i ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN VŨ THỊ PHƯƠNG DUNG BÙI KIM TÙNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS PHẠM SỸ NAM TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG NĂM 2016 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu chúng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác TP.Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Vũ Thị Phương Dung Bùi Kim Tùng iii LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, cố gắng nỗ lực Để hoàn thành tốt khóa luận này, nhận động viên, giúp đỡ tận tình Quý thầy, cô, gia đình bạn bè Nhân xin gửi lời cảm ơn chân thành Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô Khoa Toán – Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để có tảng tri thức kinh nghiệm sống quý báu làm hành trng cho sau Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn TS Phạm Sỹ Nam Thầy người giảng dạy kiến thức tảng, tận tình giúp hoàn thành khóa luận cách tốt Tiếp xúc với thầy học hỏi cách thức làm việc khoa học, nhiệt tình, tính cẩn thận nghiên cứu học bổ ích sống Chúng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè quan tâm động viên, khích lệ tinh thần suốt thời gian thực khóa luận Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô hội đồng chấm khóa luận dành thời gian quý báu để xem xét góp ý cho điểm thiếu sót giúp rút kinh nghiệm cho khóa luận trình nghiên cứu sau Rất mong nhận bảo tận tình Quý thầy, cô góp ý chân thành bạn Xin chân thành cảm ơn TP Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng năm 2016 Tác giả khóa luận Vũ Thị Phương Dung – Bùi Kim Tùng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục cụm từ viết tắt MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục tiêu nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đóng góp luận văn Chương I KIẾN THỨC CHUNG Định nghĩa, vai trò ý nghĩa đạo hàm 1.1 Định nghĩa 1.2 Ý nghĩa 1.3 Vai trò đạo hàm chƣơng trình Toán phổ thông 1.4 Vai trò đạo hàm sống Các khái niệm phân loại cấp độ nhận thức 10 2.1 Khái niệm lực 10 2.2 Các cấp độ nhận thức 11 Thực trạng việc dạy học giải tập đạo hàm ứng dụng trường THPT 3.1 Về việc học học sinh 12 3.2 Về giảng dạy giáo viên 13 3.3 Biện pháp 13 Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm 14 Bài tập ứng dụng đạo hàm 23 2.1 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số 23 2.2 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị 32 2.3 Ứng dụng đạo hàm chứng minh phƣơng trình có nghiệm 39 2.4 Ứng dụng đạo hàm giải phƣơng trình 43 2.5 Ứng dụng đạo hàm giải bất phƣơng trình 49 2.6 Ứng dụng đạo hàm giải hệ phƣơng trình 54 2.7 Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình có nghiệm 62 2.8 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 80 2.9 Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 99 2.10 Ứng dụng đạo hàm để giải tập có liên quan đến thực tiễn 113 KẾT LUẬN 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO 119 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT  : Với tất  : Tƣơng đƣơng  : Thuộc  : Tồn  : Suy  : Vô  ;  : Khoảng  ; , ;  : Nửa khoảng  ;  : Đoạn VT: Vế trái VP: Vế phải PT: Phƣơng trình THPT: Trung học phổ thông GV: Giáo viên HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa HD: Hƣớng dẫn PPDH: Phƣơng