Giải tích 12 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ĐẠO HÀM ( ) ( ) ( ) 2 / / 2 // / / / // / // / . .5 )0( .4 .3 2 .1 v vC v C v v uvvu v u vCvC vuvuvu vuvu − =       ≠ − =       = += ±=± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x xx xx x x ax x ee aaa x x x x xx x C a xx xx 2 / 2 / / / / / / / / 2 / 1 / / / sin 1 cot.18 cos 1 tan.17 sincos.16 cossin.15 1 ln.14 ln. 1 log.13 .12 ln 11 .2 1 .10 11 .9 .8 1.7 0.6 − = = −= = = = = = = − =       = = = − αα α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin cot cos tan sin.cos cos.sin ln ln. log . .ln. .2 1 . 2 / / 2 / / / / / / / / / / / / / / / / 2 / / /1 / u u u u u u uuu uuu u u u au u u uee uaaa u u u v v v uxu a uu uu − = = −= = = = = = = − =       = − αα α dcx bax y + + = .19 ta có 2 / )( dcx bcad y + − = 22 2 2 11 2 1 .20 cxbxa cxbxa y ++ ++ = ta có ( ) 2 22 2 2 22 11 22 11 2 22 11 / 2 cxbxa cb cb x ca ca x ba ba y ++ ++ = • Tìm m để hàm số tăng (giảm) 1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác đònh): y / ≥ 0 ∀x ∈ R    ≤∆ > 0 0a Giải tìm m  Chú ý:Nếu hệ số a của y / có chứa tham số thì phải xét khi a = 0 • Tương tự cho hàm số giảm : y / ≤ 0 ∀x∈ R    ≤∆ < ⇔ 0 0a 2.Hàm số nhất biến : dcx bax y + + =  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác đònh : y / > 0 ( y / < 0 ) . Giải tìm m  Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0 • Tìm m để hàm sốá có cực đại , cực tiểu  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y / = 0 có hai nghiệm phân biệt    >∆ ≠ 0 0a  Giải tìm m • Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Giải phương trình y / = 0 tìm nghiệm x 0  Đạo hàm y // .Tính y // (x 0 ) * Nếu y // (x 0 ) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x 0 * Nếu y // (x 0 ) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x 0 • Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x 0 Cách 1:  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số đạt cực trò tại x 0 : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ GV:NBQ DLĐK 1 Giải tích 12 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ y / (x 0 ) = 0 y / đổi dấu khi x qua x 0  Chú ý : • Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 : y / (x 0 ) = 0 y / đổi dấu từ “ – “ sang “ + ” • Hàm số đạt cực đại tại x 0 : y / (x 0 ) = 0 y / đổi dấu từ “ + “ sang “ – ” Cách 2:  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Đạo hàm y //  Hàm số đạt cực trò tại x 0 :    ≠ = 0)( 0)( 0 // 0 / xy xy  Cực đại: { y / (x 0 ) = 0 và y // (x 0 ) < 0 }  Cực tiểu : { y / (x 0 ) = 0 và y // (x 0 ) > 0 } • Hàm số đạt cực trò bằng y 0 tại x 0  Tập xác đònh  Đạo hàm y / = f / (x)  Hàm số đạt cực trò bằng y 0 tại x 0 khi      ≠ = = 0)( )( 0)( 0 // 00 0 / xf yxf xf • Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b]  Tìm x i ∈[a,b]: f / (x i ) = 0 hoặc f / (x i ) không xác đònh  Tính f(a), f(x i ) , f(b)  Kết luận { } )();();(maxmax bfxfafy i = { } )();();(minmin bfxfafy i = • Tiếp tuyến của đường cong ( C) 1.Tiếp tuyến tại M(x 0 ,y 0 ): y = f / (x 0 ).(x – x 0 ) + y 0 2.Tiếp tuyến đi qua A(x A , y A ):  (d): y = k.(x – x A ) + y A = g(x)  Điều kiện tiếp xúc:    = = )()( )()( // xgxf xgxf 3.Tiếp tuyến sg sg (d) dtt kxfk == )( 0 / 4.Ttuyến vuông góc (d) : 1. −= dtt kk • Biện luận số giao điểm của ( C) và d  (d): y = k(x – x A ) + y A = g(x)  Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) • Nếu (*) là phương trình bậc 2 : 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b 2 – 4ac + Xét dấu ∆ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt    >∆ ≠ ⇔ 0 0a • Nếu (*) là phương trình bậc 3 : 1) Đưa về dạng (x – x 0 )(Ax 2 + Bx + C) = 0    ==++ = (2) )(0 2 0 xgCBxAx xx 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x 0 3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 n o pb x 1 , x 2 khác x 0 )      ≠ >∆ ≠ ⇔ 0)( 0 0 0 )2( xg A • Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm phương trình f (x ) – g(m) = 0  Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*)  Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của (C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox )  Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình. LŨY THỪA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ GV:NBQ DLĐK 2 Giải tích 12 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ aaaa n =• ( n thừa số) n m nm nmnm n n a a a aaa a a a =• =• =• =• − + − . 1 1 0 n n n m n m nmmnnm n n n nnn aa aa aaa b a baba =• =• ==• =       • =• 1 . )()( b a .).( PHƯƠNG TRÌNH MŨ    ∩ = ∨    = ≠< ⇔= )()( )()( 1 )()( 10 xgxf xgxf DD a xgxf a aa [ ]    >−− > ⇔> 0)()().1( 0 )()( xgxfa a aa xgxf )()( thì1a0 )()( ì th1a )()( )()( xgxfaa xgxfaa xgxf xgxf <⇔><<• >⇔>>• LOGARIT ) 1 a , 0 N a, ( log a ≠> =⇔=• NaMN M Na N a =• log 01log =• a 1log =• a a N N =• a log a NkNN k N a N NNa a N N NN N N NNNN a k aa N a ba b b a aa aa log.log log 1 log log 1 log loglog.log log log log logloglog loglog.log k a b 21 2 1 a 2121a =•=• =• =•=• −=• +=• )()(0)(log)(log thì1a0 0)()()(log)(log thì1a a a xgxfxgxf xgxfxgxf a a <<⇔><<• >>⇔>>•      = >> ≠< ⇔= g(x)f(x) ) 0g(x) ( 0)( 10 )(log)(log xf a xgxf aa        > > > ≠< ⇔> 0g(x)]-1)[f(x)-(a 0g(x) 0)( 10 )(log)(log xf a xgxf aa SỐ PHỨC * 1 2 −= i * 2 1 z z z = * 22 . baibaz +=+= * ibazibaz −=⇒+= * 22 bazz +==    = = ⇔+=+ db ca idciba * ).)(.( ).)(.( . . ibaiba ibaidc iba idc −+ −+ = + + * 2121 zzzz +=+ * 2121 zzzz −=− * 2 1 2 1 2121 ; z z z z zzzz =         = 1. iba . += α .Gọi β là căn bậc 2 của α , ta có: b ≥ 0 :         ++− + ++ ±= 2 . 2 2222 baa i baa β b < 0 :         ++− − ++ ±= 2 . 2 2222 baa i baa β 2.          = = += += r b r a bar irz ϕ ϕϕϕ sin cos)sin.(cos 22 3. )]sin(.)[cos(. 21212121 ϕϕϕϕ +++= irrzz 4. )]sin(.)[cos( 2121 2 1 2 1 ϕϕϕϕ −+−= i r r z z 5. )]sin(.)[cos( 11 ϕϕ −+−= i rz 6. [ ] )sin.(cos)sin.(cos ϕϕϕϕ ninrir n n +=+ [ ] )sin.(cos)sin.(cos ϕϕϕϕ nini n +=+ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ GV:NBQ DLĐK 3 Giải tích 12 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + − = + −= += + = +=+= + − =+−= +=+= +=+= + + − = + + − = ++= + += + + + =++ + = +=+= + + ++ ++ )cot( 1 )(sin cot sin )10 )tan( 1 )(cos tan cos )9 )sin( 1 )cos(sincos)8 )cos( 1 )sin(cossin)7 ln 1 ln )6 1 )5 )( 11 )( 11 )4 ln 1 ln 1 )3 1 )(1 )( 1 )2 )1 22 22 )( )( )()( 22 11 bax a bax dx x x dx bax a bax dx x x dx bax a dxbaxxxdx bax a dxbaxxxdx C a a c dxaC a a dxa Ce a dxeCedxe C baxa bax dx C x dx x Cbax abax dx Cxdx x C bax a dxbaxC x dxx CkxkdxCxdx dcx dcx x x baxbaxxx αα α α α α TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 1. ∫ )().( /)( dxxuef xu Đặt )(xut = 2. ∫ 1 ).(ln dx x xf Đặt )ln(xt = 3. ∫ + ).( dxbaxf n Đặt n baxt += 4. ∫ dxxxf )cos,(sin • Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx • Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx • Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc: 2 2cos1 sin, 2 2cos1 cos 22 x x x x − = + = • Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt 2 tan x t = 5. ∫ − ).( 22 dxxaf Đặt tax sin = 6. ∫ + ).( 22 dxxaf Đặt tax tan = 7. ∫ − ).( 22 dxaxf Đặt t a x cos = 8. ∫ ± ). 1 ( 22 dx ax f Đặt 22 axxt ±+= TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ∫∫ −= b a b a vdxu a b vudxvu // dxexP bax ∫ + ).( . Đặt baxbax e a vev xPxPu ++ == == 1 chon )(u có ta)( / // dxbaxxP ∫ + )cos().( . Đặt: )sin( 1 chon )cos( )(u có ta)( / // bax a vbaxv xPxPu +=+= == dxbaxxP ∫ + )sin().( . Đặt: )cos( 1 chon )sin( )(u có ta)( / // bax a vbaxv xPxPu + − =+= == dxxuxP ∫ )(ln).( . Đặt: ∫ == == dxxPvxPv x xu )(chon )( 1 u có taln / / Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản hơn còn v / là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân mà nguyên hàm của phần này đã biết DIEÄN TÍCH , THEÅ TÍCH dxyyV dxy bxax CC H b a CCOx C ∫ ∫ −= −=    <== 2 2 2 1 b a 2C1 21 yS b)(a , )( và)( )( π dyxxV dyx ddycy CC H d c CCOy C ∫ ∫ −= −=    <== 2 2 2 1 d c 2C1 21 xS )(c , )( và)( )( π ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ GV:NBQ DLĐK 4 . a bar irz ϕ ϕϕϕ sin cos)sin.(cos 22 3. )]sin(.)[cos(. 2121 2121 ϕϕϕϕ +++= irrzz 4. )]sin(.)[cos( 2121 2 1 2 1 ϕϕϕϕ −+−= i r r z z 5. )]sin(.)[cos( 11 ϕϕ. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ GV:NBQ DLĐK 1 Giải tích 12 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------