http://trithuctoan.blogspot.com/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI VÀ HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI ========================== NGUYỄN VĂN MẬU, NGUYỄN HỮU ĐỘ (Chủ biên) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI (Tóm tắt báo cáo Hội nghị khoa học) H Nội, 26-27/04/2012 http://trithuctoan.blogspot.com/ KẾ HOẠCH VÀ CÔNG TÁC CHUẨN BỊ HỘI THẢO KHOA HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI NĂM 2012 I Thời gian, địa điểm, th nh phần: Thời gian: ng y (25,26,27/04/2012) Địa điểm: Phòng họp, Hội trường Trường THPT Chu Văn An H Nội Th nh phần: - Bộ Giáo dục v Đ o tạo: Lãnh đạo Bộ, Lãnh đạo vụ GD Trung học; - Lãnh đạo LH CHKHKT HN - Các tạp chí: Toán học tuổi trẻ, Toán tuổi thơ; - Hội Toán học H Nội; Hội Toán học VN, - Các tác giả có b i đăng ký tham dự Hội thảo; - Các phòng Giáo dục v Đ o tạo, huyện, thị, số trường THCS (có danh sách kèm theo); - Truyền hình, báo, đ i Ban Tổ chức v Ban chương trình Hội thảo (kèm Quyết định): II Nội dung hội thảo: - Đổi công tác quản lý giáo dục giai đoạn 2012-2015 v định hướng - Đánh giá thực trạng phương pháp dạy học Toán, thuận lợi, khó khăn đổi phương pháp dạy học; đề xuất giải pháp cụ thể, khả thi đổi phương pháp dạy học môn - Đặc biệt chuyên đề đ o tạo, bồi dưỡng học sinh, sinh viên giỏi, tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp h ng năm, nhằm nâng cao chất lượng đ o tạo III Công tác chuẩn bị Trước 30/03/2012 - Th nh lập Ban Tổ chức, Ban chương trình Lãnh đạo Sở GD v ĐT Trước 15/04/2012 - Chuẩn bị nội dung Hội thảo: Thông báo v tập hợp b i viết, In ấn kỷ yếu (Ban tổ chức, Hội TH, Sở GD) - Chuẩn bị chương trình văn nghệ, luyện tập (Trường THPT CVA) http://trithuctoan.blogspot.com/ - In v gửi giấy mời (Ban tổ chức, Hội TH, Sở GD) - Liên hệ đơn vị liên quan đảm bảo an ninh, an to n giao thông, điện, nước, Sở GD v ĐT HN, Trường THPT CVA (Anh Dũng) -Trang trí, khánh tiết: Khẩu hiệu, Hội trường lớn, Hội trường nhỏ, hoa, nước uống Trường THPT CVA (Anh Dũng) - Chuẩn bị hội trường, âm thanh, ánh sáng, máy chiếu, Trường THPT CVA - Tổng vệ sinh to n trường Trường THPT CVA - Chuẩn bị nh khách (4 phòng), phương tiện lại Trường THPT CVA Sáng 26/04/2012 Đón tiếp đại biểu Trường THPT CVA Ghi danh sách đại biểu v phát kỷ yếu Trường THPT CVA Bổ trí chỗ ngồi Hội trường (D nh h ng ghế cho đại biểu) Trường THPT CVA Phụ trách chương trình văn nghệ ch o mừng (nếu có) Trường THPT CVA Phương tiện trình chiếu, loa đ i Trường THPT CVA 26/04/2012 Nội dung chương trình Hội THHN Trưa 26/04 Chuẩn bị ăn trưa Sở GD v Anh Dũng (HT THPT CVA) Chiều 26/04/2011 Từ 13h30-16h00 Nội dụng v điều h nh Hội thảo chuyên đề Hội THHN 16h15-17h30 Hội thảo tổng kết phiên to n thể BTC (Anh Mậu+Anh Độ) http://trithuctoan.blogspot.com/ Tối 26/04/2011 Ăn tối (cho đại biểu xa (40 xuất)) Sở GD v ĐT (Anh Quang), Anh Dũng (THPT Chu Văn An) Ng y 27/04/2012 Chương trình Tọa đ m b n tròn Chuẩn bị phương tiện đưa đón, Sở GD (Anh Tuấn) Nội dung hoạt động Hội THHN (Anh Hổ), Sở GD (Anh Tuấn), Trường PT DTNT H Nội (Anh Phú) Các ng y Hội thảo: Quay phim, chụp ảnh v tư liệu Hội THHN (Thẩm Ngọc Khuê) http://trithuctoan.blogspot.com/ CHƯƠNG TRÌNH CHI TIẾT Ng y 25/04/2012 14h30-16h30 Họp Ban Tổ chức v Ban chương trình, tổng duyệt báo cáo Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ Ng y 26/04/2012 08h00-8h30 Đón tiếp đại biểu 08h30-9h00 Văn nghệ ch o mừng 09h00-9h05 Tuyên bố lý do, giới thiệu đại biểu 09h05-9h15 Phát biểu khai mạc Phát biểu đề dẫn 09h15-09h25 Phát biểu đại biểu - GS TS Vũ Hoan - TS Vũ Đình Chuẩn Phòng GDPT v Trường THPT CVA Trường THPT CVA Đ m Xuân Quang, Phó Văn Phòng Nguyễn Hữu Độ Nguyễn Văn Mậu Chủ tịch Liên hiệp Hội KHKTHN Vụ trưởng Vụ GDTH Bộ GD v ĐT 09h25-11h30 Các báo cáo phiên to n thể NGƯT H n Liên Hải: Một số ý kiến vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi PGS Trần Huy Hổ: Vai trò Hội THHN công tác hợp tác đ o tạo với sở GD hoạt động chuyên môn v bồi dưỡng học sinh giỏi - ThS Chử Xuân Dũng (HT