Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠ I HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐINH THỊ THU PHƯƠNG TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC Tơ VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC ĐINH THỊ THU PHƯƠNG TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC Tơ VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Hà Nội — Năm 2016 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜ NG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘ I NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.NGUYỄN VĂN QUÝ Hà Nội — Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Quý, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình làm hoàn thiện luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đinh Thị Thu Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Quý, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “ Tiếp cận tối Iiu véc tơ với Mô hình NashCournot suy rộng ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đinh Thị Thu Phương Mục lục 1.3.1 1.3.2 Điểm Pareto (Điểm hữu hiệu) không gian LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mô hình cân thị trường độc quyền Nash-Cournot A.Cournot đưa vào năm 1838 nhiều tác giả giới tập trung nghiên cứu Mô hình Nash-Cournot Mô hình kinh tế học Ngày nay, Mô hình Nash-Cournot phát triển mở rộng thêm nhiều tính ứng dụng không lĩnh vực kinh tế mà nhiều lĩnh vực khác Nghiên cứu tính chất phương pháp giải với Mô hình Nash-Cournot cổ điển suy rộng chủ đề nhiều nhà toán học nước quan tâm Hiện nay, cách tiếp cận nghiên cứu Mô hình Nash-Cournot tiếp cận bất đẳng thức biến phân, tiếp cận cân tiếp cận tối ưu véc tơ Với cách tiếp cận có ưu điểm định việc đưa phương pháp giải mô tả ứng dụng Mô hình Đề tài chọn cách tiếp cận tối ưu véc tơ để nghiên cứu đưa phương pháp giải với Mô hình Nash-Cournot suy rộng đề tài có tính khoa học, tính thời tính thực tiễn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy rộng đưa phương pháp giải Nhiệm vụ nghiên cứu Mô tả Mô hình kinh tế Nash-Cournot cổ điển suy rộng dạng toán tối ưu véc tơ trình bày phương pháp giải toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn sử dụng kiến thức bổ trợ chủ yếu Giải tích lồi Lý thuyết tối ưu véc tơ Đối tượng áp dụng Mô hình kinh tế NashCournot cổ điển Mô hình kinh tế Nash-Cournot suy rộng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu từ giáo viên hướng dẫn Tìm tòi thu thập thêm tư liệu từ giảng, sách, báo, internet, từ xếp, biên soạn lại hình thành nội dung đề tài Chương Kiến thức 1.1 Tập lồi hàm lồi không gian Rn 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 [2] Tập D c K " khác rỗng gọi lồi với X, y £ D với < A < ta có: X x + (1 — X ) y £ D Định nghĩa 1.2 [2] Ta nói X tổ hợp lồi véc tơ X1,x k £ Mn nếu: X = E \x\ 3= X j > với j = 1, 2,n X j = k 3= Mệnh đề suy trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 1.1 [2] (i) Giao họ hữu hạn vô hạn tập lồi tập lồi (ii) Tích Đề-Các họ hữu hạn tập lồi tập lồi (iii) Cho Ả B hai tập lồi không gian Mn Khi đó, tổng đại số A B định nghĩa ký hiệu bởi: A + B {x + y : X (iv) Cho c e A,y e B} tập lồi không gian Rn X số thực Khi đó, tập: C\ := {Aa; : X £ C} (v) Ảnh nghịch ảnh tập lồi qua ánh xạ tuyến tính tập lồi Định nghĩa 1.3 [2] Cho A tập khác rỗng không gian M n Tập hợp tất tổ hợp lồi số hữu hạn điểm thuộc A gọi bao lồi A ký hiệu CoA Mệnh đề 1.2 [2] Cho A tập khác rỗng không gian Mn (i) CoA tập lồi (ii) Co A tập lồi nhỏ chứa Ả (iii) A lồi A = Co A Định nghĩa 1.4 [1] Một tập gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa không gian đóng Do phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính nên tập đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Định nghĩa 1.5 [1] Một tập hợp s cRn gọi đơn hình có thứ nguyên k (hoặc nói ngắn gọn k—đơn hình), s tổ hợp lồi k + véc tơ độc lập aphin Các véc tơ gọi đỉnh đơn hình Định nghĩa 1.6 [1] Điểm X* gọi điểm cực biên tập lồi D không tồn hai điểm khác x l , x G D cho: *11 X = -Xị H—Xo 22 Điều tương đương với X ị , x G D thỏa mãn: 11 X = 2X l X * = X i — x + 2X Ĩ Tập điểm cực biên tập lồi ký hiệu E x t ( D ) 1.1.2 Nón lồi Định nghĩa 1.7 [2] Cho K tập khác rỗng Mn (a) K gọi nón có đỉnh với X G K với A > ta có: Xx G K (b) K gọi nón có đỉnh x0, K — x0 nón có đỉnh (c) Nón K (đỉnh x0) gọi nón lồi K tập lồi (d) Nón K (đỉnh xữ) gọi nón lồi đóng K tập lồi đóng Mệnh đề 1.3 [2] K nón lồi, có đỉnh với x,y G K với x,p > ta có: XX + ịiy & K Ví dụ 1.1.1 Các tập Rn sau đây: R" := {(£i, -,£n) ẽ Rn : > 0,Vi = , ,nị (orthan không âm) M++ := {(6, •••, £n) e Mn : & > 0, Vi = 1, , n} (orthan dương) Đều nón lồi có đỉnh Đây nón lồi quan trọng Mn Hệ 1.1 [2] Tập K khác rỗng R71 nón lồi có đỉnh K chứa tất tỗ hợp tuyến tính dương Tức là, với Xi, .,xm G K (m số số hữu hạn phần tử K tự nhiên bất kỳ) với Xị, , Hiển nhiên Bài toán (LSQVP2Ự)) quy hoạch tuyến tính có định lý sau: Định lý 2.2 Với X > cố định với đoạn I Ç [ĩỊnin) ^moi] tù’ đeu co (i) Cả hai Bài toán (LSQVPlự)) (LSQVP2Ự)) có nghiệm tối ưu (ii) ß(I) < aự) (iii) Nếu (t*,T*,x*) nghiệm tối ưu Bài toán (LSQVP2ự)) vàt* — T* (t*,x*) nghiệm tối ưu Bài toán (LSQVPlự)) (iv) Với I, nghiệm tối ưu Bài toán (LSQVP 2(/)) đạt điểm chấp nhận (t, T, x) có T — t ữ j Chứng minh (i) Hiển nhiên, tính compact miền chấp nhận tính liên tục hàm F (ii) Hiển nhiên, (í, x) nghiệm chấp nhận (LSQVP\(IỴ) (t, x) Bài toán (LSQVP2Ự)) toán Vì giả sử Bài nghiệm chấp nhận nghiệm tối ưu Bài toán (LSQVpự)) ta có: (iii) Vì (t*,T*,x*) nghiệm tối ưu Bài toán (LSQVP2(I)) nên theo định nghĩa (t*,x*) nghiệm chấp nhận Bài toán (LSQVPlự)) Từ suy ra: a(I) = ị3(I) = F(X,t*,x*) : hay (t*,x*) nghiệm tối ưu Bài toán (LSQVPlự)) n 1{ T ) (iv) := (t,x) T, X) := ^2 Xi(PiT + /q - Oíị)xị > i= > (2.10) Với T £ I cố định, đặt: / Xị + x2 + + xn = t; Ax < 6; với ràng buộc: < < Xj < dj, j = 1, .,p; Xj > 0, j = p + l , , n ; V t°j < T < t\ Do /3j > 0, X j > 0,V« = 1, ,n với (t,x) £ D cố định, r2 > Ti F(X, T ,x) > F(X, Tị,x) Từ suy Z(r) hàm không giảm I Mặt khác, theo định nghĩa thì: ¡3(1) = {z(r) : t ữ j < T < t]} Kết hợp lại ta có ¡3(1) = /(¿5) Định lý chứng minh xong □ Các kết cho thấy, với đoạn I c [T m i n , T m a x \ aự) giá trị tối ưu Bài toán (LSQVP ) hạn chế đoạn I, ¡3(1) cận a(I) Nếu ¡3(1) = a(I) ¡3(1) giá trị tối ưu toán vô hướng hóa xét đoạn I Để tính ß(I) ta phải giải quy hoạch tuyến tính, Bài toán (LSQVP2) với r = tj Hơn nữa, nghiệm tối ưu toán tính ß(I) it ,X I ) nghiệm chấp nhận Bài toán vô hướng hóa dạng song tuyến tính (LSQVP) F(A, t 1, X ) cận giá trị tối ưu 2.4.2 Quy tắc chia nhánh Các kết phần cho thấy, tập để phân nhánh thuật toán nhánh cận giải Bài toán vô hướng hóa (LSQVP) ứng với biến t không gian chiều Cụ thể trường hợp đoạn 'F'max]- Quy tắc 2.1 (Quy tắc chia đôi) Cho a < b hai số cố định Bước khởi tạo: Lấy I := [ữ, b],u := a, v := &, r0 := {Io},k := thực Bước Bước 1: Chọn đoạn I k r k lấy u k < £ k < v k điểm tùy ý Ký hiệu t k trung điểm đoạn [u k ,^ k ] Bước 2: Đặt: I k ■= [u k ,t k ],I+ := [t k : v k ],T k + i := (T k \ I k ) U {/¿T,I k } : tăng k := k + quay lại Bước Bổ đề 2.1 Với đoạn [ữ, &] cố định cho trước, giả sử Quy tắc chia đôi 2.1 thực vô hạn lần Khi đó: (i) Quy tắc chia đôi 2.1 sinh dãy vô hạn đoạn lồng ự k } đoạn [a,b] thỏa mẫn I k + nhận từ I k Quy tắc chia đôi đoạn (ii) ứng với dãy đoạn ựk } dãy tương ứng {u k }, {t k }, {£jfc } hội tụ tới điểm giới hạn t* Chứng minh (i) Hiển nhiên suy từ Quy tắc chia đôi (ii) Để đơn giản cho việc trình bày, ta giả sử dãy nói tới dãy {/*}, {u k }, {ífc} {&} Với bước lặp k(k — 1,2, ) điểm u k < tỵ < ị k t k = — (u k + £fc) thuộc đoạn I k Do dãy đoạn {/fc} lồng nên dãy điểm {Wfc}, {¿fc} {£fc} đơn điệu, bị chặn nên chúng hội tụ Cụ thể ta có: u k —> u* : t k —> í*,£fc —ì £* k —> oo Nếu kết luận (ii) Bổ đề (2.1) không tồn lí* < í* í* < £* Giả sử < í* (trường hợp í* < £* chứng minh tương tự) Khi đó, kết hợp với Quy tắc chia đôi 2.1, tồn số k ữ cho: u k < t k ữ < £ k ,Vk > k Q Tại bước lặp k := k + 1, theo Quy tắc chia đôi 2.1, đoạn I k thu từ việc chia đoạn I k o I k = /¿7 I k = Trước tiên ta xét trường hợp I k = Theo Quy tắc chia đôi 2.1, ứng với trường hợp = £fc0+i < tk mâu thuẫn Trường hợp ngược