Lời cảm ơn Tô i xin chân thành cảm ơn giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, thầy cô phòng Sau Đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập thực đề tài Đặc biệt xin cảm ơn TS Nguyễn Văn Hùng trực tiếp hướng dẫn suốt trình nghiên cứu hoàn chỉnh đề tài Tác giả xin cảm ơn bạn học viên lớp K12 Toán Giải tích, bạn bè, đồng nghiệp ủng hộ, giúp đỡ có đóng góp quý báu suốt trình viết luận văn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS Nguyễn Văn Hùng Trong suốt trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm mở đầu 1.1 Nghiệm phương trình vi phân 1.2 Bổ đề bổ trợ 1.3 Dạng tắc NF 1.4 Dạng tắc mặt bất biến NFIS 13 Chương Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn mặt phẳng 2.1 Mặt phẳng pha 18 18 2.1.1 Một số khái niệm 18 2.1.2 Phân loại điểm cân 19 2.1.3 Khảo sát loại điểm cân 2.2 Bài toán tâm tiêu điểm 20 29 2.2.1 Phép biến đổi hữu hạn lũy thừa 29 2.2.2 Tiêu điểm trường hợp đại số 32 2.3 Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn 35 2.3.1 Phương trình rẽ nhánh 35 2.3.2 Nghiệm tuần hoàn rẽ nhánh 38 Chương Một số ứng dụng 42 3.1 Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn PTVP tuyến tính 3.2 Vẽ đồ POINCARÉ 48 3.3 Vẽ đồ toán EULER Kết luận 42 50 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết rẽ nhánh có nguồn gốc từ toán Lần xuất công trình nghiên cứu Lagrange, Euler, Poincare’, Liapunov… Hiện tượng rẽ nhánh xảy có mặt tham số toán phi tuyến Khi tham số thay đổi làm xuất thêm số nghiệm khác hệ cạnh nghiệm tầm thường Bài toán rẽ nhánh khảo sát phương trình hàm F x ,    (1) phương trình toán tử Nghiệm x phụ thuộc vào tham số    Giả sử họ nghiệm biết x  x   với lân cận 0 đủ nhỏ cho trước   0   làm xuất nghiệm x 0  Khi tham số  gọi rẽ nhánh hàm (hoặc toán tử) Rẽ nhánh phương trình vi phân phần lý thuyết định tính phương trình vi phân Bắt đầu từ toán đơn giản x  A  x  f t,  (2) x   , f t  ,   f t,  với 0 cho trước, tìm nghiệm x t, 0  phương trình (2) Nghiệm x t,  với   0 vấn đề rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân (2) Đề tài trình bày rẽ nhánh loại phương trình vi phân thường, phương trình tắc tro ng toán cục bộ, mặt phẳng Tuy nhiên vấn đề rẽ nhánh phương trình vi phân rộng lớn sâu rộng nhiều nhà khoa học quan tâm Với mong muốn tìm hiểu rõ ràng sâu rộng vấn đề rẽ nhánh phương trình vi phân nên chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức rẽ nhánh phương trình vi phân mặt phẳng ứng dụng thực tiễn Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ nội dung rẽ nhánh phương trình vi phân số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các kết rẽ nhánh phương trình vi phân số ứng dụng cụ thể luận văn gồm chương Chương 1: Một số khái niệm mở đầu Chương 2: Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn mặt phẳng Chương 3: Một số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Áp dụng phương pháp nghiên cứu giải tích toán học, phương pháp số đặc biệt phương pháp nghiên cứu giải tích hàm Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống kiến thức lý thuyết rẽ nhánh phương trình vi phân với số toán ứng dụng Chương Một số khái niệm mở đầu 1.1 Nghiệm phương trình vi phân Xét phương trình vi phân x  f x , t  (1.1) với x   n , f :  n      hàm vectơ giá trị thực Định nghĩa 1.1.1 Điểm x   n gọi điểm cân phương trình (1.1), f x , t   , t    Định lý 1.1.1 Hệ phương trình vi phân x  Ax  g t  (1.2) với A  n , g t     g t  t    Có nghiệm tuần hoàn giá trị riêng j ma trận A thỏa mãn: j A  2i K   - chu kỳ g t  , K - hệ số lặp giá trị riêng Chứng minh Chúng ta sử dụng công thức e At    At  k 0 k viết nghiệm tổng quát k! hệ (1.2) t x t   e x   e At t0 At s  g s ds (1.3) Giả sử x t     x t  , ta viết  x    e Ax   e A s  g s ds Chuyển e Ax phía trái biểu thức e A   E x0   e A s  g s ds (1.4) Ta thấy (1.4), E ma trận đơn vị thuộc n , x trở thành nghiệm phương trình đại số (1.4), x cho trước nhất, nên công thức   (1.5) j A  2i K  (1.6) det e A  E  suy Nhận xét • Nếu x 0  x điều kiện ban đầu nghiệm, nghiệm tuần hoàn x t  cho x    x 0  x • Mở rộng hệ phương trình vi phân x  Ax  g t  với dạng x  Ax  g t   h x , t,  (1.7) với   0 cho trước h x , t  ,   h x , t,  Bài toán đặt ra: Tìm nghiệm x t, , x  hệ phương trình (1.7) thỏa mãn x t  , , x   x t, , x , t    Định lý 1.1.2 Hệ phương trình (1.7) với hàm g t  h x , t,  tuần hoàn theo t có nghiệm tuần hoàn x t, x 0,  giá trị riêng j A thỏa mãn: j A  2i K  Chứng minh Theo nhận xét nghiệm tuần hoàn, theo điều kiện ban đầu ta có x , x 0,   x  (1.8) Đặt hàm  x 0,   x , x 0,   x (1.9) Nếu   hiển nhiên  x 0, 0  ta có định lý vừa khảo sát Nếu   Hàm  x 0,  (1.9) cho phép tìm hàm ẩn x   n Muốn có hàm ẩn điều kiện đủ là: det  x 0  (1.10)  (1.11) Hay  det e A  E  Suy j A  2i K (đpcm)  1.2 Bổ đề bổ trợ Định nghĩa 1.2.1 (Đa thức đồng thức VHP) Vectơ hàm X x  gọi đa thức đồng thức (VHP: Vector Homogeneous Polynom) bậc l , lân cận gốc tọa độ, chuỗi X k x  hội tụ Nếu chuỗi X k x  không hội tụ, không khẳng định hội tụ chuỗi X k x  gọi chuỗi hình thức Vi phân chuỗi hình thức tiến hành tương tự vi phân chuỗi hội tụ (Một cách hình thức) Một chuỗi X k x  đề tài thường bắt đầu số hạng có bậc lớn Định nghĩa 1.2.2 (Sắp xếp thứ tự)   Chúng ta nói cặp k *, q * vượt cặp k*, q*  có: k *  k*  0, q1*  q1*  0, q2*  q2*  0, , qn*  qn *  (1.12) Xét toán tử L : VHP  VHP biến hệ số X l vào hệ số LX l với định nghĩa sau: LX l  X l Ax  BX l x (1.13) A  N n , B  N m Mỗi toán tử L tương ứng với ma trận  biến hệ số X l vào hệ số LX l q  Định lý 1.2.1 Giá trị riêng k ma trận  ứng với toán tử L công thức (1.13) có dạng q  k  q, k   k  (1.14)  với k  1, m, q  l k  k1, k2, , kn - giá trị riêng   N n 1, 2, , m - giá trị riêng B  N m ; q, k   q1k1  q2k2   qnkn Chứng minh Thực phép biến đổi không suy biến x  Sy, h x   Tg y  (1.15) với x , y   n , h - đa thức VHP khác không cho S 1AS  J - Jordan A T 1BT  J - Jordan B h đa thức riêng toán tử L với Lh  h (1.15) Còn g tác động L có g 1 S ASy  T 1BTg y   Ag y  y (1.17) X l 1 LX  S ASx  T 1BTX l x (1.18) Với chuỗi X l ta có * l Giả sử J 1, J ma trận dạng Jordan – tam giác phần tử không nằm đường chéo tương ứng     k k  2, n k k  2, m Ta xét ma trận Z  N nn toán tử L* Đặt L*h  f xét hk kix i  ix i 1   khk   khk 1 i 1 x i n fk x    hệ số fk là: q  fk n q  q e  q, k   k  hk   1  qi  ihk   i 2 i 1 ei  q   k hk 1 ei đơn vị Chúng ta có Z dạng tam giác với số 41 df 0  , G “xích” giới hạn nghiệm dP Định lý 2.3.1 Nếu rk , r0,  , nghĩa rk , r0,   G k   Chứng minh df Ta có f P   r0  f P   f 0  P  dP với    Vì (2.57) df 0  nên fP   r  q P dP Pk  f Pk 1   r0, k  , Pk  q Pk 1 Pk  k   Vậy nghiệm có quỹ đạo Spiral tiệm cận đến đường cong kín G Định lý chứng minh Định lý 2.3.2 Nếu hệ (2.34) thỏa mãn điều kiện đây: a  0  0,   0  b Có trường hợp đại số (2.28) Khi tồn    r0   giải tích r0  r *    r0   có chu kỳ,   , điểm cân hệ tiêu điểm hội tụ rẽ nhánh chuyển trạng thái, hay   sang   qua   Định lý 2.3.3 Nếu hệ (2.34) thỏa mãn điều kiện dây: a  0  0,   0  b Có trường hợp siêu việt (2.39) Khi rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn Chương Một số ứng dụng 3.1 Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng x  A  x  f , x  với A  N , A   aij  22 (3.1) ma trận thực giải tích chiều ,   0 cho trước, vectơ x   2, f , x  hàm liên tục  , x tuần hoàn x thỏa mãn: f , 0  0, f , 0  x (3.2) Giả sử ma trận A  có giá trị riêng k1, k2    i   (3.3)  1    i    a12   a22   i a11   a22   4a12 a21      (3.4)  ,   - giải tích theo ,   0 Trường hợp Tiêu điểm trường hợp đại số Nếu đặt 43 y  re i   y2  re i  (3.5) ta có hệ tọa độ cực r    r  R r , ,        r   r , ,   (3.6) với R 0, ,    0, ,   R 0, ,   r (3.7) Chuyển hệ (3.6) thành phương trình n    dr  r   d j  r 2N 1  r 2N 3Q r , ,  d    j 1 (3.8) Vì r , r0,  thỏa mãn điều kiện r 0, r0,   r0 hàm giải tích theo r0 ,  nên r , r0,  qua r0   Theo định lý (2.34) phát biểu phương trình (3.8) hay hệ (3.1) có quỹ đạo đóng phương trình rẽ nhánh tồn nghiệm  h r0,   f r0,   r0  (3.9) Trường hợp Trường hợp siêu việt Giả sử hệ y  J  y  F , y  , hệ y  J  y  Y y,  (3.10) đưa dạng:     (3.11) P1 z1z 2, 0  P2 z1z 2, 0  iH z1z  (3.12)   z1     i   z1  z1P1 z1z 2,     z     i   z  z P z z ,  1 1   44 H z1z  chuỗi thực, số hạng tự thỏa mãn điều kiện a  0  0,   0  b Có trường hợp siêu việt rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn Ví dụ 3.1.1 Xét hệ phương trình vi phân   x1  x  x   x    2 x    1 x  x 13  x 12x     (3.13) 0   1       Ma trận A     , hàm F , x           x x x      2 Các giá trị riêng     i  2 k      i   2 k1     (3.14)  thỏa mãn   Trong (3.14) ta có:  0  1,  0  0,   0  Khi   , ta có hệ sinh (3.1.13)   x1  x  x   x2  2x  x  x 13  x 12x   (3.15) Ta khảo sát dáng điệu nghiệm hệ (3.15) có tiêu điểm ổn định có rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn chuyển đổi trạng thái 1   Ma trận A    , k  i 2 1 1,2 Các vectơ riêng S S tính qua AS j  k j S j , j  1,2, 45    1       S   i  1, S   i  1         Đổi biến   x  z1  z   x  2z1   Ta có hệ NFIS    z1  z  z1  z  z1  z        z   z  z   z1  z   2   (3.16) Đưa hệ tọa độ cực thực: z  r cos  1  z  r sin   (3.17) Sẽ cho hệ phương trình vi phân hệ tọa độ cực   r   r cos   sin 2 cos   sin 2        r cos   sin  cos   sin     (3.18) tương đương phương trình dr   r cos2 2  O r d   phương trình (3.19) có nghiệm dạng  r r0,   r0   ak  r0k k 2 với hệ số a2   a2   (3.19) 46 a 3    cos2 2  g  a 2 2 g    cos2 2d  Như với g  g 3  0  đủ nhỏ, ta có tâm điểm ổn định phương trình rẽ nhánh h r0,   f r0,   r0  có nghiệm    r0  thỏa mãn   Với  đủ nhỏ:   , có nghiệm tuần hoàn bên cạnh nghiệm tuần hoàn hệ (3.15) Ví dụ 3.1.2 Xét hệ phương trình vi phân   x1  x  x   x  x 12  x 1x    2 x    1 x    (3.20) Giá trị riêng ma trận  1    A        1     i  2 ,   nghiệm phức Hơn  0  1,  0  0,   0  Khi   hệ sinh   x1  x  x   x  2x  x  x 13  x 12x    có ma trận 1   ,   i A    1,2    (3.21) 47 vectơ riêng S 1, S thỏa mãn S  S S  1 S11       1 2 1S   i S       suy    1       S   i  1, S   i  1         Biến đổi Afin   x  z1  z   x  2z1   ta có    z1  z  z1  z  z1  z       z   z  z   z1  z   2   (3.22) đổi biến tọa độ cực   z1  r cos    z  r sin   ta có   r   r cos   sin 2 cos   sin 2        r cos   sin  cos   sin     (3.23) tương đương phương trình dr   r cos2 2  O r d   nghiệm có dạng (3.24) 48  r r0,   r0   ak  r0k k 2 hệ số a2   a2   a 3    cos2 2  g  a 2 2 g    cos2 2d  Như với g  g 3  0  đủ nhỏ, hệ cho có tâm điểm ổn định phương trình rẽ nhánh h r0,   f r0,   r0  có nghiệm    r0  thỏa mãn   Với  đủ nhỏ:   , có nghiệm tuần hoàn bên cạnh nghiệm tuần hoàn hệ (3.21) 3.2 Vẽ đồ POINCARÉ Bài toán Poincaré tổng quát sau “ Trong mặt phẳng pha  vẽ tranh dáng điệu nghiệm điểm kỳ dị Nếu có chuyển đổi trạng thái điểm kỳ dị có xuất rẽ nhánh Bộ trang trí xuất lân cận điểm kỳ dị chúng gọi đồ Poincaré” Muốn giải toán Poincaré cần tiến hành ba bước sau: Bước Tìm nghiệm tầm thường hệ x  Ax  X t, x  (3.25) 49 với x   2, A   2, X t, x  - chuỗi hàm Bước Xác định chuyển đổi trạng thái qua điểm kỳ dị Bước Tìm phụ thuộc nghiệm tuần hoàn tham số  hệ x  A  x  X t, x ,  (3.26) với  đủ nhỏ:   0 cho trước Giải toán Poincaré Vì hệ phương trình (3.25) có nghiệm tuần hoàn, nên từ đầu ta xét dạng x  i   X t, x , x    x  i   X t, x , x  (3.27) Phương trình thứ hai (3.27) dạng liên hợp phương trình thứ với phép biến đổi x  y  h t, y, y    x  y  h t, y, y   (3.28) y  i y  yP yy    y  i y  y P yy   (3.29) có hệ a Với trường hợp đại số  2 2N  Khi g r0   1  gr  r công thức cho phép ta khẳng định:    Hệ có tiêu điểm ổn định g  tiêu điểm không ổn định g  50 b Với trường hợp siêu việt Hệ có tiêu điểm g  , tiêu điểm ổn định g  tiêu điểm không ổn định g  Sau ta có vài dạng đồ Poincaré O Hình 3.2.1 Vài dạng đồ Poincaré 3.3 Vẽ đồ toán Euler Giả sử moment quán tính vật thể thỏa mãn A1  A2  A3 Tọa độ trọng tâm (khối lượng quán tính) x 1, x 2, x góc quay vật thể ký hiệu  , đơn vị e Khi hàm Hamilton chuyển động có dạng 51 H  A,    x,e (3.30) với A  diag A1, A2, A3 , I  A, e Bài toán Euler Mô tả phân nhánh  mặt phẳng   h,C  h - hàm lượng Hamilton, C - đường thẳng ngang C  I  , I - dạng trơn nhẵn Vị trí cân bằng,   , điểm kỳ dị C2 uC  Ae,e gần điểm 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 Các điểm cân tương ứng với chuyển động quay quanh trục quán tính C2 Ce Vì   nên h  ;  k  Khi ứng với điểm  2Ak Ae,e C2 lân cận 0  có đường cong parabol h  2Ak 52 h C Hình 3.3.1 Bức tranh rẽ nhánh toán Euler 53 Kết luận Dưới hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, tác giả hoàn thành luận văn kế hoạch đạt mục đích nghiên cứu đề Cụ thể luận văn gồm ba chương: Chương 1: Đề cập đến số khái niệm mở đầu Gồm kiến thức chuẩn bị cho chương 2, chương nghiệm phương trình vi phân, bổ đề bổ trợ, dạng tắc NF, dạng tắc mặt bất biến NFIS Chương 2: Nghiên cứu số khái niệm, định lý rẽ nhánh phương trình vi phân mặt phẳng pha, phân loại điểm cân bằng, khảo sát điểm cân bằng, toán tâm tiêu điểm, rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn Chương 3: Áp dụng kết rẽ nhánh phương trình vi phân vào số ứng dụng Tác giả mong đề tài có đóng góp đáng kể, hữu ích việc áp dụng để giải số toán ứng dụng có sử dụng công cụ rẽ nhánh phương trình vi phân Do thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý thấy cô giáo bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! 54 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng việt [1] Nguyễn Đình Bình (2008), Chuỗi phương trình vi phân, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [2] Đào Huy Bích (1998), Phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Thế Hoàn (2009), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Đình Phư (1996), Lý thuyết ổn định ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Đình Phư (2000), “Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn phương trình toán tử”, Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 103 – 107 [6] Nguyễn Doãn Phước (2000), Hệ phi tuyến, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [7] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tiếng Anh [8] Anosov D., Arnold V and et al (1998), Dynamical system, I Springer Verlag [9] Arnold V (1963), Small Divisors problems in classical Celestial Mechanics Russian Math Surver 18 [10] Dulac H (1923), “On limit cycles”, Bul Soe Math Tom 51, 45 188 55 [11] Degiovani M (1989), “Bifurcation problems for nonlinear elliptic variational Inequalities”, Ann Fac Sci Toulouse, 215 – 258 [12] Kucer M (1982), “Bifurcation points of variational nequalities”, Czech math J, 208 – 226 [13] Nguyen Van Dao (1998), Stability of Dynamic Systems VNU – Hà Nội [14] Vy, Khoi le and Klaus Schmit (1997), Global Bifurcation in Variational Inequalities, Springer – Verlag