THTH CVA): Về hoạt động chuyên môn CLB Toán học HN - TS Phạm Thị Bạch Ngọc: Vai trò Tạp chí TH v TT bồi dưỡng HSG phổ thông - ThS Vũ Kim Thuỷ: Hoạt động Tạp chí Toán Tuổi thơ - ThS Trần Văn Khải (HN-Amsterdam); Về chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi HN - ThS Lê Đại Hải: Về tổ chức kỳ thi HSC Thủ đô HN 11h30-13h00 Nghỉ ăn trưa 14h00-17h30 Các báo cáo chuyên đề Toán học bồi dưỡng GV v vấn đề liên quan Điều h nh THCS: GS Nguyễn Văn Mậu, ThS Chử Xuân Dũng PGS H Tiến Ngoạn Tổng số cách phân chia tập hợp th nh tập rời TS Nguyễn Việt Hải Những b i toán thi học sinh giỏi lớp số học http://trithuctoan.blogspot.com/ TS Nguyễn Văn Ngọc Một số dạng toán chia đa thức đối xứng ThS Nguyễn Bá Đang Đường thẳng Simson ThS Lê Thị Thanh Bình Một số phương pháp giải phương trình h m bậc THCS GV Nguyễn Thị Minh Châu Một số dạng toán liên quan đến dãy số có quy luật cấp THCS ThS Hồ Quang Vinh Phép nghịch đảo v ứng dụng Các báo cáo đăng ký hội thảo Điều h nh THPT: PGS Trần Huy Hổ, PGD Sở Lê Ngọc Quang PGS Ho ng Chí Th nh Một v i kỹ thuật giải tích tổ hợp PGS Nguyễn Thuỷ Thanh Một cách tiếp cận định nghĩa h m mũ PGS Vũ Đình Ho B i toán tô m u đồ thị GS Phạm Huy Điển H m số mũ - vấn đề "Biết - khổ - nói mãi" m chưa hết GS Đặng Huy Ruận Phương pháp Graph TS Trịnh Đ o Chiến Một số lớp phương trình h m dạng Pexider v áp dụng PGS Đ m Văn Nhỉ Tham số hóa đồ thị phẳng v toán sơ cấp Các báo cáo đăng ký hội thảo Phiên tổng kết: GS Nguyễn Văn Mậu, ThS Nguyễn Hữu Độ 18h00-19h30 Ăn tối (d nh cho đại biểu tỉnh xa) Ng y 27/04/2012 -Các báo cáo khoa học hội nghị b n tròn - 11h30: Ăn trưa - 16h00: Xe xuất phát H Nội http://trithuctoan.blogspot.com/ Mục lục Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ Lời nói đầu Nguyễn Thủy Thanh Một cách tiếp cận định nghĩa h m mũ 10 Trần Nam Dũng Nguyên lý cực hạn 12 Trịnh Đ o Chiến, Lê Tiến Dũng Một số dạng tổng quát phương trình h m Pexider v áp dụng 13 Đặng Huy Ruận Phương pháp Graph 15 H Thị Mai Dung Một số tính chất h m lồi, lõm bậc cao v áp dụng 17 Nguyễn Thị Minh Châu Một số dạng toán liên quan đến dãy số có quy luật cấp THCS 20 Ho ng Đạt Hạ Định lý Lagrange v phương trình h m liên quan 22 Lê Hồ Quý v Phạm Xuân Th nh Về số b i toán phương trình h m giải phương pháp sai phân 26 Ho ng Chí Th nh Một v i kỹ thuật giải tích tổ hợp 28 Đ m Văn Nhỉ Tham số hóa đồ thị phẳng v toán sơ cấp 30 Vũ Đình Hòa B i toán tô m u đồ thị 32 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Đăng Phất Một số tính chất tứ điểm mặt phẳng 37 Nguyễn Văn Ngọc Một số b i toán chia hết đa thức đối xứng 39 Trần Việt Anh Sử dụng số phức để giải toán tổ hợp 40 Quách Văn Giang Chứng minh bất đẳng thức phương pháp tham số hoá 42 Lê Thị Anh Đoan Tính ổn định nghiệm số phương trình h m Cauchy 45 Phạm Thị Nh n Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác 47 Trần Viết Tường Một số lớp phương trình h m đa ẩn sinh phi đẳng thức 50 Trương Ngọc Đắc Một số ứng dụng tích vô hướng hai véctơ 52 Phạm Huy Điển H m số mũ - vấn đề "Biết - khổ - nói mãi" m chưa hết 53 Nguyễn Bá Đang Đường thẳng Simson 55 Hồ Quang Vinh Phép nghịch đảo v ứng dụng 56 Trương Ngọc Đắc Một số ứng dụng tích vô hướng hai véctơ 57 Đ o Xuân Luyện Một số b i toán xây dựng từ công thức Taylor 59 Lê Thị Thanh Bình Một số phương pháp giải phương trình h m bậc THCS 60 Phạm Thị Bạch Ngọc Chuyên đề cho Đại số 9: Phần nguyên v ứng dụng 61 http://trithuctoan.blogspot.com/ Lời nói đầu Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch hội Toán học H Nội Nguyễn Hữu Độ, Giám đốc sở GD v ĐT H Nội Hòa nhịp với nước ch o mừng ng y giải phóng miền Nam, thống đất nước v ng y Quốc tế lao động 01.05 v thực chương trình đổi giáo dục Thủ đô, Sở Giáo Dục v Đ o tạo H Nội phối hợp với Hội Toán học H Nội đồng tổ chức Hội thảo khoa học Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Chu Văn An, th nh phố H Nội v o ng y 26-27/04/ 2012 Đây l hội thảo theo tinh thần ký kết phối hợp hoạt động Sở Giáo Dục v Đ o tạo H Nội v Hội Toán học H Nội b n