1 ứònh nghóa[subsection] ứònh lí [subsection] [dn]Meảnh ựề [dn]Boă ựề Chú ý [subsection] Mục lục Các kiến thức liên quan 1.1 Các khơng gian hàm tích phân Lebesgue 1.2 1.3 1.4 1.5 Định lí ánh xạ co Bài tốn chỉnh, tốn khơng chỉnh Các bất đẳng thức áp dụng luận văn Biến đổi Fourier 7 12 12 13 13 Chỉnh hóa ước lượng sai số tốn parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian khơng gian 16 2.1 2.2 Các kết chỉnh hóa Ví dụ minh họa 16 30 Lời cám ơn Tơi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy TS Lê Minh Triết thầy Trần Chí Hiếu tận tình hướng dẫn, dạy tơi nhiều điều thời gian qua để thực khóa luận Ngồi ra, tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tất thầy giảng dạy, truyền đạt cho tơi kiến thức quan trọng, bổ ích suốt thời gian tơi học khoa Tốn- Ứng dụng, trường Đại học Sài Gòn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đặc biệt bạn lớp giúp đỡ, động viên, khích lệ tinh thần tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Ứng dụng phòng ban khác trường Đại học Sài Gòn, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt khóa luận Lời nói đầu Trong khoa học ứng dụng, tốn ngược quan tâm từ lâu ứng dụng lĩnh vực địa lí, học, xử lí ảnh Một tốn ngược xét đến tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic Hơn nữa, xét truyền nhiệt vật thể, yếu tố định vật liệu vật thể Mỗi vật liệu có hệ số dẫn nhiệt khác có biến đổi theo thời gian khơng gian ăn mòn, oxy hóa Trong thực tế, liệu thu xuất phát từ việc đo đạc xử lý qua máy tính hay số thiết bị đó, nên khơng tránh khỏi sai số, dù sai số liệu nhỏ lại dẫn đến khác biệt lớn nghiệm Do đó, cần chỉnh hóa tốn vật lí, nghĩa đưa nghiệm chỉnh hóa cho nghiệm xác tốn đánh giá sai số cụ thể nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa.Vì lí đó, luận văn này, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "BÀI TỐN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHƠNG GIAN" Mục đích luận văn thơng qua tìm hiểu báo tốn parabolic ngược, trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết kết liên quan tới vấn đề nghiên cứu mà tác giả báo số chứng minh vắn tắt đưa ví dụ số để minh họa cho kết chỉnh hóa Với mục đích đó, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Các kiến thức liên quan Chương trình bày lại kí hiệu, khái niệm tốn chỉnh, tốn khơng chỉnh, chỉnh hóa, bất đẳng thức: bất đẳng thức sơ cấp, bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakovski- Schwarz, bất đẳng thức H¨older, khơng gian hàm tích phân Lebesgue, mệnh đề, định nghĩa, ngun lí, hệ quả, bổ đề, phép biến đổi Fourier khơng gian L1 (R); L2 (R); định lí Plancherel sử dụng trình bày luận văn Chương 2: Chỉnh hóa ước lượng sai số tốn parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian khơng gian Đây phần yếu, cốt lõi luận văn với nội dung sau: Phần 1: Chứng minh tính nghiệm tốn chỉnh hóa, chứng minh tính ổn định nghiệm tốn chỉnh hóa, ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Phần 