trờng đại học s phạm hà nội khoa toán tin ====***=== đề tài nghiệp vụ s phạm một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trong tr- ờng thcs Giảng viên hớng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn. Ngời thực hiện: Đỗ Văn Tâm Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS Hải Dơng năm 2006 mục lục A. những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối Trang 3 I: Các định nghĩa II: Các tính chất B. các dạng bài toán về giá trị tuyệt đối trong chơng trình THCS Chủ đề I: Giải phơng trình, hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I. Kiến thức cần lu ý II. Bài tập điển hình Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I. Kiến thức cần lu ý II. Bài tập điển hình Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối I. Đồ thị hàm số y = f( x ) II. Đồ thị y = f(x) III. Đồ thị y = )(xf IV. Đồ thị y = ( ) xf V. Đồ thị y = )(xf Chủ đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối I. Kiến thức cần lu ý II. Bài tập điển hình c. Đáp án d. tài liệu tham khảo e.kết luận f. giáo án thực nghiệm 3 6 9 9 9 10 14 14 14 17 17 18 19 20 20 24 24 24 26 30 31 32 2 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS Phần I: Lời nói đầu Giá trị tuyệt đối là một khái niệm đợc phổ biến rộng r i trong cácã ngành khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật, .Trong chơng trình Toán ở bậc THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số đợc gặp nhiều lần, xuyên suốt từ lớp 6 đến lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh nắm đợc cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bớc đầu hiểu ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa dần dần đa vào các quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy không có trong chơng trình giảng dạy song bài: " Giải phơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối" đợc rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy đủ cho học sinh nhất là các học sinh khá giỏi. Đến lớp 9, khi xét các tính chất của căn thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có thêm ứng dụng mới( đa một thừa số ra ngoài căn, đa một thừa số vào trong căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, .) Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tợng và quan trọng vì nó đợc sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS cũng nh THPT và Đại Học, .Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các bậc học sau. Trớc nhu cầu nâng cao kiến thức của bản thân cũng nh nâng cao kiến thức cho ngời dạy cũng nh ngời học về khái niệm " Giá trị tuyệt đối", chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS". Tôi mong rằng đề tài này của tôi sẽ giúp cho giáo viên cũng nh học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn GS. TS Tống Trần Hoàn đ hã ớng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt đề tài này ! Vì hoàn thành trong một thời gian ngắn nên đề tài còn nhiều hạn chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận đợc sự quan tâm, đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. 3 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS A. nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối I. Các định nghĩa 1. 1. Định nghĩa 1 Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ f: R R + a a với mỗi giá trị a R có một và chỉ một giá trị f(a) = a R + 1.2. Định nghĩa 2 Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là: a nếu a 0 a = -a nếu a < 0 Ví dụ1: 1515 = 3232 = 00 = 11 = 1717 = *Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu )(xA là: A(x) nếu A(x) 0 )(xA = -A(x) nếu A(x) < 0 Ví dụ 2: 2x - 1 nếu 2x- 1 0 2x - 1 nếu 2 1 x 12 x = = -(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0 1 - 2x nếu x < 2 1 1.3. Định nghĩa 3: Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là số đo( theo đơn vị dài đợc dùng để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số ( hình 1). Hình 1 Ví dụ 1: a = 3 = 3 3 a Do đó đẳng thức đ cho đã ợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với hai điểm trên trục số ( hình 2) 4 -a 0 a -a a Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS Hình 2 Tổng quát: = > = b b a b ba 0 ; == b b aba Ví dụ 2: a 3 nếu a 0 0 a 3 a 3 -3 a 3 -a 3 nếu a < 0 -3 a < 0 Do bất đẳng thức đ đã ợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn [ ] 3;3 và trên trục sôd thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [ ] 3;3 ( hình 3) Hình 3 Ví dụ 3: a 3 nếu a 0 a 3 nếu a 0 a 3 3 a hoặc a 3 -a 3 nếu a < 0 a -3 v nếu a < 0 Do bất đẳng thức đ đã ợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (- ; 3] và [3; + ) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tơng ứng với các khoảng số đó. (hình 4) Hình 4 Tổng quát: ba ba ba bài tập tự luyện Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả m n một trong các điều kiện sau:ã