lại, Ik = lỵ theo Quy tắc chia đôi 2.1 dẫn đến Uỵ = Uk 0+1 = tk lại mâu thuẫn Bổ đề chứng minh xong □ Để hạn chế bớt đoạn I cần phải lưu trữ trình giải toán Tại bước lặp, ta loại bớt đoạn I mà biết chắn không tồn nghiệm tối ưu toán vô hướng hóa mà t* G I Việc làm thực nhờ vào Hệ sau Hệ 2.1 Giả sử ta biết (t, X) nghiệm chấp nhận toán vô hướng hóa (LSQVP) Nếu I = [15, t]] c [T m i n ì T m a x \ đoạn có: ß(I) > F{\,t,x), không tồn nghiệm tối ưu (t*,x*) toán vô hướng hóa mà t* e I Chứng minh Từ phép chứng minh Định lý 2.2 ta có hàm Z(r) định nghĩa theo công thức (2.10) đơn điệu không giảm I ß(I) = lựì) Từ suy ra, với nghiệm chấp nhận (t, x) toán vô hướng hóa (LSQVP) mà có t G I thì: F(X, t, x) > l{t) > l{t°j) = ß{I) > F{X,t,x) > F{X,t*,x*) Từ suy điều phải chứng minh □ Sử dụng quy tắc tính cận chia nhánh giới thiệu phần trên, sau mô tả chi tiết thuật toán nhánh cận giải Bài toán vô hướng hóa (LSQVP) Thuật toán 2.1 Bước khởi đầu: Gồm công việc sau: Công việc 1: Tính T m a x ,T m i n việc giải toán quy hoạch tuyến tính (2.8) (2.9) Công việc 2: Lấy tập I := [T m i n ,T m a x ] Công việc 3: Tính /3 ữ := /3(1o) việc giải Bài toán (LSQVP2(I ữ)) với T := t°j ký hiệu (t , x ữ) nghiệm tối ưu đạt Gán a := F(X,t ,x ũ ) Gán tập r0 := {Iữ},k := thực Bước Lặp lại với k = 0,1, Bước lặp 1: la) Nếu Oíỵ < /3 k , dừng thuật toán x k nghiệm tối ưu cần tìm lb) Nếu a k > /3 k , chia đoạn I k theo Quy tắc chia đôi 2.1 với điểm chia là trung điểm đoạn If- ta nhận được: lỵ := [ti°ĩ£k ]Ị l ỵ := [£kĩtiị]- Bước lặp 2: Gồm công việc sau: Công việc ỉ: Tính /3ự£) Ị3(Iỵ) Công việc 2: Chọn (Ĩk+I,x k + ) nghiệm chấp nhận tốt toán vô hướng hóa nhận việc tính /3 ) /3 (1^) Công việc 3: Cập nhật cận tốt bước lặp sau đó: Oik +1 := ịa k ,F(\, t k + i,x k + )} = F(X,t k + ,x k + ) Công việc ị: Cập nhật lại họ đoạn bước lặp sau đó: Ai := ( r t \ / t ) u {/+/,-}, r*+i := { I E Afc : /3(7) < ơfc+i} Bước lặp 3: Gồm công việc sau: Công việc (Chọn đoạn để chia): Chọn đoạn I k+1 € rfc+i cho: pựk+i) ■= {/3(1) : I e rfc+i} Công việc (Cập nhật cận tốt nhất): Gán /3fc+i := /3ự k + i) Công việc 3: Tăng k := k + quay lại Bước lặp Định lý hội tụ: Giả sử thuật toán 2.1 kéo dài vô hạn bước lặp Khi đó, cấc dãy lặp {a!fc}, {ft k } sinh thỏa mãn: (i) Dẫy {CCA:} đơn điệu giảm đến F*, dãy {/3 k } đơn điệu tăng đến F* (ii) Mọi điểm tụ dãy {xfe} nghiệm tối ưu Bài toán vô hướng hóa (SQVP) Chứng minh (i) Do toán tính /3fc có phương án tối ưu theo nội dung Thuật toán 2.1 ta suy tính đơn điệu bị chặn dãy {a*;} {¡3 k } Từ suy tồn giới hạn: lim a k = a* lim /3 k = /3* k—ịoo k—ịoo (2.11) Mặt khác, từ Bổ đề 2.1, bước lặp thứ k ta đặt t°j t ữ k t) := tị đồng thời tồn giới hạn: tị—> u,t\—>í*,£jfc—> í* k—> oo (2.12) Đặt: Qífc : ^(A, t