pháp dạy học MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Môn Toán môn học tạo nhiều hội giúp học sinh (HS) phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tƣ trừu tƣợng, xác, hợp logic, phƣơng pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, từ rèn cho HS trí thông minh, sáng tạo Trong chƣơng trình Giải tích lớp 12 – THPT, nội dung đạo hàm ứng dụng giữ vai trò chủ đạo, chiếm khối lƣợng kiến thức thời gian chƣơng trình môn Toán, kiến thức đạo hàm chiếm tỷ trọng lớn đề thi THPT quốc gia đề thi tuyển sinh vào trƣờng Đại học, Cao đẳng Trung cấp chuyên nghiệp Bởi vậy, việc sử dụng đạo hàm hàm số để giải toán nội dung cần thiết hữu ích em HS lớp 12 Đạo hàm nội dung chƣơng trình toán phổ thông, hai phép tính giải tích Đạo hàm công cụ giúp nghiên cứu tính chất hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, điểm tới hạn hàm số Vận dụng tính chất đạo hàm giúp HS giải đƣợc toán Đại số nhƣ: giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, bất đẳng thức… Ngoài ra, đạo hàm ứng dụng lĩnh vực khác nhƣ: toán tính vận tốc, gia tốc chuyển động vật lý, toán cực trị kinh tế, chuyển động… Thực tế dạy học Toán trƣờng THPT cho thấy nhiều học sinh gặp khó khăn sử dụng kiến thức đạo hàm để giải tập, nguyên nhân em không hiểu sâu sắc khái niệm ứng dụng kiến thức Chính lý nêu chọn đề tài để nghiên cứu: “Xây dựng hệ thống tập đạo hàm ứng dụng nhằm phát triển lực cho học sinh” II Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu khóa luận phân loại dạng tập đạo hàm xây dựng hệ thống tập phù hợp với cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển lực học Toán III Nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu trình bày nội dung sau: + Hệ thống kiến thức đạo hàm + Xây dựng hệ thống tập đạo hàm ứng dụng nhằm phát triển lực cho HS IV Đóng góp luận văn Về mặt lý luận, tổng hợp kiến thức lực, cấp độ nhận thức phân tích ý nghĩa kiến thức đạo hàm chƣơng trình phổ thông Về mặt thực tiễn, khóa luận tài liệu tham khảo cho GV HS giảng dạy học tập khái niệm đạo hàm ứng dụng Chương I KIẾN THỨC CHUNG Định nghĩa, vai trò ý nghĩa đạo hàm 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm 1.1.1.1 Khái niệm đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y  f ( x) xác định khoảng (a, b) x0  (a, b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 giới hạn đƣợc gọi đạo hàm hàm số y  f ( x) điểm x0 , ký hiệu f '( x0 ) y '( x0 ) , tức là: f '( x0 )  lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 1.1.1.2 Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa Cách 1:Tính trực tiếp f '( x0 )  lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Cách 2: Để tính đạo hàm hàm số f điểm x0 , ta thực bƣớc: Bƣớc 1: Cho x0 số gia x, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) Bƣớc 2: Lập tỉ số x y Bƣớc 3: Tính f '( x0 )  lim x  x0 Bƣớc 4: Kết luận [9] y x 1.1.2 Định nghĩa đạo hàm cấp cao Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x   a; b  Khi đó, hệ thức y '  f '  x  xác định hàm số khoảng (a;b) Nếu hàm y '  f '  x  lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y ' đạo hàm cấp hai hàm số y  f  x  x kí hiệu y '' f ''( x) Chú ý: + Đạo hàm cấp hàm số y  f  x  đƣợc định nghĩa tƣơng tự kí hiệu y ''' f '''( x) f 3  x  + Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp n  , kí hiệu f  n1  x   n  , n   Nếu f  n1  x  có đạo hàm đạo hàm đƣợc gọi đạo hàm cấp n f ( x) , kí hiệu y   f  n  x  n f n  x    f  n1  x   ' 1.2 Ý nghĩa 1.2.1 Ý nghĩa hình học 1.2.1.1 Ý nghĩa hình học đạo hàm: Cho hàm số y  f ( x) xác định (a;b) có đạo hàm x0  (a, b) Gọi (C ) đồ thị hàm số Đạo hàm hàm số y  f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M 0T (C ) điểm M  x0 ; f  x0   [9] 105 9 f '(t )  t  2; f '(t )   t    t  2 Bảng biến thiên : t  + f '(t )  f (t ) 16 1 f (t )  f    Vậy Min t  t   16 Suy A  9 Mặt khác, ta dễ thấy x  y  A  16 16 Kết luận: MinA  x  y  giá trị lớn 16 Bài tập 4: ( Đề thi ĐH Khối A – 2006) Cho hai số thực x, y  thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x  y) xy  x2  y  xy Tìm GTLN biểu thức: A  1  x3 y HD: 2 1 x3  y ( x  y )( x  xy  y )  x  y   1  A   3       x y x y x3 y  xy   x y  Đặt x  ty Từ giả thiết ta có: ( x  y) xy  x2  y  xy  (t  1)ty3  (t  t  1) y Do y  t  t 1 t  t 1 ; x  ty  t2  t t 1 2  1   t  2t   t  2t  3t  f ( t )   f '( t )  Từ A       Xét hàm số  2 t  t 1  x y   t  t 1  t  t    Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN A 16 đạt đƣợc x  y  106 Bài tập 5: Cho a,b số thực dƣơng thỏa mãn 2(a2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2)  a b3   a b        (ĐH Khối B- 2011) b a  b a  Tìm GTLN biểu thức P   HD: Biến đổi giả thiết: 2(a2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2)  2(a  b2 )  ab  a 2b  ab2  2(a  b) a b 1 1       ( a  b)     b a a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta đƣợc: 1 1 1 1 a b  (a  b)      2(a  b)     2     a b a b b a  a b a b a b Suy ra:      2          b a b a b a a b Đặt t   b , t  Ta đƣợc: P  4(t  3t )  9(t  2)  4t  9t 12t  18 a Xét hàm số: f (t )  4t  9t  12t  18  f '(t )  6(2t  3t  2)  0, t  5 23 Suy Min f (t )  f     5  2  ;    Vậy MinP   23 a b 1 đạt đƣợc   a  b     b a a b (a; b)  (2;1) (a; b)  (1;2) 2.9.3.2 Phương pháp khảo sát biến toán ba biến Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta khảo sát lần lƣợt biến cách chọn biến làm tham số biến thiên cố định biến lại, toán lúc trở thành bất đẳng thức biến Việc nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm GTLN, GTNN dƣới dạng hàm số giúp ta sử dụng đƣợc công cụ hiệu toán đạo hàm 107  Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến x, y, z P( x, y, z) với điều kiện T Bước Xem P( x, y, z) hàm theo biến x , y, z số Khảo sát hàm tìm cực trị với điều kiện T Ta đƣợc P( x, y, z)  g ( y, z ) P( x, y, z)  g ( y, z ) Bước Xem g ( y, z ) hàm biến y , z số Khảo sát hàm với điều kiện T Ta đƣợc: g ( y, z)  h( z) g ( y, z)  h( z) Bước Cuối khảo sát hàm số biến h( z ) với điều kiện T ta tìm đƣợc min, max hàm Ta đến kết luận: P( x, y, z)  g ( y, z)  h( z)  m P( x, y, z)  g ( y, z)  h( z)  M Bài tập 1: (ĐH Khối A – 2011) Cho ba số thực x, y, z  1;4 x  y, x  z Tìm GTNN biểu thức: P  x y z   2x  y y  z z  x HD: Ta có : P  x y z   2x  y y  z z  x Xem hàm theo biến z ; x, y số P '( z )  y z ( x  y )( z  xy )   ( y  z ) ( z  x) ( y  z ) ( z  x) Theo giả thiết x  y  x  y  P   z  xy   z  xy (do x, y, z  1;4 ) Bảng biến thiên: Z P '( z ) xy – P( z ) Min + 108 x y x y  =  Từ bảng biến thiên ta có: P  P( xy )  2x  3y x  y x 3 x 1 y y Đặt t  x , x  y, x  