1 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Hoa, người tận tình dạy, cung cấp cho kiến thức tảng, trực tiếp để hoàn thành luận văn Thầy người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội Giáo sư, Tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quí báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Nguyễn Minh Vương LỜI CAM ĐOAN Tên : Nguyễn Minh Vương, học viên cao học khóa 2008 – 2010, chuyên nghành Vật lý lý thuyết vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “Các thuật toán thông tin lượng tử ”, kết nghiên cứu, thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có không trung thực luận văn xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Nguyễn Minh Vương MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Nội dung Chương 1: Giới thiệu khái niệm thông tin lượng tử 1.1 Giới thiệu 1.2 Các khái niệm 13 1.2.1 Bit lượng tử 13 1.2.2 Rối lượng tử 19 1.2.3 Trạng thái kết hợp 21 1.2.4 Qubit dạng chồng chập hai trạng thái kết hợp 26 Chương Các thuật toán thông tin lượng tử 31 2.1 Giới thiệu 31 2.2 Tiền đề 34 2.2.1 Thuật toán Deutsch 34 2.2.2 Thuật toán Deutsch-Josza 36 2.2.3 Thuật toán Simon 39 2.3 Thuật toán phân tích thành thừa số Shor 41 2.3.1 Rút gọn từ phân tích thành việc tính toán thời gian 41 2.3.2 Thực thi QFT 43 2.3.3 Thuật toán Shor cho việc tính toán thời gian 44 2.4 Thuật toán Grover 46 2.5 Những thuật toán khác 48 2.5.1 Vấn đề nhóm phụ ẩn 48 2.5.2 Thuật toán nghiên cứu 50 2.5.3 Những thuật toán khác 51 2.6 Những phát triển gần 52 2.6.1 Bước lượng tử 52 2.6.2 Thuật toán lượng tử đoạn nhiệt 54 Chương Một số vấn đề giải pháp thuật toán thông tin lượng tử 57 3.1 Vấn đề 57 3.2 Vấn đề 58 3.3 Vấn đề 60 3.4 Vấn đề 62 3.5 Vấn đề 64 3.6 Vấn đề 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử trở thành lĩnh vực thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học Nó xem lĩnh vực có khả tạo đột phá mạnh mẽ lĩnh vực khoa học kỹ thuật có liên quan đến tính toán, thông tin liên lạc, phép đo xác khoa học lượng tử Lý thuyết thông tin cổ điển Claude Shanon phát minh cách 50 năm phát triển trở thành nhánh sai đẹp ngành toán học Hiện nay, thật lý thuyết thiếu lĩnh vực công nghệ thông tin, đâu mà thông tin lưu trữ xử lý Mặc dù có thành công phủ nhận song thông tin cổ điển tồn nhiều hạn chế bám rễ phạm vi vật lý cổ điển Chính vậy, việc nghiên cứu áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin thúc nhà khoa học,và gần đây, mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Vì thế, việc tìm hiểu nghiên cứu khoa học thông tin lượng tử việc làm hợp thời đại Đó lý để chọn đề tài “Các thuật toán thông tin lượng tử” Nó giúp thân có nhìn sâu sắc thông tin lượng tử Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu thuật toán thông tin lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Các khái niệm bản, thuật toán thông dụng dùng thông tin lượng tử Các vấn đề giải pháp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các thuật toán thông tin lượng tử Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu Vật lý lý thuyết vật lý toán Cấu trúc luận văn Chương Giới thiệu khái niệm thông tin lượng tử Chương Các thuật toán thông tin lượng tử Chương Một số vấn đề giải pháp thuật toán thông tin lượng tử NỘI DUNG CHƯƠNG GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN LƯỢNG TỬ 1.1 Giới thiệu Trong hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử trở thành lĩnh vực thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học Nó xem lĩnh vực có khả tạo đột phá mạnh mẽ lĩnh vực khoa học kỹ thuật có liên quan đến tính toán, thông tin liên lạc, phép đo xác khoa học lượng tử Lĩnh vực xuất kể từ lúc số nhà khoa học tiên phong Charles Bennett, Paul Benioff, Richard Feynman người khác bắt đầu nghĩ đến việc áp dụng trực tiếp học lượng tử tính toán xử lý thông tin Lý thuyết thông tin cổ điển Claude Shanon phát minh cách 50 năm phát triển trở thành nhánh sai đẹp ngành toán học Hiện nay, thật lý thuyết thiếu lĩnh vực công nghệ thông tin, đâu mà thông tin lưu trữ xử lý Mặc dù có thành công phủ nhận song thông tin cổ điển tồn nhiều hạn chế bám rễ phạm vi vật lý cổ điển Chính vậy, việc nghiên cứu áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin thúc nhà khoa học,và gần đây, mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Kể từ năm 1990, Khi Max Planck đề xuất giả thuyết tính gián đoạn xạ điện từ phát từ vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích kết thực nghiệm xạ nhiệt vật đen vật lý học lượng tử đời Sự xuất vật lý lượng tử thuyết tương đối lả cách mạng ngành vật lý học vào cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 sở khoa học nhiều ngành công nghệ cao công nghệ cao công nghệ điện tử vi điện tử, công nghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hoá, công nghệ thông tin… Có thể nói rằng, học lượng tử lý thuyết thành công kỷ 20 Theo học lượng tử, hệ vi mô có tính chất khác hẳn so với hệ vĩ mô Ví dụ, đối tượng lượng tử nhiều trạng thái lúc Hai đối tượng tách biệt hoàn toàn bị rối với nhau, có nghĩa chúng phản ứng đồng thời với thí nghiệm riêng biệt dù chúng có xa Ngoài ra, học lượng tử xác minh thực nghiệm: tiên đoán chưa sai dù có kỳ lạ Thật ra, thời kỳ đầu có nhiều nhà tiên phong học lượng tử cho lý thuyết không đầy đủ Đại diện cho số Albert Einstein, người không đồng ý tính xác suất học lượng với câu nói: “Chúa không chơi xúc xắc” Đặc biệt, năm 1935 Einstein, Podolsky Rosen nêu nghịch lý EPR [22], cho học lượng tử không đầy đủ Phải đợi tới 30 năm sau, năm 1964, Bell đưa bất đẳng thức (sau gọi bất đẳng thức Bell) cho phép kiểm tra thực nghiệm nghịch lý [13] Những nghiên cứu học lượng tử thời gian gần hướng đến lĩnh vực Khoa học thông tin lượng tử Việc áp dụng vật lý lượng tử công nghệ thông tin làm thay đổi hẳn cách giao tiếp xử lý thông tin Điều mấu chốt tìm hiểu lĩnh vực tách biệt rõ ràng dấu hiệu hàng ngày thông tin cổ điển đối ứng lượng tử trực giác Thông tin cổ điển bị đọc chép lại y nguyên mà không để lại dấu vết đọc trộm chép Trong đó, thông tin lượng tử chép nguyên vẹn đọc trộm bị phát Đây đặc điểm quan trọng