liên kết bồi dưỡng học sinh giỏi v bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán Trung học phổ thông v Trung học sở Hội thảo khoa học lần n y tiến h nh từ 26-27/4/2012 th nh phố H Nội hân hạnh đón tiếp nhiều nh khoa học, nh giáo lão th nh, nh quản lý, chuyên gia giáo dục v nh toán học báo cáo phiên to n thể v cán đạo chuyên môn từ sở Giáo dục v Đ o tạo, thầy giáo, cô giáo môn Toán trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán báo cáo phiên chuyên đề hội thảo Ban tổ chức nhận gần 30 báo cáo to n văn gửi tới hội thảo Song khuôn khổ hạn hẹp thời gian, khâu chế v thời lượng kỷ yếu, đưa v o kỷ yếu 20 b i, b i lại chế để gửi quý đại biểu thực chương trình báo cáo chuyên đề thức hội thảo Nội dung kỷ yếu lần n y phong phú, bao gồm hầu hết chuyên đề phục vụ việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán từ lý thuyết đồ thị, tô m u, đại số, giải tích, hình học, số học đến dạng toán liên quan khác Bạn đọc tìm thấy nhiều dạng toán từ kỳ olympic nước v quốc tế Ban tổ chức xin chân th nh cảm ơn hợp tác v giúp đỡ quý báu quý thầy giáo, cô giáo v đặc biệt l to n thể th nh viên semina toán ĐHKHTN v câu lạc toán H Nội tích cực tham gia để có kỷ yếu với nội dung thiết thực v phong phú n y Vì thời gian chuẩn bị gấp gáp, nên khâu hiệu đính v chế kỷ yếu chưa đầy đủ, chi tiết, chắn chứa nhiều khiếm khuyết Rất mong cảm thông chia sẻ quý đại biểu Những ý kiến đóng góp liên quan đến kỷ yếu n y xin gửi địa chỉ: Hiộ Toán học H Nội, phòng 303 nh T1, 334 Nguyễn Trãi, H Nội Xin trân trọng cảm ơn TM Ban Tổ Chức Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ http://trithuctoan.blogspot.com/ Một cách tiếp cận định nghĩa h m mũ Nguyễn Thủy Thanh, Trường ĐHKHTN H Nội Mọi phân số thường m mẫu số l lũy thừa không âm 10 gọi l phân số thập phân 32 123 Chẳng hạn: , , l phân số thập phân Thông thường người ta viết phân số 10 100 100 32 1234 thập phân dạng mẫu số, tức l = 0, 3; = 0, 32, = 1, 234 10 100 1000 Ta lưu ý đến tiêu chuẩn: p Để số hữu tỉ dương biểu diễn phân số tối giản khai triển th nh phân số thập phân q hữu hạn điều kiện cần v đủ l mẫu số p ước nguyên tố ngo i v Ngược lại, phân số thập phân hữu hạn bất kì: α0 , α1 α2 αn l số hữu tỉ α0 , α1 α2 αn , 10n từ số α0 , α1 α2 αn l số nguyên gồm αn đơn vị, αn−1 , chục, αn−2 trăm Từ tiêu chuẩn suy phân số lại có khai triển thập phân vô hạn α0 , α1 α2 αn tức l phân số thập phân m số tự nhiên k tìm số tự nhiên l > k cho αl > Nếu phân số thập phân vô hạn m kể từ chữ số thập phân n o nhóm chữ số lặp lại vô hạn lần theo thứ tự định gọi l phân số thập phân vô hạn tuần ho n v nhóm số gọi l chu kì Chẳng hạn ta có α0 , α1 α2 αn = 1, 21, 353535 = 1, 21(35) Quy tắc I Một phân số thập phân vô hạn tuần ho n phân số thường m tử số l chu kì v mẫu số gồm to n chữ số với số lượng số chữ số chu kì Quy tắc II Một phân số thập phân vô hạn tuần ho n tập phân số thường m tử số có cách lấy số biểu diễn chữ số thập phân đứng trước chu kì thứ hai trừ số biểu diễn chữ số thập phân đứng trước chu kì thứ nhất, mẫu số l số viết số chữ số số chữ số chu kì v số chữ số số chữ số thập phân đứng sau dấu thập phân trước chu kì thứ Bên cạnh phân số thập phân tuần ho n tồn phân số thập phân vô hạn không tuần ho n Chẳng hạn số: 0, 101001000, , tức l sau dấu thập phân ta viết liên tiếp số 10, 100, 1000, , hay số 0,123456 th nh lập theo quy tắc l sau dấu thập phân ta viết liên tiếp số tự nhiên Các phân số thập phân vô hạn khác coi l số khác 10 http://trithuctoan.blogspot.com/ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác Phạm Thị Nh n, Sở Giáo Dục v Đ o Tạo Quảng Ninh Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán quốc tế v khu vực thường xuất b i toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác hay b i toán tìm cực trị biểu thức lượng giác tam giác Đó l dạng b i toán khó học sinh Báo cáo n y nhằm đề cập đến v i cách chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác với vế trái l biểu thức dạng xf (A) + yf (B) + zf (C) v số b i toán liên quan