z x, y, z  1;4 nên  t  y Xét hàm f (t )  Ta có f '(t )  t2  2t   t 2  4t (t  1)  3(2t  t  3)  (2t  3)2 (1  t )2  0, t  1; 2 Suy f (t ) giảm 1; 2 , P  P( xy )  f (t )  f (2)  34 33  z  xy  Đẳng thức xảy ra:   x  4, y  1, z  x t    y  Vậy P  34 x  4, y  1, z  33 Bài tập 2: Cho ba số thực x, y, z   ;3 Tìm GTLN P  3  HD: Đặt P(a)  a b c   ab bc ca Xem hàm số theo biến a b, c số b c (b  c)(a  bc) P '(a)    ( a  b) ( a  c ) ( a  b ) ( a  c ) Trƣờng hợp 1: a  b  c a, b, c   ;3 3  Suy b  c  0; a  bc  nên P '(a)  a b c   ab bc ca 109 Do P(a) tăng  ;3 3   P(a)  P(3)  g '(c)  b c    g (c) (xem hàm theo biến c) 3b b  c c 3 b (b  3)(3b  c ) 1     Do g (c) giảm  ;3 2 2 (b  c) (c  3) (b  c) (c  3) 3  3b Suy ra: g (c)  g       h(b) ( xem h(b) hàm số theo biến b) 3b  3 3b  10 3 (1  b)(1  b)   2 (3b  2) (b  3) (3b  1) (b  3) Ta có: h '(b)  Ta có bảng biến thiên b + h '(b) – h(b) Suy h(b)  h(1)  1 Vậy P(a, b, c)  P(3, b, c)  P  3, b,   P  3, b,   a  3; b  1; c   3  3 Trƣờng hợp 2: c  b  a a, b, c   ;3 3  Từ kết trƣờng hợp 1, ta có: P(a, b, c)  Mặt khác : P(a, b, c)  P(c, b, a)  8 (a  b)(b  c)(a  c)   P(a, b, c)  (a  b)(b  c)(a  c)  1 1    Vậy MaxS  , đạt đƣợc (a, b, c)   3;1;  ,  ;3;1 ,  3; ;1  3      110 Bài tập 3:Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện abc  a  c  b Tìm GTLN biểu thức: P  2   a 1 b 1 c 1 HD: Theo giả thiết ta có a  c  b(1  ac)   b  Thay vào biểu thức P ta đƣợc: P  Xét hàm số: f ( x)  Ta có: f '( x)  ac a   ac c 2(a  c)2  2 ,(0  a  ) 2 a  (a  1)(c  1) c 1 c ( x  c)   với  x  coi c tham số c  2 x  ( x  1)(c  1) c 2c( x  2cx  1)  1   x0  c  c    0;  2 (1  x ) (1  c )  c Ta có bảng biến thiên : x f '( x) + f ( x) – f ( x0 ) Từ bảng biến thiên ta có : f ( x)  f ( x0 )  S  f (a )  c x0 c  c2 2c    g (c ) c 1  c2 c  Ta có: g '(c)  c g '(c) g (c ) 2(1  8c ) (1  c )2 (3c   c )   c  c0    0;   Ta có bảng biến thiên :  c0 + g (c0 ) – 111 Từ bảng biến thiên suy : g (c)  g (c0 )  S  g (c)  g (c0 )  10 10 ,a  , b  MaxS  Vậy với c  Bài tập 4: Cho ba số dƣơng a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab  2bc  8ca  12 a b c Tìm GTNN biểu thức: P    HD: a b Đặt x  , y  , z   x, y, z  0;2 x  y  21z  12 xyz S  x  y  3z c Từ x  y  21z  12 xyz  z  2x  y x  12 xy  21 4y Từ biểu thức S suy đƣợc: S  x  y  2x  y  f ( x) xy  32 y  14   14  32 y    ;   Ta có bảng biến thiên  f '( x)     x  x0  4y 4y (4 xy  7)  4y  x f’(x) 4y – f ( x) + f ( x0 ) Khi từ bảng biến thiên , ta có : S  f ( x)  f ( x0 )  y  g '( y )   x0 (8 y  9) 32 y  14  28 y 32 y  14 32 y  14   g ( y) 4y 2y 0 Đặt t  32 y  14 phƣơng trình g '( y)   (8 y  9) 32 y  14  28   t  50t  122   t   y  Ta có bảng biến thiên: 112 y g’(y) –  g ( y) + 15 15 Từ bảng biến thiên suy : g ( y )  g    S  g ( y )  g    4 Vậy với : y  , x  3, z  4 2 15  a  , b  , c  S  3 2 Bài tập 5: (Đề thi Khối B – 2010) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN biểu thức : M  3(a 2b2  b2c  c 2a )  3(ab  bc  ca)  a  b2  c HD: Ta có M  (ab  bc  ca)2  3(ab  bc  ca)   2(ab  bc  ca) Đặt t  ab  bc  ca , ta có:  t  ( a  b  c)  3 Xét hàm số: f (t )  t  3t   2t với t  0;   2 Ta có: f '(t )  2t   2 ; f ''(t )   0  2t (1  2t )3 Dấu xảy t = ; suy f '(t ) nghịch biến 11 Xét đoạn 0;  ta có: f '(t )  f '      3  3 Suy f (t ) đồng biến Do f (t )  f (0)  2, t  