học lượng tử mà tận dụng để trao đổi thông tin cách hoàn toàn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử tạo mức độ song song tính toán cao hẳn máy tính có kích thước vũ trụ Đó tính toán thực cách hoàn toàn mới, gọi tính toán lượng tử Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng thông tin bit, thông tin lượng tử đại lượng bit lượng tử, gọi qubit, thuật ngữ Ben Schuhmacher đưa năm 1995 Nói chung, thông tin lượng tử xem tổng quát hoá hay mở rộng thông tin cổ điển Bất kỳ hệ lượng tử xem qubit xác định hai trạng thái độc lập tuyến tính với Các photon phân cực, hạt có spin 1/2, nguyên tử hai mức, cấu trúc chấm lượng tử kép,…đều sử dụng qubit Ngoài sử dụng đặc trưng ngoại hai hướng truyền khác hạt qubit Năm 1985 David Deutsch giới thiệu máy tính lượng tử cho thấy lý thuyết lượng tử giúp máy tính thực công việc nhanh nhiều Trong máy tính số ngày xử lý thông tin cổ điển mã hoá theo bit máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng tử theo qubit Máy tính lượng tử sử dụng để thực thi nhiệm vụ khó thực máy tính số thông thường Ví dụ, siêu máy tính số ngày phải thời gian dài tuổi thọ vũ trụ để tìm thừa số nguyên tố số nguyên lớn có khoảng vài trăm chữ số, khí máy tính lượng tử thực nhiệm vụ khoảng chưa đầy giây Những phát triển gần lý thuyết thông tin lượng tử đem lại nhiều tiến hiểu biết học lượng tử khả ứng dụng rộng rãi vào công nghệ tương lai Những hứa hẹn ngành công nghệ 10 như: Tính toán lượng tử [27,41,31], Viễn chuyển lượng tử [13], Mật mã lượng tử [40], Hội thoại lượng tử [37], Kiểm tra lượng tử [38], Viễn tác toán tử [39],….đã thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học Những nhà phát minh học lượng tử ngờ trạng thái rối lượng tử lại có công dụng to lớn đến Vậy mục đích quan trọng lý thuyết thông tin lượng tử làm để tạo ra, định lượng sử dụng rối lượng tử, không chất học lượng tử mà nguồn tài nguyên thay cho việc xử lý thông tin lượng tử Những công nghệ thông tin lượng tử mong đợi khắc phục hạn chế tồn công nghệ thông tin cổ điển Những ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát từ việc cho máy tính thực chất hệ vật lý trình tính toán trình vật lý Việc tăng gấp đôi lượng tranzito mạch tích hợp sau 18 tháng suốt 30 năm qua khẳng định dự đoán Moore [44] Đến thời điểm việc áp dụng quy luật học lượng tử để xử lý thông tin tính toán tránh khỏi Năm 1980, lần Feynman nhận thấy hiệu ứng học lượng tử mô cách hiệu máy tính cổ điển [27] Năm 1990, người ta thấy song song lượng tử dựa đặc trưng trình tiến hoá Unita (quá trình U) làm tăng tốc độ tính toán cách đáng kể toán phân tích số nguyên lớn thừa số nguyên tố [41] hay dò tìm liệu [31],… Các công nghệ thông tin liên lạc mật mã khám phá dựa học lượng tử Sự phân bố khoá lượng tử cho phép liên lạc tuyệt mật mà điều không thực theo giao thức cổ điển Tính chất không định xứ học lượng tử dẫn đến tượng vô kỳ lạ “Viễn thông lượng tử” Bằng viễn chuyển 60 n Vì vậy: f  x A , xB , xC     s A, j  sB , j  sC , j  mod (3.11) j 1 n Nếu Alice, Bod Carol tính S A B C   S A B C , j mod Bod Carol j 1 cần gửi người bit ( S B SC ) tới Alice để Alice tính tổng f  x A , xB , xC   S A  S B  SC với n Trong lời truyền thông phức tạp cổ điển, n> ba bit giao tiếp yêu cầu 3.3 Vấn đề Tìm tất giá trị x, y, z  0,1, 2, 3 thỏa mãn x  y  z  mod Khi điều kiện xảy ra? Rõ ràng x  y  z phải số chẵn Vì tổng bao gồm số chẵn (0 2) số lẻ Vậy ta có tổ hợp:  0, 0,0  ,  0,1,1 ,  0, 0,  , 1,1,  ,  0, 2,  ,  0,1,3 , 1, 2,3 ,  2, 2,  ,  0,3,3 Bây thay giá trị x  x1 x0 , y  y1 y0 z  z1 z0 Trong x0 , x1 , y0 , y1 , z0 , z1  0,1 Biểu diễn điều kiện x  y  z  mod qua giá trị x0 , x1 , y0 , y1 , z0 z1 Để  x, y, z  số nguyên tố dãy số phép hoán vị số nguyên tố dãy Khi x  y  z số chẵn,  x  y  z  mod  0, 2 Bây x  y  z  mod f  x, y, z   0,1 Từ x  y  z  mod bit quan trọng tổng phải Các bit quan trọng x0  y0  z0  Ta thấy f  x, y, z   x1  y1  z1   x0  y0  z0  XOR có nghĩa “  ” OR có nghĩa “+” Vì ta có  x0 , y0 , z0    0, 0,  0,1,11, 0,11,1,0  (3.12) 61 Sử dụng bảng f1    I , f1 1  U H Vì kẻ bảng từ giá trị  x0 , y0 , z0  đến toán tử qubit f3  x0 , y0 , z0   f  x0 1  f1  y0   f1  z0  Để  :  000  011  101  110  (3.13) Với giá trị  x0 , y0 , z0  tìm o phần 3.1, tính  : f3  x0 , y0 , z0   (3.14) Để sx , s y , sz chứa giá trị (0 1) ước số qubit thứ nhất, thứ hai thứ ba, tương tự với  sở tính toán Với trường hợp, xác định sx  s y  sz mod 2, x0  y0  z0 Ta có  s A , sB , sC    0, 0,1 ,  0,1,  , 1, 0,  , 1,1,1 , ú ý tới tích đối xứng  với thứ tự theo trật tự qubit Vì ta cần tính thay với giá trị  0, 0,0   0,1,1 Thay giá trị  0, 0,0  , ta có f  0, 0,    I  I  I    Đo suất qubit  s , s , s    0, 0,1 ,  0,1,  , 1, 0,  , 1,1,1 x y z Với xác suất ngang nhau, trường hợp ta thấy sx  s y  sz  mod Với  0,1,1 , ta có f3  0,1,1  I  U H  U H Chú ý  viết thành   1   00  11     01  10  2 Vì f3  0,1,1   1   01  10     00  11  2 Ta thấy đo suất qubit (3.15) 62  s , s , s    0, 0,1 ,  0,1,  , 1, 0,  , 1,1,1 x y z Với xác suất ngang trường hợp sx  s y  sz  mod  x0 , y0 , z0  x0  y0  z0 sx  s y  sz  mod (0,0,0) 0 (0,1,1) 1 (1,0,1) 1 (1,1,0) 1 Ta thấy ( sx  s y  sz  mod 2) = x0  y0  z0 Vì với nhóm để tính f  x, y, z  , nhóm gửi bít ( x1  sx y1  s y z1  sz ) tới nhóm f  x, y , z  khác Nói cách khác nhóm tính x1  sx  y1  s y  z1  sz  x1  y1  z1   x0  y0  z0   f  x, y, z  sau trình thông tin Nói cách khác,ba bit xuất tất nhóm để tính biểu thức f  x, y, z  , truyền thông tin phức tạp bit, theo thuật toán cổ điển cần bit 3.4 Vấn đề Xác định trị số đặc trưng vectơ đặc trưng A  x  : 1  x  I  xU NOT , x  0,1 (3.16) Chỉ biến đổi đơn U f  f   00  f   01  f 1 10  f 1 11 (3.17) Khi f : 0,1  0,1 số đại số x giá trị phủ định x , viết lại thành U f  0  A  f     1  A  f 1   Tính U f  I       Giả sử f    f 1 f    f 1   Giải vấn đề (3.18) 63 Ta có A0  I A1  U NOT A0 có trị số đặc trưng (2 lần) A1 -1 Ta xếp thành cột trị số vectơ đặc trưng Trị số đặc trưng Vec tơ đặc trưng 1 0 1  0 1   1 x Chỉ biến đổi đơn Ta có U f  1  f    00 00  f   01 00  f   00 01  1  f    01 01  1  f 1  10 10  f 1 11 10  f 1 10 11  1  f 1  11 11    0  