k, x k ^, (t k ,x k ) nghiệm tối ưu toán tính /3ự k ) Hiển nhiên với k ta có Ị3 k < Oi k < ã k và: < ã k - p k = (ĩ k - tị) ^2 ẰiPiXịk < /3T m a x (ĩ k - tị) (2.13) i= ¡3 := max {XiPi : ỉ = 1,2, , n} Kết hợp (2.11) — (2.13) suy ra: a k —> /3* k —> 00 Mặt khác, do: Ị3 k < F* < a k < a k với k, nên qua giới hạn ta nhận được: P* = F* = a* (ii) Giả sử X* điểm tụ dãy {a^} Nếu cần trích dãy con, không giảm tính tổng quát ta giả sử x k —> X* k —> 00 Bởi tính liên tục hàm F suy ra: a k = F(X,t k ,x k ) —> F(X,U,x*) Mặt khác, a k —» F* k —» oo, nên F(X,t*,x*) = F* ta có điều phải chứng minh □ Chú ý 2.1 Trong thực tế thường tìm £ > nghiệm Bài toán vô hướng hóa (LSQVP) Nếu vậy, với số dương £ > đủ nhỏ chọn trước, bước lặp k(k = 0,1, ), nếu: K - pk I < emax{|a fc |, 1}, ta dừng thuật toán xem x k £- nghiệm tối ưu Bài toán vô hướng hóa (LSQVP) Ví dụ minh họa 2.1 Để minh họa cho thuật toán ta xét Mô hình Cournot với ba hãng (n = 3) Hàm cầu ngược, hàm chi phí, tập chiến lược hãng ma trận ràng buộc chung Ả cho sau: P i { x ) \ = 14.5—0.02(^1 + x + x ) , h ị ( x i ) :=8.2^1, U i := [0.30] p 2( x ) := Pz{x) := ' 16.4 - 0.04(^1 + x2 + o;3), h 2( x 2) := 10.7^2, u := [0.40] 17.2 - 0.01(a:i + Xị + x ) , h 3( x ) := 90 211 A := -1 c - °J 1 ; b:= \\ 9.4a;3, : = [0.50] 60 l-20/ Trong ví dụ này: a = (14.5,16.4,17.2); = (0.02, 0.04,0.01); ịL = (8.2,10.7,9.4) Cho À := (3, 2, 5) véc tơ trọng lượng Trong trường hợp này, Bài toán (LSQVp(t)) có dạng: {F(À, í, x) = (0.06Í — 18.9)zi + (0.08Í — 11.4)1)0:2 + (0.05Í — 39)z3} Xị + x2 + x3 = í; với ràng buộc: < 2xi + x + x < 90; 3a;i — x + x < 60; —Xi — x < —20; < Xi < 30,0 < x < 40,0 < 0I3 < 50 Chọn £ = 0.005 Bây ta sử dụng thuật toán để tìm ỄT-tối ưu toán Bước khởi đầu: Tính T m i n cách giải quy hoạch tuyến tính: {aq + x + x } 2x\ + x + x < 90; với ràng buộc: [...]... nghiệm tối ưu địa phương đều là nghiệm tối ưu toàn cục Mệnh đề 1.16 Giả sử (1.6) là bài toán tối ưu lồi và g khả dưới vi phân trên c Khi đó, X* € c là nghiệm tối ưu của Bài toán (1.6) khi và chỉ khi: 0 e dgự) + Ncự) Mệnh đề 1.17 Xét Bài toán tối ưu (1.6) Giả sử g là hàm lồi khả vi liên tục trên tập mở w chứa u Khi đó, Bài toán tối ưu (1.6) tương đương với Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) với: F(x)... tối ưu địa phương của Bài toán (1.6) nếu tồn tại lân cận V của điểm X * sao cho: g(x*) < g(x),\fx € V n c (d) Điểm X * G c là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (1.6) nếu: g{x*) < g{x),Vx e c (e) Nếu c là một tập lồi và g là một hàm lồi trên c thì (1.6) được gọi là bài toán tối ưu lồi Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ tính chất cực trị của hàm lồi: Hệ quả 1.5 Nếu (1.6) là một bài toán tối ưu. .. Lấy é véc tơ đơn vị