Tạp chí Đại học Công nghiệp PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PHẦN TỬ TỰ DO GALERKIN CHO BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH VÀ SO SÁNH NGHIỆM VỚI PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Tôn Thất Hoàng Lân* TÓM TẮT Trong báo này, đề cập phương pháp không lưới dựa phần tử tự Galerkin (EFG) cho mô hình đàn hồi tuyến tính không gian hai chiều Ví dụ số trình bày nhằm minh họa hiệu cách tiếp cận Từ khóa: Phương pháp không lưới, phương pháp phần tử tự Galerkin (EFG), đàn hồi tuyến tính A MESHLESS ELEMENT FREE GALERKIN METHOD FOR LINEAR ELASTICITY AND NUMERICAL COMPARISON WITH THE FINITE ELEMENT METHOD SUMMARY LI B In this paper we discussed one meshless method on the element free Galerkin (EFG) for linear elasticity model in two dimensions Numerical results is presented to illustrate the effectiveness of this approach Giới thiệu N TT U Keywords: Meshless method, Element free Galerkin method, linear elasticity Hầu hết toán kỹ thuật giải cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp phần tử biên Những phương pháp tính toán dựa vào việc chia lưới rời rạc hóa kết cấu ta gặp khó khăn chia lưới cho mô hình hình học phức tạp Trong năm gần có phát triển nhanh chóng phương pháp không lưới phương pháp SPH (SPHM), phương pháp RKP (RKPM), phương pháp EFG (EFGM), phương pháp PUFE (PUFEM) Mục đích báo đề xuất số thủ tục dựa phương pháp phần tử tự Galerkin (EFG) để giải toán đàn hồi tuyến tính Ví dụ số đưa nhằm xác nhận hiệu phương pháp tiếp cận so với phương pháp quen thuộc Hàm xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) Hàm MLS phát triển Lancaster Salkauskas để xấp xỉ đường cong bề mặt Xem xét miền Ω có chứa tập hợp nút phân tán xi (1 ≤ i ≤ n), tương ứng giả định giá trị ui Xấp xỉ MLS hàm liên tục u Ω gọi uh(x) cho bởi: m (1) u h (x) = ∑ P (x)α (x) = pT (x)α ( x ) i i=1 i p(x) tổ hợp m hàm độc lập tuyến tính, p T (x) = ⎡⎢ p (x) ⎣ * p (x) p (x) ⎤⎥ (2) m ⎦ ThS, Khoa Xây dựng, Trường Đại học Kiến trúc TPHCM 11 http://elib.ntt.edu.vn/ Phương pháp không lưới phần tử tự do… α(x) tổ hợp thông số chưa xác Công thức thể phương pháp định, xấp xỉ không lưới EFG (3) α T (x) = α (x) α1 (x) α (x) α m (x) Áp dụng công thức dạng yếu Galerkin kết hợp phương pháp nhân tử Lagrange, cụ thể Các thông số α(x) tìm thấy điểm x bất chuỗi phương trình từ (1) đến (12), ta kỳ cách cực tiểu: kết sau: n(x) (4) ⎡ K G ⎤ ⎧u ⎫ ⎧f ⎫ J(x) = ∑ ξ (x − x ) u h (x ) − u (13) i i i i ⎢G T ⎥ ⎨λ ⎬ = ⎨q ⎬ i=1 ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ n(x) Trong J(x) = ∑ ξ (x − x ) p T (x ).α (x) - u (5) i i i i i=1 ⎤ ⎡ Φ j (x k ) ξ (x − x ) hàm trọng số có giá trị khác G jk = − ⎢ i i Φ j (x k )⎥⎦ ⎣ miền ảnh hưởng nút xi Chỉ có nút xi mà miền ảnh hưởng chứa điểm x xuất q k = −u (x k ) công thức Kích thước miền ảnh hưởng nút cách lựa chọn hàm trọng số yếu tố K ij = ∫ B iT CB j dΩ f i = ∫ f * Φ i dΩ − ∫ tΦ i dΓ (14) Ω Ω Γt định gần MLS Cực tiểu J (x) để biết thông số α(x): ⎛ ∂Φ i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎟ (6) α(x) = A −1 (x).B(x).u ⎜ ∂Φ i ⎟ t lực mặt, f* Bi = ⎜ ⎟ ∂y ⎟ ⎜ ⎡ξ1 (x − x1 ).p(x1 ) ξ (x − x ).p(x ) ⎤ ⎜ ∂Φ i ∂Φ i ⎟ B=⎢ ⎥ (7) ⎜ ∂y ∂x ⎟⎠ ⎢⎣ ξ n (x − x n ).p(x n ) ⎥⎦ ⎝ lực khối C tensor đặc trưng vật liệu n(x) Thí dụ số A = ∑ ξ (x - x ).p T (x ).p(x ) (8) i i i i=1 i Xem xét dầm console có chiều dài L = (m), chiều cao h = 100 (cm), môđun đàn hồi Ta thay kết suy ra: E = 2.5e6 (T/m2), hệ số Poisson ν = 0.3 chịu tải (9) tập trung đầu tự P = 10 (T) Kết u T = u1 u u n sau: n (10) u h (x) = ∑ φ (x).u = Φ(x).u i i=1 i [ ] [ ] ] N TT U LI B [ [ ] Với: m φ (x) = ∑ p (x)(A −1(x)B(x)) i ji j=1 j = pT A −1B i Φ(x) = ⎡φ1 (x) ⎢⎣ φ (x) (11) φ n (x) ⎤ ⎥⎦ (12) 12 http://elib.ntt.edu.vn/ Tạp chí Đại học Công nghiệp Miền nút ux=0 uy=0 ngàm Hình Sơ đồ thể miền toán nút ảnh hưởng N TT U LI B Biến dạng dầm Hình Kết thể biến dạng sau chịu lực * nghiệm Meshless o nghiệm Fem Chuyển vị uy nút i Hình So sánh kết 13 http://elib.ntt.edu.vn/ Phương pháp không lưới phần tử tự do… Kết luận Phương pháp không lưới phương pháp tích cực phân tích toán kỹ thuật Kết số cho ta thấy hội tụ phương pháp sở vận dụng ngôn ngữ MATLAB để lập trình tính toán Tốc độ giải nhanh phương pháp phần tử hữu hạn miền toán phức tạp chia lưới TÀI LIỆU THAM KHẢO K Washizu, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, second edition, 1975 [2] P Lancaster and K Salkauskas, Surfaces genarated by the moving least squares methods, Math.Comput , 37:141–158, 1981 [3] T Belytschko, Y Lu, and L Gu, Element-Free Galerkin Methods, Int J Numer Meth Engng , 37:229–256, 1994 [4] Lu YY, Belytschko T, Gu L, A new implementation of the element free Galerkin method, Comput Meth Appl Mech Engng 1994;113:397–414 [5] T Belytschko, Y Krongauz, D Organ, M Fleming, and P Krysl, Meshless methods: An overview and recent developments Comput Methods Appl Mech Engrg , 139:3–47, 1996 [6] Atluri SN, Cho JY, Kim H-G, Analysis of thin beams, using the meshless local Petrov– Galerkin method, with generalized moving least squares interpolations, Comput Mech 1999; 24:334–47 [7] GR Liu, Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method, CRC Press, 2003 N TT U LI B [1] 14 http://elib.ntt.edu.vn/