a) a = a b) a < a 5 -3 0 3 -3 0 3 -3 0 3 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS c) a > a d) a = -a e) a a f) a + a = 0 g) bba =+ Bài 2:Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau đây không đúng: a) a Z a > 0 b) a Q a > a c) a, b Z, a = b a = b d) a, b Q, a > b a > b Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng a) a = b a = b b) a > b a > b Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả m n một trong các điều kiện sau, sau ã đó biểu diễn các số tìm đợc lên trục số: a) a 1 b) a 3 c) a - 6 = 5 d) 1 < a 3 Bài 5: a) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho x < 50 b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y = 5 ( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau) c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y < 4 II - một số tính chất về giá trị tuyệt đối 2.1. Tính chất 1: a 0 a 2.2. Tính chất 2: a = 0 a = 0 2.3. Tính chất 3: - a a a 2.4 Tính chất 4: a = a Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối ngời ta rễ thấy đợc các tính chất 1, 2, 3, 4. 2.5. Tính chất 5: baba ++ 6 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS Thật vậy: - a a a ; - b a b -( a + b ) a + b a + b 2.6. Tính chất 6: a - b baba + Thật vậy: a = bababbabba ++ (1) babababababa ++=++= )( (2) Từ (1) và (2) đpcm. 2.7. Tính chất 7: baba Thật vậy: baba (1) bababaababab == )()( (2) = )( ba ba ba (3) Từ (1), (2) và (3) baba (4) babababababa ++ )( (5) Từ (4) và (5) đpcm. 2.8. Tính chất 8: baba = Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0 baba = (1) a > 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0 bababababa . === (2) a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và a.b > 0 babababababa .))(( ==== (3) a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và a.b < 0 babababababa .).( ==== (4) Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm. 2.9. Tính chất 9: )0( = b b a b a Thật vậy: a = 0 00 == b a b a b a (1) a > 0 và b > 0 a = a, b = b và b a b a b a b a ==> 0 (2) a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và b a b a b a b a b a = ==> 0 (3) a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và b a b a b a b a b a = ==< 0 (4) 7 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm. bài tập tự luyện Bài 6: Điền vào chỗ trống các dấu , , = để khẳng đinh sau đúng a, b a) ba + . a + b b) ba . a - b với a b c) baba . d) b a b a = Bài 7: Tìm các số a, b thoả m n một trong các điều kiện sau:ã a) a + b = a + b b) a + b = a - b Bài 8: Cho 3 < ca , 2 < cb Chứng minh rằng 5 < ba Bài 9: 8 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS Rút gọn biểu thức: a) a +a b) a - a c) a .a d) a : a e) 32)1(3 + xx f) )14(32 xx B. các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chơng trình THCS chủ đề i: giải phơng trình và hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I. các kiến thức cần lu ý 1.1 A(x) nếu A(x) 0 )(xA = ( A(x) là biểu thức đại số) -A(x) nếu A(x) < 0 1.2. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a 0) Nhị thức bậc nhất ax + b (a 0) sẽ: + Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của nhị thức. + Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. Giả sử x 0 là nghiệm của nhị thức ax + b khi đó: + Nhị thức cùng dấu với a x > x 0 + Nhị thức trái dấu với a x < x 0 1.3. Định lí về dấu của tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) - Nếu < 0, thì f(x) cùng dấu với a x 9 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS - Nếu 0 thì: + f(x) cùng dấu với a x nằm ngoài khoảng hai nghiệm + f(x) trái dấu với a x nằm trong khoảng hai nghiệm Hay - Nếu < 0 a.f(x) > 0 x - Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x 1 x 2 nếu x 1 < x < x 2 a.f(x) < 0 nếu x x 1 hoặc x x 2 a.f(x) > 0 Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu biểu thức không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức âm). Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dơng hay âm( dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai). Dấu của biểu thức thờng đợc viết trong bảng xét dấu. II. các bài tập điển hình 2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) - 3 x Thật vậy: + Với ( x - 3) 0 hay x 3 thì 3 x = x - 3 + Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì 3 x = -(x - 3) = 3 - x ta xét hai trờng hợp ứng với hai khoảng của biến x + Nếu x 3 thì A = 2(3x - 1) - 3 x = 2(3x - 1) - (x - 3) = 6x - 2 - x + 3 = 5x + 1 + Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) - 3 x = 2(3x - 1) - (3 - x) = 6x - 2 - 3 + x = 7x - 5 2.2 Rút gọn biểu thức B = 1 x - 5 x Thật vậy Với x-1 0 hay x 1thì 1 x =x-1 Với x-1<0 hay x<1thì 1 x = -(x-1)=1-x Với x-5 0 hay x 5 thì 5 x = x+5 Với x-5<0 hay x<5 thì 5 x =-(x-5) =5-x áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu sau: X 1 5 x-1 - 0 + + x-5 - - 0 + Từ bảng xét dấu ta xét ba trờng hợp ứng với ba khoảng của biến x Nếu x<1 thì B = 1 x - 5 x 10 [...]