Tất quan tâm đến bất đẳng thức lượng giác tam giác biết đến dạng bất đẳng thức quen thuộc sau v biết cách giải chúng: √ 3 sin A + sin B + sin C , (1) √ 3 sin 2A + sin 2B + sin 2C , (2) √ tan A tan B tan C 3, (3) cos A + cos B + cos C , (4) gọi l bất đẳng thức dạng đối xứng tam giác phụ thuộc v o tổng v tích h m số lượng giác B i toán Chứng minh tam giác ABC, ta có sin A + sin B − cos C B i toán Chứng minh tam giác ABC, ta có √ sin A + sin B − √ cos C Tổng quát ta có B i toán Chứng minh tam giác ABC, ta có sin A + sin B − cos C m 47 m2 + 2m http://trithuctoan.blogspot.com/ B i toán Chứng minh tam giác ABC, ta có √ √ sin A + sin B + sin C Ta có b i toán tổng quát sau: B i toán Cho số dương x, y, z Chứng minh với tam giác ABC, ta có x2 + y + z 2(−1)n+1 (yz cos nA + zx cos nB + xy cos nC), (1) B i toán Cho số dương x, y, z Chứng minh với tam giác ABC, ta có x cos A + y cos B + z cos C xy yz zx ( + + ), z x y (7) Giải B i toán Chứng minh với tam giác ABC, ta có cos A + cos B + cos C 769 120 B i toán Tam giác ABC, thoả mãn điều kiện : a) cos A cos B cos C + + = 12 cos A cos B cos C 119 + + = 12 780 cos C √ c) cos A + cos B + √ = 2 b) B i toán Cho a, b, c l ba cạnh tương ứng với góc A, B, C tam giácABC Chứng minh với tam giác ABC, ta có bc cos A + ca cos B + ab cos C a2 + b2 + c2 B i toán 10 Cho ABC l tam giác nhọn Chứng minh với x thuộcR ta có : cos A + (cos B + cos C)x 1+ x2 (12) B i toán 11 Cho x, y, z dương Chứng minh tam giác ABC, ta có x sin A B C + y sin + z sin 2 48 xy yz zx ( + + ), z x y (13) http://trithuctoan.blogspot.com/ B i toán 12 Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện 1 + = 2 x y z (5) Chứng minh với tam giác nhọn ABC, ta có x cos A + y cos B + z cos C < x2 + y B i toán 13 Cho x l số thực không âm v a, b, c l ba cạnh tương ứng với góc A, B, C tam giácABC Chứng minh với tam giác ABC, ta có : ax cos A + bx cos B + cx cos C x (a + bx + cx ) B i toán 14 Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện 1 − x y z 1 + x y Tìm giá trị lớn biểu thức :P = x cos 2A + y cos 2B − z cos 2C B i toán 15 Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện 1 − x z y 1 + x z Tìm giá trị lớn biểu thức :P = x cos A + y cos B + z cos C T i liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc "Một số b i toán chọn lọc lượng giác", NXB Giáo dục 2002 [2] Các tạp chí Kvant, Toán học v tuổi trẻ, T liệu Internet [3] Trần Phương "Các chuyên đề bất đẳng thức v cực trị lượng giác" , NXB H nội 2006 49 http://trithuctoan.blogspot.com/ Một số lớp phương trình h m đa ẩn sinh phi đẳng thức Trần Viết Tường, Trường THPT Trần Phú - Đ Nẵng Trong toán học phổ thông b i toán phương trình h m l loại toán thường v khó, thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán khu vực v Quốc tế, Olympic sinh viên trường Đại học v cao đẳng Liên quan đến dạng toán n y l b i toán đặc trưng khác h m số v tính chất liên quan với chúng Để hệ thống phương trình h m, cần thiết phải hệ thống kiến thức v nâng cao dạng phương trình h m ứng dụng chúng Đối với b i toán phương trình h m với nhiều ẩn h m lớp h m cụ thể: liên tục, khả vi, tuần ho n, lồi lõm, cần nắm số kĩ thuật biến đổi h m số, khảo sát tính chất h m thực v phép biến hình trục thực 0.1 Phương trình h m sinh phi đẳng thức a2 + b2 ≡ g(a + b)h(a − b) B i toán Tìm h m số f, g, h xác định v liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 + y ) = g(x + y).h(x − y), ∀x, y ∈ R (1) f (x2 − y 2) = g(x − y) + h(x + y), ∀x, y ∈ R (2) f (x2 − y 2) = g (x) − h2 (y), ∀x, y ∈ R (3) f (x) − g(y) = xh(y) − yh(x), ∀x, y ∈ R (4) f (x) − f (y) = (x + y)g(x − y), ∀x, y ∈ R (5) f (x) + f (y) + 2xy = (x + y)g(x + y), ∀x, y ∈ R (6) f (x).g(y) = x2 − y 2, ∀x, y ∈ R (7) f (x + y) + g(x − y) = h(xy), ∀x, y ∈ R (8) f (x + y).g(x − y) = h(xy), ∀x, y ∈ R (9) B i toán Tìm tất h m số f, g, h xác định v liên tục R thỏa mãn điều kiện B i toán Tìm tất h m số f, g, h xác định v liên tục R thỏa mãn điều kiện B i toán Tìm h m số f, g, h liên tục v xác định R thỏa mãn điều kiện B i toán Tìm tất h m số f, g xác định v liên tục R thỏa mãn điều kiện B i toán Tìm tất h m số f, g xác định v liên tục R thỏa mãn điều kiện B i toán Tìm tất h m số f, g xác định v liên tục R thỏa mãn điều kiện B i toán Tìm tất h m số f, g, h xác định v liên tục R thỏa mãn điều kiện B i toán Tìm tất h m số dương f, g, h xác định v liên tục R thỏa mãn điều kiện 50 http://trithuctoan.blogspot.com/ T i liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình h m, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Các b i toán nội suy v áp dụng, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu, 2009, Phương trình h m với nhóm hữu hạn biến đổi phân tuyến tính, Kỷ yếu HNKH "Các phương pháp v chuyên đề toán sơ cấp" Bắc Giang, 27-29/11/2009 [4] Christopher G Small, 2000, Functinal equations and how to solve them, Springer 51 http://trithuctoan.blogspot.com/ Một số ứng dụng tích vô hướng hai véctơ Trương Ngọc Đắc, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định Báo cáo xét tính chất tích vô hướng hai vectơ, góc hai vectơ v mệnh đề ứng dụng tích vô hướng hai vectơ Ta xét ba mệnh đề vận dụng tích vô hướng hai vectơ để l m tảng giải b i toán hình học chương sau (đây l ba b i toán SGK Hình học 10 Nâng cao, trang 47 - 49) Tiếp theo, trình b y số ứng dụng tích vô hướng hai vectơ tính toán yếu tố hình học, dựa v o đẳng thức vectơ tam giác, ta có đẳng thức độ d i yếu tố tam giác, b i toán cực trị hình học B i toán (2007-England) Gọi H l trực tâm tam giác ABC, P l điểm nằm mặt phẳng tam giác ABC khác A, B, C Các điểm L, M, N l chân đường vuông góc hạ từ H đến đường thẳng PA, PB, PC Gọi X, Y, Z l giao điểm LH, MH, NH với BC, CA v AB Chứng minh ba điểm X, Y, Z thẳng h ng B i toán Cho đường tròn (O, R) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Xác định giá trị nhỏ biểu thức: S = AB + BC 2 − CA2 52 http://trithuctoan.blogspot.com/ H m số mũ - vấn đề "Biết - khổ - nói mãi" m chưa hết Phạm Huy Điển, Trung tâm Tin học, Viện KH v CN VN Chắc hầu hết học sinh lớp 12 (thậm chí lớp 11 nữa) cho h m số mũ l thứ “đã biết rồi” R nh r nh sách giáo khoa đưa định nghĩa hẳn hoi! Vậy l gì? Muốn biết h m số mũ, trước hết phải biết n o l luỹ thừa bậc b số a (tức ab ) Nếu b l số hữu tỷ định nghĩa chẳng khó khăn gì, sách đưa định nghĩa giống v đúng: b l số tự nhiên lũy thừa bậc b số định nghĩa phép nhân số với ( b lần); b l số nguyên âm lũy thừa bậc b định nghĩa nghịch đảo luỹ thừa bậc −b; phép khai bậc nguyên dương số định nghĩa phép tính ngược phép nâng lên luỹ thừa; b l số hữu tỷ (nghĩa l b = p/q, với p l số nguyên v q l số tự nhiên) lũy thừa bậc b số định nghĩa l hợp phép toán: nâng lên luỹ thừa (với bậc p) v khai (với bậc q) Vấn đề trở nên thực nan giải b l số vô tỷ Để định nghĩa luỹ thừa với số mũ vô tỷ, sách giáo khoa toán phổ thông phải dựa v o mệnh đề “ chứng minh chặt chẽ khuôn khổ chương trình phổ thông” Đại ý mệnh đề l : với số a > có h m liên tục nhận giá trị thực m điểm hữu tỷ q nhận giá trị l aq Ngay học sinh đại học phải đầu h ng tính “thần bí” mệnh đề n y, đụng đến vấn đề hóc búa: Khi n o h m số xác định tập số hữu tỷ “thác triển được” th nh h m liên tục to n trục số thực? V n o thác triển l nhất? Tất nhiên, với định nghĩa ta l m ngo i việc tiếp tục công nhận tính chất đưa sau định nghĩa (vì chứng minh được) Sách Giáo khoa Thực nghiệm “Đại số v Giải tích 11” (d nh cho hệ chuyên ban A, NXB Giáo dục - 1995) đưa định nghĩa “Luỹ thừa số a với số mũ vô tỷ b (ký hiệu ax ) l lim axn , {xn } l dãy số hữu tỷ gần thiếu x” Tiếc sách không cho n→∞ biết nhiều khái niệm dãy số hữu tỷ gần thiếu số vô tỷ nên ta tổng dãy số hữu tỷ gần thiếu (của số vô tỷ) có l dãy số hữu tỷ gần thiếu (của tổng số vô tỷ đó) hay không Cho nên ta tính chất luỹ thừa bậc hữu tỷ chuyển sang cho luỹ thừa bậc vô tỷ n o Tuy nhiên, điều áy náy n y chẳng chốc bị “che phủ” điều áy náy lớn hơn, ta thấy tính liên tục h m mũ đưa cách “vô điều kiện” Rõ r ng, cách định nghĩa l chưa thể thỏa mãn nguyện vọng người muốn hiểu khái niệm toán học cách “đến nơi đến chốn” Tóm lại: Muốn biết h m số mũ l “hãy đợi đấy!!!” Đợi đến đây? Chưa có trả lời câu hỏi n y, người qua đại học cho bạn lời khuyên đích thực l : đừng hy vọng nhiều chương trình bậc đại học, người ta thường cho “h m mũ dạy từ thời phổ thông!” Nếu bạn không muốn chờ đợi thêm l m “một chen ngang”, khám phá chất h m số mũ lòng chương trình lớp 11 Chúng ta thiết lập khái niệm h m số mũ cách chặt chẽ mặt toán học, m không cần vay mượn kết n o từ chương trình đại học Trước hết, ta cần thấy l h m không đơn giản (nếu không nói l khó hẳn) h m lượng giác, việc xây dựng cần đầu tư 53 http://trithuctoan.blogspot.com/ thời gian v công sức không eo hẹp so với ta d nh cho h m lượng giác (gần nửa sách giáo khoa lớp 11) Bản thân số vô tỷ coi giới hạn dãy số hữu tỷ, việc xây dựng luỹ thừa bậc vô tỷ không dựa v o khái niệm n y 54 http://trithuctoan.blogspot.com/ Đường thẳng Simson Nguyễn Bá Đang, Sở GD v ĐT Hải Dương Robert Simson l nh toán học người Scotland, giáo sư toán học đại học Glasgow Ông sinh 14 tháng 10 năm 1687tại West Kilbride v ng y tháng 10 năm 1768 Glasgow Trong nhiều năm gần kì thi nước, quốc tế khu vực thường sử dụng đường thẳng Simson v o giải toán hình học phẳng Xin giới thiệu để bạn đọc tham khảo Đường thẳng Simson B i toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) M l điểm tùy ý ( ), gọi D, E, H l hình chiếu BC, CA, AB Chứng minh D, E, H thẳng h ng B i toán 2: Cho tam giác ABC, M l điểm mặt phẳng chứa tam giác ABC Gọi D, E, H l hình chiếu M cạnh BC, CA, AB v D, E, H thẳng h ng Chứng minh M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác ABC, M l điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi K, P, Q l điểm đối xứng M qua BC, CA, AD Chứng minh P, K, Q nằm đường thẳng v qua điểm cố định, không phụ thuộc v o điểm M thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Olimpia Japan 1996) 55 http://trithuctoan.blogspot.com/ Phép nghịch đảo v ứng dụng Hồ Quang Vinh, Tạp chí Toán học v Tuổi trẻ Trong suốt b i viết kí hiệu X * l ảnh X qua phép nghịch đảo xét Từ định nghĩa ta thấy rằng, qua phép nghịch đảo điểm đường tròn (k) đứng nguyên chỗ, điểm nằm (k) biến ngo i, điểm nằm ngo i (k) biến v o Nếu điểm A biến th nh A*, điểm A* qua phép nghịch đảo biến th nh điểm A, tức l (A*)* = A Các tính chất Qua phép nghịch đảo tâm O với bán kính r: 1) Một đường thẳng qua O biến th nh 2) Một đường thẳng l không qua O biến th nh đường tròn qua O, tâm đường tròn l điểm C* (C l điểm đối xứng với O qua đường thẳng l) 3) Một đường tròn với tâm l điểm C qua O biến th nh đường thẳng không qua O, vuông góc với OC 4) Một đường tròn không qua O biến th nh đường tròn không qua O ( Hai đường tròn n y không thiết ) 5) Sự tiếp xúc đường tròn v đường thẳng bảo to n, tiếp điểm không trùng với tâm nghịch đảo; trùng nhận cặp đường song song 6) Góc hai đường tròn (góc đường thẳng v đường tròn, hai đường thẳng) bảo to n qua phép nghịch đảo Theo truyền thống từ thời cổ Hy Lạp, hình học thường xét phép dựng hình compa v thước kẻ Nhưng tiến h nh dựng hình compa thước kẻ Bằng compa, tất nhiên dựng tất điểm đường thẳng, ta coi đường thẳng dựng dựng tất phép dựng m thực nhờ compa v thước kẻ Để dựng hình compa chủ yếu l nhờ dựng ảnh điểm qua phép nghịch đảo đường tròn cho trước với tâm cho trước Sử dụng phép nghịch đảo, giải gọn b i toán khó Kì thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia , Kì thi Olympic Toán học Quốc tế TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] V.V Praxolov Các b i toán hình học phẳng, Tập 2, Nh xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, năm 2003 [2] Các b i dự tuyển Olympic Toán học Quốc tế, Nh xuất Giáo dục, H Nội 2003 [3] 1999 National Contests Problems and Solution, Published and distributed by Mathematical Association of America [4] Mathematical Olympiad Problems and Solutions From Around the Wolrd, 1995 - 1996, 1996 - 1997, 1997 - 1998, 1998 - 1999, 1999 - 2000, 2000 - 2001, Edited by Titu Andreescu, Zuming