0;   3 113 Vì M  f (t )  2, t  0;  ; M  ab  bc  ca, ab  bc  ca  0, a  b  c   3  (a; b; c) số sau: (1;0;0), (0 ;1 ;0), (0 ;0 ;1) Do giá trị nhỏ M 2.10 Ứng dụng đạo hàm để giải toán có liên quan đến thực tiễn Đạo hàm công cụ hữu hiệu việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Thông qua việc dạy học kiến thức này, cho HS giải toán thực tiễn hấp dẫn mang nhiều ý nghĩa Điều có tác dụng giúp HS thấy đƣợc ứng dụng kiến thức toán đƣợc học toán tình có ý nghĩa, điều s tạo động lực học tập Một số toán liên quan đến thực tiễn giải cách ứng dụng đạo hàm Bài tập 1: Một ảnh chữ nhật cao1,4m đƣợc đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dƣới ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? C HD: 1,4 Bài toán yêu cầu xác định OA để góc BOC lớn B 1,8 Điều xảy tan BOC lớn  Đặt OA = x (m) với x  0, ta có tan BOC  tan AOC  AOB  A O AC AB 1,  tan AOC  tan AOB 1, x x   OA OA    tan AOC.tan AOB  AC AB  3, 2.1,8 x  5, 76 OA2 x2 Xét hàm số f ( x)  Ta có: 1, x Bài toán trở thành tìm x  để f ( x) đạt giá trị lớn x  5, 76 114 1, x  1, 4.5, 76 f '( x)  ( x  5, 76) f '( x)   x  2, Bảng biến thiên: x + f '( x)  2,4 – 84 193 f ( x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Bài tập 2: Từ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vuông miếng phụ nhƣ hình v Hãy xác định kích thƣớc miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất? HD: Gọi x, y lần lƣợt chiều rộng, chiều dài miếng phụ nhƣ hình v x Gọi d đƣờng kính khúc gỗ Khi tiết diện ngang xà có cạnh Và  x  y d A d (2  2) d ,0  y  B d D C Ta đƣợc hình chữ nhật ABCD nhƣ hình v d   d  8x2  x Theo Định lý Pitago có:  x    y  d  y  2  Suy S  S ( x)  x d  2dx  x với  x  d (2  2) , S diện tích miếng phụ Sử dụng đạo hàm ta có S lớn x  34  16 115 Bài tập 3: Chi phí nhiên liệu tàu đƣợc chia làm hai phần Trong phần thứ không phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phƣơng vận tốc, v = 10 km/h phần thứ hai 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nguyên liệu km đƣờng nhỏ nhất? HD: Gọi x (km/h) vận tốc tàu Thời gian tàu chạy quảng đƣờng 1km Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ (giờ) x 480 480  (ngàn đồng) x x Tại v  10 km/h chi phí cho quảng đƣờng 1km phần thứ hai 30  (ngàn đồng) 10 Xét vận tốc x (km/h) Gọi y (ngàn đồng) chi phí cho quảng đƣờng1km vận tốc x, ta có: y  kx3 ,  k103 (k hệ số tỉ lệ chi phí 1km đƣờng phần thứ hai lập phƣơng vận tốc) y x Suy     y  0, 003x3  10  Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đƣờng p  p( x)  480  0, 003 x3 x Áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ tàu chạy với vận tốc x = 20 (km/h) Bài tập 4: Một công ty tổng thu nhập (tính $) từ việc sản xuất bán x đơn vị sản phẩm đƣợc cho công thức P  150000 Tính số x đơn vị sản phẩm cần sản x  60 x  1000 xuất bán để tổng thu nhập lớn HD: x  Điều kiện:   x  60 x  1000  0, x   x0 116 Tập xác định: D   0;   150000(2 x  60) ( x  60 x  1000) 150000(2 x  60) P'     150000(2 x  60)   x  30 ( x  60 x  1000)2 P'  Bảng biến thiên: x P '( x)  30 + – P(30) P( x)  P(0) Từ bảng biến thiên ta có Max P( x)  P(30)  1500 D Vậy cần sản xuất bán 30 sản phẩm để tổng thu nhập lớn Bài tập 5: Chi phí xây dựng cao ốc có x tầng gồm 10 triệu USD để mua đất, 100 ngàn USD để xây dựng tầng 10 triệu USD để thiết