2: Ví dụ minh họa cho kết chỉnh hóa Trong năm gần đây, tốn truyền nhiệt ngược nhiều tác giả quan tâm Lattes Lions [10] , Showalter [8], Tautenhahn Schr¨oter [9], Đinh Nho Hào [2] Cụ thể, Showalter dùng phương pháp tựa tốn tử để khảo sát tốn giá trị cuối năm 1974 (trong [8]) Năm 1996, Tautenhahn Schr¨oter nghiên cứu tốn truyền nhiệt ngược thời gian (trong [1]) đưa ước lượng sai số tối ưu cho tốn (trong [9]) Gần đây, năm 2007, Fu, Xiong Qian sử dụng phép biến đổi Fourier cho tốn truyền nhiệt ngược đưa ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Tuy nhiên, tác giả xét tốn parabolic với hệ số Trong luận văn này, chúng tơi đề xuất việc nghiên cứu tốn parabolic ngược thời gian với hệ số khơng Gần đây, có vài báo xem xét tốn truyền nhiệt ngược với hệ số khơng Cụ thể, [7], tác giả xét tốn ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian, nghĩa tìm nhiệt độ u(x; t) thỏa mãn a(t)ut (x; t) = uxx (x; t); u(x; T ) = g(x); (x; t) R [0; T ); x R; với a(t); g(x) hàm cho trước cho a(t) > 0; 8t [0; T ): Hơn nữa, tác giả đưa ước lượng sai số dạng H¨older thời điểm ban đầu t = dạng logarit thời điểm t > nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Trong [2], Đinh Nho Hào Nguyễn Văn Đức đưa phương pháp chỉnh hóa cho tốn parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian ut + A(t)u = 0; ku(T ) f kH ; < t < T; f H; H khơng gian Hilbert A(t) (0 < t < T ) tốn tử dương tự liên hợp khơng bị chặn từ D(A(t)) H đến H f hàm liệu cho trước Trong [2], tác giả xem xét tốn sau (trong [2] trang 8) wt + B(t)w = 0; w(T ) = f; < t < T; > 0; B(t) = A(t); A(2T t); t T 0: Trong [2], họ chứng minh tốn trường hợp chỉnh đưa dạng H¨older ước lượng sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác (xem [2], định lí 3.4) với vài giả thiết (xem [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang 7) hàm A Đến có nhiều viết nghiên cứu tốn parabolic ngược với hệ số (xem [3]- [5], [9]) Mặt khác, viết nghiên cứu trường hợp hệ số phụ thuộc vào thời gian (như [2], [7]) Vì thế, chúng tơi xét tốn parabolic ngược ut (x; t) (x; t) R [0; T ) x R: a(x; t)uxx (x; t) = f (x; t; u; ux ; uxx ); u (x; T ) = g (x) ; (1) (2) Trong đó, tồn số p; q; L > cho f (x; t; u; ux ; uxx ) a(x; t) thỏa mãn: 0 0; tồn n0 N cho kxn xm k < ; 8n; m n0 : Dãy (xn ) X gọi hội tụ x0 X; kí hiệu xn ! x0 n ! 1, lim kxn x0 k = 0; nghĩa ứng với > 0, tồn n0 N cho n!1 kxn x0 k < ; 8n n0 : Định nghĩa 1.1.3 Khơng gian định chuẩn X gọi khơng gian Banach dãy Cauchy X hội tụ Tích phân Lebesgue Định nghĩa 1.1.4 Một tính chất P (x), x thuộc khơng gian Rn gọi hầu khắp nơi tồn tập A có độ đo khơng, cho P (x) với x thuộc Rn nA: Định nghĩa 1.1.5 (Tích phân hàm đơn giản) Cho A tập đo được, f : A ! [ 1; +1] hàm đơn giản, đo A Gọi f1 ; f2 ; :::; fn giá trị khác đơi f (x) Đặt Ak = fx A; f (x) = fk g ; k = 1; 2; :::; n A= n [ Ak f (x) = k=1 n X fk k=1 Ak (x); 8x A: Khi đó, tích phân hàm đơn giản f (x) A với độ đo Z f (x)d = A n X số fk (Ak ): k=1 Định nghĩa 1.1.6 (Tích phân hàm khơng âm) Cho A tập đo Lebesgue, hàm f : A ! [0; +1] hàm đo khơng âm Khi đó, tồn dãy đơn điệu tăng hàm đơn giản đo fn (x) hội tụ hầu khắp nơi f (x) A tích phân hàm f (x) A độ đo Z Z f (x)d = lim fn (x)d : n!