọi số nhỏ mà bạn chọn x Số lớn bạn chọn x + Theo ta có phương trình x(x + 5) = 150 (HS tự giải tiếp) Ví dụ 15 : Bài 44/Trang 58 (SGK) Đố Đố em tìm số mà nửa trừ nửa đơn vị nhân với nửa nửa đơn vị (ĐS: –1) Giải : Gọi số phải tìm x nửa x Một nửa trừ nửa đơn vị x 2 Theo ta có phương trình ỉx 1ư x ç - ÷ = ÷ ç ÷ ç è2 ø 2 Ví dụ 16 : Bài 45/Trang 58 (SGK) Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109 Tìm hai số (ĐS: 11 12) Giải Gọi số tự nhiên bé x , (x Ỵ N, x > 0) Số tự nhiên liền sau là: x + Tích chúng là: x.(x + 1) = x2 + x Tổng chúng là: x + (x + 1) = 2x + Theo ta có phương trình (x2 + x) – (2x + 1) = 109 2.2.3.7 Một số tập đề nghị : Bài 1: Hai giá sách có 450 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 50 số sách giá thứ hai số sách giá thứ nhất.Tìm số sách lúc đầu giá Bài 2: Một đồn xe vận tải nhận chun chở 15 hàng Khi khởi hành xe phải điều làm cơng việc khác, nên xe lại phải chở nhiều 0,5 hàng so với dự định Hỏi thực tế có xe tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng xe chở nhau) Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu để riêng vòi thứ chảy giờ, sau đóng lại mở vòi thứ hai chảy tiếp bể Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể bao lâu? Bài 4: Một người xe máy khởi hành từ Hồi Ân Quy Nhơn Sau 75 phút, tuyến đường Ơ tơ khởi hành từ Quy Nhơn Hồi Ân với vận tốc lớn vận tốc xe máy 20 km/giờ Hai xe gặp Phù Cát Tính vận tốc xe, giả thiết Quy Nhơn cách Hồi Ân 100 km Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km Bài 5: Một Ơ tơ khách Ơ tơ tải xuất phát từ địa điểm A đến địa điểm B đường dài 180 km vận tốc Ơ tơ khách lớn Ơ tơ tải 10 km/h nên Ơ tơ khách đến B trước Ơ tơ tải 36 phút Tính vận tốc Ơ tơ Biết q trình từ A đến B vận tốc Ơ tơ khơng đổi Bài 6: Một mơ tơ từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc thời gian dự định Nếu mơ tơ tăng vận tốc thêm 5km/h thỡ đến B sớm thời gian dự định 20 phút Nếu mơ tơ giảm vận tốc 5km/h đến B chậm 24 phút so với thời gian dự định Tính độ dài quảng đường từ thành phố A đến thành phố B Bài 7: Một ca nơ xi dòng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nơ quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ Bài 8: Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một Ơ tơ từ A đến B, nghỉ 90 phút B, lại từ B A Thời gian lúc đến lúc trở A 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc Ơ tơ Bài 9: Cho ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m2 Tính độ dài cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên 2m giảm chiều dài ruộng 5m diện tích ruộng tăng thêm 5m2 Bài 10: Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng tất 80 Biết số bạn nam trồng số bạn nữ trồng ; bạn nam trồng nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ Bài 11: Một ca nơ xi dòng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dòng nước km /h Khi đến B ca nơ quay lại gặp bè nứa trơi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ Bài 12: Hai người thợ làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ làm họ làm 25% cơng việc Hỏi người làm cơng việc xong? Bài 13: Tháng thứ hai tổ sản xuất 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vượt 15%.tổ vượt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất sản phẩm Bài 14: Hai hợp tác xã bán cho nhà nước 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã bán cho nhà nước Biết lần số thóc hợp tác xã thứ bán cho nhà nước nhiều hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán 280 tÊn Bài 15: Tháng thứ hai tổ sản xuất 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vượt 15%.tổ vượt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất sản phẩm 2.3 Kết Với giải pháp nêu tơi vận dụng vào q trình hướng dẫn cho học sinh giải tốn dạng nhận thấy em nắm quy tắc giải tốn cách lập phương trình, phân loại dạng tốn, làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình (hệ phương trình) dễ dàng, từ việc giải phương trình (hệ phương trình) tìm đáp số tốn xác khơng gặp phải khó khăn sai lầm gặp dạng tốn này, kích thích học sinh lòng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn 2.4 Bài học kinh nghiệm Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tơi nhận thấy việc giảng dạy giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình có ý nghĩa thực tế cao Nó rèn luyện cho học sinh tư logic, khả sáng tạo, khả diễn đạt xác nhiều quan hệ tốn học, … Do giải dạng tốn lớp 8, lớp giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm mối quan hệ biết chưa biết đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình Các tốn, ví dụ nêu lên chủ yếu tốn bậc nhất, nghĩa tốn dẫn đến phương trình quy bậc Lên đến lớp việc giải tốn cách lập phương trình tn theo bước lớp phương trình quy phương trình bậc hai hệ phương trình Vì giáo viên cần phân tích kỹ bước giải, lưu ý rõ cho học sinh u cầu giải dạng tốn để học sinh có kiến thức vững phục vụ cho việc giải tốn Bên cạnh đó, giáo viên tạo hứng thú cho học sinh học, hướng dẫn học sinh cách học bài, làm cách nghiên cứu trước nhà Tăng cường phụ đạo học sinh yếu kém, tìm chỗ học sinh bị hổng để phụ đạo Điều đòi hỏi người giáo viên phải có lòng u nghề, u thương học sinh phải có lượng kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh [...]... Khơng nên diễn giải lung tung, khơng có trình tự, dài dòng giữa các bước Trên đây là 5 u cầu quan trọng khi thực hiện giải bài tốn bằng cách lập phương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh Ngồi việc nhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình, phương trình, nắm vững các u cầu đặt ra trong việc giải tốn, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài... thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai lầm hơn u cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học Khi giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập luận dựa vào các dữ kiện của đề bài Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau Giữa các bước lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic,... một cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho các em khơng chán nản, khơng ngại khó khi giải bài tập giải bài tốn bằng cách lập phương trình Từ đó giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn Do vậy giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh từng dạng tốn giải bài tốn bằng cách lập. .. phẩm 2.3 Kết quả Với những giải pháp đã nêu trên tơi đã vận dụng vào trong q trình hướng dẫn cho học sinh giải các bài tốn dạng này thì nhận thấy các em đã nắm được quy tắc giải bài tốn bằng cách lập phương trình, phân loại được các dạng tốn, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình (hệ phương trình) dễ dàng, từ đó việc giải phương trình (hệ phương trình) tìm ra đáp... tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài tốn 2.4 Bài học kinh nghiệm Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tơi nhận thấy việc giảng dạy giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình có ý nghĩa thực tế rất cao Nó rèn luyện cho học sinh tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ tốn học, … Do đó khi giải dạng... ra ta có hệ phương trình :   2 x + 4 y = 100 Nếu ta giải quyết bài tốn theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương trình dễ giải hơn Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau : Gọi số chân gà là x ( x ∈ Z + ,0 < x < 100 ) và số chân chó là y ( y ∈ Z + ,0 < y < 100 )  x + y = 100  Theo đề ra ta có hệ phương trình :  x y  2 + 4 = 36 Nếu ta giải quyết bài tốn theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp... nắm được các mối quan hệ đã biết và chưa biết giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình Các bài tốn, ví dụ được nêu lên đều chủ yếu là tốn bậc nhất, nghĩa là các bài tốn dẫn đến phương trình có thể quy về bậc nhất Lên đến lớp 9 thì việc giải bài tốn bằng cách lập phương trình cũng tn theo các bước như ở lớp 8 nhưng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình Vì thế... giải bài tốn bằng cách lập phương trình để từ đó học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn 2.2.3 Phân loại và hướng dẫn giải các dạng tốn cụ thể về giải bài tốn bằng cách lập phương trình và hệ phương trình 2.2.3.1 Dạng bài tốn về chuyển động - Phương pháp giải Tốn chuyển động gồm 3 đại lượng: Qng đường, vận tốc, thời gian S = v.t qng đường = vận tốc ´ thời gian t= S v thời gian = qng đường... Hướng dẫn giải : Gọi độ dài của qng đường AB là x (km) thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ) Ta có bảng sau : Dự định Qng đường (km) x (x > 0) Vận tốc (km/h) - Đi chậm x 35 km/h Đi nhanh x 50 km/h Thời gian (giờ) y (y > 0) x  35 + 2 = y   x −1 = y  50 Hệ PT  x = 350 Giải hệ ta được :  y = 8 Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ơtơ là : 12 – 8 = 4 giờ sáng u cầu 4: Lời giải bài tốn... chúng phải bằng 150 Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ? (ĐS: 10 và 15 hoặc: – 10 và –15) Giải Gọi số nhỏ mà một bạn đã chọn là x Số lớn bạn kia chọn là x + 5 Theo bài ra ta có phương trình x(x + 5) = 150 (HS tự giải tiếp) Ví dụ 15 : Bài 44/Trang 58 (SGK) Đố Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị (ĐS: 2 hoặc –1) Giải : Gọi