kế cho tầng Hỏi có x2 tầng cao ốc văn phòng s đƣợc xây dựng để tổng chi phí xây dựng nhỏ nhất? HD: Ta có: triệu USD = 1000 ngàn USD  0,1 triệu USD = 100 ngàn USD Tổng chi phí xây dựng cao ốc (đơn vị triệu USD) là: C ( x)  10  0,1x  Điều kiện: x  10 10 x  C ( x)  10  0,1x  x x 117 C '( x)  0,1  10 x2 C '( x)   0,1   x  10   0;   10 0 x  x  10   0;   lim C ( x)  ; lim C ( x)   x 0 x  Bảng biến thiên: x – C '( x)  10 0 +   C ( x) C (10) Từ bảng biến thiên ta có MinC ( x)  C (10)  12 D Vậy10 tầng đƣợc xây dựng cao ốc văn phòng để tổng chi phí xây dựng nhỏ 118 KẾT LUẬN Từ vấn đề trình bày, rút số kết luận sau: + Khóa luận cố kiến thức xây dựng đƣợc hệ thống tập ứng dụng đạo hàm để giải toán nhằm giúp HS đọc hiểu, nắm rõ tri thức, tăng cƣờng tính thực hành vận hành tri thức, phát huy tính tích cực học sinh học tập + Khóa luận nêu hƣớng phân tích, phƣơng pháp giải cho dạng cụ thể + Khóa luận phân chia cấp độ nhận thức toán ứng dụng đạo hàm vào giải toán thực tiễn – điều hạn chế đa số sách Toán sách tham khảo thị trƣờng Thứ nhất, việc phân chia cấp độ nhận thức toán phù hợp với nhiều đối tƣợng học Đối tƣợng HS yếu kém, trung bình hay khá, giỏi học đƣợc Việc chia cấp độ nhận thức giúp cho HS hiểu rõ kiến thức bản, giúp HS có tảng vững để vận dụng vào toán khó Thứ hai, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn đƣợc vận dụng vào giải vấn đề thực tiễn Việc dùng thí dụ thực tiễn giảng dạy s giúp HS hiểu rõ ứng dụng kiến thức Toán học thực tiễn Các thí dụ thực tiễn giúp giảng trở nên sinh động đƣa lớp học đến gần sống xung quanh 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Thị Tuyết, phát triển chƣơng trình đại học theo cách tiếp cận lực: Xu nhu cầu Đại học sƣ phạm, TP Hồ Chí Minh, 2013 [2] Tham khảo từ internet (Trang giáo án điện tử violet, tailieu.vn, vnmath.vn ) [3] Bộ đề thi tự luận Toán học – Lê Hoàng Phò [4] Ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp – Nguyễn Phụ Hy – Tạ Ngọc Trí – Nguyễn Thị Trang [5] Đạo hàm, tích phân ứng dụng đƣợc gì? – Murray Bourne (Bản dịch http://www.intmath.com) [6] Ứng dụng đạo hàm để giải toán Trung học phổ thông – Nguyễn Văn Xá [7] ThS Lê Hồng Đức (Chủ biên), Vƣơng Ngọc, Lê Viết Hòa, Lê Hữu Trí, Lê Bích Ngọc, Bài giảng trọng tâm chƣơng trình chuẩn Toán 11, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Năm 2013 [8] Nguyễn Anh Trƣờng – Nguyễn Duy Hiếu, Phân dạng phƣơng pháp giải tập Đại số Giải tích 11, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, Năm 2013 [9] Sách giáo khoa sách tập Toán Giải Tích 10, 11, 12 [...]... căn bản và tất cả đối tƣợng đều có cơ hội để học tập trong một tiết học 14 Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH 1 Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm 1.1 Bài tập nhận biết Hoàn thành bài trắc nghiệm về định nghĩa đạo hàm qua các câu hỏi sau đây: Câu 1: Cho hàm số y  f ( x)  x 2  3x Giá trị của hàm số tại x0  3 là? A f (3)  6 C f (3) ...  