Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết và bài tập về hai quy tắc đếm cơ bản, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bản pdf. Các bài tập có sự phân dạng, có bài tập cơ bản, nâng cao. Bài tập về giải hệ phương trình, giải phương trình, bất phương trình về số tổ hợp. Và đặc biệt các bài tập đều có đáp án giúp các bạn đọc có thể kiểm tra và tham khảo cách làm.
Đặng Thị Linh Chi HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP I Lý thuyết Hai quy tắc đếm 1.1 Quy tắc cộng - Định nghĩa: Một công việc hoàn thành theo n phương án + Phương án 1: Có m1 cách thực + Phương án 2: Có m2 cách thực + Phương án n: Có mn cách thực Mỗi cách thực phương án không trùng với cách thực phương án khác có tất m1 + m2 + + mn cách thực công việc - Ví dụ: Từ chữ số 1; 2; 3; lập số tự nhiên mà chữ số số tự nhiên khác ( Số tự nhiên khơng có chữ số) Giải TH1 : Số có chữ số Ta có tập hợp số thỏa mãn { 1; 2; 3; 4} => có số TH2 : Số có chữ số Ta có tập hợp số thỏa mãn {12; 13; 14; 23; 24; 21; 31; 32; 34; 41;42; 43} => có 12 số Theo quy tắc phép cộng ta có + 12 = 16 số 1.2 Quy tắc nhân - Định nghĩa: Một cơng việc hồn thành phải thực qua n giai đoạn + Giai đoạn 1: Có m1 cách thực + Giai đoạn 2: Ứng với cách thực giai đoạn có m2 cách thực giai đoạn + Giai đoạn n: Ứng với cách thực giai đoạn 12 (n-1) có mn cách thực giai đoạn n Vậy có m1.m2 mn cách thực cơng việc Ví dụ: Xét ví dụ quy tắc cộng TH1: Số có chữ số có số TH2: Số có chữ số Gọi hai số cần tìm ab + Giai đoạn 1: a có cách chọn + Giai đoạn 2: Ta chọn số b cho b a có cách chọn Áp dụng quy tắc nhân ta có 4.3 = 12 số Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có + 12 =16 số Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp 2.1 Hoán vị - Một tập hợp gồm n phần tử ( n 1), cách xếp thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử - KH: Pn: số hoán vị n phần tử Ta có Pn n! * Nhắc lại kiến thức giai thừa: + n! nn 1n 2 2.1 Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi + n! nn 1! + Quy ước: 0! = 2.2 Chỉnh hợp: - Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử n 1 Mỗi kết việc chọn k phần tử 1 k n số n phần tử xếp thứ tự k phần tử gọi chỉnh hợp chập k n phần tử - Số chỉnh hợp chập k n phần tử: k + KH: An : số chỉnh hợp chập k n phần tử + Định lý k A n nn 1 n k 1 n! 1 k n (n k )! + Quy ước: An 2.3 Tổ hợp: - Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử n 1 Mỗi tập k phần tử 0 k n số n phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử - Số tổ hợp chập k n phần tử: k +KH: C n - số tổ hợp chập k n phần tử + Định lý: C k n n! k!n k ! 2.4 Các tính chất số C k n C 1, C n , C + C C 0 k n + n k nk n n n n n Chứng minh VP C n k n! n! k C n VT n k !(n (n k ))! (n k )!k! + Công thức Pa-xcan: C k 1 n 1 C n1 C n 0 k n k k Chứng minh (n 1)! (n 1)! VT (k 1)!(n k )! k!(n k 1)! (n 1)! nk 1 (k 1)!(n k )! k (n 1)! n n! k C n VP (k 1)!(n k )! k k!(n k )! + k C n n C n1 1 k n k 1 k Chứng minh k 1 VP n C n 1 n (n 1)! n.(n 1)! k (n k )! (k 1)! (n k )! (k 1)!.k n! k k k C n VT (n k )!.k! Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi + 1 k k 1 C n C n1 1 k n k 1 n 1 Chứng minh (n 1)! (n 1)n! n (n k )! (k 1)! n (n k )! (k 1).k! n! k C n VT k (n k )! k! k VP II Bài tập Bài tập hai phép đếm Bài 1: Đề thi cuối khó mơn tốn khối 12 trường trung học gồm hai loại đề tự luận trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hai đề thi gồm tự luận trắc nghiệm,trong tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi học sinh có cách chọn đề thi? Giải - Số cách chọn đề tự luận 12 cách - Số cách chọn đề trắc nghiệm 15 cách Vì học sinh phải làm đồng thời loại đề nên có tất 12.15 = 180 cách chọn đề thi Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9} Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác Từ tập A lập số tự nhiên chẵn gồm có chữ số đôi khác Giải Gọi số tự nhiên gồm chữ số là: n = abcd Để có số n ta phải chọn chữ số a, b, c, d + a có cách chọn + b có cách chọn + c có chọn + d có cách chọn Theo quy tắc phép nhân có 6.5.4.3 = 360 số Gọi số tự nhiên gồm chữ số n abcde + Vì n chẵn nên e => e có cách chọn + a có cách chọn + b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn Theo quy tắc phép nhân có 1.5.4.3.2 = 120 số Bài 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Có số tự nhiên có chữ số lấy từ tập A Giải Gọi số tự nhiên chẵn gồm chữ số n abcde Để có số n ta phải chọn chữ số a, b, c, d, e + a có cách chọn ( a ) + b có 10 cách chọn + c có 10 cách chọn Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi + d có 10 cách chọn + e có 10 cách chọn Theo quy tắc phép nhân có 9.10.10.10.10 = 90000 số Bài 4: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} Từ tập A lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi khác số tự nhiên chia hết cho Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho chữ số đứng cuối chia hết cho Giải Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm n abcde + Vì n số tự nhiên lẻ, chia hết e => e có cách chọn + a có cách chọn ( a 0, a ) + b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có tât 1.7.7.6.5 = 1470 số Gọi số cần tìm n abcde Vì số cuối chia hết e {0;4;8} TH1: e => có cách chọn e + a có cách chọn + b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 8.7.6.5 = 1680 số TH2: e => e có cách chọn + a có cách chọn + b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 2.7.7.6.5 = 2940 số Vậy, theo quy tắc cộng ta có tất 1680 + 2940 = 4620 số Bài 5:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9} Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lớn 54000 Giải Gọi số tự nhiên chữ số cần tìm n abcde Vì n 54000 nên a {5;6;7;8;9} TH1: a = => a có cách chọn Khi b {6;7;8;9} => b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn + e có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 1.4.5.6.4 = 480 số TH2: a => a có cách chọn + b có cách chọn Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi + c có cách chọn + d có cách chọn + e có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 4.7.6.5.4 =3360 số Vậy theo quy tắc phép cộng ta có 480 + 3360 = 3840 số Bài 6: Một nữ sinh trung học đến trường chọn hai trang phục quần trắng áo dài quần xanh áo sơ mi Nữ sinh có quần trắng, áo dài, quần xanh áo sơ mi có cách chọn trang phục? Giải Nữ sinh chọn hai trang phục quần trắng áo dài quần xanh áo sơ mi nên xảy hai trường hợp TH1: Quần trắng - áo dài + Có cách chọn quần trắng + Có cách chọn áo dài Theo quy tắc nhân có 7.5 = 35 cách TH2: Quần xanh - áo sơ mi + Có cách chọn quần xanh + Có cách chọn áo sơ mi Theo quy tắc nhân ta có 4.6 = 24 cách Vậy, theo quy tắc cộng ta có 35 + 24 = 59 cáchw Bài 7: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A lập số có chữ số khác cho số chia hết cho Giải Gọi số cần tìm n abcdef