... dạng bài tập về giá trị tuyệt đối trong trờng THCS trên cơ sở đó mà các em có đợc tất cả các công cụ khi đứng trớc một bài toán chứa giá trị tuyệt đối Tóm lại, đề tài này đã phần nào giải quyết đợc những vớng mắc cơ bản khi gặp bài toán chứa giá trị tuyệt đối Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã giúp tôi hoàn thành đề tài này Ngày 15 tháng 5 năm 2006 Ngời viết 31 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS... cách từ -3 đến 0 là 3 đv +Kh cách từ 2 đến 0 là 2 đv +Kh cách từ 0 đến 0 là 0 đv * Định nghĩa: (SGK) -Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là: a ?.4 2 = 2; 2 = 2 1 = 1; 1 = 1 4 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS 1 = 1; ? So sánh 2 số nguyên âm rồi so sánh 2 giá trị tuyệt đối của chúng? ?NX gì về GTTĐ của 2 số đối nhau? 0 = 0; 5 = 5 1 = 1; 5 = 5; 3 = 3 0 = 0; * Nhận xét: (SGK) IV/ Củng cố:(9) -Gv treo bảng... soạn:2/12/ 05 Ngày dạy: 9/12/ 05 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên A/ Mục tiêu: - Hs hiểu và biết so sánh 2 số nguyên, tìm đợc giá trị tuyệt đối của 1 số nguyên - Rèn kỹ năng so sánh 2 số nguyên và tìm giá trị tuyệt đối của 1 số nguyên - Rèn tính cẩn thận trong so sánh và tìm giá trị tuyệt đối của số nguyên B/ Chuẩn bị: -GV: Bảng phụ, thớc thẳng -HS: Ôn tập các kiến thức về số nguyên đã học, thớc thẳng C/ Lên... dựng nêu trên, ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách dựng chung Cách dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối Cách dựng chung - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến ( xem chủ đề 1) 21 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS - Mỗi khoảng ta đều thu đợc một hàm tơng ứng Dựng đồ thị theo từng khoảng đang xét Ví dụ 1: Dựng đồ thị hàm số y... đề giá trị tuyệt đối là một trong những vấn đề tơng đối hay và khó Mỗi một phơng pháp giải nh là một chìa khóa giúp chúng ta tìm đợc những con đờng đi ngắn nhất trong quá trình khám phá chân lý của tri thức nhân loại Quá trình nghiên cứu của đề tài đã phần nào đó giúp cho học sinh có cách nhìn một cách khái quát hơn về giá trị tuyệt đối Đề tài đã giúp cho các em hệ thống đợc các dạng bài tập về giá trị. .. = 2 b) min B = -1 29 1 O x 2 c) Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS c) min C = 5 -2 x 3 1 2 2 f) Đặt |0,5x + x| = y min G = -9/4 y = 3/2 x1 = 1; x2 = -30 Bài 28: max H = 5 x 2 hoặc x -3 d) min D = 5 2 x e) min E = 3 -1 x 2 d tài liệu tham khảo 1 Giá trị tuyệt đối- I.I GAIDUCOP- NXB Giáo dục - 1973 2 Một số vấn đề phát triển đại số 7- Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục 1994 3 Toán nâng cao và... phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I các kiến thức cần lu ý 1.1 Các phép biến đổi bất đẳng thức a b a+c b+c a b a.c b.c ( c > 0 ) a b a.c b.c ( c < 0 ) 1.2 Các dạng cơ bản của bất phơng trình +Dạng 1: f ( x) a -a f(x) a a: số thực không âm f(x): hàm số một đối số +Dạng 2: âm f ( x) a f(x) a hoặc f(x) -a a: số thực không f(x):hàm số một đối số 14 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS +Dạng... Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 10) là đồ thị hàm số |y| = |x - 3| VI mở rộng Đối với mỗi dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối đều có một cách dựng riêng tơng ứng với nó Tuy nhiên trong thực tế có thể có các hàm số giá trị tuyệt đối không chỉ ở một dạng nêu trên mà nó là sự kết hợp của nhiều dạng khác nhau Đối với trờng hợp này chúng ta có thể dựng hàm số đó bằng cách kết hợp nhiều cách dựng... nhất x = 2/5 2 1 5 2.4 Giải phơng trình x = Thật vậy: áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có: x = 2 1 5 x = (1) 2 1 5 x = 5( 2) 2 1 11 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS x 2 = 6(1' ) Giải 1: x 2 1 = 5 x 2 = 6 x 2 = 6(2' ) Giải 1': x 2 = 6 x =8 x = 8 ( là nghiệm) Giải 2': x 2 = 6 x =4 x không có giá trị 1 5 4 Giải 2: x 2 = x 2 = ( không có nghĩa) Vậy phơng trình có hai ngiệm:... Bài 25 Dựng đồ thị của các hàm số sau: a) |y| = |x| b) |y - 2| = |x| a) y = |2|x| - 3| c) y = 1 - |x| 23 c) |y| = x2 + 1 c) |y - 1| = |x - 2| Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS chủ đề IV: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối I các kiến thức cần lu ý: Cho A, B là các biểu thức đại số 1.1 |A| 0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 ) 1.2 |A + B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy . 1 Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ f: R R + a a với mỗi giá trị a R có một và chỉ một giá trị f(a) = a R + 1.2. Định nghĩa 2 Giá trị tuyệt đối. góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. 3 Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS A. nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối I. Các định nghĩa