Feng and George Lee, Jr Walter Mientka Published and distributed by Mathematical Association of America [5] Một số Tạp chí Toán học v Tuổi trẻ năm từ 2003 - 2007 56 http://trithuctoan.blogspot.com/ Những b i toán thi học sinh giỏi lớp số học Nguyễn Việt Hải, Tạp chí THTT Trong b i n y chữ biểu thị số nguyên, không l số nguyên ghi riêng Chuyên đề Một số b i toán chia hết v chia có dư I Kiến thức Các dấu hiệu chia hết cho 2, 4, 5, 3, 9, 11, Các tính chất phép chia hết Lưu ý : a) Nếu a v b chia hết cho m ( m = 0) a + b v a - b chia hết cho n b) Nếu a chia hết cho n v b không chia hết cho m (m = 0) a + b v a - b không chia hết cho m Các tính chất ước chung lớn (UCLN) v bội chung nhỏ (BCNN ) hai số SGK Các tính chất số nguyên tố v hợp số SGK Các tính chất số nguyên tố Các đẳng thức đáng nhớ dạng (a + b)2 , (a − b)2 , Sự chia hết đa thức Điều kiện có nghiệm nguyên tam thức bậc hai Sự chia hết tích số nguyên liên tiếp II Các b i toán chia hết v chia có dư A Các b i toán chia hết B Các b i toán chia có dư Chuyên đề Một số b i toán số phương v số lũy thừa I.Tính chất số phương II Một số dạng toán số phương v số lũy thừa A B i toán chứng minh số không l số phương B B i toán chứng minh số l số phương C B i toán xác định giá trị biến để biểu thức số l số phương Chuyên đề Một số b i toán dãy số A Tính chất phép chia v số nguyên tố B Phương pháp phản chứng C Nguyên tắc Dirichlet Số học D Phương pháp cực hạn E.B i toán chọn số dãy số B i toán 3.7 a) Chứng minh 100 số nguyên dương chọn hay nhiều số m tổng chúng chia hết cho 100 b) Chứng minh 100 số nguyên dương chọn hay nhiều số m tổng bình phương chúng chia hết cho 100 B i toán 3.8 a) Trong 2n số nguyên từ đến 2n chọn n + số n o Chứng minh số chọn có số tổng hai số chọn ( hai số n y khác nhau) 57 http://trithuctoan.blogspot.com/ b) Có thể lấy nhiều số 2n số nguyên dương để số chọn không tổng của hai số chọn ( hai số n y khác ) C.B i toán tìm cực trị biểu thức chứa số thuộc dãy số 58 http://trithuctoan.blogspot.com/ Một số b i toán xây dựng từ công thức Taylor Đ o Xuân Luyện, THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định Trong trình giảng dạy, ta thường gặp số b i toán phương trình, bất đẳng thức m vế l h m siêu việt h m lượng giác, h m mũ, hay h m lôgarit v vế lại l đa thức Câu hỏi đặt lại có mối quan hệ v “ở đâu” người ta lại có bất đẳng thức đẹp đến Trong b i viết “ Một số b i toán xây dựng từ công thức Taylor” tác giả l m rõ phần n o câu hỏi 59 http://trithuctoan.blogspot.com/ Một số phương pháp giải phương trình h m bậc THCS Lê Thị Thanh Bình, THCS Bình Minh, TP Hải Dương H m số l khái niệm v khó học sinh THCS thời lượng d nh cho nội dung n y chương trình hạn chế (28 tiết học chia lớp v lớp 9) Vì vậy, dạy cho học trò nắm khái niệm v khảo sát số tính chất h m đơn giản l công việc không dễ C ng khó phải giải b i toán ngược: xác định h m số từ v i tính chất cho trước Chuyên đề sau cung cấp số phương pháp đơn giản để tìm h m số khuôn khổ chương trình Toán bậc trung học sở Tìm h m số thoả mãn số điều kiện n o gọi l giải phương trình h m Trong b i n y trình b y chi tiết phương pháp giải phương trình h m bậc THCS: Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đưa giải hệ phương trình Phương pháp sử dụng tính chất đa thức Phương pháp đồng hệ số Phương pháp xét giá trị đặc biệt biến số Giải số dạng b i tập khác thông qua giải phương trình h m TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu Đa thức v áp dụng, NXBGDVN 2008 [2] Tạp chí Toán học v tuổi trẻ - NXBGDVN [3] Tuyển chọn đề thi tuyển sinh 60 http://trithuctoan.blogspot.com/ Chuyên đề cho Đại số 9: Phần nguyên v ứng dụng Phạm Thị Bạch Ngọc, Tạp chí TH v TT Trong b i n y xét tính chất phần nguyên v b i toán liên quan Tiếp theo xét số ứng dụng chứng minh số b i toán số học, giải phương trình có chứa dấu phần nguyên v khảo sát bất phương trình chứa phần nguyên 61 [...]