+1 A A Định nghĩa 1.1.7 (Tích phân hàm có dấu bất kì) Cho A tập đo Lebesgue, hàm f : A ! R hàm đo A Khi đó, ta có f (x) = f + (x) với f + (x) = maxff (x); 0g f (x), f (x) = maxf f (x); 0g + 0: Z Các hàm số f (x); f (x) có tích phân tương ứng A f + (x)d , A Z Z Z + f (x)d Nếu hiệu f (x)d f (x)d có nghĩa R tích phân A A A hàm đo f (x) A với độ đo Z Z f (x)d = f + (x)d A A Z A f (x)d : Khơng gian Lp (1 1) p Trong phần này, ta kí hiệu tập đo Rn Định nghĩa 1.1.8 Cho f đo định nghĩa kf kLp ( ) , jf jp (1 p 1) khả tích ta 11 Z p pA @ = jf j Khơng gian chứa tất hàm f thỏa jf jp (1 p 1) khả tích gọi khơng gian Lp ( ) Trong luận văn để ngắn gọn, ta kí hiệu chuẩn khơng gian L2 (R) k:k2 Ta định nghĩa +1 11 Z kwk2 = @ jw(x)j2 dxA , với w L2 (R) Định nghĩa 1.1.9 Tập hợp tất hàm bị chặn hầu khắp nơi (h.k.n) L1 ( ), ta định nghĩa kf kL1 ( Định lí 1.1.1 Với ) = inff : đo Rn jf (x)j h:k:n p khơng gian Banach gọi g: khơng gian Lp ( ); k:kLp ( ) Khơng gian mêtríc đầy đủ Định nghĩa 1.1.10 Cho tập X 6= ? Một ánh xạ d:X X!R (x; y) 7! d(x; y) gọi mêtríc X điều kiện sau thỏa mãn 8x; y; z X; i) d(x; y) d(x; y) = , x = y; ii) d(x; y) = d(y; x); iii) d(x; y) d(x; z) + d(z; y): 10 Tập X với mêtríc d X gọi khơng gian mêtríc (X; d) hay vắn tắt X mêtríc d ngầm hiểu khơng nhầm lẫn Định nghĩa 1.1.11 Cho khơng gian mêtríc (X; d) Ta nói dãy phần tử (xn ) tụ phần tử x X lim d(xn ; x) = 0: Kí hiệu X hội n!1 d xn ! x Nghĩa ứng với > 0, tồn n0 N cho d(xn ; x) < , với n n0 : Định nghĩa 1.1.12 Khơng gian mêtríc (X; d) gọi khơng gian mêtríc đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1.13 Cho X khơng gian vectơ trường số K ( K = C K = R) Một ánh xạ h; i:X X!K (x; y) 7! hx; yi gọi tích vơ hướng X điều kiện sau thỏa 8x; x0 ; y; y X; ; K; i h x + x0 ; yi = hx; yi + hx0 ; yi ; ii hx; y + y i = hx; yi + hx; y i ; iii hx; yi = hy; xi; iv hx; xi 0; v hx; xi = , x = 0: Bổ đề 1.1.1 Cho h:; :i tích vơ hướng khơng gian vectơ X, với x; y X, ta có i) Bất đẳng thức Schwarz jhx; yij2 hx; xi : hy; yi : ii) Bất đẳng thức Minkowski hx + y; x + yi 1 hx; xi + hy; yi : Định lí 1.1.2 Nếu h:; :i tích vơ hướng X ánh xạ h; i:X!R x 7! hx; xi 24 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, có e2a (t) ku (:; t) v (:; t)k2H (R) 2R(a )e2a 2a2 2R(a )e = 2R(a )e2a (T ) ZT 2T R(a )K ds g k22 e t kg ZT 2T R(a )K ds (T ) e (T ) 2T R(a )K e : Suy ku (:; t) v (:; t)kH (R) p 2ea 2( (T ) (t)) Kết thúc chứng minh p R(a )eT R(a )K : Các định lí sau, chúng tơi đưa ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Định lí 2.1.3 Cho a(:; t) hàm thỏa điều kiện (3) ; m số dương Cho u nghiệm chỉnh hóa (10) tương ứng với liệu