thứ ỉ ( i = 1 (1.5) của IRn (tọa độ thứ ỉ của é bằng 1 và mọi tọa độ khác là 0) Áp dụng (1.5) lần lượt với d = é với i = 1,n , ta có X * < f ' ( x , é ) Tương tự, áp dụng với d = — e i với ỉ = 1, , k , ta có: -X* < f ' ( x : -e¿) Hay: X* > -f'{x, —ei) Tóm lại: - / ( x , - ^ ) < X* < ¡'{x^e^^i = 1, , n Theo Mệnh đề (1.12), do X G r i ( d o m f ) , nên f ( x , y ) hữu hạn với mọi... điểm xữ £ c (a) Điểm X * £ Mn được gọi là véc tơ pháp tuyến ngoài (hay pháp tuyến ngoài) của c tại xữ nếu: (x*,x — x°) < 0 với mọi X £ c (b) Tập tất cả các véc tơ pháp tuyến ngoài của c tại x° ký hiệu là Nc(x°) Mệnh đề 1.4 [1] Cho c ỉà một tập ỉồỉ khác rỗng trong Kn và điểm x° £ c Tập Nc{xữ) là một nón lồi đóng có đỉnh tại 0 Chứng minh Hiển nhiên 0 £ Nc{x°) nên suy ra Nc{x°) là khác rỗng Mặt khác, giả... Vg(x),x e u Chứng minh Theo Mệnh đề (1.16), X * là nghiệm tối ưu của Bài toán (1.6) khi và chỉ khi: 0 &Vg(x*) + Nu(x*), hay tương đương với: -Vg(x*) e Nự(x*) Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài suy ra: (—Vg(x*),x — X * } = (—F(x*),x — và suy ra X * là nghiệm của Bài toán (VIP) □ X * } < 0, Hệ quả 1.6 X é t B à i toán cân bằng (EP) Giả sử với mỗi X E u cố định, f ( x , ) là hàm lồi khả vi liên... K{x) = U,Mxe u, thì bài toán tựa cân bằng trở thành bài toán cân bằng Vậy bài toán cân bằng chỉ là trường hợp riêng của bài toán tựa cân bằng 1.3 Bài toán tối ưu véc tơ 1.3.1 Quan hệ thứ tự theo nón Định nghĩa 1.20 Cho E là một không gian véc tơ tuyến tính thực, c là một nón lồi, đóng, có đỉnh tại 0 và x , y là hai phần tử bất kỳ trong E (a) Ta nói X lớn hơn hoặc bằng y (hay y nhỏ hơn hoặc bằng X)... nghĩa (1.20) có các tính chất: (i) Tính phản xạ Nghĩa là ta có X >c X với mọi phần tử X € X (ii) Tính chất bắc cầu Nghĩa là: nếu X (iii) >c Tính chất tuyến tính Nghĩa là: nếu X y và y > c z thì suy ra X >c y thì suy ra: tx + Z >c ty + z, với mọi số thực t > 0 và mọi phần tứ X € X Chứng minh (i) Ta có: X — X = O, Vx € c mà 0 e c nên suy ra X >c X (ii) Từ giả thiết ta có: >c z X — y e c và y — z £ Ta... pv, X — xữ} = À(u, X — x°) + ịí(v, X — xữ} < 0 với mọi X £ c 1 1 Từ đó suy ra Au + ịiv £ Nc(x°) và theo Mệnh đề (1.3) thì Nc(x°) là một nón lồi có đỉnh tại 0 Để chứng tỏ Nc(xũ) là một tập đóng ta giả sử {un} là một dãy nằm trong Nc{x°) và un —> u khi và chỉ khi n —> 00 Ta phải chứng minh ũ E Nc(xũ) Thực vậy, với mỗi X G c cố định thì: fx(u) = (u:x — x°) < 0 với mọi u E Nc(x°): và là một hàm liên tục trên... v/(x) hoặc f ' ( x ) Giả sử / : Mn —» M u {+oo} chính thường và X £ domf Nếu / khả f{x + Ằy)-f{x)-(x7f{x),\y}^ A\o A||y|| Hay là: f ' ( x : y ) - (v/(ar),y) = llyll Suy ra f ' ( x , y ) = ( ụ f { x ) , y ) với mọi y Lấy y = e \ i = 1 là véc tơ đơn vị thứ % của Mn, ta có: