ữủ t t trữớ sữ ữợ sỹ ữợ ự ữủ tọ ỏ t ỡ t tợ ự ữủ ữớ t ữợ tr t ỳ q tr t ự ổ q t t t ữợ t ữỡ tr t ữủt q ỳ õ tr q tr t tọ ỏ trồ ỏ t ỡ t s s t t ữủ ỷ ỡ t trữớ sữ ỏ t ổ tr trữớ t ổ t t t ủ tr q tr t t ự tọ ỏ t ỡ tợ ữớ t t t õ t t t ổ ổ tr ự r tổ ữợ sỹ ữợ s ự ữủ r q tr ự t tổ tứ ỳ t q ợ sỹ tr trồ t ỡ t ử ữỡ tự ổ tr ỵ t rst tr ổ tr ữỡ ổ tr t ổ tr ỵ t rst tr ổ tr ữỡ ổ tr st t ổ tr st ố t ởt số t ỡ ổ tr st ỵ t rst tr ổ tr st t t R t số tỹ Rk ổ k t số + t số ổ F : X 2X \{} tr tứ X 2X \{} S(x0 , r) t x0 r S[x0 , r] õ t x0 r [x] t t t x [d(x, y)] t t số d(x, y) (x, y) út tr d(x, y) (x, y) út d(x, y) I{a} a F ố t tú ự é ỵ t t tt ự s X ởt ổ T : M M tứ t M ổ X õ Pữỡ tr T x = x(x M ) ữợ t sỹ tỗ t õ x M tọ ữỡ tr T x = x ữủ t T tr t M ự tr õ ỹ qt t t q trồ tr õ r tr tt õ ởt ữợ ự ợ t út t q t t q ỹ t ỵ tt t r õ õ t q q trồ t ỵ t rst ữ r t õ tứ t X [0; 1] õ õ rt t q t ự ữ r ữ r ổ tr r rở t q t rst s ổ r ữ r tr st õ sỹ rở st tr tổ tữớ t t d(x, y) ữớ t t ố Fx,y (t) st d(x, y)(t) < t ợ t ởt số tỹ t út sỹ q t t t r r ỹ t ỵ tt ổ tr st t t s t ụ r rở t q t rst s ổ tr st ợ ố t s ỡ ỵ t rst tr ổ tr ổ tr st ữủ sỹ ú ù ữợ t t ự ữủ tổ t ự t rst tr ổ tr ổ tr st ự ự t ỹ ởt tờ q ỵ t rst tr ổ tr rở t q s ổ tr st ổ tr ự ỹ tr t q t r tr t trs tr rst tr ss ự ự tố t q t ữủ t rst tr ổ tr s ổ tr st ố tữủ ự t rst tr ổ tr ổ tr st ự Pữỡ ự ự t ủ tự ự õ õ ợ ởt tờ q t rst tr ổ tr ổ tr ổ tr st t ú ữớ t ữủ ố q ỳ ổ tr ợ ổ tr ổ tr st t q t rst tr ổ tr ổ tr ổ tr st ữỡ tự r ữỡ ú tổ tr ổ tr ổ tr ố ũ ú tổ tr ỵ t rst tr ổ tr ổ tr ổ tr ởt (X, d) tr õ X ởt t ủ rộ (d : X ì X R) d ởt số tr tọ s d(x, y) 0, d(x, y) = x = y, x, y X; d(x, y) = d(y, x), x, y X; d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X d ữủ tr tr tỷ x X ìX X số d(x, y) ỳ y ổ tr ữủ ỵ (X, d) ợ tỡ t ý x = (x1, x2, , xk ), y = (y1, y2, , yk ) tở ổ tỡ tỹ k Rk k số ữỡ õ t k (xj yj )2 d(x, y) = j=1 õ (Rk , d) ởt ổ tr õ k (xj yj )2 ợ x, y Rk j=1 r d(x, y) 0, x, y Rk õ k (xj yj )2 = d(x, y) = j=1 k (xj yj )2 = j=1 (xj yj )2 = 0, j = 1, 2, , k xj = yj , j = 1, 2, , k x = y d(x, y) = x = y tr tự tọ trữợ t t ự t tự s ợ 2k số tỹ aj , bj (j = 1, 2, , k) t õ k k a2j aj