xác g L2 (R) u nghiệm xác tốn (1) (2) thỏa 0: 4+ ( i) Nếu < < e 3K T m ku (:; t) với t [0; T ) ( ii) Nếu < < e ku (:; t) với t [0; T ) ;e ) a = p u(:; t)kH (R) 3K T m 4+ e ;e u(:; t)kH (R) ) p C ln C ln ln ;m0 ln Khi (t)+ m ;m0 a = 4+ 1 ! ; 4+ Khi (t)+ m ; 25 Chứng minh Ta chứng minh i) Từ cách chứng minh Định lí 2.1.1, có ku (:; t) u(:; t)kH (R) Z+1 = (1 + + ) jF(u )( ; t) F(u)( ; t)j2 d : Ta có F(u )( ; t) = 4e ( (T ) (t)) ZT F(g)( ) e ( (s) (t)) t Do Rn [ a ; a ] F(u )( ; t) = 0: Từ (7) (10), ta suy ku (:; t) Z u(:; t)kH (R) = F('(u ))( ; s)ds5 [ a ;a ] ( ): R( ) jF(u)( ; t)j2 d Rn[ a ;a ] + Za R( ) a ZT e ( (s) (t)) [F('(u ))( ; s) F('(u))( ; s)] ds d : t Dẫn tới ku (:; t) u(:; t)kH (R) = I1 (t) + I2 (t): Trong Z I1 (t) = (2.6) R( ) jF(u)( ; t)j2 d ; (2.7) Rn[ a ;a ] I2 (t) = Za R( ) a ZT e ( (s) (t)) [F ('(u )) ( ; s) F (' (u)) ( ; s)] ds d : (2.8) t Từ (2:7), ta có I1 (t) = Z R( ) jF(u)( ; t)j2 d Z R( )e2j Rn[ a ;a ] = j4+ ( (t)+m) 2j j4+ ( (t)+m) jF(u)( ; t)j2 d : Rn[ a ;a ] Mặt khác Rn [ a ; a ] j j a suy Zt ZT (t) = k(s)ds k(s)ds = (T ) 0 j j4+ ( (t) + m) < 2a4+ ( (t) + m) 26 Do I1 (t) Z 2a4+ ( (t)+m) e R( )e2j j4+ ( (T )+m) jF(u)( ; t)j2 d : Rn[ a ;a ] Mặt khác, ta có < e a = ln 4+ > 1: Ta có Rn [ a ; a ] : j j a > suy R( ) = + với > 0: Từ đó, ta có I1 (t) e 2a4+ ( (t)+m) Z e3j j4+ e2j Z e2j j4+ ( j4+ ( (T )+m) + e3j j4 j4+ e3j ; jF(u)( ; t)j2 d Rn[ a ;a ] = e 2a4+ ( (t)+m) (T )+m+ 32 ) jF(u)( ; t)j2 d Rn[ a ;a ] C ;m0 e 2a4+ ( (t)+m) ;m0 = sup đó, m0 = (T ) + m + C ; e2m j j4+ jF(u)( ; t)j2 d : t [0; T ] R Từ (2:8), theo bất đẳng thức H¨older, ta có I2 (t) = Za 1+ + a (T ; : e ( (s) (t)) F (' (u)) ( ; s)] ds d [F ('(u )) ( ; s) t T Za Z t) R( ) e2 a (T ZT = ( (s) (t)) F (' (u)) ( ; s)j2 ds5 d jF ('(u )) ( ; s) t ZT t)R(a ) e2a ( (s) t (t)) Za jF ('(u )) ( ; s) a F (' (u)) ( ; s)j2 d ds: Khi đó, ta I2 (t) (T ZT 4+ t)R(a ) e2a t ( (s) +1 Z (t)) j'(u ) (x; s) ' (u) (x; s)j2 dx5 ds: (2.10) Từ (2:10) ; theo cách chứng minh Định lí 2.1.1, ta có 27 I2 (t) (T t)R(a )e 2a4+ ( (t)+m) ZT e2a 4+ ( (s)+m) u(:; s)k2H (R) ds: (2.11) K ku (:; s) t Do đó, từ (2:6) ; (2:9) ; (2:11) ; ta có ku (:; t) u(:; t)k2H (R) = I1 (t) + I2 (t) C ;m0 e 2a4+ ( (t)+m) +K T R(a )e 2a4+ ( (t)+m) ZT e2a 4+ ( (s)+m) ku (:; s) u(:; s)k2H (R) ds: t Suy e2a 4+ ( (t)+m) u(:; t)k2H (R) ku (:; t) C ;m0 ZT 4+ +K T R(a ) e2a ( (s)+m) ku (:; s) t Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có e2a 4+ ( (t)+m) u(:; t)k2H (R) ku (:; t) C ZT ;m0 e K T (1+a2 +a4 )ds : t Suy ku (:; t) u(:; t)k2H (R) C ;m0 e = C ;m0 e C ;m0 e Do ku (:; t) Vì < < e u(:; t)kH (R) a = ln 1 4+ p C ZT K T (1+a2 +a4 )ds 2a4+ ( (t)+m) e 2a4+ ( (t)+m) K T (1+a2 +a4 ) e 2a4+ ( (t)+m) 3K T a4 e ;m0 e a4+ ( (t)+m) e2K nên ma > 3K T : T a4 : =e a4+ u(:; s)k2H (R) ds: 28 Ta có ku (:; t) p C u(:; t)kH (R) p C ;m0 e p = C ;m0 e p = Ta chứng minh ii) Với a = ln ln ;m0 e C 4+ a4+ ta có e ;m0 = a4+ ( (t)+m) e2K a4+ ( (t)+m) e2a a4+ (t)+ m ln ( T a4 m 4+ (t)+ m ) (2.12) : : Từ (2:12) ; ta có p u(:; t)k2H (R) ku (:; t) Kết thúc chứng minh C ;m0 ln ! (t)+ m : Định lí 2.1.4 Giả sử a(:; t) hàm thỏa điều kiện (3) ; ; m số dương, g, g L2 (R) cho kg g k2 u , v hai nghiệm chỉnh hóa (10) tương ứng với liệu xác g liệu đo g Cho u nghiệm xác tốn (1) (2) cho = ! 