10 x  2    x  0 x Vậy hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  0,   và f '( x)  3x2  10 x  2 23 2 Bài tập ứng dụng đạo hàm 2.1 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số 2.1.1 Bài tập nhận biết Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số qua các câu hỏi sau đây: Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng... năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên môn, trong đó năng lực chung cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển năng lực chuyên môn Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng ở một lĩnh vực nhất định, ví dụ nhƣ năng lực toán học, năng lực ngôn ngữ [1] Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời quan hệ chặt ch với nhau 2.2 Các mức độ nhận... lập, tổng hợp, xây dựng, thiết kế, đề xuất… Dựa vào các mức độ nhận thức, trong dạy học toán, nhằm giúp học sinh phát triển năng lực, chúng tôi thiết kế các bài tập theo các cấp độ nhận thức trên [2] 3 Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT 3.1 Về việc học của học sinh: Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất lƣợng học tập môn Toán... trong dạy học khái niệm đạo hàm thông qua các bài tập cần giúp học sinh thấy rõ ứng dụng này 2 Các khái niệm và phân loại mức độ nhận thức 2.1 Khái niệm năng lực Các nhà tâm lí học cho rằng năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao 11 Ngƣời ta chia năng lực thành năng lực chung,... thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1.4 Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống Khái niệm đạo hàm có nhiều ứng dụng trong điện từ học, động lực học, kinh tế học, tràn chất lỏng, kiểu mẫu dân số, lý thuyết sắp hàng, Vì thế, đạo hàm là một công cụ quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán trong nhiều lĩnh vực Do vậy đạo hàm có nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống Chẳng hạn: + Nhiệt độ thay đổi... 1.3 Vai trò của đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông Trong chƣơng trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vai trò chủ đạo Đạo hàm là công cụ mạnh giúp chúng ta nghiên cứu nhiều tính chất của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, lồi lõm, điểm uốn… Phƣơng pháp đạo hàm giúp chúng ta giải nhiều bài toán đại số nhƣ: giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, chứng minh bất đẳng... chán nản và không thích học Toán Khả năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chƣa linh động trong việc xử lý các tình huống Toán học đơn giản nên kết quả học tập còn rất hạn chế + Đa phần HS chƣa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, không thể hiện đƣợc ý thức phấn đấu, vƣơn lên + Chƣa thấy đƣợc ý nghĩa của việc học toán, khả năng liên hệ đến thực tiễn rất hạn chế, đặc biệt khi học về đạo hàm, HS chƣa... lập động cơ học tập đúng đắn cho HS [2] 3.3 Biện pháp: Nhằm khắc phục đƣợc hạn chế trên, chúng tôi cho rằng, trong dạy học GV nên thiết kế bài tập minh họa trên lớp và bài tập về nhà theo các mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Sở dĩ cần làm điều này bởi điều này giúp HS hiểu rõ nội dung kiến thức HS yếu, kém cho đến HS khá, giỏi đều hiểu khái niệm căn bản và tất cả đối... thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s  s(t ) tại t0 : v  t0   s '  t0  1.2.2.2 Cường độ tức thời Nếu điện cƣờng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q  Q  t  với Q  Q  t  là một hàm số có đạo hàm thì cƣờng độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q  Q  t  tại t0 : I  t0   Q '  t0  1.2.3 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai f ''(t