1  f    0  f    0   f     1  f    1    1  1  f 1  0  f 1   1  f 1  1  f 1  1       0  1  f     0  1   f      1  1  f 1   0  1   f 1     0  A  f     1  A  f 1   Ta thấy U f  I   (3.19) 1      0  A  f 0  0 1 2   1  A  f 1   0   1 f 0  0 1  0 1  64 0 1  0 0 1  1 0 1   1   1   1 f  0   1   1   f 0  0   1 f 1 f    f 1 f 1   1  I2   I2         (3.20) Vậy f    f 1 ta thay vào để xác định toán tử ứng với qubit thứ nhất.Còn f    f 1 , ta áp dụng chuyển pha với qubit thứ Trị số đặc trưng  1 f  0  1 f 1 phản ứng trở lại với qubit thứ 3.5 Vấn đề Alice Bob chia sẻ n cặp vướng hình thức  00  11  Chúng viết chia sẻ trạng thái họ 2n qubit hình thức dạng tổng quát Bell n   1  jj j 0 (3.21) Nơi mà qubit n thuộc Alice qubit n thứ hai thuộc Bob Hơn Alice co dãy 2n bit a0 , , a2 1 Bob có dãy 2n bit b0 , , b2 1 n n Hãy để toán tử hphép biến đổi đơn U PA U PB sở tính toán sau: U PA j   1 aj j , j  0,1, , 2n  bj j , j  0,1, , 2n  U PB j   1 Để  : U PA  U PB   (3.22) Tính  U    U   (3.23) n H n H 65 Đối với trường hợp a0  b0 , a1  b1 , , a2n 1  b2n 1 (3.24) 2n 1 a k  bk  n1 k o xác định đo qubit n sở tính toán sản lượng kết tương tự đo lường qubit n thứ hai sở tính toán (3.22 ) 2n 1 Từ (3.21) (3.22) ta có:   n   1 a j b j j  j (3.25) j 0 Do tìm thay (3.23)      2n 1 2n 1 2n 1    1 a j  b j  j k  j l k l (3.26) j  j0  j1  j2   jn 1 n1 , k  k0  k1  k1   kn 1 2n 1 (3.27) U H  U H   n  n  2  n j 0 k 0 l 0 n 1 Từ U H j   U H js n s 0 j   1 s n 1   UH s 0 2n 1   1 j0 k0  j1k1   jn1kn1  k k 0 Chúng ta phân tích j k sau Và j  k :  j0 k0    j1.k1     jn 1.kn 1   j0 k0  j1k1   jn 1kn 1 mod cho trường hợp , tìm thấy 2n 1 2  n   1 j 0 a j  b j  j k  j l  n 1 2  n   1 j 0 j k  j l (3.28) 66   n 1 2  n 2  n   1 j  k  l  j 0 2n  2 n (3.29) Nói cách khác khả đo k  k cho k 2 n Hơn 2n 1 2 2n 1 n k 0  1  k 0 Đối với trường hợp lại, tìm thấy k  l 2n 1   1 a j  b j  j k  j l j 0 2n 1    1 a j b j 0 (3.30) j 0 Vì vậy, điều kiện (a) đo 2n qubit sở tính toán sản lượng j j , nghĩa n qubit mang lại kết xác tương tự qubit n thứ hai Nếu điều kiện (b) giữ sau đo 2n qubit sở tính toán sản lượng j k , nơi j  k tức n qubit không mang lại kết tương tự qubit n thứ hai 3.6 Vấn đề 0 1 : 0 1 H : Chứng minh vectơ 1H hình thành sở trực giao cho (3.31) Xác định xác suất liên kết với việc tìm kiếm trang thai H 1H ? Xác định làm để có H 1H sử dụng đo lường thay đổi giai đoạn hoạt động U PS : 0  1 67 Hãy f : 0,1  0,1 chức logic U f : f   00  f   01  f 1 10  f 1 11 Xác định điều kiện H 1H U f H  H , U f H  1H Những kỹ thuật sử dụng để giải vấn đề Deutsch Giải pháp Trước tiên chứng tỏ độc lập tuyến tính vectơ 1  a  b  H   a  b  1H 2 1  b 0H   a  b   a  b 2 a b  a 0H (3.32) Như cho a H  b 1H  sau a  b  Chúng tìm thấy 0    1 1  0    1 1  H 0H  1H 1H  1H  0    11 0 2 1  0  01  2 2 1  0  01  2 H 1H  0H    (3.33) Vì dự án đo lường nhà nước vào H 1H với xác suất Bắt đầu với , có H 1H lường việc H 1H sở U PS áp dụng sau cách đo 68 Trạng thái mong muốn Đo Biến đổi oH oH I2 oH 1H U PS 1H oH U PS 1H 1H I2 Đối với U f H  H có  00  01  10  