4+ > 3K T 4+ < 3T1 2+ (1 minf );mg ( ) Nếu < < e ;e ;e > : đó, m0 = (t) + m + i) đó, (0; 1); T1 = (T ) + Khi đó, có p 4+ m1 (t) kv (:; t) u(:; t)kH (R) 6e (ln( )) đó, + n (0; 1); T1 = (T ) + Khi đó, có kv (:; t) u(:; t)kH (R) p 6e [ln(ln( ))] 4+ (t) + p C > ; p mo ; (t) + : ! 4+ 2T > 3K 4+ < 3T1 2+ minf (1 );mg ( ) Nếu < < e ;e ; ee > : đó, m1 (t) = ii) (t) > = a = C > = > ; ;m0 ;m0 ln ln 4+ ; a = 1 ! ln ln (t)+ m : 1 4+ 29 Chứng minh Ta chứng minh i) Từ định lí 2.1.2 Định lí 2.1.3 phần i), có ước lượng sau kv (:; t) kv (:; t) u(:; t)kH (R) p 2ea 2( (T ) p + C 3K T );m (1 f Vì < < e (1 Do kv (:; t) = Vì a = ln 1 4+ p + a2 + a4 eK u(:; t)kH (R) 2T (1+a2 +a4 ) (t)+ m ;m0 6ea 2( (T ) (t)) 3K T a4 p 6ea 2( (T ) (t)) a2 3K T a4 ! 4+ u(:; t)kH (R) (t)) p + ae e e p C + p ) a2+ C 6e a2 (t) a2 ( (T )+1) 3K T a4 p 6e a2 (t) p 6e a2 (t) (1 nên a = e e (1 ) 4+ e (1 4+ + + )a4+ a )a4+ e ln (t)+ m ;m0 4+ ln : T1 = (T ) + p e (t)+ m ;m0 4+ 3T1 2+ a = ; < < e (1 ) (1 3K T )a Nên g u (:; t)kH (R) + ku (:; t) p C p + ;m0 a4+ = ln C p ;m0 C (t)+ m (t)+ m ;m0 : (t)+ m (2.13) Ta có kv (:; t) u(:; t)kH (R) = Vì < < e p 4+ 6e (ln( )) p 4+ 6e (ln( )) e (t) + < nên có kv (:; t) u(:; t)kH (R) đó, m1 (t) = Ta chứng minh ii) Với a = ln ln n ; (t) + 4+ )(ln( )) (t) (1 m1 (t) p 4+ C = ln ;m0 (t)+ m 2 4+ 6e (ln( )) mo ea p + : (t) + p p C ;m0 : C ;m0 ; (t)+ m 30 Từ Định lí 2.1.2, Định lí 2.1.3 ii) (2:13) ; có kv (:; t) p u(:; t)kH (R) = Vì < < ee kv (:; t) nên ln u(:; t)kH (R) p 6e a2 (t) (1 )a e 6e (ln(ln( ))) 4+ 4+ + (t) p C ;m0 ln ! ln 1 + (t)+ m p C ;m0 ln ! < : Từ đó, có p 6e (ln(ln( ))) 4+ (t) + p C ;m0 ln ! (t)+ m : Kết thúc chứng minh 2.2 Ví dụ minh họa Xét tốn parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian sau ut (x; t) (t + 1)uxx (x; t) = f (x; t; u; ux ; uxx ); x R [0; T ); 10 Z+1 T +1 i x u(x; T ) = p e d ; x R; e (2.14) (2.15) đó, T = f (x; t; u; ux ; uxx ) = p Z+1 1 e [F(u)( ; t)]2 ei x d : + 10 e Sử dụng phép biến đổi Fourier, ta tìm nghiệm xác tốn (2:14) (2:15) t+1 F(u)( ; t) = (2.16) : e Với t = 0; từ (2:16), có F(u)( ; 0) = e : Từ (2:15), chúng tơi xét liệu đo sau u (x; T ) = 1+ jjgjj2 u(x; T ): (2.17) (t)+ m : 31 Sau đó, có jju (:; T ) u(:; T )jj2 = : Từ (10) (2:17), có nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu đo u (x; T ) v (x; t) = p Za W (v )( ; t)ei x d ; (2.18) a W (v )( ; t) = e ( (T ) (t)) ZT F(u (:; T ))( ) e ( (s) (t)) F (' (v )) ( ; s)ds: t Từ Định lí 2.1.1, chúng tơi xây dựng dãy lặp cho (2:18) sau v ;0 (x; t) = 0; v ;m (x; t) = p Za W (v ;m )( ; t)ei x d : a Chúng tơi xét trường hợp = 10 ; = 10 ; = 10 ; = 10 ; = 10 m = Tiếp theo, chúng tơi đưa ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa tương ứng với i ; i = 1; :::; Từ (2:16) ; (2:18) a = ln 1 4+ ; = 1: Chúng tơi đưa ước lượng sai số cho trường hợp t = t = 0:5 qua bảng sau 10 10 10 10 10 a 1:1815 1:3572 1:4719 1:5590 1:6302 kv i ;m (:; 0) 1:893006e 9:136848e 8:323968e 8:245527e 8:237714e u(:; 0)kH (R) 001 002 002 002 002 kv i ;m (:; 0:5) u(:; 0:5)kH (R) 1:509481e 001 3:564856e 002 2:697330e 002 2:618288e 002 2:610478e 002 Sau đó, chúng tơi vẽ đồ thị biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ;m ; m = thời điểm t = để minh họa trực quan cho ví dụ (xem hình 1) Kế tiếp, chúng tơi vẽ đồ thị biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ;m ; m = thời điểm t = 0:5: (xem hình 2) Trong luận văn này, chúng tơi sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân để làm xấp xỉ nghiệm xác Tiếp theo, chúng tơi đánh giá hội tụ dựa cách chọn 32 a : Nếu chọn a khác, nhận kết khác đánh giá hội tụ Từ (2:16) ; (2:18) a = ln ln 1 4+ ; = 1: Chúng tơi đưa ước lượng sai số cho trường hợp t = t = 0:5 qua bảng sau 10 10 10 10 10 a 0:9644 1:0884 1:1409 1:1730 1:1956 kv i ;m (:; 0) 3:453660e 1:524949e 1:083441e 9:555908e 8:916650e u(:; 0)kH (R) 001 001 001 002 002 kv i ;m (:; 0:5) u(:; 0:5)kH (R) 4:670423e 001 1:912214e 001 1:115883e 001 7:901510e 002 6:128168e 002 Tiếp theo, chúng tơi vẽ đồ thị biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ;m ; m = thời điểm t = cho trường hợp a = ln ln 1 4+ ; = 1: (xem hình 3) Cuối cùng, chúng tơi vẽ đồ thị biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa v i ;m ; m = thời điểm t = 0:5 cho trường hợp a = ln ln 1 4+ ; = 1: (xem hình 4) Một điều lưu ý đây, mặt lý thuyết chúng tơi xét tốn parbolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian khơng gian Tuy nhiên, chúng tơi điều tra tốn parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian Đó điểm yếu ví dụ minh họa luận văn 33 Hình Biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hố v i ;m ; m = thời điểm t = 0: 34 Hình Biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hố v i ;m ; m = thời điểm t = 0:5: 35 Hình Biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hố v i ;m ; m = thời điểm t = cho trường hợp a = ln ln 1 4+ : 36 Hình Biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm chỉnh hố v i ;m ; m = thời điểm t = 0:5 cho trường hợp a = ln ln 1 4+ : 37 Kết luận Luận văn đạt kết sau: 1) Chỉnh hóa tốn parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian khơng gian 2) Trình bày chứng minh chi tiết số định lí tồn nghiệm chỉnh hóa, tính ổn định nghiệm tốn chỉnh hóa, ước lượng sai số nghiệm, thay đổi điều kiện khác cho T1 Định lí 2.1.4 3) Đưa ví dụ để minh họa cho định lí chỉnh hóa 38 Tài liệu tham khảo [1] C.- L Fu, X.