bj j=1 t k j=1 b2j j=1 k k (ai bj aj bi )2 i=1 j=1 k k k a2i b2j = k k i=1 j=1 k a2j = i=1 j=1 k b2i j=1 aj bj i=1 k b2i j=1 j=1 k k k a2j aj b j aj bj i=1 k a2j j=1 r k a2j b2i bi aj bj + i=1 j=1 k k j=1 j=1 b2i i=1 ứ õ s r k k k a2j aj bj j=1 j=1 b2j j=1 ợ tỡ t ý x = (x1 , x2 , , xk ), y = (y1 , y2 , , yk ), z = (z1 , z2 , , zk ) tở Rk t õ k (xj yj )2 d (x, y) = j=1 k [(xj zj ) + (zj yj )]2 = j=1 k k (xj zj ) + = j=1 k (zj yj )2 (xj zj )(zj yj ) + j=1 j=1 (a, b) = min{a, b} t õ t s t tự tỹ s t õ (a, b) = max{a + b 1, 0} = a + b (a, b) a + b < a + b = ab a, b [0; 1] a 0, b r ab a b + = (a 1)(b 1) ab a + b t a, b [0; 1] ab min{a, b} t õ 2 3 ổ tr st ổ tr st rst tr s ởt s tự tỹ ố (X, F) é X ởt t rộ F = {Fx,y (t) : x, y X}, t R tọ s Fx,y (0) = 0, x, y X Fx,y (t) = 1, t > x = y Fx,y (t) = Fy,x (t), t R, x, y X Fx,y (t1 ) = Fy,z (t2 ) = t Fx,z (t1 + t2 ) = 1, x, y, z X ổ tr (X, d) st P x, y X; t R t Fx,y (t) = P {d(x, y) < t} ố F = {Fx,y (.)} ởt tr st tr X tr tr õ Fx,y (0) = P {d(x, y) < 0} d(x, y) 0, x, y X, P {d(x, y) < 0} = P () = õ Fx,y (0) = 0, x, y X ự Fx,y (t) = 1, t > x = y P {d(x, y) < t} = 1, t > x = y t ứ Fx,y (t) = 1, t > t ự x = y x = y t d(x, y) > t t1 = d(x, y) t trũ t R ợ t1 > t2 > < t2 < t1 P {d(x, y) < t} = 1, t > P {d(x, y) < t2 } = t1 = d(x, y) õ P {d(x, y) < t2 } = P {t1 < t2 } = P {} = t ợ x = y ứ x = y t ự Fx,y (t) = 1, t > x = y t t > t õ Fx,y (t) = Fx,x (t) = P {d(x, x) < t} = P {0 < t} = Fx,y (t) = 1, t > 0, x, y X x = y d(x, y) = d(y, x), x, y X Fx,y (t) = P {d(x, y) < t} = P {d(y, x) < t} = Fy,x (t) Fx,y (t) = Fy,x (t) sỷ t õ Fx,y (t) = P {d(y, x) < t} = 1, x, y X, t R, Fy,x (s) = P {d(y, z) < s} = 1, y, z X, s R ự Fx,z (t + s) = P {d(x, z) < t + s} = t Fx,y (t) = P {d(y, x) < t} = d(x, y) < t, x, y X, Fy,x (s) = P {d(y, z) < s} = d(y, z) < s, y, z X r d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < t + s, x, y, z X õ Fx,z (t + s) = P {d(x, z) < t + s} = F = {Fx,y (.)} ởt tr st tr X ổ tr st r r rst tr s ởt õ tự tỹ (X, F) ổ tr st t (X, F, ) r õ tọ s Fx,y (0) = 0, x, y X Fx,y (t) = 1, t > x = y Fx,y (t) = Fy,x (t), t R, x, y X (Fx,y (t), Fy,z (s)) Fx,z (t + s), t, s R, x, y, z X t t ổ tr st r trữớ ủ r ổ tr st tứ trũ ợ t t tr t sỷ Fx,y (t) = 1, Fy,z (s) = 1, t, s R ợ x, y, z X t Fx,z (t + s) (Fx,y (t), Fy,z (s)) = (1, 1) = ố sup Fx,y (t) = 1, tR s r Fx,z (t + s) = ổ tr st r trữớ ủ r ổ tr st t ởt ổ tr st r ụ ởt ổ tr t t L(a, b) = S(a, b) = (1 a, b) ợ a, b [0; 1] ợ s < sx,y = sup{s : Fx,y (s) = 0} d(x, y)(s) = F (s) ợ s s x,y x,y t L(0, 0) = 0, S(1, 1) = (0, 0) = L ổ ố ợ sỷ a c, b d ợ a, b, c, d [0; 1] t a c, b d ổ ố ợ (1 a, b) (1 c, d) r S(a, b) S(c, d) S ổ ố ợ ợ x, y X, {Fx,y (s)} ổ ỷ tử ữợ õ d(x, y)(s) ổ t ỷ tử tr tr [sx,y ; +) r d(x, y)(s) ỗ d(x, y)(sx,y ) = d(x, y) ởt số ổ ự L, S, d tọ t ự d(x, y) = I{0} t x = y t t õ d(x, y) = I{0} d(x, y)(s) = ợ s = ợ s = r sx,y = F (s) = 1, s > x,y ứ Fx,y (t) = 1, t > x = y, t s r x = y ữủ t ự x = y t d(x, y) = I{0} t tứ x = y t õ Fx,y (s) = Fx,x (s) = 1, s > t tứ Fx,y (0) = 0, x, y X, s r Fx,x (0) = ứ t õ sx,y = sx,x = sup{s : Fx,x (s) = 0} = õ tứ x = y t õ d(x, y)(s) = d(x, x)(s) = F ợ s < x,x (s) Fx,x (0) = Fx,x (s) = 1, s > ợ s = d(x, x)(s) = ợ s = ợ s d(x, x)(s) = I{0} d(x, y)(s) = I{0} x = y ứ Fx,y (t) = Fy,x (t), t R, x, y X r Fx,y (t) = Fy,x (t), t sx,y d(x, y)(s) = d(y, x)(s), s R d(x, y) = d(y, x), x, y X t ữủ tọ ự L, S, d tọ t t õ (x, y) = sx,y , (y, z) = sy,z , (x, z) = sx,z õ ợ s (x, y) u (y, z) s + u (x, z) t õ d(x, y)(s) = Fx,y (s), d(y, z)(u) = Fy,z (u), d(x, z)(s + u) = Fx,z (s + u) Fx,z (s + u) (Fx,y (s), Fy,z (u)) Fx,z (s + u) (Fx,y (s), Fy,z (u)) = (1 (1 Fx,y (s)), (1 Fy,z (u))) = S(1 Fx,y (s), Fy,z (u)) õ Fx,z (s + u) S(1 Fx,y (s), Fy,z (u)) d(x, z)(s + u) S(d(x, y)(s), d(y, z)(u)) (X, d, L, S) tr ởt ổ tr ổ tr st r ụ ởt ổ tr t ổổ tr ổ tr st r ữủ s r t tở t số U = {Ux (, ) : > 0, (0; 1)}, tr õ Ux (, ) = {y X : Fx,y () > } ởt ỡ s x tổổ (, )tổổ t (, )tổổ tổổ Td trũ ổ tr st r (X, F, ) {xn } X ữủ tử tợ ỵ tỗ t ởt số ữỡ ợ xX ợ N = N (, ) >0 s >0 tý Fxn ,x () > n > N lim Fxn ,x () = n ổ tr st r (X, F, ) {xn } X ữủ ợ tỗ t ởt số ữỡ N = N (, ) s n, m > N lim Fxn ,xm () = m,n >0 >0 tý ỵ Fxn ,xm () > ợ ởt ổ tr st r (X, F, ) ữủ tr tở X tử ởt X (X, F, ) ởt ổ tr st