Vì n chia hết f {0;5} TH1: f => f có cách chọn + a có cách chọn + b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn + e có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 1.8.8.7.6.5 = 13440 số TH2: f => f có cách chọn + a có cách chọn + b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn + e có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 9.8.7.6.5 = 15120 số Vậy, theo quy tắc cộng ta có 13440 + 15120 = 28560 số Bài 8: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; ; 6; 7; lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác không bắt đầu 125 Giải Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi Gọi số cần tìm n abcde Ta đếm số số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác + e có cách chọn + a có cách chọn + b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 4.7.6.5.4 = 3360 số Ta đếm số số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác bắt đầu 125 + a có cách chọn + b có cách chọn + c có cách chọn + e có cách chọn + d có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 1.1.1.3.4 = 12 số Vậy số số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác không bắt đầu 125 3360 - 12 = 3348 số Bài 9: Từ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập số gồm chữ số hai chữ số liền kề phai khác Giải Gọi số cần tìm n abcd + a có cách chọn a 0 + b có cách chọn b a + c có cách chọn c b + d có cách chọn d c Theo quy tắc nhân có 7.7.7.7 = 2401 Bài 10: Một trận thi đấu bóng đá bắt buộc phải phân thắng bại sút 11m Ở đội bóng huấn luyện viên cần phải chọn cầu thủ số 11 cầu thủ ( Phải thứ tự cầu thủ để đá phạt) Hỏi huấn luyện viên có cách thực hiện? Giải Chọn cầu thủ sút số có 11 cách chọn Chọn cầu thủ sút số có 10 cách chọn Chọn cầu thủ sút số có cách chọn Chọn cầu thủ sút số có cách chọn Chọn cầu thủ sút số có cách chọn Theo quy tắc nhân có 11.10.9.8.7 = 55440 cách chọn Bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Bài 1: Một học sinh có 12 sách đơi khác nhau, có sách Tốn, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách kệ sách dài, sách môn xếp kề nhau? Giải Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi Đặt nhóm sách lên kệ dài có 3! cách Trong nhóm ta thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Tốn có 2! cách Nhóm sách Văn có 4! cách Nhóm sách Anh có 6! cách Vậy có 3! 2! 4! 6! = 207360 cách xếp thỏa điều kiện tốn Bài 2: Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Tính số cách chọn người đàn ông người đàn bà bữa tiệc để phát biểu ý kiến cho: a) Hai người vợ chồng b) Hai người khơng phải vợ chồng Giải a) Có 10 cách chọn đàn ông Ứng với cách chọn người đàn ông có cách chọn người đàn bà (là vợ người đàn ơng đó) Vậy theo qui tắc nhân có 10×1=10 cách chọn b)Có 10 cách chọn người đàn ông Ứng với cách chọn người đàn ông có cách chọn người đàn bà ( trừ vợ người đàn ơng đó) Vậy theo qui tắc nhân có 10×9=90 cách chọn Bài 3: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác Giải Gọi số tự nhiên cần tìm n abcd Vì n chẵn nên d {0;2;4} TH1: n chứa + d = => d có cách chọn Các số cịn lại có A5 cách chọn => có A5 = 60 số + d => d có cách chọn Số vị trí Các số cịn lại có A4 cách chọn Theo quy tắc nhân có 2.2 A4 = 48 số TH2: n khơng chứa + d có cách chọn + số cịn lại có A4 cách chọn Theo quy tắc nhân có A4 = 48 số Vậy có tất 60 + 48 + 48 = 156 số Bài 4: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên có ba chữ số khác chia hết cho Giải Các số chia hết cho số có tổng chữ số số chia hết cho Ta có số sau 0;4;5; 1;3;5; 2;3;4 số có tổng chữ số số chia hết cho tạo chữ số cho Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi Gọi số tự nhiên cần tìm abc +TH1: (0; 4; 5) a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn => có 2.2 = số + TH2: ( 1; 3; 5) Mỗi số hốn vị số nên có P3 = 3! = số + TH3: (2; 3; 4) Tương tự TH2 ta có số Vậy ta có tất + + = 16 số Bài 4: Một hộp đựng viên bi màu đỏ, viên bi màu trắng, viên bi màu xanh Chọn viên bi Có cách chọn mà khơng đủ màu Giải + Ta đếm số cách chọn viên bi lấy từ hộp Mỗi cách lấy viên bi tổ hợp chập 15 phần tử có C15 cách lấy + Ta đếm số trường hợp mà viên bi có đủ màu TH1: viên bi có viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi xanh Cách lấy viên bi đỏ từ viên bỉ đỏ tổ hợp chập phần tử => có C cách Tương tự có C cách lấy viên bi trắng có C cách lấy viên bi xanh Theo quy tắc nhân ta có C C C = 180 cách TH2: viên bi có viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi xanh Tương tự TH1 ta có C C C 240 cách TH3: viên bi có viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi xanh 1 Có C C C 300 cách Vậy số cách chọn mà viên bi không đủ màu C15 180 240 300 645 cách chọn Bài 5: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên có ba chữ số khác bé 345 Giải Gọi số tự nhiên cần tìm n abc Vì n < 345 nên a {1;2;3} + TH1: a => a có cách chọn 2 số cịn lại có A5 cách chọn => có A5 = 40 số + TH2: a = => a có cách chọn Khi b b {0;1;2;4} * b = => b có cách chọn Khi c có cách chọn Vậy có 1.1.3 = số * b => b có cách chọn Khi c có cách chọn Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi => có 1.3.4 = 12 số Theo quy tắc cộng ta có 40 + + 12 = 55 số Bài 6: Có học sinh nam học sinh nữ xếp hàng dọc vào lớp Có cách xếp cho học sinh nam xen kẽ học sinh nữ Giải Đánh số từ đến Để hai học sinh nam xen kẽ học sinh nữ học sinh nữ đứng vị trí 1;3;5; 2;4;6; 3;5;7; 4;6;8; 5;7;9 Cách xếp học sinh nữ vào vị trí 3! Cách xếp học sinh nam xen kẽ học sinh nữ 6! Vậy có 5.3!.6! = 21600 cách Bài 7:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7} Có số gồm có chữ số đôi khác lấy từ tập A Từ tập A lập số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho tổng hai chữ số đầu cuối chia hết cho 10 Giải Gọi số có chữ số đơi khác lấy từ A n abcde Năm chữ số chọn từ A,đôi khác xếp theo thứ tự định nên số cần tìm chỉnh hợp chập phần tử => có tất A7 2520 số Gọi số cần tìm n abcdef Vì n số tự nhiên chẵn nên f có cách chọn Các số cịn lại có => có A cách chọn A = 2160 số Gọi số tự nhiên cần tìm n abcdef Vì tổng hai chữ số đầu số cuối chia hết cho 10 tức a f chia hết cho 10 => a; f {3;7; 4;6 } Khi ứng với a có cách chọn, ứng với cách chọn a có cách chọn f Chọn chữ số cịn lại có A cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 2.2.1 A = 480 số Bài 8: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A lập số có chữ số đơi khác cho có chữ số chẵn chữ số lẻ Giải Gọi số cần tìm n abcdef Chọn chữ số chẵn tổng số chữ số chẵn tập A có A cách chọn Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing Đặng Thị Linh Chi Chọn chữ số lẻ tổng số chữ số lẻ tập A có Theo quy tắc nhân có 3 A cách chọn A A = 1440 số Bài 9: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh Giải Mỗi tổ có học sinh giỏi Vì khơng phân biệt thứ tự tổ nên số cách tạo thành tổ có học sinh phải có học sinh giỏi học sinh Các học sinh lại tạo thành tổ thứ hai * Trường hợp 1: Có học sinh khá: +Có cách chọn học sinh giỏi + Chọn học sinh có C = 10 cách chọn + Chọn học sinh trung bình có C = 56 cách chọn Vậy có 3.10.56 = 1680 cách chọn * Trường hợp 2: Có học sinh khá: + Có cách chọn học sinh giỏi C + Có C + Có = 10 cách chọn học sinh =70 cách chọn học sinh trung bình Vậy có 3.10.70 = 2100 cách chọn Theo quy tắc cộng có 1680 + 2100 = 3780 cách chọn Bài 10: Người ta xếp ngẫu hiên phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh a) Có cách xếp để phiếu có số chẵn ln cạnh nhau? b) Có cách xếp để phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẽ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? Giải a + Khi nhóm chẵn bên trái, nhóm lẻ bên phải Số cách xếp cho số chẵn 2! cách Số cách xếp cho số lẻ 3! cách => có 2.6 = 12(cách) + tương tự có 12 cách xếp mà nhóm chẵn bên phải nhóm lẻ bên trái Vậy có 12 + 12 = 24 cách b + Xếp phiếu số 1, 2, 3, có 4! cách + Sau xếp phiếu số vào cạnh phiếu số có cách Vậy có: 2.24 = 48 (cách) Bài 11: Giải phương trình sau a x x x b C C C c C C 7 x 3 d e C x 6.C x 6.C x x 14 f x 1 x x4 x 3 A x 1 C x 3.P4 x 1 Ax C x 48 C x 5C x Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 10 Đặng Thị Linh Chi g C i C 20.C x 2x x 1 x h Cx k x2 C 12 x C x 1 A Cx Giải a x C C x C x ĐKXĐ: x , x Z Từ điều kiện xác định ta có x {0;1;2;3;4} Thử giá trị x vào phương trình ta thấy x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = Ax1 C x 3.P4 b ĐKXĐ: x , x Z ( x 1)! x! 3.4! ( x 3)! 1!.( x 1)! ( x 1)( x 2)( x 3)! x( x 1)! 72 ( x 3)! ( x 1)! ( x 1)( x 2) x 72 pt x x x 72 x x 77 x 11 x 7 Kết hợp điều kiện ta x 11 Vậy phương trình có nghiệm x 11 c C x 1 x4 C x 3 7x 3 x ĐKXĐ: x , x Z ( x 4)! ( x 3)! 7( x 3) 3!( x 1)! 3! x! ( x 4)( x 3)( x 2)( x 1)! ( x 3)( x 2)( x 1) x! 7( x 3) 6.( x 1)! 6.x! ( x 4)( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2)( x 1) 7.( x 3) 6 ( x 4)( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2)( x 1) 42.( x 3) ( x 4)( x 2) ( x 2)( x 1) 42 ( x > 0) pt Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 11 Đặng Thị Linh Chi x x ( x 3x 2) 42 3x 42 3x 36 x 12(T / m) Vậy phương trình có nghiệm x = 12 d x 1 x x A C 48 ĐKXĐ: x , x Z x! x! 48 ( x 2)! ( x 1)!.1! x.( x 1)( x 2)! x( x 1)! 48 ( x 2)! ( x 1)! pt x( x 1).x 48 x x 48 x 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = e (-17) C x 6.C x 12.C x x 14 ĐKXĐ : x , x Z x! x! x! 12 x 14 1!.( x 1)! 2!.( x 2)! 3!.( x 3)! x( x 1)! x( x 1)( x 2)! x( x 1)( x 2)( x 3)! (17) 12 x 14 ( x 1)! 2.( x 2)! 6.( x 3)! pt (17) (17) x x( x 1) 2.x( x 1)( x 2) x 14 (17) x x x x x x x 14 x 12 x 16 x 14 x x 8x ( x 7)( x x 1) x7 1 x 1 x Kết hợp điều kiện xác định ta có x = Vậy phương trình có nghiệm x = f C x 5C x Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 12 Đặng Thị Linh Chi ĐKXĐ: x , x Z x! x! 3!( x 3)! 1!( x 1)! x( x 1)( x 2)( x 3)! x( x 1)! 6.( x 3)! ( x 1)! x( x 1)( x 2) 5.x x( x 1)( x 2) 30 x ( x 1)( x 2) 30 x x x 28 pt x7 x 4 Kết hợp điều kiện xác định ta có x = Vậy phương trình có nghiệm x = g C 2x 20.C x ĐKXĐ: x , x Z (2 x)! x! 20 3!(2 x 3)! 2!( x 2)! x.(2 x 1).( x 2).( x 3)! x( x 1)( x 2)! 20 6.(2 x 3)! 2( x 2)! x(2 x 1)( x 2) 10 x( x 1) x(2 x 1)( x 2) 30 x( x 1) x(2 x 1).2.( x 1) 30( x 1) (2 x 1).2 30 (vì x ) x ( thỏa mãn) pt Vậy phương trình có nghiệm x = h A x2 C x 1 ĐKXĐ: x , x Z ( x 2)! ( x 1)! ( x 5)! ( x 3)!.2! ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5)! ( x 1)( x 2)( x 3)! ( x 5)! ( x 3)!.2 2.( x 2)( x 3)( x 4) ( x 1)( x 2) 2.( x 3)( x 4) x (vì x ) pt Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 13 Đặng Thị Linh Chi 2( x x 12) x x 15 x 25 x 5 x Kết hợp điều kiện xác định ta có x = Vậy phương trình có nghiệm x = i C x 1 x Cx ĐKXĐ: x , x Z x! x! ( x 1)!.1! 3!.( x 3)! x( x 1)! x( x 1)( x 2)( x 3)! ( x 1)! 6.( x 3)! 30 x x( x 1)( x 2) 30 ( x 1)( x 2) (vì x > 0) x 3x 28 = x7 x 4 pt Kết hợp điều kiện ta có x = Vập phương trình có nghiệm x = k C 12 x Cx ĐKXĐ: x 12 , x Z x! x! ( x 12)!.12! 8!( x 8)! ( x 8)! 12! ( x 12)! 8! ( x 8)( x 9)( x 10)( x 11)( x 12)! 11880 ( x 12)! ( x 8)( x 9)( x 10)( x 11) 11880 pt ( x 17 x 72).( x 21x 110) 11880 x 38 x 539 x 3382 x 3960 ( x 20)( x 18 x 179 x 198) ( x 20)( x 1)( x 19 x 198) x 20 ( x 12) Vậy phương trình có nghiệm x = 20 Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 14 Đặng Thị Linh Chi Bài 12: Giải bất phương trình sau a C n 1 C n 1 An A 2.C P c 2.C A 20 A 14P d C b 3 n n 1 2 n 1 n n 1 n 3 n 1 Giải a C n 1 C n 1 4 A n2 0 ĐKXĐ: n , n Z (n 1)! (n 1)! (n 2)! 0 4!.(n 5)! 3!.(n 4)! (n 4)! (n 1)( n 2)( n 3)( n 4)( n 5)! (n 1)( n 2)( n 3)( n 4)! (n 2)( n 3)( n 4)! 0 24(n 5)! 6.(n 4)! (n 4)! (n 1)( n 2)( n 3)( n 4) (n 1)( n 2)( n 3) (n 2)( n 3) 24 (n 2)( n 3)(n 1)( n 4) 4(n 1) 30 24 (n 1)( n 4) 4(n 1) 30 bpt n 5n 4n 30 n 9n 22 2 n 11 Kết hợp điều kiện xác định ta có n {5;6;7;8;9;10} b An 2.C n1 P2 3 ĐKXĐ: n , n Z Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 15 Đặng Thị Linh Chi n! (n 1)! 2! (n 3)! 3!.(n 4)! n(n 1)( n 2)( n 3)! (n 1)( n 2)( n 3)( n 4)! 2 (n 3)! 6.(n 4)! n(n 1)( n 2) (n 1)( n 2)( n 3) 3n(n 1)( n 2) (n 1)( n 2)( n 3) bpt 3n 9n 6n (n 6n 11n 6) 2n 3n 5n 2n 3n 1 n Kết hợp điều kiện xác định khơng có giá trị n Vậy bất phương trình vơ nghiệm c C An 20 n 1 2 ĐKXĐ: n , n Z (n 1)! n! 20 2!.(n 1)! (n 2)! (n 1).n.(n 1)! n(n 1)( n 2)! 20 2.(n 1)! (n 2)! n(n 1) 3.n.(n 1) 20 bpt n n 3n 3n 20 4n 2n 20 2 n Kết hợp với điều kiện ta có n = Vậy bất phương trình có nghiệm n = A d C n 1 n 3 14P3 n 1 ĐKXĐ n ; n Z (n 1)! (n 1)n(n 1)( n 2)( n 3)! (n 3)! (n 3)! bpt 14.3! 84 (n 1)! (n 1)( n 2)( n 3)! 2!(n 3)! 2.(n 3)! (n 1)n(n 1)( n 2) 42 (n 1)( n 2) n(n 1) 42 n n 42 Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 16 Đặng Thị Linh Chi 7 n Kết hợp điều kiện ta có n {3;4;5} Bài 13: Giải hệ phương trình sau m m Cn Cn a C n 153 x x 1 Cy Cy b Ay 20 Giải m m Cn Cn a C n 153 m 0, m Z ĐKXĐ: n 1, n Z nm n! n! m!(n m)! (n m 2)!(m 2)! hpt n! 153 (n 2)!.2! 1 m!(n m)( n m 1)( n m 2)! (n m 2)!(m 2)( m 1)m! n(n 1)( n 2)! 153 (n 2)!.2 1 (n m)( n m 1) (m 2)( m 1) n(n 1) 306 (n m)( n m 1) (m 2)( m 1) n n 306 (n m)( n m 1) (m 2)( m 1) n 18(t / m) n 17(loai ) n 18 (18 m)(17 m) (m 2)( m 1) n 18 2 306 35m m m 3m n 18 m Vậy m; n 8;18 nghiệm hệ phương trình Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 17 Đặng Thị Linh Chi x x 1 Cy Cy b Ay 20 x 0, x Z ĐKXĐ: y 2, y Z x y y! y! ( y x)!.x! ( x 1)!.( y x 1)! hpt y! 20 ( y 2)! 1 x!.( y x)( y x 1)! ( x 1) x!.( y x 1)! y ( y 1)( y 2)! 20 ( y 2)! 2x y x 1 y x 2x y y 5(t / m) y ( y 1) 20 y y 20 y 4(loai ) x y Vậy x; y 2;5 nghiệm hệ phương trình Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are playing, and dream while others are wishing 18