- T Xiong and Qian, 2007, Fourier regularization for a backward heat equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications 331, no 1, 472- 480 [2] D N Hao and N V Duc, 2011, Stability results for backward parabolic equations with time- dependent coefficients, Inverse Problems 27, no 2, Article ID 025003 [3] D D Trong, P H Quan, T V Khanh and N H Tuan, 2007, A nonlinear case of the 1- D backward heat problem: Regularization and error estimate, Zeitschrift f¨ ur Analysis und ihre Anwendungen 26, no 2, 231- 245 [4] D D Trong, P H Quan and N H Tuan, 2010, A final value problem for heat equation: Regularization by truncation method and new error estimates, Acta Universitatis Apulensis, no 22, 41- 52 [5] P T Nam, D D Trong and N H Tuan, 2010, The truncation method for a twodimensional nonhomogeneous backward heat problem, Applied Mathematics and Computation, no 216, 3423- 3432 [6] P H Quan, D D Trọng, L M Triet, 2013, On a backward nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates, J Inverse III- Posed Probl., Ahead of Print DOI 10 2015/jip2012- 0012 [7] P H Quan, D D Trong, L M Triet, N H Tuan, 2011, A modified quasi- boundary value method for regularizing of a backward problem with time- dependent coefficients, Inverse Problems in Science and Engineering 19, no 3, 409- 423 [8] R E Showalter, 1974, The final value problem for evolution equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, no 47, 563- 572 [9] U Tautenhahn and T Schr¨oter, 1996, On optimal regularization methods for the backward heat equation, Zeitschrift f¨ ur Analysis und ihre Anwendungen no 15, 475- 493 [10] R Lattes and J L Lions, 1967, Méthode de quasi- reversibilite et applications, Dunod, Paris [...]... N hội tụ trong L2 (R) đến f khi N ! 1 N iv) Toán tử F là một đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R) Định lí 1.5.4 (Đẳng thức Plancherel) Cho f 2 L2 (R) và Fff g( ) là biến đổi F ourier của f trong L2 (R) Khi đó, ta có kFff gk2 = kf k2 16 Chương 2 Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian Trong chương này, chúng tôi trình bày chứng... thuộc vào thời gian và không gian Tuy nhiên, chúng tôi chỉ điều tra bài toán parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian Đó là một điểm yếu của ví dụ minh họa trong luận văn này 33 Hình 1 Biến đổi Fourier của nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hoá v i ;m ; m = 4 tại thời điểm t = 0: 34 Hình 2 Biến đổi Fourier của nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hoá v i ;m ; m = 4 tại thời điểm t = 0:5: 35... hướng trên không gian vectơ X thì cặp (X; h:; :i) gọi là một không gian tiền Hilbert Do Định lí 1.1.2, ta có X là một không gian định chuẩn và là một không gian mêtríc với mêtríc sinh bởi chuẩn Nếu không gian mêtríc này đầy đủ, ta gọi (X; h:; :i) là một không gian Hilbert là tập con của Rn đo được, đặt Định lí 1.1.3 Cho hf; gi = Z f (x)g(x)dx và kf k2 = Z 2 1 2 jf (x)j ; 8f; g 2 L2 ( ) Không gian L2... dụ minh họa Xét bài toán parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian sau ut (x; t) 1 (t + 1)uxx (x; t) = f (x; t; u; ux ; uxx ); x 2 R [0; T ); 10 Z+1 1 T +1 i x u(x; T ) = p e d ; x 2 R; 6 e 2 (2.14) (2.15) 1 trong đó, T = 1 và 1 f (x; t; u; ux ; uxx ) = p 2 Z+1 1 1 2 6 e [F(u)( ; t)]2 ei x d : 6 + 10 e 1 Sử dụng phép biến đổi Fourier, ta tìm được nghiệm chính xác của bài toán (2:14) (2:15)... nhất 1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh Định nghĩa 1.3.1 (Bài toán chỉnh ) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, K : X ! X là một ánh xạ Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sau i) Sự tồn tại: Với mỗi y 2 Y , có ít nhất một x 2 X sao cho Kx = y, ii) Sự duy nhất: Với mỗi y 2 Y , có nhiều nhất một x 2 X với Kx = y, iii) Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu... xác và nghiệm chỉnh hóa v i ;m ; m = 4 tại thời điểm t = 0 cho trường hợp a = ln ln 1 1 4+ ; = 1: (xem hình 3) Cuối cùng, chúng tôi cũng vẽ đồ thị của biến đổi Fourier của nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa v i ;m ; m = 4 tại thời điểm t = 0:5 cho trường hợp a = ln ln 1 1 4+ ; = 1: (xem hình 4) Một điều lưu ý ở đây, về mặt lý thuyết chúng tôi xét bài toán parbolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian và. .. là không gian các hàm f (x) 2 L2 (R) sao cho f có đạo hàm đến cấp 2 và f (n) 2 L2 (R); 8n 2 f1; 2g Khi đó, chuẩn trong H 2 (R) được định nghĩa là 2;2 kf kH 2 (R) = kf k22 + f (1) 2 2 + f (2) 2 2 1 2 : Định lí 1.1.4 Không gian H m ( ) là không gian Hilbert với tích vô hướng X Z hf; gi = D f D gdx j j m 1.2 Định lí ánh xạ co Định nghĩa 1.2.1 Cho T > 0 và X là không gian Banach với chuẩn k:kX Không gian. .. gian L2 ( ) là một không gian Hilbert Không gian Sobolev W m;p ( ) (1 Định nghĩa 1.1.15 Cho tập mở L 1 ( ) = ff : loc p 1) Rk ; k 2 N Ta đặt ! R đo được : f 2 L1 (w) với mọi w Rk thỏa w là tập compac chứa trong g: Rk ; k 2 N, ta kí hiệu C d ( ); d 2 N là không gian các k \ 1 hàm khả vi liên tục đến cấp d và C ( ) = C d ( ) Còn CC ( ) là không gian các Định nghĩa 1.1.16 Với d=1 hàm số f liên tục trên... phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mỗi dãy (xn ) X sao cho Kxn ! Kx suy ra xn ! x Định nghĩa 1.3.2 (Bài toán không chỉnh ) Bài toán được gọi là không chỉnh nếu không thỏa ít nhất một trong ba điều kiện của bài toán chỉnh 13 1.4 Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn Định lí 1.4.1 (Bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakovski- Schwarz) Cho n 2 N; k = 1; n và xk ; yk 2 R, ta có n X xk yk k=1 !2 n... 1) g 'dx , với mọi ' 2 C 1 ( ) Ở đây, j j = C 1 + ::: + k và D ' = Định nghĩa 1.1.18 (Không gian Sobolev) Với m 2 N; 1 W m;p ( ) = ff 2 Lp ( ) : D f 2 Lp ( ); j j @j j' @x1 1 :::@xk k p mg ; 1; ta định nghĩa 12 với chuẩn kf kW m;p ( ) 0 =@ X j j m 1 p1 kD f kpLp ( ) A Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu H m ( ) = W m;2 ( ) Trong luận văn này, tôi xét nghiệm của bài toán (1) và (2) trên không gian H 2 (R)