11  f    f    f 1  f 1  0H  0H  (3.34) Vậy U f 0H  0H     1  f    00  f   01  f   00  1  f    01  1  f 1  10  f 1 11  f 1 10  1  f 1  11  (3.34)  0H  H Đối với U f H  1H có H  1H  Vậy  00   01  10  11  (3.35) f    f    f 1  f 1  1  f    00  f   01  f   00  1  f    01  1  f 1  10  f 1 11  f 1 10  1  f 1  11 U f H  1H      1  f    00  1  f    01  1  f    10  1  f 1  11     f f  1   00   1   01   1 1 f1 10   1 f 1 11  69  f f  1         1     f  1    f  1     1 f  0    1    1 f    f 1 f    f 1 f    f 1H   1H 0 1      1H  1H  (3.36) Lưu ý f    f 1 f số, e cân Do cách xác định f    f 1 , giải vấn đề Deutsch 70 KẾT LUẬN Khoa học thông tin lượng tử nghành khoa học đầy tiềm Sự phát triển mạnh mẽ không ngừng thời gian qua hứa hẹn cho đời công nghệ mới, hoàn hảo hơn, phục vụ khoa học sống tương lai không xa Các thuật toán thông tin lượng tử giải nhiều vấn đề mà thuật toán cổ điển làm Tuy tồn nhiều vấn đề cần giải pháp cụ thể, tương lai không xa, thông tin lượng tử thay thông tin cổ điển - 71 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D.Aharonov, A.Ambainis, J.Kempe, and U Vazirani Quantum walks on graphs In Proc 33th ACM Symp On the Theory of Computing(STOC),pp.50-59,2001 [2] Y.Aharonov, A.Botero.S.Popescu,B.reznik and J Tollaksen, Physics Letters A 301, (2002) 130 [3] D.Aharonov, W.van Dam, J.Kempe, Z.Landau, S.Lloyd, and O.Regev Adiabatic quantum computation is equivalent to standard quamtum computation In Proc 45th Annual IEEE Symp On Foundations of Computer Science (FOCS),pp.42-51,2004 [4] A.Ambainis Quantum search algorithms (survey) SIAGCT News, 35(2)p:22-35,2004 [5] A.Ambainis Quamtum walk algorithm for element distinctness.In Proc 45th Annual IEEE Symp On Foundations of Computer Science (FOCS),pp.22-31,2004 (Preprint quant-ph/0311001) [6] A.Ambainis, E Bach, A Nayak, A Vishwanath, and J Watrous Onedimensional quantum walks In Proc 33th ACM Symp on the Theory of Computing(STOC),pp.60-69,New York ,NY,2001 [7] A.Ambainis, J.Kempe,and A.Rivosh.Coins make quantum walks faster In Proc.16th ACM-SIAM Symp on Discrete Algorithms(SODA),pp.10991108,2005 [8] M Aspelmeyer, H R Bohm, T Gyatso, T.Jennewein, R Kaltenbaek, M Lindenthal, G.Molina-teriza, A Poppe, K.Resch, M Taraba, R.Ursin, P Walther and A Zeilinger, Science 301, (2003) 621 [9] R Beals Quantum computation of Fourier transforms over symmetric groups In Proc 29th STOC,pp.48-53,1997 72 [10] Ch Bennett Logical reversibility of computation.IBM J Res Dev., 17:5225,1973 [11] C.Bennett, H.J Bernstein, S.Popescu and B.Schumacher, Phys Rev A 53,(1996) 2046 [12] C.H.Bennett, F Bessette, G Brassard, L Salvail and J Smolin, Journal of Cryptology 5, (1992) [13] J S Bell, physics 1,(1935) 195 [14] E Bernstein and U Vazirani Quantum complexity theory SIAM J Comput.,26:1411,1997 [15] G.Brassard,P.Hoyer,and A Tapp.Quantum cryptanalysis of hash and claw-free func-tions.In Proc.3rd Latin American Symp on Theoretical Informatics (LATIN),(Number 1380 in LNCS),pp.163-169,1998 [16] H Buhrman, C D u rr ,M Heiligman P H o yer, F.Magniez, M.Santha, and R de Wolf Quantum algorithms for element distinctness In Proc 15th IEEE Computa- tional Complexity Extended version in SIAM J.Comput., 34(6):1324-1330,2005 [17] A.M.Childs,R Cleve, E.Deotto,E.Farhi,S Gutmann,and D.A.Spielman Exponen-tial algorithmic speedup by a quantum walk In Proc 35th ACM Symp.on the Theory of Computing (STOC),pp.59-68,2003 [18] W van Dam, M Mosca, and U Vazirani How powerful is adiabatic quantum computation? In Proc 42 Annual IEEE Symp On Foundations of Computer Science (FOCS), pp 279-287,2001 [19] D deutsch,A Barenco, and A Ekert Univercity in quantum computation Pro R Soc Lond A, 449:669,1995 [20] D Deutsch and R jozsa Rapid solution of problems by quantum computation Proc R Soc Lond A 439;553-558,1992 73 [21] D P DiVincenzo Two –bit gates are universal for quantum computation Phys Rev A, 52(2):1015-1022, 1995 [22] A Einstein, B Podolsky anh N Rosen, phys Rev 47, (1935) 777 [23] M Ettinger, P Hoyer, and E Knill Hidden subgroup states qre almost oerthogonal Inf peocess Lett., 91(1):43-48, 2004 [24] E Farhi, J Goldstone, S Gutmann, J Lapan, A Lundgren, Amd D preda A quantum adiabatic evolution algoeithm applied to random instances of an NP- complete problem Science, 292(5516):472-476, 2001 [25] E.farhi, J Goldstone and M Siper Invariant quantum algoriths for insertion into an ordered list Technical report 1999(Preprint quantph/9901059) [26] E Farhi anh S Gutmann Quantum computation anh decision trees Phys Rev A, 58:915-928 1998 [27] R Feynman, Physics 21 6&7, 467 [28] R Feynman Simulating physics with computers Int.J> Theor Phys.,21:467-488, 1992 [29] R Feynman Quantum mechanical computers Opt News,11:11-21,1985 [30]K Friedl, G Ivanyos,F Magniez, M Santha, and P Sen Hidden translation anh orbit coset in quantum computing In Pro 35th ACM Symp on theort of computing(STOC), pp 1-9, 2003 [31] L K Grover Phys Rev Lett 79, (1997) 198 [32] M Grigni, L Schulman, M> Vazirani, anh U vazirani Quantum Mechanical algorithms for th nonabelian hidden subgroup problem In Proc 33th ACM symp on theory of computing (STOC), pp 68-74, 2001 [33] L K Grover Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack Phys Rev Lett., 79:325 1997 74 [34] L Grover Afast quantum mechanical algoeithms for database search IN Proc 28th ACM Symp on Theory of computing(STOC), pp 212219,1996 [35] S Hallgren Polynomial-time quantum algorithms for Pell’s equation anh the principal ideal problem InProc 34th ACM Symp on Theory of computing (STOC), pp.653-58,2002 [36] S Hallgren A Russell, and A ta-Shma Normal subgroup recontruction anh quantum computation using group representations In Proc 32nd ACM Sump on Theory of computing (STOC), pp 627-635,2000 [37] Nguyen Ba An Phys Lett A 328, (2004) [38] Nguyen Ba An Phys Lett A 350, (2006) 174 [39] Nguyen Ba An Phys Lett A 364, (2007) 198 [40] A Ekert Phys Lett 67 (1991) 667 [41] P Shor, Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundtion of conputer Science (IEEE Computer Society Press, Santa Fe, NM, 1994)