... phương trình h m dạng Pexider v áp dụng Trịnh Đ o Chiến, Trường Cao Đẳng Sư Phạm Gia Lai Lê Tiến Dũng, Trường THPT Pleiku, Gia Lai Phương trình h m Pexider l phương trình h m tổng quát trực tiếp của phương trình h m Cauchy quen thuộc B i viết n y đề cập đến một số dạng tổng quát của Phương trình h m Pexider v v i áp dụng của nó trong chương trình Toán phổ thông Phương trình h m Pexider cơ bản gồm bốn dạng... nguyên lý trên dễ d ng chứng minh bằng quy nạp theo số các tập hợp T i liệu tham khảo [1] J Ginsburg, Determining a permutation from its set of reductions, Ars Combinatoria, No 82, 2007, pp 55-57 [2] T Kuo, A new method for generating permutations in lexicographic order, Journal of Science and Engineering Technology, Vol 5, No 4, 2009, pp 21-20 [3] W Lipski, Kombinatoryka dla programistów, WNT, Warszawa,... trình Hamilton (chu trình đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị) T i liệu tham khảo [1] Sach, H, Graphentheorie Leipzig 1970 [2] Flachsmeyer, J., Kombinatorik VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1972 [3] Vũ Đình Hòa, Toán rời rạc, NXB ĐHSPHN 2010 36 ... có ước chung với ít nhất một nửa số số thuộc tập M Khi đó có thể ghi tất cả các số thuộc tập M lên một đường tròn, để mỗi số đều đứng giữa hai số, m nó có ước chung T i liệu tham khảo [1] Claude Berge Théorie des Graphes et ses applicatious Dunod, Paris 1967 [2] Vũ Đình Hòa Định lý v vấn đề về đồ thị hữu hạn Nh xuất bản Giáo dục H Nội 2001 15 http://trithuctoan.blogspot.com/ [3] Đặng Huy Ruận, Lý thuyết... Đại học Học viện London (UCL) Fredrick đã đưa vấn đề n y hỏi thầy của mình l nh toán học Augustus De Morgan nhưng người thầy cũng chưa biết rõ vấn đề n y Người đầu tiên giới thiệu vấn đề ra trước công chúng l nh toán học Arthur Cayley v o năm 1878 tại Hội Toán học London, ông đã chỉ ra người đề cập vấn đề l De Morgan Người đầu tiên chứng minh định lý n y l Alfred Kempe v o năm 1879 Năm 1880, có thêm một... trung học phổ thông, Kỉ yếu hội nghị khoa học [3] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh, 2002, Phép tính vi phân v tích phân h m một biến, NXB ĐHQGHN [4] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý v áp dụng, NXB Giáo Dục [5] P.K.Sahoo, T.Riedel, Mean Value theorems and Functional Equations, World Scientific, River Edge, World Scientific 1998 25 http://trithuctoan.blogspot.com/ Về một số b i... , n) xác định v tồn tại đạo h m (theo mỗi biến số độc lập x, y) trên R thỏa mãn điều kiện n f (x + y) = k=1 fk (x) gk (y), ∀x, y ∈ R, n ≥ 2 13 (6) http://trithuctoan.blogspot.com/ Phương trình h m Pexider tổng quát có nhiều áp dụng trong việc nghiên cứu một số vấn đề liên quan của Toán phổ thông Đó l một số áp dụng liên quan đến các phép chuyển đổi bảo to n yếu tố góc của một tam giác B i toán 3.1 Tìm... phổ thông", H Nội, 2011 [3] D.S Mitrinovic, J.E Pecaric and V Volenec (1989), Recent advances in geometric inequalities, Mathematics and its applications (East European series), Published by Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, Chapter V, pp 64-69 14 http://trithuctoan.blogspot.com/ Phương pháp Graph Đặng Huy Ruận, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên H Nội Rất nhiều b i toán không mẫu mực có thể... (y) , ∀x, y ∈ R+ (3) B i toán 1.4 Tìm tất cả các h m số f , g, h xác định v liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện f (xy) = g (x) h (y) , ∀x, y ∈ R+ (4) Xét một số dạng tổng quát của phương trình h m Pexider Dưới đây l một số dạng tổng quát của phương trình (1) gần gũi với chương trình của hệ phổ thông chuyên Toán B i toán 2.1 Tìm tất cả các h m số f , fi (i = 1, 2, , n) xác định v liên tục trên R thỏa... Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn, 2008, Chuyên đề chọn lọc - Lượng giác v áp dụng, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Thị Thu Hằng, Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng, Kỷ yếu HNKH "Giải tích hiện đại trong nghiên cứu v ứng dụng", Hải Dương 14-15/6/2008, 138 - 141 19 http://trithuctoan.blogspot.com/ Một số dạng toán liên quan đến dãy số có quy luật ở cấp THCS Nguyễn Thị Minh