r {xn } X sỷ = min{a, b} tỗ t ởt số h (0; 1) s Fxn ,xn+1 (ht) Fxn1 ,xn (t), t > 0, n = 1, 2, 3, t {xn } ởt tr X tt t õ Fxn ,xn+1 (ht) Fxn1 ,xn (t), t > 0, n = 1, 2, 3, Fxn ,xn+1 (t) Fxn1 ,xn r Fxn ,xn+1 (t) Fxn1 ,xn t h t , t > 0, n = 1, 2, 3, h Fx1 ,x2 t hn1 m t ý õ t õ t t + 2 t t Fxn ,xn+1 , Fxn+1 ,xn+m 2 t = Fxn ,xn+1 , Fxn+1 ,xn+m t Fxn ,xn+1 , Fxn+1 ,xn+2 Fxn ,xn+m (t) = Fxn ,xn+m t t , Fxn+2 ,xn+m t ããã ããã ããã Fxn ,xn+1 t , Fxn+1 ,xn+2 t , , Fxn+m1 ,xn+m t 2m r t , Fxn+1 ,xn+2 Fxn ,xn+m (t) Fxn ,xn+1 t , , Fxn+m1 ,xn+m t 2m ứ t õ Fxn ,xn+m (t) Fx1 ,x2 t 2m hn1 ợ h (0; 1), t > 0, m t ý t õ t n 2m hn1 sup Fx1 ,x2 t 2m hn1 = ợ > n ợ t ữủ t 2m hn1 Fx1 ,x2 > r Fxn ,xn+m (t) > õ t õ lim Fxn ,xn+m (t) = n {xn } ởt tr X ỵ t rst tr ổ tr st ỵ (X, F, ) ổ tr st r : X R+ s ợ ỷ tử ữợ f : X X xX sup s : Fx,f (x) (s) (x) (f (x)), (0; 1] f õ t t ởt t L(a, b) = S(a, b) = (1 a, b) ợ a, b [0; 1] ợ s < sx,y = sup{s : Fx,y (s) = 0} d(x, y)(s) = F (s) ợ s s x,y x,y õ (X, d, L, S) ởt ổ tr lim+ S(a, a) = a0 ợ (0; 1] x, y X t d(x, y)(s) Fx,y (s) Fx,y (s) r (x, y) = sup{s : d(x, y)(s) } = sup{s : Fx,y (s) } õ t tt ỵ sup{s : Fx,f (x) (s) } (x) (f (x)), (0; 1] (x, f (x)) (x) (f (x)), (0; 1] ỵ t f õ t t ởt t ỵ (X, F, ) ổ tr st r : X R+ F : X 2X \{} y F (x) ỷ tử ữợ tr s ợ x X tỗ t sup {s : Fx,y (s) } (x) (y), (0; 1] F õ t t ởt t x F (x ) tt ỵ x X, y F (x) (0; 1], sup{s : Fx,y (s) 1} (x)(y) t f (x) = y t ữủ ởt f : X X tọ x X, (0; 1], sup{s : Fx,f (x) (s) } (x) (f (x)) ỵ t x X s x = f (x ) x F (x ) r ữỡ ú t tố ởt số tự q trồ ổ tr st ổ tr st r t q rở q trồ t rst tr ổ tr st tr ởt õ tố ổ tr ổ tr st t rst tr ổ t ữỡ tố ởt số ỡ tr ởt số tự ổ ự ữỡ s ữ ổ tr sỹ ổ tử tr ổ tr ỵ t rst ữỡ r ổ tr t tr ổ tr ữỡ r ổ tr st t tr ổ tr st ỹ rở tr rt ỳ sỹ t tr ỵ tt t t ữủ tr tr ỏ ụ ữ t ữủ rở t tr ợ tớ õ ổ tr ọ ỳ t sõt q t ổ õ ỵ ữủ t t ỡ t t t Pử t t tt t t ộ ữ ổổ ữỡ t tt ộ ỗ ỵ t t ữ t r trt r rt qts rst tr ss t r r tt st s t s t tr t sts tr ss ts r t trs tr rst tr ss Prr t r t t (, ) t rst ss s t P rt r tr ss ts ts ts sts tt tt r st tr ss t tr tt s rt t s r t tr tr ss t r t ss tr t ss r r t t trs r t r tr ss ts sts